PHÁT TRIỂN đề MH 2022 câu 46 50

Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng P là tam giác SAB vuông cân tại S.. Xét tam giác HAO vuông tại H, ta có : Xét hình nón đỉnh S có chiều cao h=SO=2a... Một mặt phẳng qua S tạo v

PHÁT TRIỂN ĐỀ MH – BGD

CÂU 46-50

Câu 46: (TK-2022) Trong không gian Oxyz, cho điểm A − −( 4; 3;3) và mặt phẳng ( )P :x+ + =y z 0

Đường thẳng đi qua A , cắt trục Oz và song song với ( )P có phương trình là

Gọi  là đường thẳng cần tìm; mặt phẳng ( ) có một vectơ pháp tuyến là n(1;1;1)

Giả sử M là giao điểm của  với trục Ox M a( ;0;0 )

Khi đó,  có một vectơ chỉ phương là AM a − −( 1; 3;1)

Gọi  là đường thẳng cần tìm; mặt phẳng ( )P có một vectơ pháp tuyến là n(1; 2;1− )

Giả sử M là giao điểm của  với trục Oy M(0; ;0 b )

Khi đó,  có một vectơ chỉ phương là AM(1;b −2;3)

Chọn u1(1;1;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tham số là:

112

( )P :x+ + − =y z 7 0 và cắt d d lần lượt tại 1, 2 A B, sao cho AB ngắn nhất Phương trình đường thẳng  là:

x y z

65292

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là: u = d (1;1; 2)

Gọi giao điểm của đường thẳng  và d là B

Vì B thuộc đường thẳng d nên tọa độ của B có dạng: B(1+t t; ; 1 2− + t) Ta có

Đường thẳng  đi qua điểm A(1;0; 2) và có véc tơ chỉ phương là AB =(1;1; 1− nên có )

phương trình tham số:

102

Gọi  là đường thẳng cần tìm,  cắt d tại B Do 2 B d2 B(3 2 ;3+ t +t;0)

Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là AB= +(1 2 ; 2t + −t; 1), d có vectơ chỉ phương 1

là u =1 (1;0; 1− )

Ta có  ⊥ d1 AB u⊥ 1 AB u 1 =  +0 1 2t+ + =  = − Suy ra 0 1 0 t 1 AB = −( 1;1; 1− ) Đường thẳng  cần tìm đi qua B(1; 2;0)và có VTCP là u =(1; 1;1− )nên có phương trình

Đường thẳng  đi qua điểm M(2;1;1) nên T =2.1 1 3+ =

Câu 46.7 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 4; 5− − và các đường thẳng )1

Ta có đường thẳng d đi qua điểm 1 C −( 4; 4; 2) và có một véc tơ chỉ phương u = −1 ( 5; 2;3)

và phương trình tham số của nó là:

Đường thẳng d đi qua điểm 2 D(1; 2; 5− và có một véc tơ chỉ phương ) u = −2 ( 1;3; 2− và )

phương trình tham số của nó là

Mặt phẳng ( )Q có một véc tơ pháp tuyến là u DM2,  = − − ( 12; 4;0)= −4 3;1;0( ) nên nó

song song với ( )P , cắt a và b lần lượt tại M và N sao cho MN = 2

Phương trình tham số của đường thẳng d :

( )P : 2x− +y 2z+ = và 8 0 A(1; 1; 2− ) Đường thẳng  cắt d và ( )P lần lượt tại M và N sao cho

Vậy  đi qua A(1; 1; 2− ) và nhận AM =(6;5; 4)làm VTCP nên có phương trình:

mặt phẳng ( )P : x−2y+2z− =5 0 Gọi  là đường thẳng đi qua điểm A, cắt đường

sau đây?

