CÔNG THỨC toán lớp 10,11,12

CÔNG THỨC toán lớp 10,11,12 tham khảo

cùng chiều c d a c b d

b a

1 2 1 2

+ +

+ +

n n

b a

b a

b a

b

dương

n n

n n b a b

a

b a b a

2 2

2 2

Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hay bằng

trung bình nhân của chúng

0

ba, ,2

B A B

B B A

B A B

A B

B B

B hay B A

B B

B A B

B B

B A B A

B A B A B B A

A A A

để bỏ gttđ

ĐỊNH LÝ VIÉT

Thuận:

Pt ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm x1, x2 thì Đảo:

Nếu thì x1, x2 là 2 nghiệm của pt: X2-SX+P=0

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Cho f(x) = ax2+bx+c (a≠0)

∆=b2-4ac (∆’ =b’2-ac, b’ =)

●∆<0⇔af(x)>0∀x(tam thức cùng dấu a với mọi x)

●

02a

b-f ,2a

b-x0)(

●∆>0pt f(x)=0 có 2 nghiệm pb x1, x2.

x −∞ x1 x2 +∞

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI

DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI

Cho pt ax2+bx+c=0 (1).Gọi x1, x2 là 2 ng(nếu có)

+Pt (1) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0

P S

P S

(x1 < x2 < 0)

SO SÁNH CÁC NG CỦA PT BẬC HAI VỚI SỐ

Gọi x1, x2 là các ng của pt ax2+bx+c=0 (nếu có)

0

02 1

0

02 1

1 1

b a

b a

k .

*

2 2 1 1

) , cos(

.

a b

→

*

2 2

2

1 a a

a b

a b k a b

*Hai véctơ cùng hướng

*Hai véctơ ngược hướng

* Góc giữa 2 véctơ:

2 2

2 1

2 2

2 1

2 2 1 1

,cos

b b a a

b a b a b

a

b a b a

++

B A

M

y y

y

x x

=

++

G

C B A

G

y y y

y

x x x

x

*Góc của tam giác: cosBAC=cos(AB,AC)

*AD là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC

DC AC

*Tìm tâm J của đtròn nội tiếp tam giác ABC:

+Tim D là chân đường phân giác trong AD của tam giác

ABC

+Tim J là chân đường phân giác trong BJ của tam giác

ABD

+J là tâm đtròn nội tiếp tam giác ABC

*A, B, C thẳng hàng ⇔AB, ACcùng phương

*ABCD là hình bình hành ⇔AB=DCvà A, B, C

*ABCD là hình thang (AB//CD)

huongcùng

,CD AB

B, C không thẳng hàng(3 tính chất trên vẫn đúng trong không gian)

ĐƯỜNG THẲNG

*Véctơ là vt chỉ phương của đt d nếu giá của nó song

song hoặc trùng với d

*Véctơ là vt pháp tuyến của đt d nếu giá của nó vuông

góc với d

*Đt d có vtcp là thì d có vtpt là

*Pttq của đt d có dạng : ax+by+c=0 (vtpt là (a;b))

*Đường thằng đi qua diểm M(x0; y0) vtcp

y

t a x

x

2 0

1 0

ptct ( 1 2 0)

2

0 1

−

a a a

y y a

x x

*Đường thằng đi qua diểm M(x0; y0) vtpt

(đường thẳng cắt Ox, Oy lần lượt tại A(a; 0), B(0; b) )

*Nếu d//đường thẳng ax+by+c=0 thì pt d có dạng:

ax+by+m=0 (mc)

*Nếu d⊥đường thẳng ax+by+c=0 thì pt d có dạng: bxay+m=0

* pt trục Ox : y=0, Oy : x=0

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG

Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0

1 2

2 1

1

c

c b

a b

⇔

c 2

1 2

2 1

1 = =

⇔

b

a b a

d1 cắt d2 2

2 1

1

b

a b

a ≠

⇔Cho d1: y=a1x+b1, d2 : y=a2x+b2

2 1

b b

a a

d1 ≡d2 1 2

2 1

a a

d1 cắt d2⇔a1 ≠a2

Tọa độ giao điểm là nghiệm hpt 



=++

=++

0

0 2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG

Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0Gọi ϕ là góc giữa 2 đường thẳng d1, d2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1 cos

b a b a

b b a a

++

+

=ϕ

KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng ∆: ax+by+c=0 và điểm M

Khoảng cách từ M đến ∆ : ( , ) 2 2

b a

c by ax M

+

++

=

∆Chú ý: d(M,Ox) = d(M,Ox) =

PT CÁC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA CÁC GÓC

TẠO BỞI 2 ĐƯỜNG THẲNG

Cho 2 đường thẳng d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0

Pt các đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường

thẳng d1, d2 là: 2 2 2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

+

++

±

=+

++

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG THẲNG

*Viết pt đường thẳng qua 2 điểm A, B:

Đường thẳng qua A, vtcp AB có ptts (hoặc ptct)

hoặc (mẫu khác 0)

Chú ý: Viết pt trung tuyến AM của tam giác ABC

+Tìm trung điểm M của cạnh BC

+Viết pt tt AM qua A,M

*Viết pt đường thẳng qua điểm M và vuông góc AB:

+Pttq đường thẳng qua M, vtpt AB

Chú ý:

Đường cao AA/ của tam giác ABC qua A, vtpt BC

Đường trung trực của BC qua trung điểm I của BC, vtpt

BC

* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng d

+Viết pt đường thẳng ∆ qua M, vuông góc d

+Ta có H =d∆⇒Tọa độ H là nghiệm hpt

*Tìm điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d

+Tìm hình chiếu H của M lên d

+M và M/ đối xứng nhau qua d

M H M

y y y

x x x

2 2

*Viết pt đường thẳng ∆ đối xứng đường thẳng / ∆ qua

đường thẳng d

+Lấy 2 điểm M, N trên ∆

+Tìm M/, N/ dối xứng với M, N qua đường thẳng d

+Viết pt đường thẳng ∆/ qua M/, N/

*Viết pt đường thẳng qua M, cách A một khoảng bằng k

Pt đường thẳng ∆ đi qua M, vtpt →n =(a; b) có dạng:

a(xxM)+b(yyM)=0

∆ cách A một khoảng bằng k

k A

⇔ ( , )

Từ hệ thức giữa a và b chọn a suy ra b (hoặc ngược lại)

*Viết pt đường thẳng qua M, cách đều A, B

Pt đường thẳng ∆ đi qua M, vtpt

2 1

2 1 cos

) , cos(

b a n n

b n a n d

++

+ x2 + y2 2ax 2by+c = 0 (1) R= a2+b2−c

Pt (1) là pt của 1 đường tròn ⇔ a2+b2c>0CHÚ Ý:

+(C) có tâm I, qua M ⇔ R = IM+(C) có tâm I, tiếp xúc đường thẳng ∆⇔d( )I,∆ = R

+(C) có đường kính AB ⇔ tâm I là trung điểm AB và bán kính R = AB/2

+(C) qua A và tiếp xúc đường thẳng d tại B 

BI AI

+(C) đi qua 3 điểm A, B, C ⇔ thế tọa độ A, B, C vào pt đường thẳngròn dạng khai triển Giải hpt tìm a, b, c

*PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đ/ TRÒN

* Viết pttt của (C) tại M:

+Tìm tâm I của (C)+Tiếp tuyến của (C) qua M, có vtpt IM

* Viết pttt của (C) các dạng khác:

+Tìm tâm và bán kính của (C)+Xác định dạng của ttuyến

∈

M (E) : F1M, F2M : bán kính qua tiêu điểm

PT chính tắc của (E) : 2 1

2 2

2

=+

b

y a

x

(a2 = b2 + c2)

Độ dài trục lớn : 2a Độ dài trục nhỏ : 2bTiêu điểm : F1(c; 0) F2(c; 0) Tâm sai Đỉnh : A1(a; 0) A2(a; 0) B1(0; b) B2(0; b)

DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH Hình Diện tích Trong đó

Hình thang

2

) (a b h

=

a,b,c:3 kích thước

Stp=Sxq+Sđ

h S

S S S

Rl S

d xq tp xq

ππ

2 2

R Rh

S S

S

Rl S

d xq tp xq

ππ

a u

+

a//b )

