Mô đun nội xạ trực tiếp đơn

Trong quá trình nghiên cứu về môđun nội xạ các nhà toán học đã đisâu vào các lớp môđun nội xạ đồng thời nghiên cứu các lớp môđun nội xạ mở rộng: tựa nội xạ, giả nội xạ, nội xạ đơn, nội x

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

- -

VÕ THỊ HỒNG SƯƠNG

MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng 2017

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

- -

VÕ THỊ HỒNG SƯƠNG

MÔ ĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Võ Thị Hồng Sương

Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn TS Trương Công Quỳnh đã tận tình hướng dẫn em trong suốtquá trình thực hiện để em có thể hoàn thành được luận văn này.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo

đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học Đồngthời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp Đại số và Lý thuyết

số đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Võ Thị Hồng Sương

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Các khái niệm cơ bản 5

1.2 Một số kết quả liên quan 10

CHƯƠNG 2 MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP 13

2.1 Môđun nội xạ trực tiếp 13

2.2 Vành C2 20

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN 30

3.1 Môđun nội xạ trực tiếp đơn 30

3.2 Đặc trưng của vành nội xạ trực tiếp đơn 36

3.3 Khi nào môđun nội xạ trực tiếp đơn là môđun C3? 38

3.4 Môđun nội xạ trực tiếp đơn và V-vành 43

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

Nói đến đại số hiện đại không thể không nhắc đến lý thuyết vành vàmôđun, nó có những ứng dụng rộng rãi trong đại số hiện đại Một trongnhững lớp môđun quan trọng trong lý thuyết vành và môđun là: môđunnội xạ, môđun xạ ảnh, môđun tự do, môđun hữu hạn sinh Ngoài ra cácđặc trưng của các lớp vành Artin, Nơte, nửa đơn, thông qua lớp cácmôđun trên đã được nghiên cứu trong những năm gần đây Hơn nữa, cácđặc trưng của vành được nghiên cứu dưới điều kiện nội xạ đã thu hút nhiềutác giả trong và ngoài nước nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu về môđun nội xạ các nhà toán học đã đisâu vào các lớp môđun nội xạ đồng thời nghiên cứu các lớp môđun nội xạ

mở rộng: tựa nội xạ, giả nội xạ, nội xạ đơn, nội xạ cực tiểu, nội xạ trựctiếp Mặt khác, một trong những lớp môđun nội xạ được nghiên cứu gầnđây đó là môđun nội xạ trực tiếp đơn

Luận văn trình bày về môđun nội xạ trực tiếp đơn, các tính chất vàứng dụng của nó trong quá trình đưa ra đặc trưng của các vành: vành

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Cấu trúc môđun xuất hiện trong hầu hết các lý thuyết toán học hiệnđại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành,iđêan, nhóm Aben và không gian vectơ Dựa vào một số kết quả của tácgiả Mohamed Yousif, Yasser Ibrahim, Victor Camillo và Yiqiang Zhou(2014) về môđun nội xạ trực tiếp đơn, chúng tôi thấy rằng cần thiết phảinghiên cứu các tính chất của môđun nội xạ trực tiếp đơn từ đó sử dụng

xạ) nếu và chỉ nếu mọi R-môđun phải cyclic là nội xạ trực tiếp đơn .

Từ những lý do trên mà chúng tôi chọn đề tài “Môđun nội xạ trựctiếp đơn”

2 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ

Có hai phương pháp nghiên cứu vành: nghiên cứu nội tại và nghiên

đặc trưng của các vành thông qua một số lớp môđun Một trong nhữnglớp môđun đóng vai trò quan trọng là môđun nội xạ Các nhà toán học đãlựa chọn hướng nghiên cứu các mở rộng của môđun nội xạ để áp dụng vàoviệc đưa ra đặc trưng của các vành, tiêu biểu là: Smith, Wisbauer, ChenZhizhong, Nicholson, Thuyet, Quynh, Dung, Huynh,

Khái quát hóa là: nghiên cứu lớp các môđun tổng quát hóa các môđunnội xạ và trong trường hợp này cụ thể là nội xạ trực tiếp đơn và áp dụngđưa ra đặc trưng các vành liên quan

Khái niệm về môđun nội xạ được biết đến từ thập niên 90 của thế kỉ

Từ đó các nhà toán học đã đưa ra các khái niệm tương tự về môđun

điều kiện tương đương sau:

có khái niệm P-nội xạ Điều này tương đương với f là phép nhân trái bởi

niệm môđun tựa nội xạ

Tiếp tục hướng nghiên cứu trên, năm 1976 W.K.Nicholson đã đưa ra

tắc)

