Kien thuc toan lop 11

Tiên đề 2: Nếu một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.. Định lý 1: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung th

Hệ thống kiến thức Toán 11 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:

1 Công thức lượng giác cơ bản:

2

2

2

2

≠

2 Bảng giá trị lượng giác một số cung (góc) đặc biệt:

Góc

Giá trị

Lượng giác

0 (00) (30 ) 0

6

(45 ) 4

(60 ) 3

(90 ) 2

π

2

2 2

3

2

2 2

1

3 Công thức lượng giác các góc liên quan đặc biệt:

3.1 Cung đối nhau: α và (– α)

cos(– α) = cosα

sin(– α) = – sinα

tg(– α) = – tgα

cotg(– α) = – cotgα

3.2 Cung bù nhau: α và (π – α) cos(π – α) = – cosα

sin(π – α) = – sinα tg(π – α) = – tgα cotg(π – α) = – cotgα

3.3 Cung phụ nhau: α và ( α

2

π

− )

2

π

− ) = sinα

2

π

− ) = cosα

2

π

− ) = cotgα

cotg( α

2

π

− ) = tgα

3.4 Cung hơn kém ππππ: α và (π +α) cos(π + α) = – cosα

sin(π + α) = – sinα tg(π + α) = tgα cotg(π + α) = cotgα

Hệ thống kiến thức Toán 11

II ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

1 Hàm số y = sinx:

Txđ: D = R

Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π

Sự biến thiên của hàm số trên (0; π):

 Hàm số tăng trên 0;

2

π

 Hàm số giảm trên ;

2

π π

Bảng biến thiên:

x 0

2 π π y = sinx 1

0 0

Đồ thị: 2 Hàm số y = cosx:
Txđ: D = R
Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục Oy
Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π
Hàm số tăng trên [0; π]
Bảng biến thiên: x 0

2 π π y = cosx 1

0

– 1

-1

1

y

x

Hệ thống kiến thức Toán 11

Đồ thị:

3 Hàm số y = tgx:

Txđ: D = R \ x / x = + k , k Z

2

π π

Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π

Hàm số tăng trên [0;

2

π )

Bảng biến thiên, đồ thị:

x 0

2

π

y = tgx

+ ∞

0

4 Hàm số y =cotgx:

Txđ: D = R \ {x / x = k , kπ ∈Z}

Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π

Hàm số giảm trên (0;

2

π ]

Bảng biến thiên, đồ thị:

x 0

2

π

y = cotgx

+ ∞

0

y

x

O

x

y

y

x

Hệ thống kiến thức Toán 11 III CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:

1 Công thức cộng:

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

2 Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a

2

2tga

−

3 Công thức hạ bậc:

≠

4 Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg a

2 :

2 2

1 + t

k π

−

−

5 Công thức biến đổi tích thành tổng:

cosa.cosb = 1

2 [ cos(a + b) + cos(a – b)]

sina.sinb = –1

2 [ cos(a + b) – cos(a – b)]

sina.cosb = 1

2 [ sin(a + b)+ sin(a – b)]

6 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cosa + cosb = 2cosa + b

2 cosa b

2

−

cosa – cosb = – 2sina + b

2 sina b

2

−

sina + sinb = 2sina + b

2 cosa b

2

−

sina – sinb = 2cosa + b

2 sina b

2

−

tga + tgb = sin(a + b)

cosa.cosb

−

* Một số công thức cần nhớ khác:

cos3x = 4cos3x – 3cosx sin3x = 3sinx – 4sin3x

3 2

3tgx tg x tg3x =

1 3tg x

−

− cosa + sina = 2 cos a

4

π

 − 

4

π

IV PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:

1 Phương trình lượng giác cơ bản:

y

y

Hệ thống kiến thức Toán 11 sinu = sinv ⇔ u = v + k2

u = v + k2

π



 cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π

tgu = tgv ⇔ u = v + kπ

cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ

2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a.sin2x + b.sinx + c = 0 a.cos2x + b.cosx + c = 0

a.tg2x + b.tgx + c = 0 a.cotg2x + b cotg x + c = 0

Cách giải: Đặt ẩn phụ

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

a.cosx + b.sinx = c (a, b, c ∈ R và a ≠ 0, b ≠ 0)

Cách 1: Chia hai vế cho a rồi đặt b

a = tgα

Cách 2: Chia hai vế cho 2 2

a +b , ta được:

Vì

Khi đó pt có dạng: cosβ.sinx + sinβ.cosx =

2 2

c

a +b ⇔

2 2

c

a +b

x+β =

4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = 0(a, b, c ∈ R và a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0)

