cong-thuc-toan-lop-11

Giao điểm, nếu có, của hai đường thẳng này chính là điểm chung cần tìm Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương giao tuyến tức tìm trong hai mặt phẳng hai đường thẳng song

Trang 1

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack

TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 11

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trang 2

Trang 3

II CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

+) Công thức lượng giác cơ bản:

+) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

- Cung đối nhau:  và -

Trang 4

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack cot( − ) = -cot

⎯⎯→ cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot

+) Hai cung hơn kém

Trang 5

3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

+) Công thức cộng

cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb

cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb

sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb

sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan(a - b) = tan a tan b

1 tan a tan b

−+

tan(a + b) = tan a tan b

1 tan a tan b

+

−

+) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a

tan2a = 2 tan a2

1 tan a−

+) Công thức nhân ba

sin3a = 3sina - 4sin3a

cos3a = 4cos3a - 3cosa

Trang 6

sin a b sin a b

2 + − −  cosa.cosb = 1 ( ) ( )

cos a b cos a b

2 + + −  sina.sinb = 1 ( ) ( )

cos a b cos a b2

−  + − − 

+) Công thức biến đổi tổng thành tích:

Trang 7

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack sina + sinb = 2sina bcosa b

III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản

Trang 8

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack sin u 1 u k2

asin2x + bsinx + c = 0 t = sinx −   1 t 1

acos2x + bcosx + c = 0 t = cosx −   1 t 1

atan2x + btanx + c = 0 t = tanx

2



 + (k  )

acot2x + bcotx + c = 0 t = cotx x  k (k )

Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đó áp dụng phương trình cơ bản

Chú ý: cos 2x=2cos x 1 1 2sin x2 − = − 2 =cos x2 −sin x2

sin x2 = −1 cos x2

cos x2 = −1 sin x2

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

- Dạng phương trình: asinx + bcosx = c

- Điều kiện có nghiệm: a2 +b2 c2

- Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho 2 2

a +b , sau đó áp dụng công thức cộng để đưa về dạng phương trình cơ bản

4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinu và cosu

Trang 9

Chia 2 vế pt chocos u2 , giải pt theo tan u

Ghi chú: Có thể giải bằng cách dùng công thức hạ bậc đưa về dạng

a sin 2u+bcos 2u= c

5 Phương trình đối xứng, phản đối xứng

- Dạng phương trình chứa sinucosu và sinu cosu

Trang 10

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Công việc chia làm 2 trường hợp:

Trang 11

Số chia hết cho 10 : tận cùng là 0

Số chia hết cho 100 khi tận cùng là 00;25;50;75

Số chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3

Số chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9

Khi gặp bài tập số tự nhiên mà trong đó có liên quan số 0 nên chia trường hợp

Không gian mẫu: 

Số phần tử của không gian mẫu: n ( )

Trang 12

1 Xác suất của biến cố A: P(A) = ( )

CHƯƠNG III DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN

1 Phương pháp quy nạp toán học

Có nhiều cách để chứng minh một biểu thức P n( ) đúng Một trong những cách chính là qui nạp toán học:

Bước 1 Kiểm tra với n=1: P 1( ) đúng hay không

Bước 2 Giả sử với n=k : P k( ) đúng

Với n= + , ta chứng minh k 1 P k 1( + ) đúng

2 Dãy số

Trang 13

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Dãy số ( )un là hàm số đi từ N* đến R Có 3 cách xác định dãy số: cho số hạng tổng quát; mô tả; cho hệ thức truy hồi

3 Dãy số tăng - dãy số giảm

( )un bị chặn ( )un vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới  M : un M, n N *

Trang 14

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

I Giới hạn của dãy số

2 Tính chất (Áp dụng khi tồn tại limu n ; limv n )

1) lim u( n +vn)=limun +limvn

2) lim u v( n n)=limu limvn n

n

* n

limu

lim u vlimv a 0

= + 



=  

Trang 15

3 Cách tìm giới hạn dãy số:

- Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa luỹ thừa của n, ta chia

tử và mẫu cho n với k là số mũ cao nhất k

- Nếu biểu thức đã cho có chứa n dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với cùng một biểu thức liên hợp

II Giới hạn của hàm số

3) lim khi lim g 0

Trang 16

+) 0

0 0

(bằng + hay − ta phải xem dấu của L và coi g0 hay g0)

4 Giới hạn trái - giới hạn phải

+) Giới hạn bên trái,

Trang 17

1 Hàm số liên tục bên trái

f liên tục trái tại ( )

2 Hàm số liên tục bên phải

f liên tục phải tại ( )

0

x x 0

0

x x x x

lim f f x x

Trang 18

3 Đạo hàm bên trái - Đạo hàm bên phải

Đạo hàm bên trái: ( ) ( ) ( )

0

0 0

II Phương trình tiếp tuyến

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x0; y0) có phương trình là ( )d :y= y x( )(0 x−x0)+ y0

Trang 19

F : M M ' (biến M thành duy nhất một điểm M ), kí hiệu M =F M( )