Năm 2014, Victor Camillo, Yasser Ibrahim và Mohamed Yousif đã

Hơn nữa, mọi môđun nội xạ trực tiếp là nội xạ trực tiếp đơn

Dựa trên các lớp môđun của môđun nội xạ các nhà toán học đã khaithác các tính chất của từng lớp môđun và từ đó mở rộng đưa ra đặc trưng

Như vậy có rất nhiều tác giả nghiên cứu theo hướng này vì vậy việctìm hiểu lớp môđun nội xạ trực tiếp đơn và áp dụng vào một số vành liênquan là một việc làm cần thiết

3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm và các tính chất của môđun nội

xạ trực tiếp đơn từ đó tổng quan về vành nội xạ trực tiếp đơn để đưa ra

đặc trưng của các vành chuỗi Artin, V-vành,

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình, sách, các bài báo viết về môđunnội xạ, môđun nội xạ trực tiếp và nhằm hệ thống lại các tính chất mộtcách hợp lý và đưa ra các đặc trưng của các vành liên quan

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã sử dụng các phươngpháp phân tích, phương pháp tổng hợp, phương pháp lôgic (tính hệ thống),phương pháp chuyên gia (cố vấn)

6 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài đóng góp thiết thực trong việc nghiên cứu về môđun nội xạ,

-vành, vành Artin chuỗi, trong chương trình toán ở đại học và sau đạihọc

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Chương I: Trình bày các khái niệm, định lý cơ bản về môđun, môđunnội xạ, môđun tựa nội xạ, vành, vành Artin, V-vành,

Chương II: Nêu định nghĩa và các tính chất của môđun nội xạ trựctiếp, vành C2

Chương III: Nêu định nghĩa, các tính chất của môđun nội xạ trực tiếp

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các khái niệm, tính chất và định lý trong chương này chủ yếu trích

1.1 Các khái niệm cơ bản

thỏa mãn điều kiện tăng (ACC) trong trường hợp mọi dãy

giảm (DCC) trong trường hợp mọi dãy

thì Bi−1 cực đại trong Bi Điều này tương đương với Bi/Bi−1 là đơn.

hợp thành

(1) Mọi iđêan trái (phải) chính đều sinh bởi một phần tử lũy đẳng.(2) Mọi iđêan trái (phải) hữu hạn sinh đều sinh bởi một phần tử lũyđẳng

trái (phải)

tử trực tiếp của chính nó

đại

Ví dụ 1.1.7

Bổ đề 1.1.8 Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R:

Định nghĩa 1.1.9 Một vành được gọi là tựa Frobenius (hay vànhQF) nếu nó là vành Artin (trái và phải) và là vành tự nội xạ (trái và phải)

{N ≤ M |N  M }

Định nghĩa 1.1.14 Vành Artin nửa đơn là tổng trực tiếp của một

số hữu hạn các vành Artin đơn

Định nghĩa 1.1.15 Ta ký hiệu:

cấu σ của M.

Một môđun được gọi là môđun bất biến đẳng cấu nếu nó là môđuncon bất biến đẳng cấu của bao nội xạ của nó

Ví dụ 1.1.18

- Mọi vành Artin nửa đơn là vành Kasch trái và phải

Ví dụ 1.1.21

con hữu hạn sinh của môđun tự do là một hạng tử trực tiếp

với mỗi end (Ni) là vành địa phương Khi đó, tồn tại các hạng tử trực tiếp

(4) (s1 + s2) m = s1m + s2m với mọi s1, s2 ∈ S và mọi m ∈ M.

1.2 Một số kết quả liên quan

Định lí 1.2.1 Các điều kiện sau là tương đương đối với môđun phải

QR:

tự nội xạ trái (hoặc phải).

Bổ đề 1.2.4 (Bổ đề Vámos) Một môđun được gọi là Artin nếu vàchỉ nếu mọi môđun thương của nó là hữu hạn đối sinh

Hai vành R, S là tương đương Morita nếu và chỉ nếu tồn tại n ∈ Z và

Ví dụ 1.2.6 Tính chất nội xạ và xạ ảnh là những tính chất bất biếnMorita

(PF) nếu và chỉ nếu nó là vành tự nội xạ phải tức là vật đối sinh phải.Định lí 1.2.8 (Định lý Camps-Dicks) Các điều kiện sau là tương

Định lí 1.2.9 (Định lý Hopkins-Levitzki) Một vành nửa nguyênthủy là vành Artin phải nếu và chỉ nếu nó là vành Nơte phải

CHƯƠNG2 MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP

Năm 1976 W.K.Nicholson đưa ra khái niệm về môđun nội xạ trựctiếp [11] Chúng ta biết rằng mọi môđun nội xạ là nội xạ trực tiếp nhưngngược lại trong trường hợp tổng quát là không đúng Trong chương này,chúng tôi đưa ra một số tính chất của môđun nội xạ trực tiếp và đưa ramột số đặc trưng của vành C2 Nội dung của chương này chủ yếu đượctrích ra từ các tài liệu: [5], [7], [8] và [10]

