Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA

I Lý thuyết

HÀM SỐ BẬC BA : y ax 3bx2cx d

1 Tập xác định: D

2 Đạo hàm: y' 3ax 22bx c ,   b23ac

  0: Hàm số có 2 cực trị

  0: Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên

3 Đạo hàm cấp 2: y'' 6ax 2b  , y'' 0 x b

3a

   

b

x

3a

  là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

4 Giới hạn: Nếu a 0 thì:

xlim y ; lim yx

     

Nếu a 0 thì:

xlim y ; lim yx

     

5 Bảng biến thiên và đồ thị:

Trường hợp a 0 :

*   b23ac 0 : Hàm số có 2 cực trị

*   b23ac 0 y  0, x : Hàm số luôn tăng trên

Trường hợp a 0 :

*  b23ac 0 : Hàm số có 2 cực trị

*   b23ac 0 y  0, x : Hàm số luôn giảm trên

Một số tính chất của hàm số bậc ba

1 Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:   b23ac 0

b 3ac 0

 



 





b 3ac 0

 



  



4 Để tìm giá cực trị ta lấy f(x) chia cho f (x) : f(x) f (x).g(x) rx q   

Nếu x ,x1 2 là hai nghiệm của f (x) thì: f(x ) rx1  1q; f(x ) rx2  2q

Khi đó đường thẳng đi qua các điểm cực trị là y rx q 

5 Đồ thị luôn có điểm uốn I và là tâm đối xứng của đồ thị

6 Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  hàm số có hai cực trị trái dấu nhau

7 Đồ thị cắt Ox tại hai điểm phân biệt  đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên Ox

8 Đồ thị cắt Ox tại một điểm  hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị cùng dấu

9 Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn Cho M (C)

* Nếu M I thì ta có đúng một tiếp tuyến đi qua M và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất ( nếu a 0 ), lớn nhất (nếu a 0 )

* Nếu M khác I thì có đúng 2 tiếp tuyến đi qua M

Ví dụ 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số:

1 y x33x24 2 y x33x2 3 y 1x3 2x2 4x

3

Lời giải

1 Tập xác định : D

 Chiều biến thiên :

o y  3x26x 3x x 2 ;   y   0 3x x 2    0 x 0 hoặc x 2

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0 và 2 ;, đồng biến trên khoảng 0 ; 2 

Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 0

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0  4

o Giới hạn của hàm số tại vô cực :

xlim y ; lim yx

     

 Bảng biến thiên :

x  0 2 +

y'  0 + 0 

y + 0

4 

 Đồ thị : o Cho x   1 y 0; x 3   y 4 2 Tập xác định : D  Chiều biến thiên: o 2  

y  3x 6x 3x x 2 ; y   0 3x x 2    0 x 0 hoặc x 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0 và 2 ;, đồng biến trên khoảng 0 ; 2

Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 4

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 0

o Giới hạn của hàm số tại vô cực:

xlim y ; lim yx

     

Bảng biến thiên:

 Đồ thị :

Cho x   1 y 4; x 3  y 0

3 Tập xác định: D

 Chiều biến thiên:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

xlim y ; lim yx

     

 Ta có: 2  2

y' x 4x 4  x 2   0 , x Hàm số đồng biến trên khoảng  ; ,

hàm số không có cực trị

 Bảng biến thiên:

 Đồ thị : Cho x 0  y 0

Ví dụ 2 Cho hàm số y    x3 3x2 1 có đồ thị ( C )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số;

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A 3;1  

Lời giải

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

 Tập xác định: D

 Chiều biến thiên :

y' 3x 6x 3x x 2

y' 0  3x x 2    0 x 0 hoặc x 2

y  0 x 0 ; 2 ; y    0 x  ; 0  2 ;

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 0 và 2 ;, đồng biến trên khoảng 0 ; 2

Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 5 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 1.

