Chyên đề một số dạng căn bản trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC - 52 DẠNG TOÁN Trong các bài toán khảo sát hàm số Dành cho học sinh Lời mở đầu: các em thân mến.. Nhưng ở một mức độ khó nhất định bao gồm một số dạng được “ tạm”

Trang 1

HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC

52 DẠNG THƯỜNG GẶP LIÊN QUAN KSHS

 Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số bậc 3:

 Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số trùng phương:

 Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số nhất biến:

 Dạng bài toán: “viết phương trình tiếp tuyến” của đồ thị hàm số

 Dạng bài toán: Biện luận phương trình bằng đồ thị

 Dạng bài toán: Tìm GTLN – GTNN của hàm số

 Dạng bài toán: Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng, trục

đối xứng

 Dạng bài toán: Điểm thuộc đồ thị, điểm cố định của một họ đồ thị



Biên soạn: Đỗ Tấn Lộc – THPT Chu Văn An

Trang 2

HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC - 52 DẠNG TOÁN

Trong các bài toán khảo sát hàm số

( Dành cho học sinh) Lời mở đầu: các em thân mến Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất “đa dạng” rất “phong

phú” rất rất (  he he ) Nhưng ở một mức độ khó nhất định bao gồm một số dạng được “ tạm”

chia ra như sau:

Các em hãy lưu ý rằng: Đây không phải là tất cả các dạng toán mà chỉ là các dạng toán thông dụng

xuất hiện thường xuyên trong các kỳ kiểm tra, thi HK, thi TNPT & thi ĐH-CĐ

 Các dạng đặc trưng riêng cho từng loại hàm số

(trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C,D )

Dạng 1: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m

Định m để hàm số đồng biến trên ℝ?

Định m để hàm số nghịch biến trên ℝ?

Phương pháp:

Tìm TXĐ

Xét trường hợp riêng A = 0 ( nếu A có chứa tham

số m): Hàm số trở thành

y = Cx + D ( C > 0) (thỏa đề)

 Trường hợp A  0:

Ta có: y’ = ax2 + bx + c

y’ = 0  ax2 + bx + c = 0

Hàm số đồng biến trên  ℝ ⇔ > 0

Δ ≤ 0

Phương pháp:

Tìm TXĐ

Xét trường hợp riêng A = 0 ( nếu A có chứa tham

số m): Hàm số trở thành

y = Cx + D ( C < 0) (thỏa đề)

y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ < 0

Δ ≤ 0

Dạng 3*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số

m Định m để hàm số đồng biến trên miền K

(Thường miền K là (a;b) )

m Định m để hàm số nghịch biến trên miền K

(Thường miền K là (a;b) )

Phương pháp: (Vận dụng GTLN – GTNN của hàm số)

Tìm TXĐ

 Tìm y’

 Hàm số đồng biến trên K = (a;b)

 y’ ≥ 0, ∀ ∈

 ≤ ( ), ∀ ∈ (ℎ ≥ ( ), ∀ ∈ )

Phương pháp: (Vận dụng GTLN – GTNN của hàm số)

Tìm TXĐ

 Tìm y’

 Hàm số nghịch biến trên K = (a;b)  y’ ≤ 0, ∀ ∈

 ≥ ( ), ∀ ∈ ℎ ≤ ( ), ∀ ∈  m ax ( ) ( min ( ) )

Định m để hàm số có cực trị ?

Định m để hàm số không có cực trị ?

Phương pháp:

Tìm TXĐ

Xét trường hợp riêng A = 0 ( suy ra m): nếu hàm

số trở thành

y = Bx2 + Cx + D (B0) (thỏa đề - vì hàm số bậc 2

luôn có 1 cực trị)

Phương pháp:

Tìm TXĐ

Xét trường hợp riêng A = 0 ( suy ra m):

Nếu hàm số trở thành

y = Bx2 + Cx + D (B0) (không thỏa đề - vì hàm

số bậc 2 luôn chỉ có 1 cực trị)

Nếu hàm số trở thành

Trang 3

y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1)

Hàm số có cực trị  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

và y’ đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm ấy⇔ ≠ 0

Δ > 0

y = CX + D ( thỏa đề - vì không có cực trị)

y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1) Hàm số không có cực trị  pt (1) vô nghiệm hoặc

có 1 nghiệm kép ⇔ ≠ 0

Δ ≤ 0

Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu?