A 2x−3y−3z+10=0 B. 3x+2y+3z−13=0

C. 2x+3y−3z− =2 0 D. 3x−2y+3z− =5 0

Lời giải Chọn C

Mặt phẳng ( )P có một vector pháp tuyến n =(1; 2; 2− )

Gọi B là giao điểm của  và d  B(2+ − +t; 1 3 ;3 2t + t) AB= − + − +( 2 t; 3 3 ; 1 2t − + t)

Do / / P( ) nên ta có: AB n = 0 1(− + − − +2 t) (2 3 3t) (+ − +2 1 2t)=0  t =2

 B(4;5;7)

Dễ thấy B( )P nên  là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

Thay tọa độ A và B vào các đáp án thấy A và B thuộc mặt phẳng 2x+3y−3z− =2 0

Mặt phẳng ( )P có một vector pháp tuyến n =(1;3; 2− )

Gọi B là giao điểm của  và d  B(2 2 ; 2 ; 2 3+ t t + t) AB= +(1 2 ;1 2 ;1 3t + t + t)

Do // P( ) nên ta có: AB n = 0 1 1 2( + t) (+3 1 2+ t) (−2 1 3+ t)=0 t = −1

 AB = − −( 1; 1; 2− )

Dễ thấy B( )P nên  là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

Đường thẳng  có một vector chỉ phương u =(1;1; 2)

Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song

với ( )P ; cắt d d , và tạo với d góc 30 Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó

Gọi  là đường thẳng cần tìm, n P là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P

Gọi M(1+t t; ; 2 2+ t) là giao điểm của  và d ; M(3−t;1+t;1 2− t) là giao điểm của 

và d

Ta có: MM= − −(2 t t; 1+ − − −t t; 1 2t−2t)

( )//

t t

Câu 46.15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A −( 1;0; 1− ), cắt

Câu 47: (TK-2022) Cho khối nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2 3a Gọi A và B là hai điểm

bằng 2a , thể tích của khối nón đã cho bằng

A 15a3 B 6a3 C 45a3 D 3

135a

Lời giải Chọn A

Xét hình nón đỉnh S có chiều cao h=SO=3a

Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng ( )P là tam giác SAB vuông cân tại S

Tam giác SAB vuông cân tại Snên suy ra HA=HB=HS=2a 3

Xét tam giác HAO vuông tại H, ta có :

Xét hình nón đỉnh S có chiều cao h=SO=2a

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S

+ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB Trong tam giác SOI, kẻ OH ⊥SI, HSI

2

77

37

Câu 47.3: Cho hình nón đỉnh S tâm đường tròn đáy là O Một mặt phẳng qua S tạo với mặt đáy

của hình nón một góc 60 cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều SAB cạnh 2a Thể tích V khối nón bằng

A.

3

118

a

=

Lời giải Chọn D

Ta có (SAB) giao với mặt đáy theo giao tuyến là AB

Gọi I là trung điểm AB

Khi đó: SI =a 3 (do SAB đều cạnh 2a ) và OI ⊥AB nên SIO =60

Câu 47.4: Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên

mặt cầu Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính

3

32max

Cách 2

.3

S

O

Ta có ( ) ( 2) ( )

01

Câu 47.5: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O Dựng hai đường sinh SA và SB, biết

4a Góc tạo bởi trục SO và mặt phẳng (SAB)

bằng 30  Thể tích của hình nón bằng

A.

3

156

a

3

5 33

a

3

153

a

3

5 23

a

Lời giải Chọn B

Gọi M là trung điểm của AB, kẻ OH ⊥SM OH ⊥(SAB)

Câu 47.6: Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO Gọi A B, là hai điểm thuộc đường tròn đáy của

hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO= 30 ,SAB=  Diện tích 60

Gọi H là trung điểm của AB thì OH ⊥ABd O AB( ; )=OH = a.

Câu 47.7: Cho khối nón đỉnh S có bán kính đáy bằng a Gọi A và B là hai điểm thuộc đường

tròn đáy sao cho AB=a 3 Biết diện tích tam giác SAB bằng a2, thể tích của khối nón

đã cho bằng:

A.

3

633

Lời giải Chọn B

Gọi O là tâm đường tròn đáyOA=OB=a

SAB

33



18 a

Câu 47.8: Cho khối nón đỉnh S có đường cao bằng 2a Mặt phẳng ( )P đi qua đỉnh S nhưng

không chứa trục của nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho AB=4a Biết mặt phẳng ( )P tạo với đáy nón một góc 60, thể tính của khối nón đã cho bằng

A.

