trac-nghiem-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc-co-dap-an-toan-lop-11

BÀI 1 QUY NẠP TOÁN HỌC Câu 1 Với mọi số tự nhiên n , tổng 3 2 n S n 3n 5n 3 chia hết cho A 3 B 4 C 5 D 7 Đáp án Với n = 0 ta có 0 S 3 chia hết cho 3, ta chứng minh 3 2 n S n 3n 5n 3 chia hết cho 3 với[.]

BÀI 1 QUY NẠP TOÁN HỌC Câu 1 Với mọi số tự nhiên n , tổng Sn n3 3n2 5n 3 chia hết cho:

Đáp án:

Với n =0 ta có: S 1

Với n =1 ta có S =1–2+3=2

Với n =2 ta có S=1–2+3–4+5=3

Dự đoán S= n +1 (*) ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng quy nạp

Với n = 0 đương nhiên (*) đúng

Giả sử (*) đúng với n k, tức là Sk 1 2 3 4 2k (2k 1) k 1, ta chứng minh (*) đúng với n k +1

 Giả sử (*) đúng với n k tức là 8k+ 1 chia hết cho 7

 Ta có: 8k 1+ 1 = 8(8k 1)- 7, kết hợp với giả thiết 8k+ 1 chia hết cho 7 nên suy

ra được k 1

8 + 1 chia hết cho 7

 Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi *

n N

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Học sinh trên chứng minh đúng

B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp

C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp

D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Đáp án:

Quan sát lời giải trên ta thấy:

Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra n 1 thì 1

8 +1=9 không chia hết cho 7 nên mệnh đề đó sai

Giả sử mệnh đề đúng với n k, nghĩa là k

7 + 5 chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n k 1, nghĩa là phải chứng minh k 1

7 + 5 chia hết cho 6

Ta có: 7k 1 + 5 =7(7k+5)−30

Theo giả thiết quy nạp ta có k

7 +5chia hết cho 6, và 30 chia hết cho 6 nên

7(7k+5)−30cũng chia hết cho 6

Do đó mệnh đề đúng với n k 1

Vậy n

7 + 5 chi hết cho 6 với mọi n N *

Mọi số chia hết cho 6 đều chia hết cho 2 và chia hết cho 3

Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n k thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng

Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi n pvới p là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n p

- Bước 2: Với k p là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n k 1

Từ đó ta thấy, ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n pchứ không phải n 1

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi số tự nhiên

n p (p là một số tự nhiên) Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với n k

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A k p

B k p

C k p

D k p

Đáp án:

Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với n k với k p

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) đúng

với mọi số tự nhiên n p (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

 Bước 1, kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n p

 Bước 2, giả thiết mệnh đề P(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n k pvà phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n k 1

Trong hai bước trên:

A Chỉ có bước 1 đúng

B Chỉ có bước 2 đúng

C Cả hai bước đều đúng

D Cả hai bước đều sai

Đáp án:

Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi n pvới p là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n p

- Bước 2: Với k plà một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n k 1

Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10: Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với

n k 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

A n k

B n k 1

C n k 2

D n k 3

Đáp án:

Phương pháp quy nạp toán học:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n 1

- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n k, chứng

A Mọi số nguyên dương đều thuộc Q

B Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q

C Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q

D Mọi số nguyên đều thuộc Q

Đáp án:

Đáp án A: sai vì Q là tập con thực sự của N* nên tồn tại số nguyên dương không thuộc Q Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học

Đáp án C: sai vì theo giả thiết b) thì phải là số tự nhiên lớn hơn k thuộc Q

Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q

2 2p 1là sai nên loại ngay phương án D

Xét với p 3 ta thấy 2p 2p 1 là bất đẳng thức đúng Bằng phương pháp quy nạp toán

học chúng ta chứng minh được rằng n

2 2n 1 với mọi n 3 Vậy p 3 là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm

Cách 1: (trắc nghiệm) Kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của nn

+ Với n 1 thì 2

S 1 1 (loại được các phương án B và D);

+ Với n 2 thì S 12 22 5 (loại được phương án A)

Vậy bất đằng thức đúng với mọi số tự nhiên n 2

Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1) Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k Có nghĩa là ta có: 2

Vì uk và 3 k2 3k 3 đều chia hết cho 3, nên uk 1 cũng chia hết cho 3

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3

Câu 20: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n 1 n2 3n

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n k 1, tức là phải chứng minh 2(k 1) 1 (k 1)2 3(k 1) hay 2k 2 k2 5k 4

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có k 1 2

Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện

Với mọi số nguyên dương k , ta có

Vậy phương án đúng là phương án C

Cách 2 Dùng phương pháp quy nạp chứng minh C đúng

Đáp án:

Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n

Với n =1 thì S=1.4 = 4 (loại ngay được phương án B và C)

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n

Với n 1,S1 1.1! 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25: Chọn mệnh đề đúng: Với mọi n N *thì:

D 2n 2n 1

Đáp án:

Với n 3 ta loại được đáp án A, B và C

Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học

Bất đẳng thức n

2 2n 1 đúng với vì n 3 vì 8>7

Giả sử bất đẳng thức đúng đến n k 3, tức là k

2 2k 1, ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến n k 1, tức là cần chứng minh k 1

Do đó bất đẳng thức đúng đến n k 1

Vậy 1 1 1 2 n

2 n đúng với mọi số nguyên dương n

Đáp án cần chọn là: C