Vì cosx = 0 ( x = k

2

π π + ) không phải là nghiệm, chia hai vế của phương trình cho cos2x,

ta được: a.tg2x + b.tgx + c = 0

Chú ý:

Phương trình với vế phải khác 0: a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d, ta biến đổi d = d(sin2x + cos2x)

Có thể dùng công thức hạ bậc để giải

5 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

a(sinx + cosx) + b.sinx.cosx = c(a, b, c ∈ R)

Cách giải: Đặt t = sinx + cosx ( t ≤ 2) ⇒ sinx.cosx = t2 1

2− Chú ý: Nếu t = sinx – cosx ( t ≤ 2) thì sinx.cosx = 1 t2

2

−

V PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:

Gia sử ta cần chứng minh một mệnh đề phụ thuộc n ∈ N

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 0

Hệ thống kiến thức Toán 11 Bước 2: Giả thuyết mệnh đề đúng với n = k (Giả thuyết quy nạp) Ta CM mệnh đề đúng với n = k + 1

Chú ý: Nếu phải chúng minh mệnh đề đúng với n ≥ p thì ở B1, ta kiểm tra với n = p

VI DÃY SỐ:

1 Dãy số tăng, dãy số giảm:

Định nghĩa 1:

Dãy (un) tăng nếu un < un + 1, ∀ n ∈ N

Dãy (un) giảm nếu un > un + 1, ∀ n ∈ N

Định nghĩa 2: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

Chú ý:

Dãy (un) tăng ⇔ un + 1 – un > 0 hoặc n + 1

n

u

1

u > , ui > 0, ∀ i ∈ N

Dãy (un) giảm ⇔ un + 1 – un < 0 hoặc n + 1

n

u

1

u < , ui > 0, ∀ i ∈ N

2 Dãy số bị chặn:

Định nghĩa:

Dãy (un) bị chặn trên nếu ∃M: ∀ n ∈ N*, un ≤ M

Dãy (un) bị chặn dưới nếu ∃m: ∀ n ∈ N*, un ≥ m

Dãy (un) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới

VII CẤP SỐ CỘNG:

Định nghĩa: Là một dãy (un) thỏa un + 1 = un + d (n ≥ 1) Với d: công sai

Tính chất:

un = u1 + (n – 1)d n + 1 n 1

n

2

−

+

VIII CẤP SỐ NHÂN:

Định nghĩa: Là một dãy (un) thỏa un + 1 = un.q (n ≥ 1) Với q: công bội

Tính chất:

un = u1.qn – 1 (q ≠ 0) un = un + 1.un 1− (n≥2) n

n 1

q 1

−

=

− Tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn ( q < 1): 1

n

u S

q 1

=

−

IX GIỚI HẠN DÃY SỐ:

1 Định nghĩa: Dãy (un) có giới hạn a nếu ∀ε nhỏ tùy ý, ∃N: ∀ n > N ta có:un – a < ε

Ta viết: n

n

→∞ = hay lim un = a

Chú ý: lim1 0

n = , limC = C (C: const)

Hệ thống kiến thức Toán 11 Tính chất:

Định lý 1: (ĐK cần để dãy số có giới hạn)Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn Định lý 2: (Tính duy nhất) Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Định lý 3: (ĐK đủ để dãy số có giới hạn)(Định lý Weierstrass) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn Một dãy số giảm và bị dưới thì có giới hạn

Định lý 4: (ĐL giới hạn kẹp)

Cho vn ≤ un ≤ wn

A Định lý 5: lim(un ± vn) = lim un ± lim vn lim(un.vn) = lim un.lim vn

n

2 Dãy số dần tới vô cực: Dãy số (un) dần tới vô cực ∀M > 0 lớn bao nhiêu tùy ý, ∃N: ∀

n > N ta có:un > M

Ta viết: lim un = ∞ hay un → ∞

Định lý : Nếu lim un = 0 (un ≠ 0, ∀ n > N*) thì

n

1 lim

u = ∞ Nếu lim un = ∞ thì

n

1

u =

X GIỚI HẠN HÀM SỐ:

1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K (có thể trừ a ∈ K) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới a, nếu ∀(xn)( xn ∈ K, xn ≠ a, ∀ n > N*) sao cho khi lim xn = a thì lim f(xn) = L Ký hiệu:

x a

lim f(x) = L.