2.1 Môđun nội xạ trực tiếp

Chứng minh.

chẻ ra

Hệ quả 2.1.4 Các điều kiện sau là tương đương đối với môđun MR

đương:

toàn cấu chính tắc, tức là biểu đồ sau giao hoán:

M

Hệ quả 2.1.6 Nếu N ⊕ M là nội xạ trực tiếp thì dãy khớp ngắn

Mệnh đề 2.1.7 Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ trực tiếp làmôđun nội xạ trực tiếp

Chứng minh

M

Chứng minh.

tức là, biểu đồ sau giao hoán:

mở rộng

Chứng minh

Chú ý: Ngược lại của mệnh đề trên trong trường hợp tổng quát làkhông đúng Chẳng hạn, Z-môđun Z là nội xạ trực tiếp và mở rộng nhưngkhông tựa nội xạ

Định lí 2.1.11 Cho M là nội xạ trực tiếp và mở rộng Khi đó, căn

là một vành chính quy von Neumann và mọi phần tử lũy đẳng có thể nâng

Chứng minh

Từ (1) và (2) suy ra J (end(M )) = J0.

Định lí 2.1.12 Mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ trực tiếp và

mở rộng cũng là môđun nội xạ trực tiếp và mở rộng

Chứng minh

2.2 Vành C2

Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất và đưa ramột số đặc trưng của vành C2

Ví dụ 2.2.2

(1) Mọi vành chính quy là vành C2 phải và trái

(2) Mọi vành liên tục phải là vành C2 phải

lũy đẳng trong R chỉ có 0 và 1.

Chứng minh



F F

0 F

làvành Artin phải và trái, do đó mọi đơn cấu là toàn cấu (về cả 2 phía) Tuy

Ví dụ 2.2.6 Ngược lại của mệnh đề trên là không đúng

là vành chính quy) nhưng không phải vành Kasch

ψ

ϕ //eRι

R

a ∈ lr(a) = l((1 − e)R) ⇒ a ∈ Re ⇒ Ra ⊆ Re

Điều kiện (3) trong Bổ đề 2.2.7 cho ta hệ quả sau

Chứng minh.

Theo Bổ đề 1.1.8 và điều kiện (3) của Bổ đề 2.2.7 ta có hệ quả sau:

Chứng minh

Ví dụ 2.2.11 Ngược lại của hệ quả trên là không đúng

Một trường F được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức một ẩn

có bậc khác không với hệ số trong F là có nghiệm trong F

Ví dụ 2.2.12 Tồn tại vành C2 trái nhưng không C2 phải

Chứng minh

là lũy linh và mọi iđêan phải là linh hóa tử nhưng nó không Artin phải

Chứng minh

(1)

Từ (1) và (2) suy ra rR(f ) = rR(a) Theo Bổ đề 2.2.7 ta suy ra

Định lí 2.2.16 Các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) Tính chất vành C2 phải là bất biến Morita

và nó bao gồm mọi lớp vành C2 phải bất biến Morita

mạnh

Chứng minh

Theo Định lý 1.2.2 vành R là vành F P-nội xạ phải khi và chỉ khi

phải chứng minh

vành C2 phải mạnh

Chứng minh

Chứng minh

Định lý 1.2.3 R là tựa Frobenius.

nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong các tính chất sau:

(4) Theo Mệnh đề 2.2.17

CHƯƠNG3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MÔĐUN NỘI XẠ

TRỰC TIẾP ĐƠN

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất củamôđun nội xạ trực tiếp đơn từ đó sử dụng chúng để đưa ra đặc trưng của

Nội dung của chương này chủ yếu được trích từ tài liệu: [2], [3], [4] và [10]

3.1 Môđun nội xạ trực tiếp đơn

R-đồng cấu Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng f 6= 0, tức là f làđơn cấu.

xạ trực tiếp đơn.

Ví dụ 3.1.3

(1) Mọi môđun không phân tích được là nội xạ trực tiếp đơn Đặc

do đó nó là môđun nội xạ trực tiếp đơn

hạng tử trực tiếp đơn nào

là nội xạ trực tiếp đơn.

Chứng minh

Mệnh đề 3.1.6 Cho M là một môđun sao cho tổng tất cả các hạng

soc (M2) ⊆ rad (M2)

Chứng minh

X∈F

X∈F

t∈F Xt

là hạng tử trực tiếp của M với bất kỳ tập con hữu hạn F của Λ.

