Tích nửa trực tiếp và ứng dụng

Nhóm các tự đẳng cấu của một số nhóm hữu hạn.. Lý do chọn đề tài Bài toán phân loại nhóm hữu hạn là xác định tất cả các nhóm khôngđẳng cấu nhau có cấp cho trước đã được A.. Với hai nhóm

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng - Năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Lê Thị Thu Thủy

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy

cô giáo đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện

ở Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng

Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị, các bạn tronglớp Đại số và lý thuyết số K31 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gianhọc tập vừa qua

Lê Thị Thu Thủy

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 NHÓM VÀ p - NHÓM 3

1.1.1 Các định nghĩa và một số nhóm đặc biệt 3

1.1.2 Một số kết quả về p - nhóm hữu hạn 11

1.1.3 Tích trực tiếp 13

1.2 TỰ ĐẲNG CẤU NHÓM 15

1.2.1 Nhóm các tự đẳng cấu 15

1.2.2 Nhóm các tự đẳng cấu của một số nhóm hữu hạn 15

CHƯƠNG 2 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG 18

2.1 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 18

2.1.1 Tích nửa trực tiếp ngoài 18

2.1.2 Tích nửa trực tiếp trong 22

2.2 ỨNG DỤNG 25

2.2.1 Biểu diễn nhóm dihedral, nhóm quaternion tổng quát và nhóm đối xứng qua tích nửa trực tiếp 25

2.2.2 Xây dựng và phân loại các nhóm cấp 2p, với p là một số nguyên tố lẻ 29

2.2.3 Xây dựng và phân loại các nhóm cấp p3, với p là một số nguyên tố lẻ 33

2.2.4 Xây dựng và phân loại các nhóm cấp 12 38

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán phân loại nhóm hữu hạn là xác định tất cả các nhóm khôngđẳng cấu nhau có cấp cho trước đã được A Cayley đặt ra vào năm 1878

và cho đến nay vẫn chưa có lời giải đầy đủ

Với hai nhóm H và K cho trước, có nhiều cách xây từ chúng mộtnhóm thứ ba, chẳng hạn bằng cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp,tích tâm, tích bện của hai nhóm đó, Mỗi cách như vậy đều có nhữngứng dụng hữu ích trong lý thuyết nhóm, đặc biệt là đối với bài toán phânloại nhóm hữu hạn Nhằm tìm hiểu tích nửa trực tiếp của hai nhóm vàbài toán phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, tôi chọn đề tài cho luận vănthạc sĩ của mình là

" TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG"

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cấu trúc nhóm và p - nhóm

- Tìm hiểu tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp của hai nhóm

- Tìm hiểu quan hệ đẳng cấu giữa các nhóm và bài toán phân loạiđẳng cấu nhóm hữu hạn

- Phân loại đẳng cấu một số lớp nhóm cấp thấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các nhóm và p - nhóm cấp thấp, đặc biệt là các nhóm có cấp 2p

và p3, với p là số nguyên tố, các nhóm hữu hạn quen biết

- Quan hệ đẳng cấu giữa các nhóm và bài toán phân loại đẳng cấu

nhóm hữu hạn.

- Tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp của hai nhóm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quanđến nội dung luận văn Đặc biệt là tài liệu về tích nửa trực tiếp của hainhóm

- Khảo sát nhóm các tự đẳng cấu của một số nhóm cấp thấp

- Dựa vào các tài liệu thu thập được để thực hiện luận văn

- Trao đổi thảo luận với người hướng dẫn

5 Cấu trúc của luận văn

Nội dung luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày sơ lược môt số khái niệm và kết quả về cấutrúc nhóm và p - nhóm để làm cơ sở cho chương sau

Chương 2: Tích nửa trực tiếp và ứng dụng

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày tích nửa trựctiếp của hai nhóm và áp dụng chúng để xây dựng và phân loại một số lớpnhóm bậc thấp

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày sơ lược một số khái niệm và kết quả về cấutrúc nhóm và p - nhóm hữu hạn, để làm cơ sở cho chương sau, các chitiết liên quan có thể xem trong các tài liệu [1], [2], [4], [6], [7], [11]