3

329

a



Lời giải Chọn A

Gọi O là tâm đường tròn đáySO=2a

a a

Câu 47.9: Cho khối nón đỉnh S có bán kính đáy bằng a 3 và thể tích khối nón bằng 2 a Gọi 3

A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB=a 6 Khoảng cách từ tâm

Gọi H là trung điểm của đoạn AB





= =2a Xét tam giác SHO vuông tại O đường cao OK ta có:

SO OH OK

4

a a a a

=

+

2 3311

a

Câu 47.10: Cho khối nón đỉnh S có đường cao bằng 2a; SA, SB là hai đường sinh của nón

giác SAB bằng 2a2 Tính bán kính đáy của hình nón?

Gọi O là tâm đường tròn đáy SO=2a

Kẻ OK⊥SH (KSH)

Ta có:

a a

Theo đề: tồn tại ít nhất bốn số nguyên b  −( 10;10) , ta xét:

Vậy có 5 giá trị nguyên a thỏa mãn đề bài

Câu 48.2 Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất bốn số nguyên

Chia cả hai vế cho 4b

Thử lại tất cả 7 giá trị nguyên trên đều thỏa mãn yêu cầu

Câu 48.3 Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất 9 số nguyên

Chia cả hai vế cho 3b, ta được

Thử lại tất cả 5 giá trị nguyên trên đều thỏa mãn yêu cầu

Câu 48.4 Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất 8 số nguyên

Chia cả hai vế cho 5b, ta được

Câu 48.5 Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất 8 số nguyên

Chia cả hai vế cho 5b, ta được

Thử lại, ta thấy được 6 giá trị 1; 0;1;2; 3; 4 thỏa mãn yêu cầu

Câu 48.6 Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất 8 số nguyên b 8; 8

thỏa mãn 4a2 2a 4 b 3b a 37

?

Lời giải Chọn C

Chia cả hai vế cho 4b

Thử lại, ta thấy tất cả 5 giá trị trên đều thỏa mãn yêu cầu

Câu 48.7 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số nguyên y thỏa

00,

Mà x nguyên nên x nhận các giá trị −57, 56, ,57,58−

Vậy có tất cả 116 số nguyên x thỏa yêu cầu bài toán

Câu 48.8 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( )x y; thỏa mãn điều kiện x 2022 và

Với y =1 có 26 x 2022 suy ra có 1997 cặp số ( )x y; thỏa mãn

Với y =2 có 242 x 2022 suy ra có 1781 cặp số ( )x y; thỏa mãn

Vậy có tất cả 3778 cặp số ( )x y; thỏa mãn đề bài

Câu 48.9 Xét các số ,a b là các số nguyên dương nhỏ hơn 2022 Biết rằng với mỗi giá trị của b

1

2a b+ + −2b a− loga+ b4b −1 Số giá trị b là

Lời giải Chọn C

1

2a b+ + −2b a− loga+ b4b − 1 2c−2−c logc b2b−2−b (1) +) b =1, không thỏa mãn (1)

độ là số nguyên, mà từ M kẻ được đến ( )S hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d ?

mà từ M kẻ được đến ( )S hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d ?

Lời giải Chọn A

Mặt cầu ( )S có I(1; 2; 2− , bán kính ) R =5

Vì MOy nên M(0; ; 0m )

mặt phẳng ( )P là 9x+ +y 4z− =m 0

Khi đó ( )P chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ M và cùng vuông góc với d

Để tồn tại các tiếp tuyến thỏa mãn bài toán điều kiện là

m m

nguyên, mà từ M kẻ được đến ( )S hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d ?

A. 18 B. 19 C. 16 D. 30

Lời giải Chọn B

Mặt cầu ( )S có tâm I(2; 3;3 ,− ) R=5

Ta có: MOyM(0; ;0a )

Gọi ( )P là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ M đến ( )S Khi đó ( )P đi qua M(0; ;0a )

, vuông góc với đường thẳng d, phương trình mặt phẳng ( )P là:

a a

do a  nên có 2 17 19+ = giá trị của thoả mãn

Câu 49.3: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;3; 0), B −( 3;1; 4) và đường thẳng

 và ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB Khi ( )N có thể tích nhỏ nhất thì tung độ đỉnh của khối nón ( )N bằng