//

)(),(

βα



+

a//b )

a P

a

b a

định lý Talet đảo, cm tứ giác là hbh, đường trung bình

trong tam giác, hình thang, …

*CÁC PP CM 2 MP SONG SONG

+

)//(

)()//(

,

)(

b a

O b

a 

+

)//(

)()()(

)//(

)(

)//(

)(

β

αβαβ

+

)//(

)()

(),(

)()(

βαβ

α

βα

)(

)(//

αα

α

a a

b a

)//(

)(

)(

ββ

)(

)(

αα

α

a b

b a

)(α

α

+

c b c a

b a

+Cho a/ là hình chiếu của a lên mp (P), b⊂(P)

b a a

a⊥ ′⇔ ⊥

*CÁC PP CM 2 MP VUÔNG GÓC

+

)()()(

)(

βαβ

)//(

βαβ

*CÁC PP CM ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP VUÔNG GÓC

+

)()

(,

,

αα

b

O c b

c b a



+

)(),

(

)()(),()(

βα

βαβ

a a

d



+

)()

(

)//(

)(

βα

βα

KHOẢNG CÁCH

*Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp (đường thẳng) là độ dài

đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mp (đường thẳng)

*Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và 1 mp (đường thẳng)

song song là khoảng cách từ 1 điểm trên đường thẳng đến

mp (đường thẳng)

*Khoảng cách giữa 2 mp song song là khoảng cách từ 1

điểm trên mp này đến mp kia

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là:

+độ dài đoạn vuông góc chung

+khoảng cách giữa 1 trong 2 đường thẳng đó và 1 mp

song song với nó chứa đường thẳng còn lại

+khoảng cách giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đường

Chú ý: Để vẽ đt vuông góc mp từ M ta thường tìm mp chứa

M và vuông góc mp đó, từ M vẽ đt vuông góc giao tuyến

GÓC

*Góc giữa 2 đường thẳng a, b là góc giữa 2 đường thẳng

cùng đi qua 1 điểm và lần lượt song song với 2 đường

thẳng đó Ký hiệu là (a,b)

Chú ý: Góc giữa 2 đường thẳng // hoặc trùng nhau =00

Có thể từ 1 điểm trên đt này vẽ đt // đt kia

*Góc giữa đường thẳng a và mp α là góc giữa đường

thẳng đó và hình chiếu của nó lên mp Ký hiệu:( )a,α

Chú ý: Góc giữa đường thẳng // hoặc nằm trong mp =00

*Góc giữa 2 mp là góc giữa 2 đường

thẳng lần lượt nằm trong 2 mp và

cùng vuông góc với giao tuyến tại 1

điểm (hoặc góc giữa 2 đường thẳng

lần lượt vuông góc với 2 mp đó)

Chú ý: Góc giữa 2 mp // hoặc trùng nhau =00

*Diện tích hình chiếu: Nếu S làdtích của 1 đa giác, S/ là dtích

đa giác hình chiếu và ϕ là gócgiữa mp chứa đa giác và mpchiếu thì S′=Scosϕ

HÌNH CHÓP

*Định nghĩa: Trong mp (P) cho

đa giác A1A2…An và 1 điểm S nằm ngoài (P) Nối S vớicác đỉnh A1, A2, …,An ta được n miền tam giác, hình tạo bởi

n miền tam giác đó và miền đa giác được gọi là hình chóp

S A1A2…An trong đó:

+Điểm S gọi là đỉnh hc +Các đoạn thẳng SA1, SA2 gọi là các cạnh bên của hc +Các đoạn thẳng A1A2 , A2A3 gọi là các cạnh đáy của hc +Các miền tam giác gọi là các mặt bên của hc

+Hc có đáy là tam giác, tứ giác, … gọi là hc tam giác, hc

tứ giác, … Hc tam giác còn gọi là hình tứ diện Hình tứdiện đều là hình tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau.Hình tứ diện đều là hình tứ diện có 6 cạnh bằng nhau.+Hc đều là hc có đáy là đa giác đều và chân đường caotrùng với tâm của đáy, các cạnh bên bằng nhau, các mặtbên là những tam giác cân bằng nhau, góc giữa các cạnhbên (mặt bên) và đáy bằng nhau

HÌNH LĂNG TRỤ

*Định nghĩa: Hình lăng trụ là hình đa diện có 2 mặt nằmtrong 2 mặt // gọi là 2 mặt đáy và tất cả các cạnh khôngnằm trong 2 đáy thì // nhau Trong đó:

+Các mặt khác với 2 đáygọi là các mặt bên (cácmặt bên là các hbh)+Cạnh chung của 2 mặtbên gọi là cạnh bên.(cáccạnh bên // và = nhau)+Hai đáy là 2 đa giác có

nhau

+Hlt có đáy là tam giác,

tứ giác, … gọi là hlt tamgiác, hlt tứ giác, … +Hlt có đáy là hbh còn gọi là hình hộp Bốn đường chéocủa hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

+Hình hộp có tất cả các mặt đều là hcn gọi là hình hộp chữnhật

+Hình hộp có tất cả các mặt đều là hvuông gọi là hình lậpphương

+Hlt đứng là hlt có cạnh bên vuông góc với đáy, các mặtbên là các hcn và vuông góc với đáy

+Hlt đều là hlt đứng có đáy là đa giác đều, các mặt bên lànhững hcn bằng nhau

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Cho

→

a =(a1; a2; a3), →b =(b1; b2; b3), số k tùy ý

2 2

1 1

b a

b a

b a

*a→±b→=(a1±b1 ;a2±b2 ;a3 ±b3 )

*k a→=(ka1 ;ka2 ;ka3) *→a→b = a1b1 + a2b2 + a3b3

*

2 3

2 2

b a b a b a

b a

b a b

a

+++

+

++

B A

M

B A

M

B A

M

z z

z

y y

y

x x

=

++

=

++

=

⇔

3 3 3

C B A

G

C B A

G

C B A

G

z z z

z

y y y

y

x x x

=

+++

=

+++

=

⇔

4 4 4

D C B A

G

D C B A

G

D C B A

G

z z z z

z

y y y y

y

x x x x

2 1 3 1

3 1 3 2

3 2

b

a

; b

a

; b

a ,

b

a b

a b

a b a

2 1

1

b

a b

a b

S =

*Độ dài đường cao AH của tg ABC

*Tính góc của tam giác ABC:

* AH là đường cao tg ABC

Cách 2: Tìm H là hình chiếu của A lâ đường thẳng BC

* I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tg ABC, , , dong phang

V =

* Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD

* AH là đường cao td ABCD

*A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, ACcùng phương

*A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện ⇔uuur uuur uuurAB AC AD. . ≠0

Cách 2: D∉(ABC)

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

*Pt mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 hoặc

+(S) có tâm I, tiếp xúc đường thẳng ∆⇔d( )I,∆ =R

+(S) có đường kính AB ⇔ tâm I là trung điểm AB và bán

+Để tìm tiếp điểm của tiếp diện (P) và mc:

Tìm pt đường thẳng d qua tâm I và vuông góc (P)

y a x

*Vị trí tương đối của 2 mp:

C B

B A

C B

B A

D Cz By Ax

P M

++

+++

0 0

bt y y

at x x

pt chính tắc : − 0 = − 0 = − 0 (abc≠0)

c

z z b

y y a

x x

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG

d1 đi qua điểm M1, vtcp 1

0 ,

//

2 1 1

2 1 2

1

M M u

u u d

0 ,

2 1 1

2 1

M M u

u u

0 ,

2 1 2 1

2 1

M M u u

u u

Nếu hệ có nghiệm t = t0 và t’ = t’0 thì 2 đt cắt nhau

( tìm tọa độ giao điểm bằng cách thế t = t0 vào pt d1 hoặc

t’ = t’0 vào pt d2)

Nếu hệ VN và →ud1, u→d2cùng phương thì d1//d2

Nếu hệ VN và →ud1, u→d2không cùng phương thì d1 chéo d2

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG và MP

Cho đường thẳng d: x= x0 +at, y= y0 +bt, z= z0 +ct và mp

C B A

D Cz By Ax M

++

+++

=α

*Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (∆ qua

d

u MN M

d u

S tam giac

,)

,

(

,2

1,

2 1 2 1 2 1

,

,,

u u

M M u u d

*Khoảng cách giữa đường thẳng d // mp (P) :

( ) ( , ) ( ,( ) ) M( )

(∆ và ∆’cắt hoặc chéo nhau)

với( ∈∆)