Cặp (G, ∗) được gọi là một nhóm nếu

Nếu ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a thì (G, ∗) được gọi là nhóm giao hoán

Có thể nói G là một nhóm thay cho nhóm (G, ∗)

Nếu phép toán ∗ được ký hiệu bằng + thì G được gọi là nhóm cộng,còn phép toán ∗ được ký hiệu ◦, lúc đó G được gọi là nhóm nhân

Một nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn hay vô hạn tùy theo tập hợp

G là hữu hạn hay vô hạn Nếu G là một tập hữu hạn thì số phần tử củatập hợp G được gọi là cấp của nhóm G và ký hiệu là |G|

Nếu nhóm G vô hạn thì ta nói G là nhóm (có cấp) vô hạn

Định nghĩa 1.1.1.2 [6] Một tập con H của một nhóm G gọi là ổnđịnh nếu và chỉ nếu tích của hai phần tử x, y của H lại thuộc H

Nếu H là một tập con ổn định của nhóm G, thì trên H cảm sinhđược phép toán từ phép toán của nhóm G

Định nghĩa 1.1.1.3 [6] Một tập con ổn định H của một nhóm Ggọi là một nhóm con của G, nếu và chỉ nếu H cùng với phép toán cảmsinh lập thành một nhóm Kí hiệu H 6 G

Định lý 1.1.1.4 [6] Giả sử H là một bộ phận khác rỗng của mộtnhóm G Các điều kiện sau đây là tương đương:

Định nghĩa 1.1.1.8 [4] Giả sử G và G0 là các nhóm với phép toánnhân Một ánh xạ ϕ : G → G0 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu

ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), với mọi x, y ∈ G

Cho X, Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ

f : X → Y

x 7→ 1Y(1Y là phần tử đơn vị của Y)

là một đồng cấu, và được gọi là đồng cấu tầm thường

Mệnh đề 1.1.1.9 [4] Giả sử ϕ : G → G0 là một đồng cấu nhóm.Khi đó:

i) ϕ chuyển đơn vị của G thành đơn vị của G0, tức là ϕ(1G) = 1G0.ii) ϕ chuyển nghịch đảo của phần tử x ∈ G thành nghịch đảo củaphần tử ϕ(x) = G0, tức là ϕ(x−1) = ϕ(x)−1

Định nghĩa 1.1.1.10 [4] i) Một đồng cấu nhóm đồng thời là mộtđơn ánh được gọi là một đơn cấu nhóm hay một phép nhúng

ii) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một toàn ánh được gọi là mộttoàn cấu

iii) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là mộtđẳng cấu nhóm

iv) Nếu có một đẳng cấu nhóm ϕ : G → G0 thì ta nói G đẳng cấuvới G0 và kí hiệu G ∼= G0

Định nghĩa 1.1.1.11 [4] Cho một đồng cấu nhóm ϕ : G → G0

Ký hiệu

Kerϕ = ϕ−1(1G0) = {x ∈ G/ϕ(x) = 1G0}

Imϕ = ϕ(G) = {ϕ(x)/x ∈ G}

Ta gọi Kerϕ và Imϕ lần lượt là hạt nhân và ảnh của đồng cấu ϕ.

Định nghĩa 1.1.1.12 [4] Nhóm G được gọi là một nhóm cyclicnếu nó chứa một phần tử a sao cho mọi phần tử của G đều bằng một lũythừa nguyên nào đó của a Phần tử a có tính chất như thế gọi là phần

tử sinh của nhóm cyclic G, kí hiệu G = hai Nhóm cyclic cấp n được kíhiệu là Cn Ta có:

Cn = hai = ha/an = 1i = 1, a1, a2, , an−1 .Mệnh đề 1.1.1.13 [4] Cho Cn và Cm lần lượt là hai nhóm cycliccấp n và cấp m Khi đó