Trang 20

PDH biến

{

3 điểm thẳng hàng ⟶ 3 điểm thẳng hàng (bảo toàn thứ tự)đường thẳng ⟶ đường thẳng; đoạn thẳng ⟶ đoạn thẳng bằng nó;tia ⟶ tia

tam giác ⟶ tam giác bằng nó;góc ⟶ góc bằng nó;đường tròn ⟶ đường tròn bằng nó

3 Phép tịnh tiến theo u, kí hiệu T u

u

T : M MMM= u

4 Phép đối xứng trục (ĐXTR) d , kí hiệu Đ d

d

Đ : M M  M;M đối xứng nhau qua d

5 Phép đối xứng tâm (ĐXT) I , kí hiệu Đ I

Trang 21

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack +) Phép đối xứng tâm I a;b( ) là x 2a x

9 Ảnh của đường thẳng d qua PTT; phép ĐXT; PQ; PVT

Giả sử F : d d ( F ở đây là T ;Đ ;Qu I ( ) I; ;V( ) I;k ) Lấy M x; y( )d Giả sử

Trang 22

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Xác định tâm I của đường tròn ( )C Tìm ảnh I của I qua PBH F

11 Tâm vị tự của hai đường tròn

Trang 23

CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG

1 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trang 24

( ) ( )

4 Cách xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng

Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng

Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng

phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng Giao điểm, nếu có, của hai đường thẳng này chính là điểm chung cần tìm

Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương giao tuyến (tức tìm

trong hai mặt phẳng hai đường thẳng song song với nhau)

5 Cách xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để tìm giao điểm của d và ( ) , ta tìm trong ( ) một đường thẳng a cắt d tại M Khi đó: M=  d ( )

M d

M dM

Trang 25

6 Thiết diện

Thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của ( ) với các mặt của hình chóp Như vậy, để tìm thiết diện ta lần lượt đi tìm giao tuyến của ( ) với các mặt của hình chóp

7 Chứng minh đường thẳng song song đường thẳng

Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng

minh song song trong hình học phẳng (đường trung bình; định lí Tales…)

Cách 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì

song song với nhau

Cách 3: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d và lần lượt chứa hai đường

thẳng song song thì giao tuyến của nó sẽ có 3 trường hợp:

( ) ( )

d

d a b

a b

d aa

d bb

Trang 26

Cách 4: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d , đường thẳng a nằm trong ( )

và song song với mặt phẳng còn lại thì sẽ song song với giao tuyến

( ) ( )

Cách 5: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d , đường thẳng a song song với

cả hai mặt phẳng thì sẽ song song với giao tuyến

( ) ( )

Trang 27

Cách 7: Ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt, thì 3 giao tuyến ấy

song song hoặc đồng quy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a

a b cb

a;b;c đong quyc

Cách 8: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song

song với nhau

( ) ( )

Trang 28

Cách 1: Chứng minh đường thẳng d không nằm trong ( ) và song song với đường thẳng a nằm trong ( )

Cách 2: Hai mặt phẳng song song với nhau, mọi đường thẳng nằm trong mặt này

sẽ song song với mặt kia

( ) ( ) ( ) a ( )

9 Chứng minh hai mặt phẳng song song

Cách 1: Chứng minh trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau và

song song mặt phẳng thứ hai, khi đó hai mặt phẳng song song với nhau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Cách 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song

song với nhau

Trang 29

( ) ( ) ( ) ( )

dd

 ⊥ 

 ⊥ 



CHƯƠNG III VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Cách 1: Hai đường thẳng vuông góc nếu như góc giữa chúng bằng 90

d

d aa

Trang 30

( ) ( )

2 Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Cách 1: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi chỉ khi đường thẳng

ấy vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng

Cách 2: Hai đường thẳng song song đường này vuông góc với mặt phẳng thì

đường kia cũng vuông góc mặt phẳng

Trang 31

d a

da



 ⊥ 

 ⊥ 



Cách 3: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì

vuông góc với mặt còn lại

Cách 4: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến

vuông góc với mặt phẳng thứ ba

( ) ( ) ( ) ( )

Trang 32

Cách 5: Hai mặt phẳng vuông góc, một đường nằm trong mặt này vuông với giao

tuyến thì vuông với mặt kia

( ) ( ) ( ) ( )

dd

3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

( ) ( ) ( ) ( )

dd

 ⊥ 

  ⊥ 

  



Trang 33

 ⊥ 

 ⊥ 

 Khi đó, ( ( ) ( )  =; ) ( )a;b

Cách 2:

Trang 34

Trang 35

d) Đoạn vuông góc chung – khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cách 1: (áp dụng cho trường hợp a⊥ ) b

Dựng ( ) chứa b , vuông góc với a tại A

Dựng AB⊥ tại B Khi đó, b d a;b( )=AB

Cách 2: Dựng mặt phẳng chứa b , song song với a Khi đó,

d a;b =AB=MH=d a; 

Tiêu đề	Tổng hợp công thức toán học lớp 11 đại số & giải tích
Trường học	VietJack
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	tài liệu

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	1,2 MB