cong-thuc-toan-lop-10

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai Nếu b chẵn ta dùng công thức nghiệm thu gọn... Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số... c Dấu

TỔNG HỢP CÔNG THỨC ĐẠI SỐ 10

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Các công thức về phương tình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0)

1 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:  =b2 −4ac

  : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2 Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Nếu b chẵn ta dùng công thức nghiệm thu gọn

4 Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai:

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:

1

2

cxa

5 Dấu của nghiệm số: ax 2 + bx + c = 0 (a 0)

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu: x1 < 0 < x2  P < 0

- Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: 0 < x1 < x2

+ Tính chất 2 (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng): a > b  a + c > b + c (cộng hai

vế của bất đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho)

Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c  a - c > b

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an

c) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

+) (a2 + b2)(x2 + y2)  (ax + by)2 a,b, x, y 

2 Các công thức về dấu của đa thức

a) Dấu của nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a 0) cùng dấu với hệ số a khi x > b

a

−, trái dấu

với hệ số a khi x < b

a

−

b) Dấu của tam thức bậc hai

f(x) = ax2 + bx + c (a0) Biệt thức  =b2−4ac

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

*) Các công thức về điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên

c) Dấu của đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3 Bắt đầu ô bên phải cùng dấu với hệ số

a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu

3 Các công thức về phương trình và bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối a) Phương trình

- Tần suất của lớp thứ i là i

i

nfn

Tần số(ni) n1 n2 n3 … ni … nk n Khi đó phương sai

CHƯƠNG 6 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

- Công thức đổi từ độ sang rad: a a

- Độ dài của một cung tròn: l = R

Trong đó, l là độ dài cung tròn

 là số đo cung

R là bán kính đường tròn

2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

+) sin và cos xác định với mọi 

tan xác định với mọi k (k )

2

22

12

0

2

22

12

+) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

- Cung đối nhau:  và -

⎯⎯→ cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot

+) Hai cung hơn kém

+) Công thức cộng

cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb

cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb

sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb

sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan(a - b) = tan a tan b

1 tan a tan b

−+

tan(a + b) = tan a tan b

1 tan a tan b

+

−

+) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a

tan2a = 2 tan a2

1 tan a−

+) Công thức nhân ba

sin3a = 3sina - 4sin3a

cos3a = 4cos3a - 3cosa

sina.sinb = 1 ( ) ( )

cos a b cos a b2

+) Công thức biến đổi tổng thành tích:

sina + sinb = 2sina bcosa b

TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÌNH HỌC LỚP 10

CHƯƠNG 1 VÉC-TƠ

+ Với 4 điểm A, B, C, D bất kì, ta luôn có: AB+CD=AD+CB

+ Công thức trung điểm:

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA+IB=0

- Với mọi điểm M bất kì ta có: MA+MB=2MI

+ Công thức trọng tâm

- G là trung điểm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0

- Với mọi điểm M bất kì ta có: MA+MB+MC=3MG

+ Tính chất tích của vectơ với một số

Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có

+ Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (b0) cùng phương là có một số k để

a =kb

+ Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ a và b không cùng phương Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x=ha+kb

+ Hệ trục tọa độ

- Hai vectơ bằng nhau:

- Tọa độ của vectơ

Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì ta có AB=(xB−x ; yA B−yA)

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB) và I(xI; yI) là trung điểm của AB

- Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG; yG) của tam giác ABC là:

CHƯƠNG 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

1 Tích vô hướng của hai vectơ

- Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b và

( )

a.b= a b cos a, b

- Nếu a hoặc b bằng 0 thì a.b= 0

- Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b=  ⊥0 a b

+ Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a, b,c bất kì và mọi số k ta có:

a.b=b.a (tính chất giao hoán)

+ Hai vectơ vuông góc: a ⊥ b a b1 1+a b2 2 =0

+ Độ dài của vectơ a=(a ;a1 2) là: a = a12 +a22

+ Góc giữa hai vectơ

Cho a=(a ;a ,b1 2) =(b ;b1 2)đều khác vectơ 0 thì ta có:

+ Hệ thức lượng trong tam giác vuông

=

+ Công thức độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác Khi đó ta có

3 Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c

ha; hb; hc lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C của tam giác ABC

R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và p a b c

1

ca sin B2

4Hình vuông cạnh a: S = a2

Hình chữ nhật: S = dài x rộng

Hình bình hành ABCD: S = đáy x chiều cao hoặc S = AB.AD.sinA

Hình thoi ABCD: S = đáy x chiều cao

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng

+) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và nhận vectơ n=( )a;b làm VTPT với

a +b  có phương trình là: a(x - x0 0) + b(y - y0) = 0

Hay ax + by - ax0 - by0 = 0

Đặt -ax0 - by0 = c

Khi đó ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d nhận n=( )a;b làm VTPT là: ax + by + c = 0 (a2+b2  ) 0

+) Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

- (d): ax + c = 0 (a0): (d) song song hoặc trùng với Oy

- (d): by + c = 0 (b0): (d) song song hoặc trùng với Ox

- (d): ax + by = 0 ( 2 2 )

a +b 0 : (d) đi qua gốc tọa độ

- Phương trình đoạn chắn: x y

a + = 1 nên (d) đi qua A(a; 0) và B(0; b) (a, b b 0)

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và nhận u=(a ;a1 2) làm VTCP có phương trình tham số là: 0 1

d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng:

e) Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

- Đường thẳng d đi qua điêm M(x0; y0) và có hệ số góc là k

Phương trình đường thẳng d là: y - y0 = k(x - x0)

- Rút gọn phương trình này ta được dạng quen: y = kx + m

với k là hệ số góc và m là tung độ gốc

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2x + c2 = 0

- Hệ (I) có một nghiệm (x0; y0) Khi đó d1 cắt d2 tại điểm M0(x0; y0)

- Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó d1 trùng với d2

- Hệ (I) vô nghiệm, khi đó d1 và d2 không có điểm chung, hay d1 song song với d2

3 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2x + c2 = 0

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 Kí hiệu = (d1; d2)

a a b bcos

+

 =

4 Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d 1 và d 2

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2x + c2 = 0

Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là

6 Phương trình đường tròn

+ Dạng 1:

Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có dạng

(x - a)2+ (y - b)2 = R2+ Dạng 2:

Phương trình có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với a2 + b2 - c > 0 là phương trình đường tròn tâm I(a, b) và bán kính R = 2 2

a +b −c

7 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) của đường tròn tâm I(a; b) có dạng

(x0 −a)(x−x0) (+ y0 −b)(y−y0)=0

8 Elip

a) Hình dạng của elip

+ F1, F2 là hai tiêu điểm

+ F1F2 = 2c là tiêu của của Elip

+ Trục đối xứng Ox, Oy

+ Tâm đối xứng O

+ Tọa độ các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b)

+ Độ dài trục lớn A1A2 = 2a Độ dài trục bé B1B2 = 2b

M(x; y) (H)  x22 y22 1

a − b = với 2 2 2

b =c − là phương trình chính tắc của ahypebol

Parabol (P) có tiêu điểm F(p;0

2 ) (với p = d(F;  ) được gọi là tham số tiêu) và các đường chuẩn là  : x = p

2

− (p > 0) M(x; y) (P) y2 =2px (*)

(*) được gọi phương trình chính tắc của parabol (P)

+ Ox là trục đối xứng