PP THAM SỐ HÓA TỌA ĐỘ

*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG QUA A VÀ CẮT 2 ĐƯỜNG THẲNG d VÀ d /

+Viết ptts của d và d/ theo t và t’+Lấy M∈d , M′∈d′(Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t

và t’)+MM’ qua A⇔ AM,A M′cùng phương+Từ đk cùng phương tìm t và t’ suy ra M, M’+Pt đường thẳng MM’

*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG // ∆ VÀ CẮT 2 ĐƯỜNG

THẲNG d VÀ d /

+Viết ptts của d và d/ theo t và t’

+Lấy M∈d , M′∈d′(Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t

và t’)

+MM’ // ∆ ⇔M M′,u→∆cùng phương

+Từ đk cùng phương tìm t và t’ suy ra M, M’

+Pt đường thẳng MM’

*VIẾT PT ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2

ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU d VÀ d /

+Viết ptts của d và d/ theo t và t’

+Lấy M∈d , M′∈d′(Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t

u M M

+Giải hpt tìm t và t’ suy ra M, M’

+Pt đường vuông góc chung MM’

*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG d qua M, ⊥ và cắt ∆

+Viết ptts của ∆ theo t

+Lấy N∈∆(Biểu diễn tọa độ của N theo t)

+MN⊥ ∆⇔ ∆ =0

→

u MN

+Giải pt tìm t suy ra tọa độ N

+Pt đường thẳng MN

*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG d qua M, cắt d1 và // ( )⊂

mp(P)

+Viết ptts của d1 theo t

+Lấy N∈d1(Biểu diễn tọa độ của N theo t)

n C

II/ XÁC SUẤT:

1) Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể

xảy ra của 1 phép thử Ký hiệu là Ω

2) Biến cốlà 1 tập con của không gian mẫu

3) Tập A BI gọi là giao của các biến cố A và B Biến cố

A BI còn viết là A.B

4) Tập A BU gọi là hợp của các biến cố A và B

5) Tập Ω\ A gọi là b/cố dối của b/cố A, k/hiệu A

6) A và B xung khắc nếu A BI = ∅

7) A và B độc lập nếu sự xảy ra hay khơng xảy ra của

b/cố này khơng ảnh hưởng đến xs của b/cố kia

a ;

1

u

u a u

u u

* (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu

* (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = – u’sinu

' '

ln =

*( )

a x

' '

=

* = =

' ' ' 2 ' ' ' '

2

2

b x a

b a

c b x ab x

aa b

x

a

c bx

ax

+

++

b

x

a

c bx

) ( ) ( ,

x ∈ < ⇒ <

∀ Hs f nghịch biến trên I nếu:

) ( ) ( ,

.Hs y=ax3+bx2+cx+d NB trên R

Rx

.Hs cx d

b ax y

+

+

=

ĐB trên các khoảng xđD

+

+

=

NB trên các khoảng xđD

0

0 x tại trị cực đạt f Hs

x tại đh có f Hs

*Quy tắc 1 tìm cực trị hs:

+Tìm TXĐ D +Tính f /(x) Tìm các điểm x0 mà f /(x0) = 0 hoặc

f /(x0) khơng xác định

+Lập BBT +Kết luận

*Quy tắc 2 tìm cực trị hs:

+Tìm TXĐ D +Tính f /(x) Giải pt f /(x0) = 0 tìm các nghiệm x0

+ Tính f //(x) và f //(x0) .Nếu f //(x0) < 0 thì x0 là điểm CĐ .Nếu f //(x0) > 0 thì x0 là điểm CT

*Chú ý:

+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CĐ tại x0

( ) ( )

0

x f

x f

+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CT tại x0

( ) ( )

0

x f

x f

+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt cực trị tại x0

( ) ( )

0

x f

x f

+Hs y=f(x) đạt cực trị tại x0 ⇒f /(x0) = 0 (Thử lại)

+Đồ thị hs y=f(x) có điểm cực trị là M(x0;y0)

=

⇔

)2( 024

0

2 b ax x

x Q

x P x f

( P(x), Q(x) là các đa thức) đạtcực trị tại x0 thì ( )

)()(

0

0 0

x Q

x P x f

y

′+

′

++

=

có CĐ, CT thì pt đường thẳng đi qua các điểm ctrị là a

b ax y

′+

= 2

)

