TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng a b ab
Giải:
Cách 1: Ta có: a b ab ( a b)2 ( ab)2
0 2
2
ab
b a b ab a
(Bất đẳng thức đúng vì a, b > 0 nên 2 ab 0) Vậy a b ab
Cách 2: a b ( a b)2 ab2 ab ab (vì 22 ab 0)
2) Chứng minh rằng: x 2 + 3 +
3
10 3
1
x
Giải:
Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương và ta có:
9
3
2
x
3
1
2
x
3
10 3
8 3
2 3 9
8 3
1 9
3 2
) 3 ( 9
8 3
1 9
3 3
1
2 2
2
2 2
x
x x
x
x x
x
3) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng:
2
3
c c a
b c
b
a
Giải:
0 ) )(
( )
( ) )(
( )
( ) )(
(
)
(
0 1
1 ) ( 1 1
) ( 1 1
)
(
0
0 2
1 2
2
1 2
2
1 2
0 2
1 2
1 2
1
2 3
b a c a
c b c
b c b b a
c a c
a c a c b
b a b
a
b a c a c b b a c b c a c a c b
b
a
b a
b c b a
a c c a
c b c a
a b c b
c a
c
b
b
a
b a
b a c c
a
c a b c
b
c b
a
b a
c c
a
b c
b
a
b a
c c
a
b
c
b
a
) )(
(
) ( ) )(
(
) ( ) )(
(
)
b a c a
c b c
b b a
c a c
a
c
b
b
a
Vậy
2
3
c c a
b c
b
a
4) Cho a + b 1 Chứng minh rằng a 2 + b 2 1
Ta có: a + b 1 (ab)2 1
Mà (a – b)2 0 Do đó (a + b)2 + (a - b)2 1
2
1 ) (
1 ) (
2
1 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
b a
b a
b ab a
b ab a
5) Cho a > b, b > c, c > 0 Chứng minh rằng: c(ac) c(bc) ab
Giải:
Trang 2Ta có: c(ac) c(bc) ab
( c(ac) c(bc )2 ab2
) ( ac c c bc ab
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki
2 2
) )(
( ) ( ac c c bc acc cbc ab ab
Vậy c(ac) c(bc) ab
6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 a,b,c2và a+b+c=3 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 5 Giải:
0 a,b,c2
0 ) 2 )(
2 )(
2 ( 0
0 2
, 2 , 2
0 , ,
c b a abc
c b a
c b a
4 ) (
4 8 ) (
2
0 2
2 2 4 4 4
8
0 ) 2 )(
2 )(
2
(
c b a ac
bc
ab
abc ac bc ab c b a abc
c b a abc
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca)
7) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0
Giải:
Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức ta có:
b + c > a, c + a > b, a + b > c
a2(b + c) > a2 a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c
a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3
a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3
a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm)
8) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2
Giải:
a < b + c (bất đẳng thức tam giác)
a + a < a + b + c
2a < 2 a < 1 Tương tự b < 1, c < 1
Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
(1 – b – a + ab)(1 - c) > 0
1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
1 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0
Nên abc < -1 + ab + bc + ca
2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca
a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2
a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 (vì a + b + c = 2)
9) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: 3 3 3
2
a
Giải:
3 3
3
2
a
0 2
2
3 3
3
0
2 2
) )(
Trang 3
0 ) 3 6 3 )(
(
0 ) 2
4 4 4 )(
(
0 4
) 2
( 4 4 4 2
2 ) (
2
0 2
2
) )(
(
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
b ab a
b a
b ab a
b ab a
b a
b ab a
b ab a
b a
b a b
ab a b a
b a b
ab a b a
3(ab)(ab)20 (BĐT đúng)
Vậy
3 3
3
2
a
10) Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + 1 ab + a + b
Giải:
Ta có: a2 + b2 2ab
b2 + 1 2b
a2 + 1 2a
2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b)
(a2 + b2 + 1) ab + a + b
11) Cho các số dương x,y,z 0 và x + y + z = 1 Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z) Giải:
Vì x,y,z 0 và x + y + z = 1 x,y,z 1 và 1-x, 1-y, 1-z 0
Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số không âm ta có:
(1-x)(1-z)
2
2
1 1
4(1-x)(1-z) (1+y)2
4(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y)
4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y)
4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+z
Vậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)
12) Chứng minh rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì 111 9
c b a
Giải:
c b
1 1 1 )
c b a c b a
6
9 1
1
1
c
a a
c b
c c
b
a
b
b
a
b
c a
c c
b a
b c
a b
a
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
c
a a
c b
c c
b a
b b
a c
a a
c b
c
c
b
a
b
b
a
2 2
6 2 2
2
c
a a
c b
c c
b
a
b
b
a
Vậy với các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì 1119
c b a
13) Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
a) ab + bc + ca a 2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca)
Trang 4Giải:
a) Ta có: a2 + b2 2ab
b2 + c2 2bc
c2 + a2 2ca
2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca)
(a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca)
Mặt khác a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:
a<b+c; b<c+a;c<a+b
) (
2
;
;
) ( );
( );
(
2 2
2
2 2
2
ac bc ab c
b
a
cb ca c ba bc b ac
ab
a
b a c c c a c b b b c b
a
a
a
Vậy ab + bc + ca a 2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
1+b2 2 1.b2 2b
Tương tự: 1+c2 2c ; 1+a 2 2a
a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) a.2b + b.2c + c.2a = 2ab + 2bc + 2ca
Vậy a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca)
14) Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì x 2 + y 2 + z 2
3 1 Giải:
Ta có: x2 + y2 + z2
3 1
0 3
2 1 3
2 ) 3
1 ( ) 3
1 ( )
3
1
(
0 3
2 ) (
3
2 9
1 3
1 2 9
1 3
1 2 9
1 3
1
2
0 3
2 9
1 9
1 9
1
2 2
2
2 2
2
2 2
2
z y
x
z y x z
z y
y x
x
z y
x
0 3
2 1 3
2 ) 3
1 ( ) 3
1 (
)
3
1
( 2 2 2
(là bất đẳng thức đúng) 0
) 3
1 ( ) 3
1 ( )
3
1
( 2 2 2
15) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng:
ca bc
ab c
b a
1 1
1 1 1
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
a c a
c
a
c
c b c
b
c
b
b a b
a
b
a
2 1
1
2
1
1
2 1
1
2
1
1
2 1
1
2
1
1
2(1 1 1) 2( 1 1 1 )
ca bc
ab c
b
ca bc
ab c
b
a
1 1
1 1
1
1
16) Cho a 0, b 0,c 0 Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 abc(a + b + c)
Trang 5Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 2ab hai lần
17) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây đúng với mọi số thực x,y khác 0
y x x y2 43x y x y
2
2 2
x
y y
x x
y y
x
3 4
2 2
2 2
0
2
2
2
x
y
y
x
x
y y
x
0
2
0 2 1
0 1 3
1 1
0 3
3 1
2 2 2
2
2
xy
xy y
x xy
xy y
x
x
y y
x x
y
y
x
x
y y
x x
y y
x x
y
y
x
x
y y
x x
y
y
x
(là bất đẳng thức đúng) 0
) ( 4
3 2
2 2
2 2
y x
y x y
y
x
x
y y
x x
y
y
x
3 4
2
2
2
2
18) Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng: a + b +
b
a
1
2 5
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có:
2
5 1 2
3 ) ( 4
1
1 2 2
4
3 ) ( 4
1 1 ) ( 4
3
b a ab
b a b a b a b
a
b
a
19) Chứng minh rằng với a,b,c là các số dương thì ta có:
b a
c a c
b c b
a b
a
c a
c
b c
b
a
2
2 2 2
2 2 2
Giải: Vai trò a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát, giải sử a b c>0 Ta có
) )(
(
) ( ) ( )
)(
( )
)(
( )
)(
(
) (
) (
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
c b c b
c a ac b a ab c
b c b
ac c a ab b a c
b c b
