Toán học Tuyển tập Bất đẳng thức34690

Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1... Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 2 II.. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1.. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a... Chứng minh B

Trang 1

Tuy n ập ' ) ng , c Tr/ 1Tùng

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2

+ c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2 Chứng minh: sinx cos x+ ≤ 2

3 Cho 3a – 4b = 7 Chứng minh: 3a2 + 4b2 ≥ 7

47

137

6 Cho a + b = 2 Chứng minh: a4 + b4 ≥ 2

2

Lời giải:

I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

≥  

3

3 3

(*) ⇔ + − +  ≥

3

3 3

0

2 2 ⇔ 3(a b a b+ )( − )2≥0

÷ a + b ≤ 0 , («) luôn đúng

÷ a + b > 0 , («) ⇔ + + +

0

≥

2

a b

0

4 , đúng

Vậy: a b+ ≤ a2+b2

3 Cho a + b ≥ 0 chứng minh: a b+ ≥3a3+b3

≤

3 3 3

⇔ 3 b a a( − )( 2−b2)≤0 ⇔ − ( − ) (2 + )≤

3 b a a b 0 , ĐPCM

4 Cho a, b > 0 Chứng minh: a + b ≥ a+ b

(«) ⇔ a a b b+ ≥a b b a ⇔ + (a b− ) a−(a b− ) b≥0

⇔ (a b− )( a− b)≥0 ⇔ ( a− b) (2 a+ b)≥0 , ĐPCM

+

1 ab

PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN

I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

≥  

3

3 3

2 Chứng minh: a b+ ≤ a2+b2

3 Cho a + b ≥ 0 chứng minh: a b+ ≥3a3+b3

4 Cho a, b > 0 Chứng minh: a + b ≥ a+ b

+

1 ab

6 Chứng minh: a2+b2+c2+ ≥3 2 a b c ; a , b , c ∈ R ( + + )

7 Chứng minh: a2+b2+c2+d2+e2≥a b c d e ( + + + )

8 Chứng minh: x2+y2+z2≥xy yz zx + +

; a,b,c 0

≥  

2

2 2 2

10 Chứng minh: a2 +b2+c2≥ab ac 2bc− +

4

11 Chứng minh: a2+b2+ ≥1 ab a b + +

12 Chứng minh: x2+y2+z2≥2xy 2xz 2yz − +

13 Chứng minh: x4+y4+z2+ ≥1 2xy(xy2− + +x z 1)

14 Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: 3+ 3≥ 1

4

15 Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh:

a ab + bc + ca ≤ a2

+ b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

b abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

c 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

Trang 2

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

2

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c+ + + ≥ ≥0

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c2 ≥ ≥0

3 Chứng minh: (1 a 1 b 1 c+ )( + )( + )≥(1+3abc)3 với a , b , c ≥ 0

4 Cho a, b > 0 Chứng minh:  +  + +  ≥ +

m 1

5 Chứng minh: bc+ca+ab≥ + +a b c ; a,b,c≥0

6 9

2 3

3x y 16 ; x,y 0 4

+

2

1

8 Chứng minh: a1995 >1995 a 1 ( − ) , a > 0

9 Chứng minh: a 1 b2( + 2)+b 1 c2( + 2)+c 1 a2( + 2)≥6abc

2 2 2 2 2 2

11 Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1 ≥ − + −

12 Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4 Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

13 Cho a > b > c, Chứng minh: a≥3 a b b c c 3( − )( − )

14 Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh:

a) b + c ≥ 16abc

b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc

15 Cho x > y > 0 Chứng minh:

−

1

x y y

16 Chứng minh:

≥ +

2

,∀x ∈ R b) +

≥

−

x 8

6

x 1 , ∀x > 1 c) +

≥ +

2 2

4

; a, b, c 0

4

1 16x 1 16y , ∀x , y ∈ R

b c a c a b 2 ; a , b , c > 0

3

20 Cho a , b , c > 0 C/m:

abc

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s"