Dạng 8: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m Định m để hàm số không có cực đại và cực tiểu?

Phương pháp:

Tìm TXĐ

 Ta có: y’ = ax2

+ bx + c y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1)

Hàm số có cực đại và cực tiểu  pt (1) có 2 ng

phân biệt và y’ đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm ấy

⇔ ≠ 0

Δ > 0

Lưu ý:Không xét trường hợp riêng A = 0 vì hàm số

nếu có cực trị thì nhiều nhất là 1 cực trị  không

thể vừa có cực đại vừa có cực tiểu

Phương pháp:

Tìm TXĐ

+ bx + c y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1) Hàm số không có cực đại và cực tiểu  pt (1) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép

⇔ ≠ 0

Δ ≤ 0

Lưu ý:Không xét trường hợp riêng A = 0 vì hàm số nếu có cực trị thì nhiều nhất là 1 cực trị  không thể vừa không có cực đại vừa không có cực tiểu

Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm 2

phía so với trục Oy

Dạng 10: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía so với đường thẳng x = x 0

Phương pháp:

Tìm TXĐ

 Ta có: y’ = ax2 + bx + c

y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1)

YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 và

x1 < 0 < x2  a.c < 0

Phương pháp:

Tìm TXĐ

 Ta có: y’ = ax2 + bx + c

y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1) YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 và

x1 < x0 < x2  ( + + ) < 0

Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có

hoành độ âm ( Hoành độ nằm bên trái gốc O)

Dạng 12: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương (Hoành độ nằm bên phải gốc O)

Phương pháp:

Tìm TXĐ

+ bx + c y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1)

x1 < x2 < 0

⇔

≠ 0

Δ > 0

< 0

> 0

Phương pháp:

Tìm TXĐ

+ bx + c y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1) YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 và

0 < x1 < x2

⇔

≠ 0

Δ > 0

> 0

m Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có

hoành độ nhỏ hơn 

m Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn 

Phương pháp:

Tìm TXĐ

 Ta có: y’ = ax2 + bx + c

y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1)

Phương pháp:

Tìm TXĐ

 Ta có: y’ = ax2 + bx + c

y’ = 0  ax2 + bx + c = 0 (1)

Trang 4

x1 < x2 < 

⇔

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧ Δ > 0≠ 0

2− < 0

( ) > 0

(với g(x) = ax + bx + c)

 < x1 < x2

⇔

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧ Δ > 0≠ 0

2− > 0 ( ) > 0

(với g(x) = ax + bx + c)

Định m để hàm số đạt cực đại tại x = x 0 ?

Dạng 16: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 ?

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

 Hàm số đạt cực đại tại x = x0  y’(x0) = 0  giá

trị của tham số m

Thử lại: ( có 2 cách )

Dùng dấu hiệu 1: thay giá trị m vào y’ và xét dấu

y’ và xem hàm số có đạt cực đại tại x = x0 không

(nếu có thì giá trị m nhận được vì thỏa đề bài)

Dùng dấu hiệu 2:

 Tính y’’

 Thay giá trị m vừa tìm được và x = x0 vào y’’ ta

được y’’(x0)

(Nếu y’’(x 0 ) < 0 thì giá trị m thỏa đề bài)

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

 Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0  y’(x0) = 0  giá trị của tham số m

Thử lại: ( có 2 cách )

Dùng dấu hiệu 1: thay giá trị m vào y’ và xét dấu y’ và xem hàm số có đạt cực tiểu tại x = x0 không

(nếu có thì giá trị m nhận được vì thỏa đề bài)

Dùng dấu hiệu 2:

 Tính y’’

 Thay x = x0 và giá trị m vào y’’ ta được y’’(x0)

(Nếu y’’(x 0 ) > 0 thì giá trị m thỏa đề bài)

Dạng 17: Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x,m) và 1

đường thẳng (d): y = g(x,m) Tìm tham số m sao

cho (C) và (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

Dạng 18: Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x,m) và 1

đường thẳng (d): y = g(x,m) Tìm tham số m sao cho (C) và (d) cắt nhau tại 3 điểm A,B,C sao cho

AB = BC ( hay 3 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp

số cộng)

Phương pháp: (cách này áp dụng khi nhẩm được 1

nghiệm của PTHĐGĐ)

 Lập PTHĐGĐ của (C) và (d):

f(x,m) = g(x,m)

0

(x x )(ax bx c) 0

0 2

0

x x

bx c



 



(C) (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

 pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác x0

2

0 0

ax 0

a

 



  



  



(giải tìm tham số m)

Phương pháp:

 Lập PTHĐGĐ của (C) và (d):

f(x,m) = g(x,m)

     (*)

 Giả sử (*) có 3 nghiệm phân biệt ; ; có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng

⇒ 2 = + (1) Mặt khác: + + = − (2)

Từ (1) và (2)  x2 = thay vào (*) tìm được tham

số m

 thay tham số m giải phương trình nếu tìm được 3 nghiệm lập thành 1 CSC thì giá trị m thỏa đề bài

( Have fun  .)

Dạng này được áp dụng hoàn toàn tương tự

cho hàm số trùng phương y = Ax4 + Bx2 + C

hay các dạng hàm số khác

Dạng này được áp dụng hoàn toàn tương tự

cho hàm số trùng phương y = Ax4 + Bx2 + C

hay các dạng hàm số khác

Trang 5

 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG:

(trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C )

Tìm m sao cho hàm số có 3 cực trị

Dạng 20: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m Tìm m sao cho hàm số có 1 cực trị

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

 y’ = 4Ax3 + 2Bx

y' = 0  4Ax3 + 2Bx = 0  2

0

(*) 2

x B x

A







  



 Hàm số có 3 cực trị  0

2

B A

 

( giải tìm m và kết luận)

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

 y’ = 4Ax3 + 2Bx

y' = 0  4Ax3 + 2Bx = 0  2

0

(*) 2

x B x

A







  



2

B A

 

( giải tìm m và kết luận) Dạng 21: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m

Tìm m sao cho hàm số có cực đại và không có

cực tiểu

Dạng 22: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m Tìm m sao cho hàm số có cực tiểu và không có cực đại

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

 y’ = 4Ax3

+ 2Bx

y' = 0  4Ax3 + 2Bx = 0  2

0

(*) 2

x B x

A







  



 Hàm số có cực đại và không có cực tiểu



0

0 0 0

2

A

A B

B A















  



( giải tìm m và kết luận)

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

 y’ = 4Ax3

+ 2Bx

y' = 0  4Ax3 + 2Bx = 0  2

0

(*) 2

x B x

A







  



 Hàm số có cực tiểu và không có cực đại



0

0 0 0

2

A

A B

B A















  



( giải tìm m và kết luận)

m Tìm m sao cho đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo

thành tam giác vuông cân

m Tìm m sao cho đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

 y’ = 4Ax3

+ 2Bx

y' = 0  4Ax3 + 2Bx = 0 

2

0

(*) 2

x B x

A







  



2

B A

 

 Tìm tọa độ 3 điểm cực trị:

M(xM;yM), N(0;C) và P(xP;yP)

 MNP vuông cân (tại N)  NM NP   0

 tìm được tham số m

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

 y’ = 4Ax3

+ 2Bx

y' = 0  4Ax3 + 2Bx = 0 

2

0

(*) 2

x B x

A







  



2

B A

 

 Tìm tọa độ 3 điểm cực trị:

M(xM;yM), N(0;C) và P(xP;yP)

60

os

2

NM NP

 

   tìm được tham số m

Trang 6

 Cách khác:  MNP đều  NM = MP

Dạng 25*: Cho hàm số y = f(x,m) (C) chứa

tham số m Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt Ox

tại 4 điểm phân biệt

m Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 tạo thành 1 cấp Số cộng

Phương pháp:

 Lập PTHĐGD của (C) và Ox:

 đặt t = x2 ( t  0), pt trở thành:

At2 + Bt + C = 0 (2)

 YCBT  pt (1) có 4 nghiệm phân biệt

 pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

0 0 0 0

A

S

P





 



 





 



Phương pháp:

 Lập PTHĐGD của (C) và Ox:

 đặt t = x2 ( t  0), pt trở thành:

At2 + Bt + C = 0 (2)

 YCBT  pt (1) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3,

x4 tạo thành 1 cấp số cộng

 pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

0 < t1 < t2 và t2 = 9t1

 Sử dụng:

t2 = 9t1 và Viet: t1 + t2 = -B/A, t1t2 = C/A

(ta suy ra giá trị tham số m)

 Thử lại: thay vào (1) để giải tìm x (nếu có 4 nghiệm phân biệt tạo thành 1 CSC thì giá trị m vừa tìm thỏa đề

 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ NHẤT BIẾN:

Ax B y





 có đạo hàm ' ( )2

y







(trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C,D )

Định m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

thuộc tập xác định?

Dạng 28: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m Định m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng thuộc tập xác định?

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

( )

y







 Hàm số đồng biến trên từng khoảng thuộc tập xác

định  y’ > 0  AD – BC > 0

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

( )

y







 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng thuộc tập xác định  y’ < 0  AD – BC < 0

Lưu ý: pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t 1 < t 2

thì pt (1) có 4 nghiệm phân biệt x 1,2 =  t1, x 3,4

=  t2đối xứng từng cặp qua gốc tọa độ O

MNP luôn là 1 tam giác cân tại N, nên chỉ

cần vuông tại N thì MNP là tam giác vuông

cân  thỏa đề bài (ten ten ten tèn )

MNP luôn là 1 tam giác cân tại N, nên chỉ cần góc N bằng 600 hoặc cạnh bên NM (hay NP) bằng cạnh đáy MP là MNP là  đều

Lưu ý:nghiệm của (1) x = , (2) t =



Trang 7

Dạng 29: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt

(d): y = g(x) chứa tham số m Định m để (C) và (d)

cắt nhau tại 2 điểm phân biệt?

Dạng 30: Cho hàm số y = Ax B



 , có đồ thị (C)

Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên?

Phương pháp:

 Lập PTHĐGD của (C) và (d):

Ax

( )

B

g x





 Thu gọn được 1 pt: ax2 + bx + c = 0 (1)

 YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác

=–



≠ 0

∆> 0

(giải tìm m,  he he )

Phương pháp:

 Tìm TXĐ

 Chia tử cho mẫu ta được: y = a +

 Xét từng trường hợp: Cx + D là ước số của b

Lần lượt tìm được:

x nguyên  y nguyên  điểm có tọa độ nguyên

Kết luận:

Dạng 31: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt

(d): y = g(x) chứa tham số m Định m để (C) và (d)

cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của

đồ thị (C)?

Dạng 32: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt (d): y = g(x) chứa tham số m Định m để (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc 1 nhánh của

đồ thị (C)?

Phương pháp:

Ax

( )

B

g x





 YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và

x1 < = − < x2  ( ) < 0 với g(x) = ax2

+ bx + c

 ( + + ) < 0

(Giải tìm m – have fun  )

Phương pháp:

Ax

( )

B

g x





 YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và

< < = − hay − = < <

⟺

≠ 0

∆> 0 ( ) > 0

với g(x) = ax2 + bx + c

⟺

≠ 0

∆> 0 ( + + ) > 0

 Các dạng CHUNG cho các hàm số được học trong chương trình

 CÁC BÀI TOÁN CĂN BẢN VỀ: VIẾT PTTT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Dạng 33: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết

PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp điểm

M0(x0;y0)

Dạng 34: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết hoành độ

tiếp điểm x0 Phương pháp:

 PTTT có dạng: y – y0 = f’(x0)(x – x0) (1)

 Ta có: x0 = ; y0 =

 Tìm y’ = f’(x)  f’(x0)

Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT

Phương pháp:

 Ta có: x0 =  y0 =

 Tìm y’ = f’(x)  f’(x0) Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT

Dạng 35: Cho hàm số y = f(x) (*) có đồ thi (C)

Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết

tung độ tiếp điểm y0

Dạng 36: Cho hàm số y = f(x) có đồ thi (C) Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết hệ số góc

k của tiếp tuyến

Phương pháp:

 PTTT có dạng: y – y0 = k(x – x0) (1)

Trang 8

 Ta có: y0 = thay vào (*)  x0 =

 Tìm y’ = f’(x)  f’(x0)

 Tìm y’ = f’(x)

 Lập pt: f’(x) = k ( giải phương trình này tìm

được x = x 0 )  y = y0 Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT

PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b

Dạng 38: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b Phương pháp:

Do tt song song với (d): y = ax + b

 hệ số góc của tiếp tuyến k = a

 Tìm y’ = f’(x)

được x = x 0 )  y = y0

Phương pháp:

Do tt song song với (d): y = ax + b  hệ số góc của tiếp tuyến k = −

 Tìm y’ = f’(x)

được x = x 0 )  y = y0 Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT

PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp

tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

Dạng 40: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp

tuyến đi qua điểm có hoành độ thỏa phương trình: f'’(x) = 0 hay f’’(x) = b (*)

Phương pháp:

 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua A

 PTTT có dạng: y = k(x – xA) + yA (*)

Lập hệ phương trình:

( ) = ( − ) + (1)

( ) = (2)

 giải hệ pt này bằng cách thay (2) vào (1)

Tìm được x =  k = (có thể có nhiều x, nhiều k)

Thay k vào (*) để kết luận

Phương pháp:

 tìm f’(x) , f’’(x), thay vào pt (*) giải tìm x = x0  y = y0 và f’(x0) =

 Thay x0, y0 f’(x0) vào dạng PTTT

y – y0 = f’(x0) (x – x0)

 BÀI TOÁN: BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Dạng 41: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) (dạng

này thường là hàm số bậc 3, trùng phương) Biện luân

phương trình: g(x,m) = 0 (*)

Dạng 42: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) (dạng này thường là hàm số bậc 3, trùng phương) Biện luân

phương trình: g(x,m) = 0 (*) Phương pháp:

 Biến đổi phương trình đề cho (*) về dạng:

g(x,m) = 0 (*)

 f(x) = m (vế trái đúng bằng hàm số có đồ thị (C)

 Đặt y = f(x) có đồ thị là (C)

Đặt y = m có đồ thị là 1 đường thẳng (d) nằm

ngang

 Lập bảng biện luận ( gồm 3 cột)

Chú ý: dùng các giá trị y CĐ và y CT để biện luận

Phương pháp:

 Biến đổi phương trình đề cho (*) về dạng: g(x,m) = 0 (*)

 f(x) = h(m) (vế trái đúng bằng hàm số có đồ thị (C)

 Đặt y = f(x) có đồ thị là (C) Đặt y = h(m) có đồ thị là 1 đường thẳng (d) nằm ngang

 Lập bảng biện luận ( gồm 4 cột)

Chú ý: biện luận theo cột h(m) trước xong rồi từ cột h(m) suy ra cột m

m Số giao điểm của

(C) và (d)

Số nghiệm của

pt (*)

m h(m) Số giao điểm

của (C) và (d)

Số nghiệm của

pt (*)

Trang 9

 BÀI TOÁN: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT & GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

Dạng 43: Cho hàm số bậc nhất: y = f(x) = ax + b

Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [a;b]

Dạng 44: Cho hàm số bậc hai: y = ax2 + bx + c

Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [a;b]

Phương pháp:

(So sánh f(a) và f(b) để chọn Max, Min)

 Nếu a > 0  hàm số luôn tăng trên ℝ  hàm số

tăng trên [a;b] 

ax ( ), ( )

 Nếu a < 0  hàm số luôn giảm trên ℝ  hàm số

giảm trên [a;b] 

( ), ax ( )

Chú ý:

 ≥ ( ), ∀ ∈ [ ; ] ⟺ ≥ ( )

≥ ( )

 ≤ ( ), ∀ ∈ [ ; ] ⟺ ≤ ( )

≤ ( )

Phương pháp:

(So sánh f(a), f(b)và (− ) để chọn Max, Min)

 Nếu  [a;b]:

ax ax{ ( ); ( )} , { ( ); ( )}

 Nếu  [a;b]:

[ ; ]

ax ax{ ( ); ( ); ( )} ,

2

{ ( ); ( ); ( )}

2

x a b

b

a b

a



Chú ý: x = -b/2a là hoành độ đỉnh của parabol

Dạng 45: Cho hàm số y = f(x) Tìm GTLN –

GTNN của hàm số trên [a;b]

(phương pháp chung sử dụng đạo hàm)

Dạng 46: Cho hàm số y = f(x) Tìm GTLN – GTNN

của hàm số trên (a;b)

(phương pháp chung sử dụng đạo hàm)

Phương pháp:

 Xét hàm số trên [a;b]

 Tìm y’ và cho y’ = 0 giải tìm nghiệm x1, x2

thuộc [a;b]

(các nghiệm không thuộc [a;b] bị loại )

 Tính các giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2) , và so

sánh và kết luận

- GTLN của hàm số là: M = tại x =

(

[ ; ]

ax

x a b



 tại x = )

- GTNN của hàm số là: m = tại x =

(

[ ; ]

x a b

Miny



 tại x = )

Phương pháp:

 Xét hàm số trên (a;b)

 Tìm y’ và cho y’ = 0 giải tìm nghiệm (nếu có)

 Lập BBT của hàm số trên (a;b)

 Dựa vào BBT để kết luận

- GTLN của hàm số là: M = tại x =

(

( ; )

ax

x a b



 tại x = )

- GTNN của hàm số là: m = tại x =

(

( ; )

x a b

Miny



 tại x = )

 BÀI TOÁN: CHỨNG MINH SỰ ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ ( TRỤC ĐX – TÂM ĐX)

Dạng 47: Cho hàm số y = f(x) CMR đồ thị hàm số

đối xứng qua trục tung Oy

đối xứng qua đường thẳng x = a

(song song trục tung)

Phương pháp: (CM hàm số y = f(x) là hàm số chẵn)

 Tìm TXĐ D

( xác nhận tập D là tập đối xứng:  x  D  -x  D)

 Tính f(-x) = = f(x)

 Kết luận hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nên có

Phương pháp:

 Dùng công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo vec tơ ⃗ = ( ; 0): ==− (*)

 Thay (*) vào biểu thức y = f(x) và rút gọn thành

Trường hợp này luôn tìm được GTLN và

GTNN của hàm số

Trường hợp này GTLN, GTNN của hàm số có

thể không tồn tại

Trang 10

đồ thị đối xứng qua trục tung Oy Y = g(X) (rồi CM hàm số Y = g(X) là hàm số chẵn)

 Tìm TXĐ D của hàm số Y = g(X)

( xác nhận tập D là tập đối xứng:  X  D  -X  D)

 Tính g(-X) = = g(X)

 Kết luận hàm số Y = g(X) có đồ thị đối xứng qua đường thẳng x = a

đối xứng qua gốc tọa độ O

Dạng 50 : Cho hàm số y = f(x) CMR đồ thị hàm số

đối xứng qua điểm I(a;b) ( Điểm I có thể là giao điểm của 2 tiêm cận, hoặc 1 điểm I(a;b) cho trước nào đó)

Phương pháp: (CM hàm số y = f(x) là hàm số lẻ)

 Tìm TXĐ D

( xác nhận tập D là tập đối xứng:  x  D  -x  D)

 Tính f(-x) = = - f(x)

 Kết luận hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên có đồ

thị đối xứng qua gốc tọa độ O

Phương pháp:

 Dùng công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo

 Thay (*) vào biểu thức y = f(x) và rút gọn thành

Y = g(X) (rồi CM hàm số Y = g(X) là hàm số lẻ)

 Tìm TXĐ D của hàm số Y = g(X)

( xác nhận tập D là tập đối xứng:  X  D  -X  D)

 Tính g(-X) = = - g(X)

 Kết luận hàm số Y = g(X) có đồ thị đối xứng qua đường thẳng điểm I(a;b)

 BÀI TOÁN: VỀ ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ - ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA 1 HỌ ĐƯỜNG (Cm)

Dạng 51: Cho hàm số y = f(x,m) (*) có đồ thị (Cm)

Tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị (Cm)

đi qua M 0 (x 0 ;y 0 )

Dạng 52: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (Cm) Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm)

Phương pháp:

 Thay tọa độ điểm M0(x0;y0) vào (*) ta được

phương trình ẩn số m: y0 = f(x0,m)

 Giải pt tìm m

 Kết luận

Phương pháp:

 Gọi M0(x0;y0) là điểm cố định của họ (Cm) ( tức

là thuộc (Cm) với mọi m)

 Biến đổi và thu gọn theo ẩn số m ta được 1 trong

các dạng phương trình sau:

 Cho tất cả các hệ số a,b,c bằng không ta được 1

hệ phương trình theo x0; y0

 Giải tìm x0, y0 và kết luận theo từng cặp (x0;y0)

x

y

O

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	427,32 KB