Sử dụng phương pháp tọa độ giải các bài tập hình học

Chuyên đề hướng dẫn sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học thuần túy

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁPVÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘGIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP THƯỜNG GẶP



A ĐẶT VẤN ĐỀ:

Dựa vào phương pháp toạ độ do chính mình phát minh Descartes đã sáng lập

ra môn hình học giải tích Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằngngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học.Việc này giúp ta bỏ đi thói quen tưduy cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng củatoán học và nhiều lĩnh vực khác

Trong dạy và học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải các bài toán làviệc làm rất cần thiết, chọn được công cụ thích hợp tất nhiên lời giải sẽ tốt nhất

Sau đây tôi xin trình bày việc sử dụng“phương pháp vectơ và toạ độ” để giải một

số bài toán sơ cấp ơ’ phổ thông

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

PHẦN I: LÝ THUYẾT

I HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG.

1 Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc

với nhau.Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vị e e 1, 2 .Như vậy ta cómột hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy

2 Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: Cho điểm M trong mp Oxy.

Hạ MH vuông góc x’Ox và MK vuông góc y’Oy Theo qui tắc hình bìnhhành, ta có:

hệ trục Oxy và ký hiệu là a= (x,y)

5 Phương trình của đường thẳng, đường tròn

* Phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x0, y0) và nhận véctơ

2 Toạ độ của một điểm và của một véc tơ

Cho điểm M trong kh ông gian Oxyz Hạ MH vuông góc x’Ox, MKvuông góc y’Oy và ML vuông góc z’Oz Theo qui tắc hình hộp, ta có :

Cho a Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a

Các phép tính vectơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một vectơ, tích

vô hướng, tích có hướng hai vectơ được xác định như sau:

Cho hai vectơ a (a a a b1 , 2, ) ;3 (b b b1 , 2, )3

và gọi  là góc tạo bởi haivectơ đó

Cho (D) là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương a (a a a1, 2 , ) 3

và điểm M Giả sử ta tính được AM  (b b b1, 2 , ) 3

5 Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu.

a Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0,y0,z0) và có cặpvectơ chỉ phương a(a a a b1, 2, ) ;3 (b b b1, 2, )3

III CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PPTĐ TRONG MẶT PHẲNG:

1 CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ :

Ta có AB AC BC  với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây

3

2 2 3

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Bài 3 Giải bất phương trình:

5 2 3 5

(cos ,1)

(cos2 ,0)(sin ,1)

Bài 6 : T ìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 min

k

p q pq x

xy

4 1 4

1 4 7 2

u kv k

x k x k

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thoả điềukiện (3)

Vậy Pt có nghiệm khi

2

m m

2 2

1 3 ,

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, các cạnh góc vuông là bvà c, M là một điểm trên

cạnh BC sao cho góc BAM =  Chứng minh rằng:

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Khi đó A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y)

Từ định nghĩa: x = AM cos , y = AM sin

Nên M(AM cos , AM sin )

Do M thuộc BC  CM cùng phương v ới CB

x

yc

My

Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài các trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn

ngoại tiếp lần lượt làm m m R a, b, c,

3 2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) 0

3 2(3 2sin 2sin 2sin ) 0

9 sin sin sin

a

b

C

MB

Y

Bài 4 (Đề thi HSG toàn quốc – Năm 1979)

Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Chứng minh giá trịcủa MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí của M

Vậy giá trị MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M

B ài 5 (Đ ề thi v ô đ ịch Anh - n ăm 1981)

Cho tam giác ABC cân tại A D là trung điểm cạnh AB, I là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC, E là trọng tâm của tam giác ACD Chứng minh IE vuông gócCD.

Gi ải

Chọn hệ trục như hình vẽ (O là trung điểm của BC)

Khi đó : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0)

D

Thử lại ta được hệ đã cho có 3 nghiệm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1)

Bài 2 : Giải bất phương trình:

Giải

Xét trong Không gian Oxyz các vectơ:

( , , ) (1,1,1)

u x y z v

(Thoả (1) Vậy: x=y=z=1 là nghiệm duy nhất của hệ (1)

Bài 4 : Cho a, b là hai số thực tuỳ ý Chứng minh rằng

1cos( , )

Chọn hệ trục toạ độ vuông góc oxyz (như hình vẽ )

Sao cho: A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(với OA=a,OB=b,OC=c)

Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:

Bài 2:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, AA’ = c.

a/ Tính diện tích của tam giác ACD’ theo a, b, cb/ Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC Hãy tính thể tíchcủa tứ diện D’DMN theo a, b, c

Byz

2 2 2 2 2 2

1 [ , ]' 2

12

Bài 3:Cho hai nửa mp (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến (d) Trên (d)

lấy AB = a (a là độ dài cho trước) Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (d) và ởtrong (Q) lấy điểm N sao cho BN = a22

a

b MinMN a khi b a

Bài 4: Cho một góc tam diện ba mặt vuông góc Oxyz Lấy lần lượt trên Ox,

Oy,Oz các điểm P, Q, R khác điểm O Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của PQ, QR,

RP Chứng minh rằng nếu góc nhị diện cạnh OA của tứ` diện OABC là góc nhị diệnvuông thì hai góc B và C của tam giác ABC thoả hệ thức tgB.tgC = 2

a

b c a c a b tgC

Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz sao cho A trùng O, B(b,0,.0),C(0,c,0)

x b y z y c z x y z

x b y c z

x b

y c z

Trang 20