Mệnh đề 3.1.7 Giả sử rằng mọi hạng tử trực tiếp đơn địa phương

soc (M2) ⊆ rad (M2)

hữu hạn của các hạng tử trực tiếp đơn do đó nó là hạng tử trực tiếp của

Chứng minh

B ∩ M2 = 0 nên tồn tại N ⊆ M1 sao cho A ∼= B ∼= N Ta có N ⊆⊕ M1 và

Chứng minh

3.2 Đặc trưng của vành nội xạ trực tiếp đơn

quả 3.1.8 cho ta kết quả sau

Hệ quả 3.2.1 Cho R là vành I-hữu hạn Khi đó, R là vành nội xạ

soc(R2)2 = 0

Chứng minh

A⊆⊕R(I)

Định lí 3.2.4 Tính chất vành nội xạ trực tiếp đơn phải là tính chất

bất biến Morita

Chứng minh

các vành nội xạ trực tiếp đơn phải

S là

nội xạ trực tiếp đơn khi và chỉ khi PR là nội xạ trực tiếp đơn Theo Định

trực tiếp đơn

xem như hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trực tiếp đơn Vì vậy

3.3 Khi nào môđun nội xạ trực tiếp đơn là môđun C3?

Bổ đề 3.3.1 Tổng trực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ trực tiếpđơn

Chứng minh

Chứng minh

Cho N = M ⊕ E với E = E(M ) Ta chứng minh rằng N là nội xạ

Một môđun được gọi là chuỗi tổng quát nếu các môđun con của nó

tổng quát

một họ các môđun chuỗi tổng quát nội xạ có độ dài là 2

chứng minh rằng R là nửa Artin phải Giả sử ngược lại rằng M là R

là nửa Artin

là Artin phải

được hữu hạn sinh có duy nhất chuỗi tổng quát có độ dài tối đa 2 Cho

tiếp của các môđun nội xạ không phân tích được với mỗi môđun đều có

duy nhất chuỗi hợp thành có độ dài tối đa 2 Vì vậy, ta có sự phân tích

chuỗi tổng quát nội xạ có độ dài 2

là tổng trực tiếp của các môđun nội xạ đều Để chứng minh (3) thì ta cần

chứng minh rằng mọi R-môđun phải đều M là chuỗi tổng quát có độ dài

có độ dài 2

phải nội xạ trực tiếp đơn là nội xạ

Chứng minh

không phải là vành chuỗi tổng quát phải

e11R ⊕ E (e11R) là R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn và theo Bổ để 3.3.2

Trong phần này ta tìm hiểu mối liên hệ giữa môđun nội xạ trực tiếp

(4) Tổng trực tiếp của các môđun nội xạ trực tiếp đơn là nội xạ trựctiếp đơn

Chứng minh

Bổ đề 3.4.2 R-môđun phải M được gọi là nội xạ đế mạnh nếu và

Chứng minh

vành Nơte phải

Chứng minh

((1 − e) R + X)/X là môđun con khác 0 của R/X, tức là

điều kiện sau là tương đương:

(2) eI ⊆ I.

vành Aben (mọi phần tử lũy đẳng là tâm) thỏa mãn điều kiện (*) nhưngmột vành thỏa mãn điều kiện (*) không cần phải là vành Aben (chẳng

Một vành được gọi là vành trao đổi nếu phần tử lũy đẳng có thế nâng lênmodulo mọi iđêan phải (trái)

Chứng minh

Ví dụ 3.4.8 Cho Q =

∞

Q

i=1

L

Chứng minh

tiếp của (R/N )R Vậy X/N ⊕ Y /N là hạng tử trực tiếp của (R/N )R.

KẾT LUẬN

Luận văn tổng quan được một số kết quả sau:

(1) Trình bày các điều kiện cần và đủ để một môđun là môđun nội

xạ trực tiếp (Định nghĩa 2.1.3) và môđun nội xạ trực tiếp đơn (Mệnh đề3.1.1)

(2) Mọi môđun tựa nội xạ là nội xạ trực tiếp và mở rộng (Mệnh đề2.1.10)

(3) Tính chất vành C2 phải là bất biến Morita (Định lý 2.2.16)(4) Mọi môđun nội xạ trực tiếp đơn phải là môđun C3 nếu và chỉ nếumọi mọi môđun nội xạ trực tiếp đơn phải là tựa nội xạ hay nếu và chỉ nếu

(5) Tính chất vành nội xạ trực tiếp đơn phải là bất biến Morita (Định

lý 3.2.4)

(6) Chúng tôi đã thiết lập được mối liên hệ giữa môđun nội xạ trực

nội xạ trực tiếp đơn (Mệnh đề 3.4.1)

xyclic là nội xạ trực tiếp đơn (Định lý 3.4.4)

TÀI LIỆU THAM KHẢO