Lời giải Chọn B

Mặt cầu đường kính AB có tâm I −( 1; 2; 2), bán kính 3

Gọi H r, lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của ( )N , C là đỉnh của ( )N

A 12 B 9 C 4 D 9

5

Lời giải Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I(1;0;1), bán kính R =5

Dễ thấy A nằm trong mặt cầu ( )S nên ( ) luôn cắt ( )S theo một đường tròn ( )C

x− =y− = z+

Gọi H là hình chiếu của I trên dH(3; 1; 1− − )

Gọi r là bán kính của đường tròn ( )C , ta có:

Điểm A nằm bên trong mặt cầu ( )S nên mặt phẳng ( ) luôn cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 25−h2, với h = d (1;0;1),(I mp( )  )

Ta có

2 2

Lời giải Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3)− và bán kính R =3 3

Vì ( ) : ax+by− + =z c 0 đi qua hai điểm A(0;0; 4),− B(2;0;0) nên c = −4 và a =2

Suy ra ( ) : 2 x+by− − =z 4 0

Đặt IH =x, với 0  x 3 3 ta có r= R2−x2 = 27−x2

Ta có:

2 2

Dễ thấy ( )1 có 2 nghiệm đơn (vì có 2 cực trị) và ( )2 có 3 nghiệm đơn

Vậy tổng số nghiệm đơn của phương trình ( ) ( ) ( )3 ; 4 ; 5 là 12 thì thỏa mãn

Các nghiệm trên được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau: a −    1 b 2 c

Câu 50.2: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm y = f( )x với mọi x  và có đồ thị như hình vẽ

60 -3

-4 -4

-4

+ +

+∞

0

c 2

b 1

a

∞

u u' x

nghiệm phân biệt khác 4 ( )*

Cách 1: ( )*

1616

18

m m

m m

Khi đó ( )*  , d1 d2 cắt ( )C tại bốn điểm phân biệt  −  −  m 16 m 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện

Câu 50.3: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( ) 2( ) ( 2 )

1

Lời giải Chọn B

x y

Ta thấy nghiệm của ( )1 nếu có sẽ khác 0 Nên x =0 là 1 cực trị của hàm số

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa đề là S = − 1;0;1; ; 2019 nên có 2021 giá trị m

Câu 50.4: Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm ( ) ( )2( 2 )

8

Lời giải Chọn B

m m m m

m nguyên dương và m 16 nên có 15 giá trị m cần tìm

Câu 50.5: Cho hàm số y= f x( )xác định và liên tục trên có ( ) 3 2 4

16 2

Câu 50.6: Cho hàm số y= f x( ) Hàm số y = f ( )x có đồ thị như hình vẽ dưới đây

x y

3 2

Do hàm số y = f x ( 2 + m ) là hàm chẵn nên hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi hàm số

f x +m đổi dấu khi x đi qua, do đó

Câu 50.7: Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị y= f( )x như hình vẽ

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên thuộc đoạn −10;10 của tham số m để hàm số

22

Điểm đặc biệt: y =' 0 hoặc y' không xác định

1212

2 0 (1)

x

x x

Để hàm số có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình (1) không có nghiệm đơn

x x

• Đặt g x( )= f (5 2− x), khi đó đồ thị đã cho là của g x( )

25

42

x x x

h x

x x

 =

+ =

x x x

cực trị của h x( ) Điều này tương đương với

Vậy có 26 giá trị m thỏa mãn

Câu 50.10: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên có ( 3) 8, (4) 9,

y = f x  và đường thẳng ( )d có 4 điểm chung có

1;2;3

vì khi x đi qua điểm 1 thì g x'( ) không đổi dấu

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Từ giả thiết ta thấy g(2)0; g(4)0, ( 3)g − 0 nên phương trình g x =( ) 0 có đúng 2 nghiệm (2)

Ta có

2'( ) 0 3

f x = có tất cả 9 nghiệm đơn nên hàm số y= f x( ) có tất cả 9 cực trị

Mặt khác ta có ( )f x là một đa thức bậc 16 có hệ số a 0 nên hàm số có đúng 5 điểm

cực tiểu

Vậy số cực tiểu là 5