b a b c+ + ≥3 abc 3 với a , b , c ≥ 0 , (Côs số

22 Chứng minh: a3+b3+c3≥a2 bc b+ 2 ac c+ 2 ab ; a , b , c > 0

23 Chứng minh: 2 a 3 b 4 c+ 3 + 4 ≥9 abc 9

24 Cho y= x+18

2 x , x > 0 Định x để y đạt GTNN

−

2 x 1 Định x để y đạt GTNN

+

−

3 2x 1 2 Định x để y đạt GTNN

−

y

1 x x , 0 < x < 1 Định x để y đạt GTNN

29 Cho = 3+

2

y

x , x > 0 Định x để y đạt GTNN

= x2 4x 4 f(x)

x , x > 0

31 Tìm GTNN của f(x)=x2+ 23

x , x > 0

32 Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

33 Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 Định x để y đạt GTLN

34 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ 5

2 Định x để y đạt GTLN

35 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ ≤5 x 5

36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , −1

2 ≤ x ≤ 5

+

2

x y

x 2 Định x để y đạt GTLN

38 Cho

= +

2 3 2

x y

Định x để y đạt GTLN

Trang 3

+

2

1

+

2

1

Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: +

+

4 4 2

2

1

a , a , a 1,

1 a

8 Chứng minh: a1995 >1995 a 1 («) ( − ) , a > 0

(«) ⇔ a1995>1995a 1995− ⇔a1995+1995 1995a >

14243

1995

1994 soá

9 Chứng minh: a 1 b2( + 2)+b 1 c2( + 2)+c 1 a2( + 2)≥6abc

° a 1 b2( + 2)+b 1 c2( + 2)+c 1 a2( + 2)=a2+a b2 2+b2+b c2 2+c2+c a 2 2

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:

° a2+a b2 2+b2+b c2 2+c2+c a2 2 ≥6 a b c6 6 6 6 =6abc

2 2 2 2 2 2

+

2 2

2ab 2b

+

2 2

2bc 2c

+

2 2

2ac 2a

2 2 2 2 2 2

11 Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1 ≥ − + −

° a=(a 1− + ≥) 1 2 a 1 , b− =(b 1− + ≥) 1 2 b 1 −

° ab 2b a 1 , ab 2a b 1 ≥ − ≥ −

° ab a b 1 b a 1 ≥ − + −

12 Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4 C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

° x=(x 1− + =) 1 (x 1− + + + −) x y z 3

= x 1− + x 1− + y 1− + z 1− ≥4 x 14 − 2 y 1 z 1 − −

Tương tự: ≥ 4( − )( − )2( − )

y 4 x 1 y 1 z 1 ; ≥ 4( − )( − )( − )2

z 4 x 1 y 1 z 1

⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

13 Cho a > b > c, Chứng minh: a≥3 a b b c c 3( − )( − )

° a=(a b− ) (+ b c− )+ ≥c 3 a b b c c 3( − )( − )

0

1 ab 1 ab

0

( )( )

0

+  + 2 + 2

0

1 ab 1 a 1 b

⇔

0

( + −)( + )(−+ )≥

2

0

1 ab 1 a 1 b , ĐPCM

÷ Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0

6 Chứng minh: a2+b2+c2+ ≥3 2 a b c ; a , b , c ∈ R ( + + )

⇔ (a 1− )2+(b 1− )2+(c 1− )2≥0 ĐPCM

7 Chứng minh: a2+b2+c2+d2+e2≥a b c d e ( + + + )

⇔ a2−ab b+ 2+a2−ac c+ 2+a2−ad d+ 2+a2−ae e+ 2≥0

⇔  −  + −  + −  + −  ≥

8 Chứng minh: x2+y2+z2≥xy yz zx + +

⇔ 2x2+2y2+2z2−2xy 2yz 2zx− − ≥0

⇔ (x y− )2+(x z− )2+(y z− )2≥0

; a,b,c 0

÷ a2+b2+c2≥ab bc ca + +

2 2 2 2

⇔ a b c+ + ≥ ab bc ca+ +

≥  

2

2 2 2

÷ 3 a( 2+b2+c2)=a2+b2+c2+2 a( 2+b2+c2)