ac ab c a b a c
b c b
c b a c b a c b
a
c
b
a
Trang 6Tương tự ta có:
) )(
(
) ( ) (
) )(
(
) ( ) (
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
b a b a
b c cb a c ca b a
c
b
a
c
a c a c
a b ba c b bc a c
b
a
c
b
c a c
b c b
a b a
c a
c
b c
b
a
2 2 2
2 2 2
2 2
2
) )(
(
) ( ) (
2 2
c b c b
c a ac b a ab
) )(
(
) ( ) (
2 2
a c a c
a b ba c b bc
) )(
(
) ( )
(
2
2
b a
b
a
b c cb
a
c
ca
1 )
)(
(
1
2 2 2
2
a c a c c b c
20) Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a + b +c = 1 Chứng minh rằng: a + b 16abc
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có:
1 = (a + b +c)2 4a(b + c) bc4a(bc)2
Mà (b + c)2 4bc nên
b + c 4a.4bc hay b + c 16abc
21) Cho x 2 + 4y 2 = 1 Chứng minh
2
5
y x
Hướng dẫn: Đặt x – y = A x = A + y rồi thay vào biểu thức x 2 + 4y2 = 1…… dùng kiến thức về phương trình bậc hai để suy ra điều phải chứng minh
22) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
Giải:
Ta có: a2 – (b – c2) a 2 (a+b-c)(a-b+c) a 2
Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b 2
(c+a-b)(c-a+b) c 2
[(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 (abc)2
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
23) Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(x 2 + y 2 + z 2 )(x+y+z) 2 với mọi x,y,z
Giải:
3(x 2 + y 2 + z 2 )(x+y+z)2
0 2 2 2 2 2
(BĐT đúng) 0
)
( 2 2 2 2
Vậy 3(x 2 + y 2 + z 2 )(x+y+z)2
24) a) Chứng minh a b (với a,b > 0)
a
b b
a2 2
b) Chứng minh rằng nếu a + b 2 thì a 3+b3 a 4 + b4
Giải:
a
b
b
a
2
2
b a b
a a
b b
a
2 2
2 2
a a b
a
b b b
a
2 2
2 2
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
2
a a
b b
b
a
2
a
b b
b
a
2 2
2
2 2
a
b b
a
2
b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2)
Trang 7= (a – b)2[(a + )2+ 0
2
b
] 4
3b
a4 + b4 a3b + ab3
2(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab3
2(a4 + b4) a3(a + b) + b3(a + b)
2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3)
2(a4 + b4) 2( a3+ b3) vì a + b 2 >0
Vậy a3+b3 a 4 + b4
25) a) Cho a 0, b 0 Chứng minh:
ab
ab b
a
9 12
b) Cho Chứng minh rằng:
4
1
2
a
32
1
4
a
Giải:
a) (a + b)(9 + ab) 12ab
ab
ab
b
a
9
12
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có:
ab ab
ab ab
b
a
ab ab
ab
b
a
12 9
2 2 ) 9
)(
(
9 2 9
;
2
b) Ta có:
a4 + b4 =
32
1 4
1 2
1 ) (
2
1 ) (
2
1 ) (
2
a
26) Cho a+b+c abc Chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2abc
Giải: Vì a+b+c abc nên có hai trường hợp xảy ra
- Trường hợp : a 1;b 1;c 1
Ta có: a2 b2 c2 a b c abcabc
- Trường hợp: trong ba số a;b;c có ít nhất một số nhỏ hơn 1
Không mất tính tổng quát, giả sử c 1
Ta có: a2+b2+c2 a2+b2 2ab abc abc
27) Cho x 1, y 1 Chứng minh
xy y
2 1
1 1
1
2 2
Giải:
xy y x 1 2 1 1 1 1 2 2
0 1
1 1
1 1
1 1
1
2 2
xy y
xy x
28) Chứng minh rằng với mọi a,b
2
2
b
Giải: Nếu tổng a+b < 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Nếu a+b 0, ta có:
0 2
2 2 ) ( ) (
2 )
( 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
a
(BĐT đúng) 0
)
( 2
a b
2
2
b
29) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh:
Trang 8
p
1 1 1 2 1 1
1 Giải:
Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh
y x y
x
4 1 1
30) Cho a,b,c>0 Chứng minh : ab bc ca
a
c c
b b
a
3 3
3
Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số ab;…………
b
a
;
3
31) Chứng minh rằng:
2
1 ) 1 )(
1 (
) 1 )(
( 2
1
2
b a
ab b
a
Giải:
Ta có:
.(*) 1
2 0
2 0
)
(
2 2 2
2
y x
xy xy
y x y
x
Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2
2 2
2
2
) 1 ( ) (
) 1 )(
( )
1 )(
1
(
) 1
)(
(
ab b
a
ab b
a b
a
ab b
a
Áp dụng (*) ta có:
2
1 ) 1 ( ) (
) 1 )(
(
2
ab b
a
ab b
a
2
1 ) 1 )(
1 (
) 1 )(
(
2
1
2
1 ) 1 )(
1
(
) 1
)(
(
2 2
2
2
b a
ab b
a
b
a
ab b
a
32) Cho a 0, b 0 Chứng minh rằng: ab (ab)a bb a
4
1 ) ( 2
Giải:
4
1 4
1 )(
( 2
1 ) 2
1 )(
( 2
1 ) ( 4
1 ) (
2
a
Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có:
) 4
1 4
1
)(
(
2
1
4
1 2 4
1 2 ( 2 2 1
Vậy ab (ab)a b b a
4
1 )
(
2
33) Cho xy =1, x>y Chứng minh rằng 2 2
2 2
y x
y x
Giải:
2 2
2
y x
xy y x y
x
xy y
x y
x
xy y
x y
x
y
x
1 1999
1
1998 2
1 1999
1
1
Giải:
Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b dấu ‘=’ xảy ra khi a = b
b a ab
ab
Trong bài toán trên thì dấu ‘=’ không xảy ra vì a b
Ta có:
Trang 99999 , 1 001 , 0
001
,
0
001
,
0
2000
2
2000
2 2000
2 1 1999
2
1998 2
2 1999
1
2 1
1999
1
1998 2
1 1999
1
1
1999
1999
so
so
35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a 2 +b 2 +c 2 =5/3 Chứng minh rằng:
abc c b a
1 1 1 1
Giải:
Ta có: (a+b-c)2 0
a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc 0
2ab+2ca-2bc a2+b2+c2
Mà a2+b2+c2=5/3 < 2
2ab+2ca-2bc 2
(do abc>0)
abc abc
bc ca
bc
2
2 2
2 2
2
abc c
b
a
1 1
1
1
36) Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e)
Hướng dẫn: Chuyển vế đưa về hằng đẳng thức
37) Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh rằng: 4
a d
b d d c
a c c b
d b b a
c a
Giải:
4 ) (
4 4 )
( 4
)
( 1
1 ) ( 1 1
)
d c b a
d c b a c b a d
b d d c b a
c a c
b a d b d d c b
a
c
a
(áp dụng bất đẳng thức phụ )
y x y
x
4 1 1
38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 4a1 4b1 4c1 21
Giải:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
3
10 4 14
21 2
3
7 1 4 7
3 3
7 )
1 4 ( 7
3
1
a a
a
Tương tự:
3
10 4 14
21
1
4
3
10 4 14
21
1
4
c c
b b
21 14 14
21 )
10 4 4 4 ( 14
21 1 4 1 4 1
Vậy 4a1 4b1 4c1 21
39) a) Chứng minh: 2với mọi x
2
3
2
2
x x
2006
2005 2005
2006
Giải:
a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 2 (x2 2).12 x2 2 (theo côsi cho hai số dương)
dấu = không thể xảy ra vì x2 + 2>0 với mọi x
Trang 10Vậy 2với mọi x
2
3
2
2
x
x
b)
2006 2005
2006
1 2006 2005
1 2005
2006 2005
2006
1 2006 2005
1
2005
2006
1 2005
1
2006
2005 2005
1 2 1
2
1 2 1
a a a
a
a a a
a
Giải:
1 1 2 1 1 2
1 1 )
1 1 ( 2 1
1 2 1 1 2
1 1 )
1 1 ( 2 )
1 1 2 ( ) 1 1
2
(
) 1 1 ( ) 1 1 (
(
2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
1 1 2 1 1
1 2 1 ( 2 1
2 2 1
2 2
) 1 2 1
2 ( 2 1 2 1
2
1 2 1
2
2 2
2 2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a a
a a
a a
a
a a a
a
(vì a 2) 1
1 2 1
1
2
1 1 )
1 1
(
2
a a
a a
vì a 2 nên 2a – 2 < 2a – 1 1
1 2
2 2 1 2
2 2 1
2
2
1
2
2
a
a a
a a
a
) ( ) (a c b d d
c b
Giải:
bd ac d
c b
a
bd ac d
c b
a
d b c a d c d c b a b
a
d b c a d
c b
a
d b c a d
c
b
a
) )(
(
2 2
2
) ( ) (
2
) ) ( ) ( ( ) (
) ( ) (
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
Nếu ac + bd 0 thì BĐT đúng
Nếu ac + bd > 0 thì
acbd bd
ac d
c
b
a
bd ac d
c b
a
bd ac d
c b
a
2 ) ( ) ( ) )(
(
) (
) )(
(
) )(
(
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
0 ) ).(
( 2 )
2 ) ( ) ( )
2 2
2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
bc ad c
b
d
a
acbd bd
ac c
b d a d
b
c
a
(BĐT đúng) 0
)
( 2
ad bc
Vậy ta có: a2 b2 c2 d2 (ac)2 (bd)2
42) Cho a>0, b>0 và a + b = 1.
a) Chứng minh rằng: 1 2 1 2 6
b a ab