KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.. Bất đẳng thức Bunhiaxcopky... HD: Biến đổi, đưa về bất đẳng thức tam giác.. Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức ⇒ đpc
Trang 1A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Khái niệm:
A > B ⇔ A – B > 0 ; A < B ⇔ A – B < 0
A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 ; A ≤ B ⇔ A – B ≤ 0
2 Tính chất:
1) A > B và B > C ⇒ A > C
2) A > B ⇔ A + C > B + C
3) A > B ⇔ AC > BC nếu C > 0 và AC < BC nếu C < 0
4) A > B, C > D ⇔ A + C > B + D
5) A > B > 0 và C > D > 0 ⇒ A.C > B.D
6) A > B > 0 và n ∈ N* ⇒ An > Bn
7) A > B > 0 và n ∈ N ⇒ n A > nB
8) A > B ⇒ 1 1
A < B nếu AB > 0 Hoặc: 1 1
A > B nếu AB < 0
B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1 Phương pháp biến đổi tương đương
Bài 1: Chứng minh: a + b ≥ ab (1) ∀a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi)
HD: (1) ⇔ a + b – ab = ( )2
a− b ≥0(đúng)
Bài 2: Chứng minh: (a + b)2 ≥ 4ab
HD: Biến đổi đưa về (a – b)2 ≥ 0
Bài 3: Chứng minh: a2 + b2 ≥ 2ab
HD: Xét hiệu, đưa về (a – b)2 ≥ 0
Bài 4: Chứng minh: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky)
HD: Biến đổi hiệu (ac + bd)2 – (a2 + b2)(c2 + d2) thành (ay – bx)2
Bài 5: Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
HD: Biến đổi hiệu a2 + b2 + c2 – ab + bc + ca thành (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
Bài 6: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + 1 ≥ a + b + c + d
HD: Biến đổi a2 + b2 + c2 + d2 + 1 – a + b + c + d thành:
− + − + − + −
Bài 7: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ a(b + c + d + e)
HD: Biến dổi về dạng:
− + − + − + − ≥
Bài 8: Chứng minh: (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2)
HD: Biến đổi về dạng: (ay – bx)2 + (az – cx)2 + (bz – cy)2 ≥ 0
Bài 9: Chứng minh a4 + b4 ≥ ab3 + a3 b ∀a, b ≥ 0
HD: Biến đổi, phân tích thành: (a – b)2(a2 + ab + b2) =
− + + ≥ ∀
Bài 10: Chứng minh:
3
+ ≥ +
HD: Xét hiệu, phân tích thành nhân tử ⇒ đpcm
Bài 11: Chứng minh:
2
+ ≥ + HD: Quy đồng mẫu, xét hiệu đưa về dạng: (a – b)2 ≥ 0
Bài 12: Chứng minh:
2
≥ HD: Xét hiệu, đưa về dạng: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0
Trang 2Bài 13: Chứng minh: x y 4
xy+ ≥ x y
+ ∀x, y > 0
HD: Biến đổi về (x + y)2 ≥ 4xy ⇒ tương tự bài 2
Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A = 2005+ 2007 và B = 2 2006
HD: Chứng minh A2 ≥ B2⇒ đpcm
Bài 15: Chứng minh: a2 + b2 ≥ a + b 1
2
−
HD: Biến đổi đưa về
− + − ≥
Bài 16: Chứng minh:
2 2
2
a+ + ≤1 + HD: Quy đồng: 2a2 + 2a + 2 ≤ 3a2 + 3 ⇔ (a – 1)2
a
+ ≥ ∀ > b) a 1 2, a 0
a + ≤ − ∀ < HD: a) Vì a > 0 nên: a2 – 2a + 1 ≥ 0 ⇔ (a – 1)2 ≥ 0 b) Vì a < 0: a2 + 2a + 1 ≥ 0 ⇔ (a + 1)2 ≥ 0
Bài 18: Chứng minh: a) Nếu ab > 0 thì: a b 2
b+ ≥a b) Nếu ab < 0 thì: a b 2
b+ ≤ −a HD: a) Từ (a – b)2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab Chia cả hai vế của a2 + b2 ≥ 2ab cho ab > 0 ⇒ đpcm b) Chia cả hai vế của a2 + b2 ≥ –2ab cho ab < 0 ⇒ đpcm
HD: Biến đổi, đưa về: (a – b)(x – y) ≥ 0 (đúng)
Bài 20: Cho a > 0, b > 0, c > 0 Chứng minh: a b c 2 1 1 1
+ + ≥ + + HD: Do a, b, c > 0 Thực hiện quy đồng, biến đổi về: (a + b + c)2 ≥ 0 (đúng)
1 ab
+
HD: (*) ⇔ 2 a2 22 b22 2 2
1 ab
+
2(1 – ab) ≤ 0 (đúng)
Bài 22: Cho x, y ≠ 0 Chứng minh:
+ + ≥ +
HD: Đặt x y t
y+ x = ( | t | ≥ 2 ) Bất đẳng thức viết lại: t2 – 3t + 2 ≥ 0 ⇔ (t – 1)(t – 2) ≥ 0, ∀| t | ≥ 2
Bài 23: Chứng minh: (a – 1)(a – 3)(a – 5)(a – 7) + 15 ≥ 0, ∀a
HD: BĐT ⇔ t(t + 6) + 15 ≥ 0 ⇔ (t + 3)2 + 6 > 0, ∀a
Bài 24: Chứng minh: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 > 0, ∀x
HD: Làm tương tự bài 23
Bài 25: Cho a, b ≥ 0 Chứng minh: a3 + b3 ≥ ab(a + b)
HD: Xét hiệu đưa về bất đẳng thức: (x + y)(x – y)2 ≥ 0
2 Phương pháp làm trội, ước lượng
Bài 26: Chứng minh rằng tổng sau đây không là số tự nhiên: S 12 12 12 12(n 2)
HD: Dễ thấy A > 1 Mặt khác: A 1 1 1 1 1 2 1 2
Trang 3HD: Làm tương tự bài 1
HD: Làm tương tự bài 1
1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2)
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
Bài 30: Chứng minh: A = 1 + 1 + 1 + + 1 > (n1 N, n > 1)
HD: Thay mỗi số hạng của tổng bởi số nhỏ nhất là 1
> = (đpcm)
Bài 31: Chứng minh: B = 1 + 1 + 1 + + 12 1.(n N, n > 1)
HD: Thay mỗi số hạng của tổng bởi số nhỏ nhất là 12
2
n n
> − = − > (đpcm)
Bài 32: Chứng minh: C = 1 + 1 + 1 + + 1 < 1
2! 3! 4! n! (n ∈ N, n ≥ 2)
1.2+ 2.3+ 3.4+ + (n 1)n= − <n
−
Bài 33: Chứng minh: D = 1 + 2 + 3 + +n- 1 1
2! 3! 4! n! < (n ∈ N, n ≥ 2)
−
Bài 34: Chứng minh: A = 12 + 12 + 12 + + 1 2 < 1
2
2 4 6 (2 n) (n ∈ N, n ≥ 1)
= + + + + < + + + + = − <
C2:
( )
< − + − + + − = + + + − + = − + <
4
3 + 5 + 7 + + (2n 1) <
+ (n ∈ N, n ≥ 1)
HD: Làm tương tự cách 2 của bài 6 ⇒ đpcm
3
2 + 3 + 4 + + n < (n ∈ N, n ≥ 2)
< − = − + + ⇒ A =
2
− <
+ + + + + n <
HD: 2A 2 1 1 12 13 n 11
= + + + + + + ⇒ A = 2A – A = 2 1n
2
− < 2
Bài 38: Chứng minh: B = 1 22 33 100100 2
2 + 2 + 2 + + 2 <
Trang 4HD: Làm tương tự bài 9, áp dụng kết quả của bài 9 với n = 99 ta được: B = A 100100 A 2
2
− < <
12
3 + 4 +5 + + n <
(n 1)n(n 1) 2 n(n 1) n(n 1)
2 6= 12
Bài 40: Chứng minh: A = 1 12 13 100100 3
3+3 +3 + + 3 < 4 HD: Ta có: 3A = 1 2 32 10099 2D 1 1 12 199 100100
Đặt: S = 1 1 12 199
+ + + + ⇒ 3S – S = 2S = 3 199 3
3
− < ⇒ 2D < S ⇒ 4D < 2S ⇒ D < 3
4
(n 1)!+ − = (n 1)! (n 1)!−
2
2+ +1! 2! 99 100− − < + +2 1! 2!=
HD: Nhận xét:
2
1 n(n 2) n(n 2)
+
2 .3 (n 1) n 1. 2 2
HD: Nhận xét: 1 2 (n 1)(n 2)
+ + Thay vào và rút gọn: A =
n + >3 3
5+ 13+ + n (n 1) < 2 ∀ ∈
= < − +
1.3+ 1.2.4+ 1.2.3.5+ + 1.2.3 n(n 2)< 2! ∀ ∈
+
1.2.3 n(n 2) 1.2.3 n(n 1)(n 2) 1.2.3 n(n 1)(n 2)
1.2.3 n(n 1) 1.2.3 n(n 1)(n 2) (k 1)! (k 2)!
Bài 46: Chứng minh:
n 1+ n 2 + + n 2005 <
HD: Sử dụng:
(k = 1, 2, , 2005) n
n k < n =
2 1+ 3 2 + + (n 1) n ∀ ∈
+
Trang 5Bài 48: Chứng minh: S = 2 1 1 1 2005
2007
HD: Với n ≥ 1:
2
⇒ S <
2
Bài 49: Cho số A gồm 2007 số hạng sau:
1
1003 HD: Với các số tự nhiên m, k lớn hơn 1 ta có:
Suy ra:
2008 2007 2
A
3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ
Bài 50: Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh tam giác Chứng minh:
a) ab + bc + ac ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
b) abc > (a – b + c)(a + c – b)(b + c – a)
c) 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 > 0
d) a2(b + c – a) + b2(c + a – b) + c2(a + b – c) ≥ 3abc
HD: Biến đổi, đưa về bất đẳng thức tam giác
Bài 51: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh: (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)c ≥ 6abc
HD: Áp dụng bất đẳng thức: x2 + y2 ≥ 2xy ⇒ đpcm
+ +
HD: Áp dụng: (x + y)2 ≥ 4xy, chia hai vế cho số dương 4(x + y): xy x y
+
≤ + Thay x, y bằng 3 cặp số (a, b), (b, c), (c, a) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức ⇒ đpcm
Bài 53: Chứng minh:
b + c + a ≥ + + HD: Áp dụng x2 + y2 ≥ 2xy Nhân 2 vế với 2, làm tương tự bài 3 với 3 cặp a b, , b c, , c a,
a b+ b c+ a c≤ + +a b c
HD: Áp dụng bổ đề: 4 1 1
x y≤ x+ y + cho các cặp số (a, b), (b, c), (c, a) ⇒ đpcm
Bài 55: Cho a, b, c > 0 Chứng minh: 2(a3 + b3 + c3) ≥ a2(b + c) + b2(b + c) + c2(a + b)
HD: Áp dụng bất đẳng thức: x3 + y3 ≥ xy(x + y) cho 3 cặp giao hoán a, b, c ⇒ đpcm
Bài 56: Cho a, b > 0 và a + b = 1 Chứng minh:
+ + + ≥
HD: Áp dụng:
2
2
+
2
2 1
25 ab
+
Cần chú ý là 1 4
ab≥ vì
2
ab
+
≤ =
Trang 6Bài 57: Cho a, b > 0 Chứng minh: (a b) 1 1 4
+ + ≥ HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a+ ≥b 2 ab, 1 1 2
a+ ≥b ab
Bài 58: ∀a, b, c > 0 Chứng minh: (a b c) 1 1 1 9
+ + + + ≥ HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số Làm tương tự bài 8
Bài 59: Cho a, b, c > 0 Chứng minh: (a + b)(b +c)(c + a) ≥ 8abc
HD: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ⇒ suy ra đpcm
a + b + c ≥ + + HD: Viết lại Bất đẳng thức: a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b + c) Áp dụng Côsi ⇒ đpcm
b c+ a c+ b a≥ 2
HD: Biến đổi vế trái, Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số Ta được:
Bài 62: Cho a, b, c > 0 Chứng minh:
+ +
HD: Áp dụng Côsi:
Bài 63: Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c = 1 Chứng minh: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤ 8
729 HD: Áp dụng Côsi: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤
+ + + + + + +
Bài 64: Chứng minh: (p – a)(p – b)(p – c) ≤ abc
8 (a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, p là nửa chu vi ) HD: Áp dụng Côsi cho 3 cặp số: (p – a, p – b), (p – b, p – c), (p – c, p – a) ⇒ đpcm
Bài 65: Cho a > b và ab = 1 chứng minh:
a b
HD: Biến đổi vế trái, áp dụng bất đẳng thức Côsi:
2
Bài 66: Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 3 bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra:
a) a + b < c + d (1)
b) (a + b)(c + d) < ab + cd (2)
c) (a + b)cd < (c + d)ab (3)
(Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2005 – 2006)
C1: Đặt A = c + d – a – b > 0, B = ab – ac – ad – bc – bd + cd > 0, C = abc + abd – acd – bcd > 0 Xét phương trình P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = 0 ⇔ x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + abcd = 0
Phương trình P(x) = 0 có các hệ số dương, do đó không thể có nghiệm dương Theo cách đặt thì phương trình P(x) = 0 lại có 2 nghiệm dương a và b (vô lí) ⇒ đpcm
C2: Giả sử 3 bất đẳng thức trên là đúng Từ (1) và (2) ⇒ (a + b)2 < ab + cd (*)
Từ (2) và (3) ⇒ (a + b)2cd < (ab + cd)ab (**)
Từ (*) ⇒ 4ab < ab + cd ⇒ cd > 3ab (4)
Từ (**) ⇒ 4abcd < (ab + cd)ab ⇒ 4cd < ab + cd ⇒ ab < 3cd (5) Từ (4) và (5) ⇒ đpcm