≥a2+b2+c2+2 ab bc ca+ + = a b c+ + 2

⇒ + + ≥  + + 

2

2 2 2

10 Chứng minh: a2 +b2+c2≥ab ac 2bc− +

4

Trang 4

6

⇔ a2− ( − )+ 2+ 2− ≥

2

a

11 Chứng minh: a2+b2+ ≥1 ab a b + +

⇔ 2a2+2b2+ −2 2ab 2a 2b 0 − − ≥

⇔ a2−2ab b+ 2+a2+2a 1 b+ + 2+2b 1 0 + ≥

⇔ ( − )2+( − )2+( − )2≥

12 Chứng minh: x2+y2+z2≥2xy 2xz 2yz − +

⇔ x2+y2+z2−2xy 2xz 2yz+ − ≥0 ⇔ (x – y + z)2 ≥ 0

13 Chứng minh: x4+y4+z2+ ≥1 2x(xy2− + +x z 1)

⇔ x4+y4+z2+ −1 2x y2 2+2x2−2xz 2x− ≥0

⇔ ( 2− 2)2+( − )2+( − )2≥

14 Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: a3+b3≥ 1

4

° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b3

= (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3

⇒ a3

+ b3 =  −  + ≥

2

3 a

2 4 4

15 Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh:

a ab + bc + ca ≤ a2

+ b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

÷ ab + bc + ca ≤ a2

+ b2 + c2 ⇔ (a – b)2

+ (a – c)2 + (b – c)2

÷ a> b c , b− > a c , c− > a b −

⇒ a2>b2−2bc c , + 2 b2>a2−2ac c , + 2 c2>a2−2ab b + 2

+ b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

b abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

÷ 2> 2−( − )2

a a b c ⇒ a2>(a c b a b c + − )( + − )

÷ b2>b2−(a c− )2 ⇒ b2 >(b c a a b c + − )( + − )

÷ 2> 2−( − )2

c c a b ⇒ c2 >(b c a a c b + − )( + − )

⇒ a b c2 2 2 >(a b c+ − ) (2 a c b+ − ) (2 b c a + − )2

⇔ abc>(a b c a c b b c a + − )( + − )( + − )

c 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

⇔ 4a2

b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0

⇔ 4a2

b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0

⇔ (2ab)2

– [(a2 + b2) – c2]2 > 0 ⇔ [c2

– (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0

⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 đúng

° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác

⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0

7

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c+ + + ≥ ≥0

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:

⇒ + ≥a b 2 ab , + ≥b c 2 bc , + ≥a c 2 ac

⇒ (a b b c a c+ )( + )( + )≥8 a b c2 2 2 =8abc

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c2 ≥ ≥0

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

⇒ + + ≥a b c 3 abc , 3 a2+b2+c2≥3 a b c 3 2 2 2

⇒ (a b c a+ + )( 2+b2+c2)≥9 a b c3 3 3 3 =9abc

3 Chứng minh: (1 a 1 b 1 c+ )( + )( + )≥(1+3abc)3 , với a , b , c ≥ 0

÷ (1 a 1 b 1 c+ )( + )( + )= + + + +1 a b c ab ac bc abc + + +

÷ a b c+ + ≥3 abc , 3 ab ac bc+ + ≥3 a b c 3 2 2 2

÷ (1 a 1 b 1 c+ )( + )( + )≥ +1 3 abc 3 a b c3 + 3 2 2 2+abc=(1+3abc)3

4 Cho a, b > 0 Chứng minh:  +  + +  ≥ +

m 1

÷

+

 +  + +  ≥  +   +  =  + + 

m m 1

5 Chứng minh: bc+ca+ab≥ + +a b c ; a, b, c>0

÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:

a b ab , bc+ba≥2 b ac2 =2b

⇒ bc+ca+ab≥ + +a b c

6 9

2 3

3x y 16 ; x,y 0

(«) ⇔ x6+y9+64 12x y ⇔ ≥ 2 3 ( )x2 3+( )y3 3+43≥12x y 2 3

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:

( )x2 3+( )y3 3+43≥3x y 4 12x y 2 3 = 2 3

Trang 5

° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ − = − ⇔( − ) = ⇔  == −



x 1(loại)

Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 5

2

+

y

÷ Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm ( + )

+

,

2 x 1:

° Dấu “ = ” xảy ra ⇔





 +





2

6

3 Vậy: Khi x= 6−1

3 thì y đạt GTNN bằng 6−3

2

−

3 2x 1 2 Định x để y đạt GTNN

−

y

÷ Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm −

−

,

6 2x 1:

Dấu “ = ” xảy ra

=



=





2

30 1 x

2

= 30 1 x

2 thì y đạt GTNN bằng

+

30 1 3

−

y

1 x x , 0 < x < 1 Định x để y đạt GTNN

14 Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh:

a) b + c ≥ 16abc

°  +  ≥

2

b c

bc

2

° ( − )2=( − )( − 2)=( − ) − −( )2≤ − = +

b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc

° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ 2 bc.2 ac.2 ab=8abc

°  +   = + + + ≥

4 2

1

° + ≥

4 2

1 4 ab c 1

4 2

1 4 abc 1

÷  +  +  + ≥

15 Cho x > y > 0 Chứng minh:

−

1

x y y

−

x y y 1

16 Chứng minh:

+

2 2

2

⇔ x2+ ≥2 2 x2+1 ⇔ x2+ + ≥1 1 2 x2+1

−

x 8

x 1 =

c (a2+ + ≥1) 4 2 4 a( 2+1) =4 a2+1 ⇔ + ≥

+

2 2

4

; a, b, c 0

° Vì : + ≥a b 2 ab

+

° a b c+ + ≥ ab+ bc+ ca , dựa vào: a2+b2+c2≥ab bc ca + +

Trang 6

10

4

1 16x 1 16y , ∀x , y ∈ R

°

8

°

( )

8

4

1 16x 1 16y

b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b

° a + b + c = 1

2(X + Y + Z)

° a= Y Z X+ − , b=Z X Y+ − , c= X Y Z+ −

° + + =  +   + +   + + − 

3

≥ 1 2 2 2 3+ + − =3

Cách khác:

° + + = +   + +   + + −

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

° [( + ) (+ + ) (+ + )] + + ≥ − =

20 Cho a , b , c > 0 C/m:

abc

° a3+b3=(a b a+ )( 2−ab a+ 2)≥(a b ab + )

⇒ a3+b3+abc≥(a b ab abc+ ) + =ab a b c , tương tự ( + + )

° b3+c3+abc≥(b c bc abc+ ) + =bc a b c ( + + )

° c3+a3+abc≥(c a ca abc+ ) + =ca a b c ( + + )

+ +

VT

11

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s

÷ a b 2 ab , c d 2 cd + ≥ + ≥

÷ a b cd 2+ + ≥ ( ab+ cd)≥2 2( ab cd)≥4 abcd 4

b a b c+ + ≥3 abc 3 với a , b , c ≥ 0 , (Cô ố

⇔ a b c+ + ≥4 a b c+ +

abc

4

abc

⇔  + +  ≥

3

a b c

abc

3 ⇔ + + ≥a b c 3 abc 3

22 Chứng minh: a3+b3+c3≥a2 bc b+ 2 ac c+ 2 ab ; a , b , c > 0

° a3+abc≥2a2 bc , b3+abc≥2b2 ac , c3+abc≥2c2 ab

° a3+b3+c3+3abc≥2 a( 2 bc b+ 2 ac c+ 2 ab )

⇒ 2 a( 3+b3+c3)≥2 a( 2 bc b+ 2 ac c+ 2 ab , )

vì : a3+b3+c3≥3abc Vậy: a3+b3+c3≥a2 bc b+ 2 ac c+ 2 ab

23 Chứng minh: 2 a 3 b 4 c+ 3 + 4 ≥9 abc 9

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:

° VT= a+ a+3b+3b+3b+4c+4c+4c+4c≥9 abc 9

24 Cho y= x+18

2 x , x > 0 Định x để y đạt GTNN

÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y=x+18≥2 x 18 =6

° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x=18⇔ 2= ⇔ = ±

Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6

−

y

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm −

−

,

2 x 1:

Trang 7

2 2

3 5

+ 5b2 ≥ 735

47

137

÷ 3a 5b− = 3 7 a− 5 11b

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 7 a ,− 5 , 11b

2 2

7 11

+ 11b2 ≥ 2464

137

6 Cho a + b = 2 Chứng minh: a4 + b4 ≥ 2

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

° 2= a b+ ≤ (1 1 a+ )( 2+b2) ⇔ a2

+ b2 ≥ 2

° 2≤(a2+b2)≤ (1 1 a+ )( 4+b4) ⇔ a4

+ b4 ≥ 2

7 Cho a + b ≥ 1 Chứng minh: a2+b2≥ 1

2

° ≤ + ≤ ( 2+ 2)( 2+ 2)⇔ 2+ 2≥ 1

2

°

Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ = − ⇔  = ⇔ = −

2

° Vậy: GTNN của y là 2 5 5 khi + −

=5 5 x

4

29 Cho = 3+

2

y

x , x > 0 Định x để y đạt GTNN

° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ x =x = 12

2 2 x ⇔ =x 32

° Vậy: GTNN của y là

3

4 khi x=32

= x2 4x 4 f(x)

x , x > 0

° x2+4x 4+ = +x 4+ ≥4 2 x.4+ =4 8

° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ =x 4

x ⇔ x = 2 (x > 0)

° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2

3

2 f(x) x

x , x > 0

3 2

° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ 2 = ⇔ =5

3

3 x ⇔ x = 2 (x > 0)

° Vậy: GTNN của y là 55

27 khi x=53

32 Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

° f(x) = –10x2

+ 11x – 3 = −  − − = −  −  + ≤

2

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ =x 11

20

Trang 8

14

° V%y: Khi x= 11

20 thì y đạt GTLN bằng

1

40

33 Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 Định x để y đạt GTLN

÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6):

° 6= +x (6 x− )≥2 x 6 x ⇒ x(6 – x) ≤ 9 ( − )

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3

° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9

34 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ 5

÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = 1

2(2x + 6)(5 – 2x)

÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,− ≤ ≤ 

5

3 x

2 :

°11=(2x 6+ ) (+ 5 2x− )≥2 2x 6 5 2x ⇒ ( + )( − ) 1

2(2x + 6)(5 – 2x) ≤ 121

8

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 6 = 5 – 2x ⇔ = −x 1

4

° Vậy: Khi = −x 1

121

8

35 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ ≤5 x 5

÷ y = (2x + 5)(5 – x) = 1

2(2x + 5)(10 – 2x)

÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,− ≤ ≤ 

5

x 5

°(2x 5+ ) (+ 10 2x− )≥2 2x 5 10 2x ⇒ ( + )( − ) 1

2(2x + 5)(10 – 2x) ≤ 625

8

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 5 = 10 – 2x ⇔ =x 5

4

° Vậy: Khi =x 5

625 8

36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , −1

2 ≤ x ≤ 5

÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x)

÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,− ≤ ≤ 

x

° (2x 1+ +) (5 2x− )≥2 2x 1 5 2x ⇒ (2x + 1)(5 – 2x) ≤ 9 ( + )( − )

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 1 = 5 – 2x ⇔ x = 1

15

° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9

+

2

x y

x 2 Định x để y đạt GTLN

° 2 x+ 2≥2 2x2 =2x 2 ⇔ ≥

+ 2

2 2 2 x ⇒ ≤y 1

2 2

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x2=2 và x > 0⇒x= 2

° Vậy: Khi =x 2 thì y đạt GTLN bằng 1

2 2

38 Cho

= +

2 3 2

x y

Định x để y đạt GTLN

° x2+ =2 x2+ + ≥1 1 3 x 1.1 ⇔ 3 2 ( )