+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt cực trị tại x0 thì y0 = r(x0) với y

= ax3+bx2+cx+d = (Ax + B).y/ + r(x) ( r(x) là phần dư củaphép chia y cho y/ )

(Nếu hs trên có CĐ, CT thì pt đường thẳng đi qua các điểm ctrị là y= r(x))

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

*PTTT của đồ thị hs (C) : y = f(x) tại M(x0;y0):

yy0=f /(x0)(xx0) ⇔ y=f /(x0)(xx0)+y0

* Hệ số góc tt trên là f /(x0)

*Viết pttt tại hoặc có hệ số góc hoặc //( )⊥ với dt d: y=kx+b: +Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm

+ Tìm x0, y0, f /(x0) (tt//d ⇒f /(x0) = k tt⊥d ⇔f /(x0).k=1)

(

(1) )

( )

k x f

y x x k x f

+Thế (2) vào (1) Giải pt tìm nghiệm x (là hoành độ tiếp điểm) Thế x tìm được vào (2) suy ra k

+Vậy pttt cần tìm là: (thế k tìm được vào pt d)

BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM 2 ĐƯỜNG

Cho 2 đường (C) : y=f(x) và (C /): y=g(x)

*Pt có nghiệm là hoành độ giao điểm của (C) và (C/):

=

⇔

(2)02

0

C Bx ax

x x

●(C) và (C/) cắt nhau tại 3 điểm pb

0

0

2

0 Bx C ax

a

●(C) và (C/) cắt nhau tại 1 điểm (Xét a=0)

2 0ax0

●(C) và (C/) cắt nhau tại 2 điểm pb(Xét a=0)

a

2 0ax0

**Nếu pthđgđ không phân tích được hoặc có đk đối với

nghiệm phức tạp thì biến đổi về dạng g(x)=m rồi lập BBT

P

b-S

P S

*Không có tiếp tuyến nào của đồ thị đi qua I

*Hai tt’ của (C) không bao giờ vuông góc nhau

*Hai tt’ ssong của (C) có các tiếp điểm đối xứng nhau qua I

*Gọi M là 1 điểm tùy ý thuộc (C), A, B là giao điểm của

tt tại M và 2 tiệm cận thì:

_M là trung điểm AB _Tam giác IAB có dtích không đổi _Tích các khoảng cách từ M đến 2 tcận khôg đổiMỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN KSHS1)

Bài toán 1: Giải pt, bpt, hpt:

Cách 1: *Chuyển pt về dạng : f(x)=k

*Xét hs y=f(x) Cm hs đơn điệu

*Nếu x=x0 là nghiệm thì là nghiệm duy nhấtCách 2: *Chuyển pt về dạng : f(x)=g(x)

*Xét hs y=f(x) và y=g(x) Cm hs y=f(x) đồng biến và y=g(x) nghịch biến

*Nếu x=x0 là nghiệm thì là nghiệm duy nhấtVd: Gpt: 1 x 1 x 2x 6x

3+

=+

2 1

x x

x x

(đl Viet)

*Chia đa thức y cho y’ : y=y’.g(x)+h(x) ⇒y1=h(x1) và y2=h(x2) Vậy các điểm ctrị là (x1; y1), (x2; y2) ( cũng có thể tính y1=f(x1) và y2=f(x2) )

*Xét đk K

Chú ý Hs y=ax4+bx2+c tương tự Vd: Cho hs y=2x3-3(m+1)x2+6mx+m3 Tìm m để hs có

CĐ, CT và :a) Khoảng cách giữa 2 điểm CĐ, CT là 2(m=0 hoặc m=2)

b) Hai điểm CĐ, CT tạo với C(4; 0) 1 tam giác vuông tại C (m=-1)

Vd: Tìm m để hs y=mx4+(m−1)x2+1−2m có 1 điểm ctrị

3)Bài toán3: Lập pt đường thẳng đi qua các điểm ctrị của

đồ thị hs y=ax3+bx2+cx+d:

Cách 1: Nếu tọa độ các điểm ctrị là số nguyên hoặc hữu

tỉ thì làm theo cách thông thườngCách 2: Nếu tọa độ các điểm ctrị là số vô tỉ hoặc chứa tham số thì tọa độ các điểm ctrị hs thỏa hệ