Tuyển tập bất đẳng thức solved44931

Posted by hxtung Cho a, b, c là các số thực và n là số tự nhiên.. Posted by hxtung Chứng minh rằng với các số thực dương x1x2... Posted by alekk Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,

Trang 1

Tuyển tập Bất Đẳng Thức Solved

Nguyễn Việt Anh Ngày 16 tháng 7 năm 2005

Trang 2

1 Posted by StRyKeR

Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng :

xny+ ynz+ znx≤ n

n

(n + 1)n+1

2 Posted by manlio

Cho x1, x2, , xn là các sổ thực dương nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng :

(x1+ x2+ + xn+ 1)2

≥ 4(x2

1+ x2

2+ + x2

n)

3 Posted by manlio

Cho x1, x2, , xn là các số thực dương Chứng minh rằng :

1

x1

x1+ x2

x1+ x2+ + xn ≤ 1

x1

+ 1

x2

+ + 1

xn

4 Posted by hxtung

Tìm hằng số k, k′ tốt nhất sao cho

k ≤ v+ wv + w

w+ x+

x

x+ y +

y

y+ z +

z

z+ v ≤ k′

với mọi số thực v, w, x, y, z

5 Posted by pcalin

Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:

r

(x + y + z) 1

x +1

y + 1 z

≥ 1 +

s

1 +

r (x2+ y2+ z2) 1

x2 + 1

y2 + 1

z2

6 Posted by Mitzah

Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC

bccos A + ca cos B + ab cos C

asin A + b sin B + c sin C ≥ 2r

7 Posted by georg

Chứng minh rằng

1 2

n−1

≤ x2n+ (1 − x2

)n ≤ 1 trong đó n > 1

Trang 3

Tam giác ABC thỏa mãn sin A sin B sin C = 1

3 Chứng minh khi đó ta có :

p3+ Sr + abc > 4R2

p

9 Posted by Lagrangia

Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a + c = 2b và đặt

A= ax+ by + cz

az+ by + cx

B = ay+ bz + cx

ax+ bz + cy

C = az+ by + cx

ay+ bz + cx Chứng minh rằng max A, B, C ≥ 1

10 Posted by vineet

Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 :

(2a + b + c)2

2a2+ (b + c)2 + (a + 2b + c)

2

2b2 + (c + a)2 + (a + b + 2c)

2

2c2+ (a + b)2 ≤ 8

11 Posted by treegoner

Cho ABC là tam giác nhọn Chứng minh rằng:

tanA

2 + tan

B

2 + tan

C 2

(√ coth A coth B +√

coth B coth C +√

coth C coth A) ≤ 3

12 Posted by DusT

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

2R

r ≤ EE1

2

trong đó

E1 = 1 sin A+

1 sin B +

1 sin C

E2 = sin A + sin B + sin C

Trang 4

13 Posted by Reyes

Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

s

a3

a3+ (b + c)3 +

s

b3

b3+ (c + a)3 +

s

c3

c3+ (a + b)3 ≤ 1

14 Posted by Maverick

Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = √4

abcd Chứng minh rằng

a+ d2

b + c+ a

2

d + b+ c

2

a + d+ b

2

c ≥ 4(1 + E)

15 Posted by Alexander Khrabrov

Cho 0 ≤ bk ≤ 1 với mọi k và

a1 ≥ a2 ≥ an≥ an+1 = 0 Chứng minh rằng

n

X

k=1

akbk≤

h

P n i=1 b i

i

+1

X

k=1

ak

Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng

cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C

17 Posted by galois

Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có bất đẳng thức

cosA − B

2

+ cosB − C

2

+ cosC − A

2

≥ sin3A

2

+ sin3B

2

+ sin3C

2

18 Posted by Valentin Vornicu

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2

+ b2

+ c2

= 9 Chứng minh rằng 2(a + b + c) − abc ≤ 10

19 Posted by Michael

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng

a2

b2+ 1 +

b2

c2+ 1 +

c2

a2+ 1 ≥ 3

2

Trang 5

Cho x1, x2, , xn là các số thực nằm trong [0,1

2] Chứng minh rằng

1

x1 − 1 1

x1 − 1 . 1

x1 − 1≥x n

1+ x2+ + xn − 1n

21 Posted by hxtung

Cho a, b, c là các số thực và n là số tự nhiên Chứng minh rằng

1

a+ b +

1

a+ 2b+ · · · + a+ nb1 < p n

a(a + b)

22 Posted by hxtung

Chứng minh rằng với các số thực dương x1x2 xn thỏa mãn x1x2 xn = 1 bất đẳng thức sau xảy ra

1

n− 1 + x1

n− 1 + x2 + · · · + n 1

− 1 + xn ≤ 1

23 Posted by Mitzah

Chứng minh rằng

√ 2n + 1 −√2n +√

2n − 1 − · · · −√2 + 1 >

r 2n + 1 2

24 Posted by hxtung

Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1] Chứng minh rằng

1 (1 − x)(1 − y)(1 − z) +

1 (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≥ 2

25 Posted by hxtung

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 Chứng minh rằng

√

x+√y

+√

z ≥ xy + yz + zx

26 Posted by keira-khtn

Chứng minh rằng

2x2

2x2+ (y + z)2 + 2y

2

2y2+ (z + x)2 + 2z

2

2z2+ (x + y)2 ≤ 1

Trang 6

27 Posted by georg

mambmc ≥ rarbrc

28 Posted by alekk

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có bất đẳng thức sau

xy + yx>1

29 Posted by billzhao

sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C

30 Posted by hxtung

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z + 2 = xyz Chứng minh rằng

5(x + y + z) + 18 ≥ 8(√xy+√yz+√

zx)

31 Posted by Mitzah

Chứng minh bất dẳng thức sau cho mọi số dương a, b, c

a

a+ 2b + c +

b

b+ 2c + a+

c

c+ 2a + b ≤ 1

Cho x1, x2, x3, x4, x5 >0 Chứng minh rằng

(x1+ x2+ x3+ x4+ x5)2

≥ 4(x1x2+ x2x3 + x3x4+ x4x5+ x5x1)

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn

3(a + b + c) ≥ ab + bc + ca + 2 Chứng minh rằng

a3

+ bc

b3

+ ca

c3

+ ab

q abc(√a

+√

b+√c

) 3

Trang 7

Với các số thực không âm a, b, c, d ta đặt

S = a + b + c + d

T = ab + ac + ad + bc + bd + cd

R= abc + abd + acd + bcd

H = abcd Chứng minh rằng

S

4 ≥

r T

6 ≥ 3

r R

4 ≥ √4 H

Chứng minh trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức

a(hb+ hc) + b(hc+ ha) + c(ha+ hb) ≥ 12S

Cho a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác lồi Chứng minh rằng

3√

S ≤ p +√4 abcd

a3

+ b3

3

+ c3

3

+ a3

3(

√

ab+√

bc+√

ca)2

38 Posted by hxtung

Cho các số thực x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn và thỏa mãn

(x1)k+ (x2)k+ · · · + (xn)k≥ 0 với mọi số nguyên dương k Đặt d = max |x1|, , |xn|

Chứng minh rằng x1 = d và

(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn) ≤ xn− dn với mọi số thực x ≥ d

Trang 8

39 Posted by hxtung

Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1 Chứng minh rằng

abc+ bcd + cda + dab ≤ 1 + 176abcd27

40 Posted by keira-khtn

Với x1, x2, , xn và y1, y2, , yn là các số thực dương Chứng minh rằng

X min (xixj, yiyj) ≤Xmin (xiyj, xjyi)

41 Posted by hxtung

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 6 Chứng minh rằng

r

a2+ 1

b+ c +

r

b2+ 1

c+ a+

r

c2+ 1

a+ b ≥ 3

√ 17 2

Cho a, b, c > 0 Chứng minh bất đẳng thức

p

(a2b+ b2c+ c2a)(ab2+ bc2+ ca2

) ≥ abc +p3

(a3+ abc)(b3 + abc)(c3+ abc)

43 Posted by Myth

Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng

r

x+ 3

q

y+√4

z ≥ 32√xyz

Cho a, b > 0.Đặt

A= (√

a+√ b)2

B = a+

3

√

a2b+√3

ab2+ b 4

C = a+

√

ab+ b 3 Chứng minh rằng

A≤ B ≤ C

Trang 9

Cho x, y, z là cá số thực dương Chứng minh rằng

3(x2

− x + 1)(y2

− y + 1)(z2

− z + 1) ≥ (xyz)2

+ xyz + 1

46 Posted by hxtung

Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi số thực a, b, c

(a + b − c)2

(b + c − a)2

(c + a − b)2

≥ (a2

+ b2

− c2

)(b2

+ c2

− a2

)(c2

+ a2

− b2

)

Cho tam giác ABC thỏa mãn bA ≤ bB ≤ bC ≤ π

2 và bB ≥ π

3 Chứng minh rằng

mb ≥ ha

48 Posted by alekk

Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng

a2+ b2

+ c2

≤ a2

b+ b2

c+ c2

a+ 1

49 Posted by alekk

√

b+ c(√

a+ b +√

a+ c) ≥ b+ c2 +√

ab+√

ac

50 Posted by Arne

Chứng minh bất đẳng thức

cosecπ

2 + cosec

π

4 + · · · + cosec2n−1π ≤ cosec2πn luôn đúng với mọi số nguyên dương n Trong đó cosec(x) = 1

sin x với x 6= kπ

Cho a, b, c > 0 và n là số tự nhiên lớn hơn 2 Chứng minh rằng

n− 1

2 (a

n

+ bn) + cn ≥ nabc

a+ b 2

n−3

Trang 10

Cho các số thự dương x1, x2, , xn Chứng minh rằng

x1 x 1

x2 x 2

· · · xnxn ≥x1+ x2+ · · · + xn

n

x1+x2+···+xn

Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

a

c + b

a + c

b ≥ a + b + c

54 Posted by hxtung

Cho dãy số x1, x2, , xn thỏa mãn

x1 + x2+ · · · + xk ≤√k với mọi số k nguyên dương nhỏ bằng n Chứng minh rằng

x2

1+ x2

2+ · · · + x2

n≥ 14

1 + 1

2 + · · · + n1

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng

a

√

1 + a2 +√ b

1 + b2 +√ c

1 + c2 ≤ 32

Cho các số dương a1, a2, , an và b1, b2, , bn Chứng minh rằng

a1+ a2+ · · · + an

b1+ b2+ · · · + bn

b 1 + b 2 +···+b n

≥

a1

b1

b 1

a2

b2

b 2

· · ·

an

bn

b n

57 Posted by alekk

x3

x2+ y2 + y

3

y2 + z2 + z

3

z2 + x2 ≥ x+ y + z2

Trang 11

Cho các số a1, a2, , an−1>0 thỏa mãn a1+ a2+ · · · + an = 1 và b1, b2, , bn là các số thực Chứng minh bất đẳng thức

b21+ b

2 2

a1 + · · · + b

2 n

an−1 ≥ 2b1(b2+ · · · + bn)

59 Posted by manlio

Chứng minh rằng với các số thực dương a1, a2, , an ta có bất đẳng thức

1 + a

2 1

a2

1 + a

2 2

a3

· · ·

1 + a

n 1

a1

≥ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an)

60 Posted by Moubinool

Chứng minh rằng

a3

x +b

3

y +c

3

z ≥ (a + b + c)

3

3(x + y + z) với mọi số thực dương a, b, c, x, y, z

61 Posted by cezar lupu

Cho hàm số f : R → R thỏa mãn

f(x) + f (y) ≤ 2 − |x − y|

với mọi số thực x, y Chứng minh rằng f(x) ≤ 1 với mọi số thực x

62 Posted by hxtung

Cho x1, x2, , xn là các số thực nằm trong khoảng 0,π

2

sao cho tan x1+ tan x2+ · · · + tan xn≤ n Chứng minh rằng

sin x1sin x2· · · sin xn ≤ √1

2n

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

1 + ab2

c3 +1 + bc

2

a3 + 1 + ca

2

b3 ≥ a3+ b183+ c3

Trang 12

Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0 Chứng minh rằng

a2

− b2

2

− c2

2

− a2

b ≥ 3a − 4b + c

Cho x, y, z ≥ 1 Chứng minh rằng

xx2+2yzyy2+2zxzz2+2xy ≥ (xyz)xy+yz+zx

Cho các số thực a1, a2,· · · , an nằm trong khoảng 0,1

2

và thỏa

a1+ a2+ · · · + an= 1 Chứng minh rằng

1

a1 − 1

1

a2 − 1

· · ·

1

an − 1

≥ (n2

− 1)n

67 Posted by hxtung

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a1, a2,· · · , an ta có bất đẳng thức

a1

a2+ a3

+ a2

a3+ a4 + · · · + a an

1+ a2

> n 4

Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1 Chứng minh rằng

a3

b+ c + d+

b3

a+ c + d +

c3

a+ b + d +

d3

a+ b + c ≥ 13

69 Posted by hxtung

Cho tam giác ABC Đặt

x= r

R, y = a+ b + c

2R Chứng minh rằng

y≥√x(√

6 +√

2 − x)

Trang 13

Cho x, y, z > 0 thỏa xyz = 1 Chứng minh rằng

x3

(1 + y)(1 + z) +

y3

(1 + z)(1 + x) +

z3

(1 + x)(1 + y) ≥ 34

71 Posted by Arne

Cho a1, a2, a3, a4, a5 là các số thực có tổng bình phương bằng 1 Chứng minh rằng

min (ai− aj) ≤ 1

10

Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng

1 sinA2 +

1 sinB2 +

1 sinC2 ≥ 2 1

cosA−B4 +

1 cosB−C4 +

1 cosC−A4

!

Cho các số thực dương x1, x2, , xn Chứng minh rằng

X

xixj(x2

i + x2

j) ≤ (

P

xi)4

8

74 Posted by hxtung

Chứng minh rằng

a21+

a1+ a2

2

+ · · · +

a1+ a2+ · · · + an

n

2

≤ 4(a2

1 + a2

2+ · · · + a2

n)

a

bc+ b

ca+ c

ab ≥ 2a +2

b − 2c

76 Posted byorl

Cho k, n là các số nguyên dương thỏa 1 < k ≤ n và x1, x2, , xk là k số nguyên dương

có tổng bằng tích

Trang 14

(a) Chứng minh rằng

xn−11 + xn−12 + · · · + xn−1n ≥ kn (b) Điều kiện cần và đủ nào của các sốk, n và x1, x2, , xn để xảy ra đẳng thức

xn−11 + xn−1

2 + · · · + xn−1

77 Posted by hxtung

Cho các số a1, a2, , anvà b1, b2, , bnlà các số thực dương nằm trong khoảng [1001, 2002] Giả sử rằng

a21+ a2

2 + · · · + a2

n= b2

1+ b2

2+ · · · + b2

n

Chứng minh rằng

a3 1

b1

+a

3 2

b2 + · · · + a

3 n

bn ≤ 1710(a2

1+ a2

2+ · · · + a2

n)

x

x+p

(x + y)(x + z)+

y

y+p

y+ x)(y + z)+

z

x+p (z + x)(z + y) ≤ 1

79 Posted by Charlie

Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6 Chứng minh rằng

a2+ b2

+ c2

+ d2

+ 2abcd ≥ 6

80 Posted by Charlie

Cho các số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng

9(a2

+ bc)(b2

+ ca)(c2

+ ab) ≤ 8(a3

+ b3

+ c3

)2

81 Posted by hxtung

Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng

(a)

sinA

2 + sin

B

2 + sin

C

2 ≥ sin 43

1 + sinA

2 sin

B

2 sin

C 2

(b)

cosA

2 + cos

B

2 + cos

C

2 ≥ cos 4

√ 3 3

1 + sinA

2 sin

B

2 sin

C 2

Trang 15

Dãy số an được định nghĩa như sau

⋆ a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1

⋆ an+2+ an+1= 2(an+1+ an)

(a) Chứng minh rằng tất cả các phần tử của dãy đều là số chính phương (b) Tìm công thức tường minh cho dãy

2(a + b) 3a + 6b + 9c+

6(b + c) 5a + 2b + 3c+

3(c + a) 2a + 8b + 6c

Cho a, b, c ≤ 1 và thỏa mãn

1

a +1

b +1

c = 2 Chứng minh rằng √

a+ b + c ≥ √a− 1 +√b− 1 +√c− 1

85 Posted by Bottema

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a3

+ b3

+ c3

= 1 Chứng minh rằng

a+ b + c + 1

abc ≤ 3 +√3

9

86 Posted by manlio

Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn 3√

3(d + 1) ≥ a + b + c Chứng minh rằng (b + cd)2

a + (c + ad)

2

b +(a + bd)

2

87 Posted by bugzpodder

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng

yx2+ zy2+ xz2 ≤ 274

Trang 16

88 Posted by hxtung

Chứng minh rằng

2 ≤ (1 − x2

)2

+ (1 − y2

)2

+ (1 − z2

)2

≤ (1 + x)(1 + y)(1 + z) với các số không âm x, y, z có tổng bằng 1

Cho các số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng

x(1 − y2

)(1 − z2

) + y(1 − z2

)(1 − x2

) + z(1 − x2

)(1 − y2

) ≤ 4

√ 3 9

90 Posted by hxtung

Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c

1 a(b + 1)+

1 b(c + 1)+

1 c(a + 1) ≤ 1 + abc)3

91 Posted by Gil

Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì

y+ z

x +z+ x

y +x+ y

z ≥ 4 x

y+ z +

y

z+ x+

z

x+ y

92 Posted by hxtung

Chứng minh rằng với các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + xyz = 4 Chứng minh rằng

x+ y + z ≥ xy + yz + zx

a

b +b

c + c

a ≥ b22ab+ ca +

2bc

c2+ ab +

2ca

a2 + bc

94 Posted by Vialli

Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c

a2

+ bc

b+ c +

b2

+ ca

c+ a +

c2

+ ab

a+ b ≥ a + b + c

Trang 17

Xác định giá trị của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương x, y, z

2(x3

+ y3

+ z3

) + 3(3k + 1)xyz ≥ (1 + k)(x + y + z)(xy + yz + zx)

96 Posted by Mitzah

Chứng minh rằng với a, b, c ≤ 0 ta có

a4

+ b4

+ c4

+ abc(a + b + c) ≥ 23(ab + bc + ca)2

97 Posted by manlio

1 b(a + b) +

1 c(b + c) +

1 a(c + a) ≥ 2(a + b + c)27 2

98 Posted by manlio

Cho a, b, c ≥ −1 Chứng minh rằng

1 + a2

1 + b + c2 + 1 + b

2

1 + c + a2 + 1 + c

2

1 + a + b2 ≥ 2

99 Posted by manlio

Nếu a, b, c là các số thực dương hãy chứng minh

a2

+ 2bc

b2+ c2 +b

2

+ 2ca

c2+ a2 +c

2

+ 2ab

a2+ b2 ≥ 3

100 Posted by dreammath

Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

3(a +√

ab+√3

abc) ≤8 + 2

√ ab

a+ b

a·a+ b2 ·a+ b + c3

Cho các số thực x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn và y1 ≤ y2 ≤ ≤ yn Giả sử rằng z1, z2, , zn là một hoán vị của y1, y2, , yn Chứng minh rằng

(x1− y1)2

+ (x2− y2)2

+ · · · + (xn− yn)2

≤ (x1− z1)2

+ (x2− z2)2

+ · · · + (xn− zn)2

Trang 18

102 Posted by manlio

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng

ab+ bc + ca ≥ a2

b2+ b2

c2+ c2

a2+ 8abc

Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 và n là số nguyên dương Chứng minh rằng

1

an

1

bn

1

cn

≥ (3n

− 1)3

104 Posted by bugzpodder

Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương và abc = 1 Chứng minh rằng

1 (1 + a)(1 + b)+

1 (1 + b)(1 + c) +

1 (1 + c)(1 + a) ≤ 32

105 Posted by Myth

Cho a, b, c, A, B, C > 0 và a + A = b + B = c + C = k Chứng minh rằng

aB+ bC + cA ≤ k2

Chứng minh rằng

1

a+ 1 b

+ 1 1

c + 1 d

≤ 1 1

b+d

trong đó a, b, c, d > 0

Cho ai(i = 1, 2, ) là các số thực dương Gọi p, q, r, s là các số thực dương sao cho

pr= qs Chứng minh rằng

1

a1

+ 1

a2 + · · · + a1

r

p

(a1+ a2+ · · · + as)q

≥ np+q

Cho các số thực a, b, c nằm trong khoảng 0,1

2

và thỏa a + b + c = 1 Chứng minh rằng p

a(1 − 2a) +pb(1 − 2b) >pc(1 − 2c)

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	164,37 KB