+

2 3

3 2

27

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x2= ⇔ = ±1 x 1

° Vậy: Khi = ±x 1 thì y đạt GTLN bằng 1

27

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2

+ c2)(b2 + d2) («) BĐT Bunhiacopxki

(«) ⇔ a b2 2+2abcd c d+ 2 2≤a b2 2+a d2 2+c b2 2+c d 2 2

⇔ a d2 2+c b2 2−2abcd 0 ⇔ ≥ ( − )2≥

ad cb 0

2 Chứng minh: sinx cos x+ ≤ 2

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

° sinx cos x+ = 1 sinx 1 cos x+ ≤ (12+12)(sin x cos x2 + 2 )= 2

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b :

° 3a 4b+ = 3 3a+ 4 4b≤ (3 4 3a+ )( 2+4b2) ⇔ 3a2

+ 4b2 ≥ 7

47

÷ 2a 3b− = 2 3 a− 3 5 b

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 2 , 3 a ,− 3 , 5 b

Trang 9

+ + ≤ a2 b2 c2

2R (a, b, c là các cạnh của DABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy ra khi nào?

36 (Đại học 2002 dự bị 3)

Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 4+ 1

x 4y

37 (Đại học 2002 dự bị 5)

Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50

Chứng minh bất đẳng thức: + +

+ ≥ 2

b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = a+c

b d

38 (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ

các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

3

39 (Đại học khối A 2003)

Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1 Chứng minh rằng:

40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3 cosx

41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2)

Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:





=



trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = a b c+ +

2

42 (Đại học khối A 2005)

Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1+ +1 1=4

PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1 (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho 3 số bất kì x, y, z CMR: x2+xy y+ 2+ x2+xz+z2 ≥ y2+yz+z 2

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z

3 (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)

Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + 1+ +1 1

4 (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)

Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4+ 1

x 4y

5 (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)

Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:

a b c b c d c d a d a b< 2

6 (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2

1 x

7 (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Cho 3 số dương a, b, c Ch minh rằng: + + + + + +

9

8 (CĐKTYTế1 2006)

Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x2 + x = y + 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

10 (Học viện BCVT 2001)

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1

3

11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh:

2 2 2 2 2 2

2

12 (ĐH Kiến trúc HN 2001)

Trang 10

18

Cho các số a, b, c thoả:  + + =





2 2 2

ab bc ca 1 Chứng minh: − ≤ ≤4 a 4;− ≤ ≤4 b 4;− ≤ ≤4 c 4

13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001)

Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi Chứng minh rằng:

2

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Cho 3 số x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

3 2 3 2 3 2 2 2 2

2 y

15 (ĐH PCCC khối A 2001)

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c 1 >

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: xα + α – 1 ≥ αx

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

Cho a ≥ 1, b ≥ 1 Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab (*) − + − ≤

18 (ĐH Vinh khối A, B 2001)

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi

bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13

19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Cho a, b, c là những số dương và a + b = c Ch minh rằng: + >

2 2 2

3 3 3

20 (ĐHQG HN khối A 2000)

Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0 Chứng minh

rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

21 (ĐHQG HN khối D 2000)

Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng

3

22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0 Ch minh rằng: +  + 

≥  

3

3 3

23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)

Cho 3 số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT:

19

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

a b a c b c b a c a c b

25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:

(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ (1+3abc)3

26 (ĐH Y HN 2000)

Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện 2+3=6

x y Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

+

18xyz

2 xyz

29 (ĐH An Ninh khối A 2000)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n

30 (CĐSP Nha Trang 2000)

Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = a 1+ + b 1 +

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác không: + + ≥

2 2 2 2 2 2

BĐT cuối cùng luôn đúng ⇒ BĐT cần chứng minh đúng

32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999)

Cho 3 số a, b, c khác 0 Chứng minh: 2+ 2+ 2 ≥ + +

2 2 2

33 (ĐH Hàng hải 1999)

Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3 Chứng minh rằng:

2 1 x 1 y 1 z

34 (ĐH An ninh HN khối D 1999)

Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng:

2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*)

35 (Đại học 2002 dự bị 1)

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

14

° V%y: Khi x= 11

20... class="text_page_counter">Trang 9

+ + ≤ a2 b2... class="text_page_counter">Trang 10

18

Cho số a, b, c thoả:  +

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	420,12 KB