o Giới hạn của hàm số tại vô cực :

xlim y ; lim yx

     

o Bảng biến thiên:

x  0 2 +

y'  0 + 0 

y + 5

1 

o Đồ thị : Cho x = 1  y = 5; x = 3  y = 1 2 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A 3 ; 1 có dạng :         y 1 y 3 x 3      y 9 x 3    1 y 9x 28 II Bài tập Bài 1 Cho hàm số yx33x2mx 4 , trong đó m là tham số 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m 0 ; 2 Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 Lời giải 1 Khi m 0 thì hàm số là : yx33x24  Tập xác định: D  Chiều biến thiên: o Giới hạn của hàm số tại vô cực: xlim y ; lim yx       o Bảng biến thiên: + 2   y 3x 6x 3x x 2  ,y  0 3x x 2    0 x 0 hoặc x 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2 và 0 ;, nghịch biến trên khoảng 2 ; 0 Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2; giá trị cực đại của hàm số là y  2 0 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0  4 o Giới hạn của hàm số tại vô cực : xlim y ; lim yx       o Bảng biến thiên: x  2 0 +

y' + 0  0 

y 0 +

 4

 Đồ thị :

Cho x    3 y 4 ; x 1  y 0

2 Hàm số yx33x2mx 4 đồng biến trên khoảng ; 0

2

y 3x 6x m 0 , x ; 0

Xét: g x 3x26x m , x   ; 0

g x 6x 6 g x    0 x 1

Bảng biến thiên :

x  1 0

g'(x)  0 +

g(x) + m

3 – m

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: y' g x  3x26x m 0 , x     ; 0  3 m 0 m 3 Vậy khi m 3 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn Bài 2 Cho hàm sốy2x39x212x 4 có đồ thị  C 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số; 2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x39x212 x m Lời giải + Bảng biến thiên: x  1 2 +

y' + 0  0 +

y 1 +

 0

+ Đồ thị :

2 Ta có: 2 x39x212 x m 2 x39x212 x  4 m 4

Gọi  C : y 2x 39x212x 4 và   3 2

C' : y 2 x 9x 12 x 4

Ta thấy khi x 0 thì:  C : y 2x  39x212x 4

Mặt khác hàm số của đồ thị (C’) là hàm số chẵn nên (C’) nhận Oy là trục đối xứng Từ đồ thị (C) ta suy ra

đồ thị (C’) như sau:

o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được  C1

o Lấy đối xứng qua trục Oy phần C1 , ta được C2

o      C  C1  C2

Số nghiệm của phương trình:

2 x 9x 12 x m

2 x 9x 12 x 4 m 4

là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng  d : ym 4

Từ đồ thị (C’), ta thấy yêu cầu bài toán

 0 m 4 1   4 m 5

Bài 3 Cho hàm số yx3mx22 có đồ thị là  Cm ,m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C khi m 3

2 Tùy theo k giải và biện luận phương trình: x33x2 k 0

3 Gọi A và B là hai điểm cực trị của  C , tìm điểm M trên  C sao cho tam giác MAB cân tại M

4 Tìm m để đồ thị hàm số  Cm cắt trục hoành tại điểm duy nhất

Lời giải

 Hàm số đã cho xác định trên

 Ta có: 2  

y' 3x 6x 3x x 2  và y' 0  x 0 hoặc x 2

 Giới hạn:

xlim y

   và

xlim y

  

 Bảng biến thiên:

x  0 2 

y'  0  0 

y

2 

 2 Hàm đồng biến trên mỗi khoảng; 0 và2;, nghịch biến trên  0; 2

Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 với giá trị cực đại của hàm số là y 0 2 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x 2 với giá trị cực tiểu của hàm số là y 2  2

 Đồ thị

 Điểm uốn: : y'' 6x 6  và y" 0  x 1

Ta thấy y " đổi dấu khi x qua điểm x 1

Vậy I 1; 0 là điểm uốn của đồ thị  

 Giao điểm của đồ thị với trục tọa độ

Giao điểm của đồ thị với trục Oy là điểm 0; 2

Đồ thị cắt Ox tại ba điểm  1; 0 ,1 3; 0

 Chọn x 3  y 2, x    1 y 2

Nhận xét: Đồ thị nhận I 1; 0 làm tâm đối xứng

2 x33x2  k 0 x33x2  2 k 2, đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C' :