Cn× Cm ∼= Cnm ⇔ (n, m) = 1

Mệnh đề 1.1.1.14 [4] Giả sử G là một nhóm cyclic hữu hạn và

m là một ước nguyên dương của |G| Khi đó tồn tại duy nhất một nhómcon H của G sao cho |H| = m

Định nghĩa 1.1.1.15 [4] Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn

vị 1 và a ∈ G Nếu am 6= 1 với mọi m > 0, thì ta nói a có cấp vô hạn.Nếu m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho am = 1 thì m được gọi làcấp của a Cấp của phần tử a được kí hiệu là ord(a)

Từ định nghĩa trên ta có ord(a) = |hai| và ord(a) = 1 ⇔ a = 1.Định nghĩa 1.1.1.16 [4] Giả sử N là một nhóm con của nhóm G.Với mỗi a ∈ G, các tập hợp

aN = {an/n ∈ N }

N a = {na/n ∈ N }được gọi tương ứng là lớp kề trái và lớp kề phải của N bởi a

Mệnh đề 1.1.1.17 [4] Hai lớp kề trái của N hoặc trùng nhau hoặckhông có phần tử nào chung Các lớp kề phải cũng vậy Như thế, nhóm

G được phân hoạch thành tập hợp rời của các lớp kề trái( tương ứng cáclớp kề phải).

Định nghĩa 1.1.1.18 [4] Cho G là một nhóm với phép toán nhân,một nhóm con H của G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu

∀x ∈ G, với mọi a ∈ H, xax−1 ∈ H, và kí hiệu H / G

Mệnh đề 1.1.1.19 [6] Giả sử H là một nhóm con của một nhóm

G Các điều kiện sau là tương đương:

i) H là nhóm con chuẩn tắc trong G

ii) Tập thương G/H cùng với phép toán hai ngôi: (xH, yH) 7→ xyH

là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên nhóm con chuẩn tắc H.Mệnh đề 1.1.1.22 [4] Cho G là một nhóm Tập hợp

Z(G) = {g ∈ G/gs = sg, ∀s ∈ G}

là một nhóm con giao hoán và chuẩn tắc của G.

Định nghĩa 1.1.1.23 Cho một nhóm G, nhóm con Z(G) được gọi

là tâm của nhóm G

Mệnh đề 1.1.1.24 [7] Cho G là một nhóm và H là một nhóm concủa tâm Z(G) Khi đó nếu G/H là nhóm cyclic thì G là nhóm giao hoán.Định nghĩa 1.1.1.25 [4] Cho x, y là hai phần tử của một nhóm

G Kí hiệu [x, y] = x−1y−1xy ∈ G và gọi là giao hoán tử của x với y.Định nghĩa 1.1.1.26 Cho G là một nhóm Nhóm con sinh ra bởicác giao hoán tử [x, y], ∀x, y ∈ G, kí hiệu [G, G], và được gọi là nhóm congiao hoán tử của nhóm G

Mệnh đề 1.1.1.27 [4] Cho G là một nhóm, khi đó [G, G] / G.Mệnh đề 1.1.1.28 [7] Cho H là một nhóm con của G thỏa mãnđiều kiện [G : H] = 2 Khi đó H / G

Định lý 1.1.1.29 [6](Định lý Lagrange) Giả sử G là một nhómhữu hạn và H là một nhóm con bất kỳ của G Khi đó |G| là một bộicủa |H|

Hệ quả 1.1.1.30 [6] Cấp của một phần tử tùy ý của một nhómhữu hạn G là ước của cấp của G

Hệ quả 1.1.1.31 [6] Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều làcyclic và được sinh ra bởi một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập củanhóm

Mệnh đề 1.1.1.32 [4] Cho X là một tập khác rỗng, kí hiệu S(X)

là tập gồm tất cả các song ánh từ X đến X Tập S(X) với phép hợp thànhcác ánh xạ là một nhóm

Định nghĩa 1.1.1.33 Nhóm S(X) được gọi là nhóm đối xứng trên

tập X hay nhóm các phép thế của X.