Tính chất:

Định lý 1: (Tính duy nhất) Nếu một hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Định lý 2:

x a

x a

lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) lim f(x).g(x) lim f(x).lim g(x)

lim f(x) f(x)

g(x) lim g(x)

→

→

Định lý 3: (ĐL giới hạn kẹp)

Định lý 4: Nếu

x a

lim f(x) = L

→ và với mọi x đủ gần a mà f(x) > 0 (f(x) < 0) thì L ≥ 0 (L ≤ 0)

2 Hàm số dần tới vô cực: Hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, nếu ∀(xn) (xn ≠ a) sao cho lim xn = a thì lim f(xn) = ∞ Ký hiệu:

x a

lim f(x) =

Định lý : Nếu

x a

lim f(x) = 0

→ (f(x) ≠ 0, ∀x đủ gần a) thì

x a

1

f(x)

Hệ thống kiến thức Toán 11 Nếu

x a

lim f(x) =

x a

1

f(x)

→

3 Giới hạn tại vô cực:

Định nghĩa 1: Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, nếu ∀(xn):lim xn = ∞ thì lim f(xn) = L Ký hiệu:

x

lim f(x) = L

Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực dương (hoặc âm), nếu ∀(xn) với xn > 0 (hoặc xn < 0) sao cho lim xn = ∞ thì lim f(xn) = L Ký hiệu:

xlim f(x) = L ( lim f(x) = L)x

4 Giới hạn một bên:

Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải (trái) của hàm số f(x) khi x dần tới a nếu ∀(xn) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho lim xn = a thì lim f(xn) = L

Ký hiệu: +

xlim f(x) = L ( lim f(x) = L)a x a−

lim f(x) = L lim f(x) = lim f(x) = L−

5 Các dạng vô định:0; ; 0 ;

0

∞ ∞ ∞ − ∞

∞

XI HÀM SỐ LIÊN TỤC:

1 Hàm số liên tục tại một điểm:

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0

∈ (a; b) nếu

0

0

xlim f(x) = f(x ).x

Nếu tại x0 hàm số không liên tục thì nó được gọi là gián đoạn tại x0

Định lý : Hàm số f(x) xác định trên (a; b) là liên tục tại x0 ∈ (a; b) nếu

x 0

lim y = 0

∆ → ∆

2 Hàm số liên tụctrên một khoảng:

Định nghĩa:

Hàm số f(x) xác định trên (a; b) được gọi là liên tục tại trên khoảng đó nếu nó liên tục tại ∀x0 ∈ (a; b)

Hàm số f(x) xác định trên [a; b] được gọi là liên tục tại trên đoạn đó nếu nó liên tục trên (a; b), liên tục phải tại a, liên tục trái tại b

Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác 0) của những hàm liên tục là một hàm liên tục

Định lý 2: Các hàm đa thức, hữu tỷ, lượng giác là liên tục trên TXĐ của nó

Định lý 3: Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất, lớn nhất và mọi giá trị trung gian trên đoạn đó

Hệ quả: Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0 Hay phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b)

XI HÀM SỐ NGƯỢC:

Mọi hàm số tăng hoặc giảm trên TXĐ đều có hàm số ngược

Hệ thống kiến thức Toán 11

ĐT hai hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ 3 (y = x)

Hai hs ngược nhau thì TXĐ của hàm này là TGT của hàm kia và ngược lại

XII HÀM SỐ MŨ:

1 Hàm số y = ax: (0 < a ≠≠≠≠ 1)

TXĐ: D = R

TGT: *

+

T=R ⇒ ĐT hàm số luôn nằm phía trên trục Ox

Hàm số tăng nếu a > 1, giảm nếu 0 < a < 1

Hàm số y = ax và y = 1

a

x

 

 

  đối xứng nhau qua Oy

2 Tính chất:

x

m

a x

a

x > y, 0 < a < 1 a > b, x < 0

x < log b, a > 1

x > log b, 0 < a < 1

 



< ⇔ 



XIII HÀM SỐ LOGARIT:

1 Hàm số y = logax: (0 < a ≠≠≠≠ 1, x > 0)

+

T=R ⇒ ĐT hàm số luôn nằm phía bên phải Oy

TGT: D = R

Hàm số tăng nếu a > 1, giảm nếu 0 < a < 1

Hàm số y = ax và y = logax đối xứng nhau qua y = x

2 Tính chất:

a

x

log x x

a

y

a

c

lo

⇔

b

x < y, 0 a < 1

x < a , 0 a < 1

<

<



Hệ thống kiến thức Toán 11 XIV PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

1.Phương pháp đưa về cùng cơ số

2.Phương pháp đặt ẩn phụ:

Chú ý phương trình max + nbx + ncx = 0 (0 < a < b): Chia hai vế cho ax hoặc cx

3.Phương pháp logarit hóa:

Thường áp dụng cho phương trình chứa tích của hai biểu thức khác cơ số và có chứa ẩn ở số mũ VD: 2

x 2 x 15

3 2 − =216 4.Phương pháp dùng sự biến thiên của hàm số mũ

XV PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:

1.Phương pháp đưa về cùng cơ số

2.Phương pháp đặt ẩn phụ

3.Phương pháp dùng sự biến thiên của hàm số logarit

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I CÁC TIÊN ĐỀ CỦA HHKG:

Tiên đề 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước Tiên đề 2: Nếu một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Tiên đề 3: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa

Tiên đề 4: Có ít nhất 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

Định lý 1: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó

Định lý 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó

Định lý 3: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau

Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:Trả lời hai trong các câu hỏi sau:

 Xem trong cách ký hiệu hai mặt phẳng, có điểm nào giống nhau hay không ?