y x 3x 2 và đường thẳng  d : y k 2   số nghiệm của phương trình cho chính là số giao điểm

của hai đồ thị  

 

y x 3x 2 C'

y k 2 d





 

y

2

2

-2

3

x

-1

 k 2     2 k 0 d không cắt đồ

thị  C' nên phương trình cho vô

nghiệm

     

  cắt  C' tại

hai điểm phân biệt nên phương trình

cho có hai nghiệm phân biệt

 k 2 2    k 4 d cắt  C' tại ba

điểm phân biệt nên phương trình cho

có ba nghiệm phân biệt

        2 k 2 2 0 k 4 d cắt

 C' tại bốn điểm phân biệt nên

phương trình cho có bốn nghiệm phân

biệt

3 Giả sử A 0; 2  và B 2; 2  là hai điểm cực trị của  C

Tam giác MAB cân tại MMA MB và M,A,B không thẳng hàng

MA MB M thuộc trung trực AB : x – 2y – 1  0

Tọa độ M thỏa nghiệm hệ phương trình:

y x 3x 2

x – 2y – 1 0







x 1 2x 4x 5 0 M 1 ;

Loại M 1; 0 vì   M,A, B thẳng hàng

4 Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  Cm với trục Ox :

x

Xét hàm số   2 2

f x x

x

  Ta có:   22

f ' x 2x

x

  và f ' x   0 x 1 Lập bảng biến thiên suy ra m 3  m 3 là những giá trị cần tìm

Cách 2: Để đồ thị hàm số  Cm cắt Ox tại duy nhất một điểm ta có các trường hợp sau:

TH 1: Đồ thị hàm số  Cm không có cực trị hay là hàm số  Cm luôn đồng biến (do a 1 0  ) trên

2

y' 3x m 0 x m 0

TH 2: Đồ thị hàm số  Cm có hai cực trị cùng dấu

x

y

_

2

2

_

- 2

2

2 m m

        với m 0

Hai giá trị cực trị là: y1 2 2m m,

3

1 2

4m

27

Vậy m 3 là những giá trị cần tìm

Bài 4: Cho hàm số y x33x29x 1 có đồ thị là  C

1 Tìm m để đường thẳng d : ym 2m 1 x 1   cắt đồ thị  Cm tại ba điểm phân biệt A 0; 1 , B,C   sao cho

BC 82

2 Tìm những điểm nằm trên  C mà qua đó vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến  C

Lời giải

1 x33x29x 1 2m 1 x 1    x 0 hoặc x23x 2m 10 0     

Đường thẳng dm cắt  C tại ba điểm phân biệt    có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2khác 0

49

49 8m 0 m

8 2m 10 0

m 5



1 2

BC 1 2m 1  x x  4m 4m 2 49 8m 

BC 82 2m 2m 1 49 8m  41

8m 57m 53m 4 0   m 1 8m 49m 4 0 m 1,m 49 2273

16



2 Gọi A a; a  33a29a 1   C

Phương trình tiếp tuyến  tại M x ; y 0 0 có phương trình

y 3x 6x 9 x x x 3x 9x 1

A a 3a 9a 3x 6x 9 a x x 3x 9x 0

a x a 2x 3 0 a x ,a 3 2x

         Để từ A vẽ đến  C đúng một tiếp tuyến thì ta phải có

x  3 2x x  1 A 1;10

Bài 5 Cho hàm số y x33x2mx 4 , trong đó m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m 0

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;

3 Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Lời giải

2 Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;khi và chỉ khi

 

y' 3x 6x m 0, x 0    m 3x 6x f x

Hàm số   2

f x 3x 6x liên tục trên 0;

Ta có f ' x 6x 6 0, x 0    và f 0 0 Từ đó ta được : m 0

3 Giả sử đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm có hoành độ x ,x ,x1 2 3 theo thứ tự đó lập thành cấp số

cộng, suy ra x1x32x2 và x ,x ,x1 2 3 là nghiệm của phương trình:x33x2mx 4 0    Nên ta có:

x 3x mx 4  x x x x x x

           thay vào   ta có được m 2 

m 2   x 3x 2x 4 0    x 1,x  1 5

Ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí