SKKN Phương pháp dùng bất đẳng thức giải nhanh bài toán cực trị về điện xoay chiều trong bài tập Vật lí 12 1 MỤC LỤC Trang 1 MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu 3 2 NỘI DUNG 2 1 Cơ sở lí luận 4 2 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4 2 3 Giải quyết vấn đề 4 2 3 1 Bất đẳng thức Cauchy 4 2 3 1 1 Nội dung bất đẳng thức Cauchy 4 2 3 1 2 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy 4 2 3 1 3 Phương pháp giải 6 2 3 2 Bất đẳng Bunhiaco[.]
Trang 1MỤC LỤC
Trang
1 MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài 2
Mục đích nghiên cứu 3
Đối tượng nghiên cứu 3
Phương pháp nghiên cứu……… 3
2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 4
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 4
2.3 Giải quyết vấn đề……… 4
2.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 4
2.3.1.1.Nội dung bất đẳng thức Cauchy 4
2.3.1.2.Vận dụng bất đẳng thức Cauchy .4
2.3.1.3 Phương pháp giải 6
2.3.2 Bất đẳng Bunhiacopxki 7
2.3.2.1 Nội dung bất đẳng Bunhiacopxki 7
2.3.2.2 Vận dụng bất đẳng Bunhiacopxki 7
2.3.2.3 Phương pháp giải 8
2.4 Kết quả khảo sát 9
2.4.1 Đối với học sinh 9
2.4.1 Đối với giáo viên 10
2.5 Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki:….……10
2.5.1 Phần điện xoay chiều và dao động điện……….10
2.5.2 Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy trong chương trình THPT:……… ……… 12
2.5.3 Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng Bunhiacopxki trong chương trình THPT 15
3 KẾT LUẬN 17
3.1 Kết luận ………17
3.2 Kiến nghị……… ……… 17
Tài liệu tham khảo 18
Trang 21 M Ở ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Vật lí là môn khoa học cơ bản nghiên cứu các quy luật về sự vận động của tự nhiên và
nó có mối liên hệ mật thiết với các ngành khoa học khác, đặc biệt là toán học Các lí thuyết vật lí là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học và sự xuất hiện của toán học trong vật lí cũng thường phức tạp hơn trong các ngành khoa học khác Trong chương trình trung học phổ thông việc sử dụng toán học vào giải các bài toán vật lí là rất điều không thể thiếu Nhưng việc lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp, ngắn gọn, hiệu quả và dễ hiểu không phải là đơn giản, nhất là đối với bài toán khó như bài toán cực trị Học sinh thường lúng túng khi gặp các bài toán này vì đây là một dạng bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao, học sinh có vốn kiến thức toán học vững chắc hơn thế nữa dạng bài này thường xuất hiện đơn lẻ, không có tính hệ thống, không có một phương pháp giải cụ thể nào
Nhằm giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điển hình trong
vật lí THPT cũng như có phương pháp lựa chọn, định hướng phương pháp giải, các bước
giải cụ thể phù hợp với dạng bài đó nên tôi đã thực hiện đề tài : “Phương pháp dùng bất đẳng thức giải nhanh bài toán cực trị về điện xoay chiều trong bài tập Vật lí 12” Khi
đưa các bài tập này vào hệ thống các bài tập rèn luyện và phát triển tư duy dành cho đối
tượng học sinh khá, giỏi tôi nhận thấy học sinh đã có nhiều tiến bộ, hứng thú hơn trong quá trình tìm tòi và khám phá các bài toán cực trị phức tạp khác của vật lí
Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào
đó Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12
sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai,công thức cộng vận tốc, sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác hoặc khảo sát hàm số Qua đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào
đó Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ
Trang 3thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12
sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki Qua đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước
để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất
Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng phương án dạy học đối với giáo viên
- Xây dựng phương pháp học tập đối với học sinh
- Tầm quan trọng của bài tập vật lý trong quá trình dạy học vật lý
- Vai trò của kiến thức toán học trong quá trình giải các bài tập vật lý
Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng cao
thường gặp trong đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi Với phạm
vi một sáng kiến, kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề nhỏ của môn vật lý lớp 12:
- Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường hợp vận dụng
- Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài tập điện xoay chiều
Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết.
- Xác định đối tượng học sinh áp dụng đề tài
- Đưa ra một số công thức, ý kiến chưa ghi trong sách giáo khoa nhưng được suy ra khi
giải một số bài tập điển hình
- Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh bằng các đề ôn luyện
- Đánh giá, đưa ra sự điều chỉnh bổ sung cho phù hợp
Trang 42 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm:
Hiện nay giải bài tập về dòng điện xoay chiều đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho
học sinh những phương pháp giải bài tập tối ưu nhất, chính xác nhất và nhanh nhất để tiết
kiệm thời gian trong quá trình làm bài tập và bài thi, việc ứng dụng phương pháp bất đẳng thức giúp học sinh vận dụng toán học để giải nhanh bài tập về dòng điện xoay chiều
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Thuận lợi :
Các bài tập áp dụng trong đề tài này có thể có nhiều cách để giải tuy nhiên với mỗi bài tập, học sinh phải phân tích kỹ đề bài để từ đó chọn phương pháp giải phù hợp nhất
Những bài tập đề nghị nhằm giúp các em học sinh lựa chọn cách giải phù hợp để rèn luyện kỹ năng và phương pháp làm bài
Khó khăn:
Việc giải bài tập này đòi hỏi học sinh không những có kiến thức vững vàng và nắm được bản chất vật lý mà còn phải có kiến thức cơ bản về toán học tối thiểu như :
Tính chất của phân thức đại số, Tính chất của các hàm số lượng giác, Bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bunhiacopxki…”
2.3 Giải quyết vấn đề.
2.3.1 Bất đẳng thức Cauchy.
2.3.1.1 Nội dung bất đẳng thức Cauchy.
Thông thường bất đẳng thức Cauchy: a + b 2 ab Với a,b 0
Dấu “=” xảy ra khi a=b
Tổng quát: a1 + a2 + + an n n Với a1,a2, ,an 0
1 2 n
a a a Dấu “=” xảy ra khi a1=a2= =an
2.3.1.2 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy.
Bµi 1 Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ R biÕn thiªn.
Cho m¹ch ®iÖn R, L, C nèi tiÕp, R biÕn thiªn Đặt hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều uU 2 cos t, trong đó U, không đổi
Trang 51- Xác định R để Pmax Tìm Pmax.
2- Chứng minh với P < Pmax có 2 giá trị R1, R2 thoã mãn R1x R2 = (ZL-ZC)2
R L C
1- Xác định R để Pmax
+ PMaxkhi mẫu (min) => 2
Z Z R
R
R Z LZ C
2 Chứng minh: P < PMax => R1 R2 = (ZL-ZC)2
+ Khảo sát theo R(ẩn)
= U4 - 4P2 (ZL-ZC)2 Thay U2 = 2(ZL-ZC).Pmax ta được:
= 4P2
max (ZL-ZC)2 - 4(ZL-ZC)2P
= 4(ZL-ZC)2 (Pmax- P) > 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt R1, R2
=> R1.R2 = (ZL-ZC)2 (ĐPCM)
Bài 2 Cuộn cảm cú điện trở thuần R 0
Cho mạch điện xoay chiều như hỡnh vẽ
u= 100 2 cos (100πt+π) , R0 = 2Ω
4
2 a) Xỏc định R để cụng suất tiờu thụ trờn R đạt cực đại
R
Z Z R
U R
x Z Z R
U R
I P
C L C
L
2 2 2
2
2 2
) (
)
max
P
0 ) (
) (
2 2
2 2
2
2
C L
Z Z P R U PR Z
Z R
R U P
2 2
2
1 ( C L) (Z L Z C)
P
Z Z P a
c R
Trang 6b) Xác định R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại
Giải: Ta có : ZL = L = 100 , Z C = 1 200 , Z =
a) Công suất tiêu thụ trên R là :
0
R
PRđạt max khi y đạt min
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 2 2
Dấu ‘=’ xảy ra khi 2 2
Vậy khi 2 2 thì PR (max)
2
U
b) Công suất tiêu thụ trên toàn mạch là:
2
0
0
0
(Z -Z ) (R+R ) +(Z -Z )
(R+R )+
(R+R )
L C
P đạt max khi y đạt min
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : y 2 | ZLZ |C
Dấu ‘=’ xảy ra khi R+R =|Z -Z0 L C|=> R=|Z -ZL C| R0
Vậy khi R=|Z ZL- C| R0 thì P(max)
2 0
U 2(R R )
2
U
2 | Z Z |
2.3.1.3 Phương pháp giải.
Bất đẳng thức Cauchy thường được áp dụng đối với các bài toán phần cơ học, điện một chiều và xoay chiều Với các bài tập vận dụng trên ta rút ra được phương pháp chung để định hướng chọn và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức Cauchy như sau:
Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân số trong
đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số
Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãn điều kiện
sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay không
Trang 7Đó là điều kiện các số hạng là không âm a1,a2, ,an 0 và tích của chúng là không đổi a1.a2 an = const
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra
2.3.2.1 Nội dung bất đẳng thức Bunhiacopxki
* Thông thường bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax+by) ≤ (a +b )(x +y ) 2 2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi : =
* Tổng quát: (ax+by+cz) ≤ (a +b +c )(x +y +z ) 2 2 2 2 2 2 2
Dấu “=” xảy ra khi : = =
2.3.2.2 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Bµi 1: Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ L biÕn thiªn.
Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, trong đó L là cuộn dây thuần cảm và có
thể thay đổi được Đặt vào hai đầu mạch một điện áp có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi Điều chỉnh giá trị L để tổng điện áp hiệu dụng URC+UL lớn nhất thì tổng đó
bằng 2 2U và khi đó công suất tiêu thụ của mạch là 140W Hỏi khi điều chỉnh L để công suất tiêu thụ trong mạch lớn nhất thì công suất lớn nhất đó bằng bao nhiêu
A 150W B 160W C 170W D 180W
Giải
Đặt yU RC U L Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
1. RC 1. L (1 1 )(URC L) 2(URC L) m RC L
Theo gi ả thiết: y max =2 2 U=> 2(U2RCU L2) 8U2 4U L2 8U2U L U RC 2U
Mặt khác
s =
R
Theo giả thiết 2 2 2
s
Bµi 2: Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ m ạch LC
Hai mạch dao động điện từ LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do với các cường độ dòng điện tức thời trong hai mạch là và được biểu diễn như hình vẽ i 1 i2
Trang 8Tổng điện tích của hai tụ điện trong hai mạch ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất bằng
A C B C D
4
C
3
C
5
C
10
Giải
Chu kì: T=10-3(s) Tần số góc 2 3
2 10 (rad/ s)
T
Theo đồ thị I01 8( ), IA 02 6( )A và pha ban đầu lần lượt là 1 ( ), 2 ( )
2
Điện tích cực đại trên tụ 1,2 lần lượt 01 6 02 6
.10 ( ), 10 ( )
Điện tích trễ pha hơn dòng điện là (rad) pha điện tích trên tụ 1,2 :
2
Biểu thức điện tích trên tụ 1,2:
cos( t ) sin
2
Tổng điện tích của hai tụ ở thời điểm t có giá trị lớn nhất :
q q1 q2 Q01cos tQ02sin t
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
01 cos 02 sin ( 01 02 )(cos t sin t)
qQ tQ t Q Q
Dấu “=” khi q đạt giá trị max
Vậy 2 2 6
max 01 02
.10
2.3.2.3 Phương pháp giải
Bất đẳng thức Bunhiacopxki rất ít được sử dụng trong các bài tập vật lí Ở các bài toán trên bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thấy bài toán được giải một cách nhanh gọn, dễ hiểu Đối tượng áp dụng ở đây chủ yếu là các bài toán cơ học Điều kiện để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki không được đưa ra rõ
Trang 9ràng như ở bất đẳng thức Cauchy nhưng ta thấy dấu hiệu để nhận biết có thể sử dụng bất đẳng thức này là tích (a +b ).(x +y ) phải bằng hằng số Cụ thể các trường 2 2 2 2 hợp trên ta thấy xuất hiện cos2 sin2 1
Các bước giải bài toán loại này:
Bước 1: Biến đổi đưa đại lượng cần tìm giá trị cực trị về dạng phân số trong đó hoặc
tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số
Bước 2: Xét hàm chứa biến sao cho tích (a +b ).(x +y )=const, có xuất hiện 2 2 2 2
hoặc (12 + 12)
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại, cực tiểu của bài toán
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra
4 Kết quả khảo sát:
4 1 Đối với học sinh:
Khảo sát đánh giá hai nhóm học sinh mỗi nhóm 20 học sinh: của hai lớp 12B1, 12B2
+ Trước khi đưa ra phương pháp hầu như các em chưa định hình được cách giải
và hướng đi những bài toán này do đó kết quả đạt được rất thấp
Lớp 12B2
Lớp 12B1
+ Sau khi học sinh được tiếp cận với phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki thì cách giải, hướng đi rõ ràng, thuận tiện, nhanh hơn và cho kết quả tốt
Trang 10Lớp 12B2
Lớp 12B1
4 2 Đối với giáo viên:
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm này cũng giúp giáo viên hiểu sâu hơn về những bài toán hàm cực trị mà sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong điện xoay chiều từ đó mở rộng ra các bài toán khác trong quá trình ôn luyện học sinh thi Tốt nghiệp và Đại học – Cao đẳng cũng như các bài toán Vật lý trong chương trình THPT
5 Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki:
5.1 Phần điện xoay chiều, dao động điện.
Câu 1: Cho mạch RLC mắc nối tiếp, trong cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được
Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi Điều chỉnh giá trị L để tổng điện áp hiệu dụng URC+ULlớn nhất thì tổng đó bằng 2U và khi đó công suất tiêu thụ của mạch là P Điều chỉnh Lđể công suất tiêu thụ trong mạch lớn nhất Pmax=120W Giá trị công suất P là?
A.100W B.90W C.110W D.80W
Câu 2: Đặt điện áp xoay chiều u=U0 cos100t(V) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm biến trở R tụ điện có điện dung C=10 4 F và cuộn cảm thuần có độ tự cảm
L= 1 H Thay đổi R để điện áp hiệu dụng hai đầu UR+UL đạt giá trị cực đại và giá trị
2
đó là 180V Tính giá trị hiêu dụng hai đầu đoạn mạch?
A.100V B.90V C.110V D 90 2 V
Câu 3: Đặt điện áp xoay chiều u=U 2cos t(V) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm biến trở R tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm Thay đổi R để điện áp hiệu dụng hai đầu UR+UC đ ạt giá trị cực đại và giá trị đó là 2U, khi đó UC=100V Tính giá trị hiêu dụng hai đầu đoạn mạch?
A.100V B.90V C.110V D 90 2 V
Trang 11Câu 4: Hai mạch LC lí tưởng có dao động điện từ tự do với điện tích tức thời trong hai mạch là q1 và q2 biến thiên như hình vẽ Biết thờigian ngắn nhất từ lúc q1 cực đến khi giá trị tức hời của q1 bằng giá trị cực đại của q2 là 1 s Tổng giá trị cực đại
600
cường độ dòng điện của hai mạch dao động có giá trị gần với:
A.94.10-8A B.32.10-8A C.70.10-8A D.89.10-8A
Câu 5: Một đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn dây có điện trở thuần r = 100 3 và độ
tự cảm L = 0,191 H, tụ điện có điện dung C = 1/4(mF), điện trở R có giá trị thay đổi được Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch u = 200 cos(100t) V Thay đổi giá trị 2
của R để công suất tiêu thụ trong mạch đạt cực đại Xác định giá trị cực đại của công suất trong mạch
Câu 6 Mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R thay đổi được, cuộn dây có điện trở thuần r = 20Ω và độ tự cảm L = 2H, tụ điện có điện dung C = 100μF mắc nối tiếp với nhau Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u240cos100t(V). Khi R
= R0 thì công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại Khi đó công suất tiêu thụ trên cuộn dây là:
A Pr = 108W B Pr = 88,8W C Pr = 28,8W D Pr = 12,8W
Câu 7: Mạch điện AB gồm đoạn AM và đoạn MB Điện áp ở hai đầu mạch ổn định
u = 150 2cos100t (V) Điện áp ở hai đầu đoạn AM sớm pha hơn cường độ dòng điện một góc 300 Đoạn MB chỉ có một tụ điện có điện dung C thay đổi được Chỉnh
C để tổng điện áp hiệu dụng UAM + UMB có giá trị lớn nhất Khi đó điện áp hiệu dụng
ở hai đầu tụ điện là:
A 75 2 V B 200V C 150 V D 130V
Câu 8: Cho mạch điện RLC nối tiếp Cuộn dây không thuần cảm có L = 1,4/ (H) và
r = 30; tụ có C = 31,8 F R là biến trở Điện áp hai đầu đoạn mạch có biểu thức: u
= 100 2cos(100 t)(V) Giá trị nào của R để công suất trên biến trở R là cực đại? Giá trị cực đại đó bằng bao nhiêu? Chọn kết quả đúng:
A R = 50; PRmax = 62,5W B R = 25; PRmax = 65,2W
C R = 75; PRmax = 45,5W D R = 50; PRmax = 625W
Câu 9: Một đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn dây có điện trở thuần r = 100 3 và độ
tự cảm L = 0,191 H, tụ điện có điện dung C = 1/4(mF), điện trở R có giá trị thay đổi được Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch u = 200 2cos(100t) V Thay đổi giá
trị của R để công suất tiêu thụ trong mạch đạt cực đại Xác định giá trị cực đại của công suất trong mạch
t(10 -2 s) q(10 -7 C)
- 0, 2
0,25 0,5
q 1
q 2