Đặc biệt khi tập X = {1, 2, , n} thì nhóm đối xứng của S(X) được

kí hiệu Sn và gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử

Mệnh đề 1.1.1.34 [4] Nhóm Sn có n! phần tử

Mệnh đề 1.1.1.35 [4] Một nghịch thế của phép thế α ∈ Sn, n > 2,

là một cặp phần tử {i, j} ⊂ {1, 2, , n} sao cho (i − j) (α(i) − α(j)) < 0.Định nghĩa 1.1.1.36 [4] Ta gọi một phép thế α là phép thế chẵnhay lẻ tùy theo số các nghịch thế của α là số chẵn hay số lẻ

Mệnh đề 1.1.1.37 [4] Tập gồm tất cả các phép thế chẵn trên tập{1, 2, , n} là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm Sn, và được ký hiệu

x1 7→ x2, x2 7→ x3, , xk−1 7→ xk, xk 7→ x1

Nó được gọi là một xích với độ dài k trên tập nền {x1, x2 , xk}

(b) (x1, , xk) được gọi là một xích của phép thế α ∈ Sn nếu α tácđộng giống như (x1, x2, , xk) trên các phần tử x1, x2 , xk (α có thể tácđộng không tầm thường trên các phần tử khác x1, , xk)

Định lý 1.1.1.40 [4] Mọi phép thế α ∈ Sn đều là tích của tất cảcác xích khác nhau của nó Các tập nền của các xích này là các tập conrời nhau của tập {1, 2, , n}

Ví dụ 1.1.1.41 [4] Phép thế α = 

1 2 3 4 5 6

4 1 6 2 5 3

 ∈ S6 cóthể viết thành tích của 3 xích

nó Khi đó, tất cả các phép đối xứng của Pn (tức là các biến đổi đẳng cựcủa mặt phẳng biến Pn thành chính nó) được liệt kê như sau:

1, a, a2, , an−1, b, ab, , an−1b

Chúng lập thành một nhóm không giao hoán cấp 2n, kí hiệu Dn, và đượcgọi là nhóm Dihedral Nhóm Dn có thể biểu thị như sau

Dn = Da, b/an = 1, b2 = 1, (ab)2 = 1E.(b) Nhóm D3 các phép đối xứng của tam giác đều P3 có thể đồngnhất với nhóm đối xứng S3 trên 3 đỉnh của P3 Nói rõ hơn, ta có đẳngcấu nhóm D3 ∼= S

3, đẳng cấu này đặt tương ứng a → (1, 2, 3), b → (1, 2)

Ở đây phép thế (1, 2, , k) ∈ Sn với k 6 n được định nghĩa như ánh xạ

1 7→ 2, 2 7→ 3, , (k − 1) 7→ k, k 7→ 1 và giữ nguyên mọi j > k

Nếu n 6= 3 thì Dn 6= Sn, vì chúng có số phần tử khác nhau

Định nghĩa 1.1.1.44 [10](Nhóm quaternion tổng quát) Cho

n ∈ N, n > 2 Nhóm quaternion tổng quát, kí hiệu Qn, là nhóm được sinhbởi hai phần tử a, b và các quan hệ như sau:

Qn = Da, b/a2n−1 = 1, a2n−2 = b2, bab−1 = a−1E,nhóm Qn không giao hoán và có 2n phần tử, nó có duy nhất một nhómcon cấp 2 là Z(Qn)

Khi n = 3, ta có nhóm quaternion Q8 quen biết

Q8 = a, b/a4 = 1, a2 = b2, bab−1 = a−1.1.1.2 Một số kết quả về p - nhóm hữu hạn

Định nghĩa 1.1.2.1 [4] Giả sử p là một số nguyên tố

i) Nhóm H được gọi là một p - nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừacủa p

ii) Nhóm H được gọi là một p - nhóm con của G nếu H vừa là mộtnhóm con của G vừa là một p - nhóm

iii) Nhóm H được gọi là một p - nhóm con Sylow của G nếu H làmột p - nhóm con của G và |H| = pn là lũy thừa cao nhất của p chiahết |G|