 Xem trong mặt phẳng này có điểm nào thuộc một đường trong mặt phẳng kia hay không?

 Xem trong mặt phẳng này có điểm nào thuộc mặt phẳng kia hay không?

 Xem trong mặt phẳng này có đường thẳng nào cắt một đường nằm trong mặt phẳng kia hay không ?

 Xem trong mặt phẳng này có đường thẳng nào song song với một đường nằm trong mặt phẳng kia hay không ?

 Xem trong mặt phẳng này có đường thẳng nào song song với mặt phẳng kia hay không ?

 Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau

Hệ thống kiến thức Toán 11 Phương pháp tìm giao điểm A = d ∩∩ α:

B1 Chọn một mp β ⊃ d sao cho α ∩ β = d’ là dễ tìm nhất

B2 Tìm d’ = α ∩ β

⇒ A = d ∩ d’

Phương pháp CM ba điểm thẳng hàng: Chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt

II HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG:

Định lý 1: A ∉ b ⇒ ∃! a ∋ A, a // b

b a

A

Định lý 2: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân

biệt lần lượt đi qua hai đt // thì giao tuyến

của chúng (nếu có) // với hai đt đó

Định lý 2: Hai đt phân biệt cùng //

với một đường thẳng thứ ba thì // nhau

α

III ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG:

Định lý 1:

d d //

d // a

α

α α

⊄



⇒



Định lý 2:

d //

a

α β

β α





 ∩ =



Định lý 3:

a

// d

β α

α

β

∩ =









Định lý 4: Cho a chéo b ⇒ ∃! α ⊃ a, α //b

IV HAI MẶT PHẲNG SONG SONG:

Định lý 1:

// a //

a

α β

β α



⇒

∀ ∈



Định lý 2:

b //

α

β

⊃ ∩









Hệ thống kiến thức Toán 11

Định lý 3:

//

β α

β α



∉ ⇒ 



Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng α // β thì ∀ γ cắt α đều phải cắt β và các giao tuyến của chúng //

V HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP:

VI PHÉP CHIẾU SONG SONG:

Cho mặt phẳng α và đường thẳng l

không song song α

Với mỗi M, đường thẳng đi qua M và // l

sẽ cắt α tại M’ được gọi là hình chiếu của M

lên α theo phương l

α: Mặt phẳng chiếu

l

α

M

M '

Định lý 1: Phép chiếu song song bảo toàn sự thẳng hàng và thứ tự giữa các điểm thẳng hàng

Hệ quả: Phép chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng, tia là tia, đoạn thẳng là đoạn thẳng

Định lý 2: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng // hoặc trùng nhau

Định lý 3: Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng hoặc // hoặc cùng nằm trên một đường thẳng

VII ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:

Định lý 1: Đường thẳng d vuông góc mặt phẳng α khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong α

Định lý 2: Cho điểm O và đường thẳng d, ∃! α ∋ O, α ⊥ d

Định lý 3: Cho điểm O và mặt phẳng α, ∃! đường thẳng d ∋ O, d ⊥ α

Hệ thống kiến thức Toán 11 Chú ý: Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì // nhau

VIII HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC:

ĐN: Hai mặt phẳng vuông góc nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia

Tính chất 1

a

β α

⊥



 ∩ =



 ⊥



Tính chất 2

A a

a A a

α

α β

⊥



 ∈

 ∋



 ⊥



Tính chất 3

d d

α β

β δ

∩ =





 ⊥



Tính chất 4

a !β a

α

β α



⊥



IX KHOẢNG CÁCH: (Distance)

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường

thẳng: Cho điểm O và đường thẳng d, H là hình

chiếu vuông góc của O lên d, ta có: d(O, d) = OH

O

2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng: Cho điểm O và mặt phẳng α, H là hình

chiếu vuông góc của O lên α, ta có: d(O, α) = OH

α

H O

3 Khoảng cách giữa một đường thẳng và

một mặt phẳng song song:

Cho d // α, ta có d(d, α) = d(A, α) (A ∈ d)

d

α

H O

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Cho α // β, d(α, β) = d(A, β) (A ∈ α)