Định nghĩa 1.1.2.2 Cho G là một nhóm, A và B là hai nhóm concủa G và x, y ∈ G

i) Phần tử y được gọi là liên hợp với x nếu tồn tại z ∈ G sao cho

y = zxz−1 Tập hợp gồm tất cả các phần tử liên hợp với x được gọi làlớp liên hợp của x và được kí hiệu là cl(x)

ii) Nhóm con B được gọi là liên hợp với nhóm con A nếu tồn tại

z ∈ G sao cho B = zAz−1, trong đó zAz−1 = zAz−1/a ∈ A

Định lý 1.1.2.3 [7](Định lý Sylow thứ nhất) Giả sử G là một nhómhữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết |G| Khi đó tồn tại một p -nhóm con Sylow của G.

Định lý 1.1.2.4 [7](Định lý Sylow thứ hai) Giả sử G là một nhómhữu hạn Khi đó, mọi p - nhóm con của G đều chứa trong một p - nhómcon Sylow của G

Hệ quả 1.1.2.6 [11] Giả sử H là một p - nhóm con Sylow của mộtnhóm G, khi đó

H  G ⇔ sp = 1

Định lý 1.1.2.7 [7] Nếu G 6= {1} và G là p - nhóm, thì nhóm contâm Z(G) không tầm thường

Định lý 1.1.2.8 [7] Với p là số nguyên tố thì mọi nhóm có cấp p2đều là nhóm giao hoán

Như vậy Z(G) = G Do đó, G là nhóm giao hoán.

chuẩn tắc của G thỏa mãn điều kiện HK = G và H ∩ K = {1} Khi đó

Định nghĩa 1.1.3.7 [7] Cho G là một nhóm, với hai nhóm con H

và K thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) hk = kh, ∀h ∈ H, k ∈ K

ii) ∀g ∈ G, g có biểu diễn duy nhất dưới dạng g = hk, h ∈ H, k ∈ K.Khi đó G được gọi là tích trực tiếp trong của hai nhóm con H và K.Định lý 1.1.3.8 [7] Nếu G là tích trực tiếp trong của hai nhómcon H và K thì G ∼= H × K

Định lý 1.1.3.9 [11] Cho n là số nguyên dương, lẻ và lớn hơn 2.Khi đó, nhóm dihedral D2n đẳng cấu nhóm Dn× C2

Chứng minh

Nhóm D2n có biểu diễn là

D2n = a, b/a2n = b2 = 1, bab = a−1.Xét tập hợp

Ta có (a2)n = 1, b2 = 1 và ba2b = (a2)−1 Nên H là nhóm con của

D2n đẳng cấu với Dn Vì [D2n : Dn] = 2 nên Dn / D2n Xét Z = {1, an}thì Z / D2n và vì n lẻ nên an ∈ H Vậy H ∩ Z = {1} , HZ = D/ 2n và

H / D2n, Z / D2n Do đó theo Hệ quả 1.1.3.5 thì D2n ∼= H × Z hay

D2n ∼= D

n× C2

Định lý 1.1.3.10 Cho G là một nhóm và H, K là hai nhóm concủa G thỏa mãn các điều kiện H ∩ K = {1} , hk = kh, ∀h ∈ H, k ∈ K.Khi đó HK là nhóm con của G đẳng cấu với H × K

Định lý 1.1.3.11 [4] Giả sử ϕ : G → H là một đồng cấu nhóm,

K là một nhóm con chuẩn tắc của G và πK : G → G/K là phép chiếuchính tắc Điều kiện cần và đủ để có một đồng cấu nhóm ϕ0 : G/K → Hsao cho ϕ = ϕ0 ◦ πK là K ⊂ Kerϕ Khi đó, ϕ0 được xác định duy nhất.1.2 TỰ ĐẲNG CẤU NHÓM

1.2.1 Nhóm các tự đẳng cấu

Mệnh đề 1.2.1.1 [4] Giả sử G là một nhóm Gọi Aut(G) là tậphợp tất cả các đẳng cấu nhóm từ G vào chính nó Khi đó, Aut(G) là mộtnhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ

Phần tử đơn vị của nhóm này là tự đẳng cấu đồng nhất 1G : G → Gvới 1G(x) = x, ∀x ∈ G Nghịch đảo của đẳng cấu α ∈ Aut(G) chính làđẳng cấu ngược α−1 ∈ Aut(G)

Định nghĩa 1.2.1.2 [4] Nhóm Aut(G) trong mệnh đề trên đượcgọi là nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G

1.2.2 Nhóm các tự đẳng cấu của một số nhóm hữu hạnĐịnh lý 1.2.2.1 [2] Cho Cn là nhóm cyclic cấp n sinh bởi phần tử

a Khi đó nhóm các tự đẳng cấu của Cn là nhóm giao hoán và được xácđịnh như sau

Aut(Cn) = {ϕ/ϕ : Cn → Cn là đồng cấu và ϕ(a) = ak, k ∈ N, (k, n) = 1 .Mệnh đề 1.2.2.2 [1] Nhóm tự đẳng cấu của nhóm cyclic cấp p,với p là một số nguyên tố, là nhóm cyclic cấp p − 1

Hệ quả 1.2.2.3 [1] Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm cyclic cấp 3

là nhóm cyclic cấp 2 Nếu C3 = hai thì Aut(C3) =< ϕ/ϕ2 = id >, với ϕ

là tự đẳng cấu của C3 được xác định bởi ϕ(a) = a2, ∀a ∈ C3

Hệ quả 1.2.2.4 [1] Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm cyclic cấp 4

là nhóm cyclic cấp 2 Nếu C4 = hai thì Aut(C4) có hai phần tử xác địnhbởi bảng sau:

Định lý 1.2.2.7 [4] Nếu p là số nguyên tố thì cấp của nhómGL(2,Zp) là:

|GL(2,Zp| = (p2 − 1)(p2 − p)

Mệnh đề 1.2.2.8 [1] Nhóm các tự đẳng cấu Aut(C2× C2) là nhómdihedral D3 Nếu C2 × C2 = {1, b, c, bc} thì Aut(C2 × C2) có 6 phần tửđược xác định bởi bảng sau

ϕ4 c bc

Nhận xét 1.2.2.9 [1] Trong nhóm Aut(C2×C2) của mệnh đề trên,

ta có ϕ4 = ϕ2ϕ5ϕ−12 nghĩa là ϕ4 và ϕ5 liên hợp nhau

Định lý 1.2.2.10 [4] Giả sử A là một nhóm giao hoán hữu hạnvới cấp của A là |A| = pt1

1 pt2

2 ptk

k trong đó p1, p2, , pk là các số nguyên

tố đôi một khác nhau và ti ∈ N Khi đó:

A ∼= A(p1) × A(p2) × × A(pk), với |A(pi)| = pti

i , i = 1, 2, , k.Định lý 1.2.2.11 [4] Mỗi p - nhóm giao hoán đều đẳng cấu vớimột tích của các p - nhóm cyclic Hai phân tích như thế chỉ có thể khácnhau ở thứ tự của các nhân tử

CHƯƠNG2 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kháiniệm, tính chất của tích nửa trực tiếp của hai nhóm và áp dụng để xâydựng và phân loại một số lớp nhóm Nội dung của chương này được thamkhảo từ các tài liệu: [1], [4], [7], [8], [9], [10], [11], [12]

2.1 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP

2.1.1 Tích nửa trực tiếp ngoài

Mệnh đề 2.1.1.1 [8] Cho hai nhóm H, K và θ : K → Aut(H) làmột đồng cấu nhóm Khi đó tập hợp {(h, k)/h ∈ H, k ∈ K} với phép toánxác định bởi

(h, 1K) với h ∈ H và (1H, k) với k ∈ K Suy ra H ∩ K = {1G}.

Ta có: Aut (C4) = {1C3, α} với α được xác định α(a) = a−1 Suy ra

có hai đồng cấu từ nhóm K lên nhóm các tự đẳng cấu Aut(H) là