Dạng 3: Rút gọn biểu thức44065

 Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử...  Để tỡm giỏ trị của khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trỡnh x Ax Lưu ý: Tất cả mọi tính toán, biến

Dạng 3: Rút gọn biểu thức

1.

2

1 :

1

1 1 1



























x x

x

x x

x

x

A

 2

1

4





x

x A

1

1 1

1 2

x x

x x x

x x



































3. B x x11 x x118xx1: x xx13 x11 B x4x4

4.

x x

x x

x

A

2

1 1

1 1

1 : 1

1 1





































x

A

2

3



5.

9

9 3 3

2













x

x x

x x

x

A

3

3





x A

6.Q = xx24x 23 x: xx 2 xx 2 A 1 x

7.

3

x x A



a > 0 ; a 4 4

a



4





a A

1

x x

A





10.

1

) 1 ( 2 2

1

2



















x

x x

x x x

x

x x

11. A2x x x1x x11:xxx21 A x12

12. A x x1 x: x x111 x  x2x x A x x1

13.

3

3 2 1

2 3 3 2

11 15





















x

x x

x x

x

x A

3

5 2







x

x A

14.

1

1 1

1













x

x x

x x A

1





x

x A

Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau

 Bước 1: Tỡm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho.

 Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân

tử.

 Bước 3: Quy đồng mẫu thức

 Bước 4: Rút gọn

1

2 : 1

1 1

4 1



























x

x x x

x

A

x

x

A 2

16.

9

9 3 3

2













x

x x

x x

x A

3

3





x A

9 1

A

x



13 3







x

x x

A

Q

1 2

Q x





19. A 1x  x11: x x12 x x21 A 3xx2

























































1

1 1

1 1

1 1

x

x x

x x

x x

x

x x x x

x x E

x

x x

A 2(  1)









































1

: 1

1 1

1

x

x x

x

x x

x x A

x

x

 2





































x x

x x

x

x x

x

x

1

1 1 :

x A







































2

2 :

2

3 2

4

x

x x

x x

x x

x









































1

2 1

: 1

1 1

1 2

x x

x x

x x

x A

3





x

x A

25. A1:xx2x x12 xxx11 x11 A x x x1

26. A x x223 x 3x x22: x x2322xx x A x x12

27. P24 x x 48x:xx21x  2x A34x x

28.

1 1

1 1



















x

x x x x

x x















































6 5

2 3

2 2

3 :

1

1

x x

x x

x x

x x

x A

1

2







x

x A













































1

2 1

3 : 1

3 2 1

1

x x

x x

x x x

x A

1

4





x A











































1

2 1

1 : 1

2 2 1

1

x x

x x x x

x x

A

1

1







x x A

32. 









































1

4 1

: 1

1 1

1 2

x x

x

x A

3





x

x A

33.

a

a a

a a

a A





















3

1 2 2

3 6

5

9 2

3

1







a

a A

34. Ax x525x 1:x252 x x15 x x53 x x35 A35 x

35. Ax x39x 1:x9x x62xx3 x x32 A x32

36. A 2x x3 x x33x x93:2 x x321 A x33

4

A

a



4





a A

38.

1

) 1 2 ( 2 : 1 1































x

x x x

x

x x x x

x x A

1

1







x

x A







































1

2 1

1 : 1

1 1

1 2

x

x A

3





x

x A

40.

a a

a a

a A

















2

1 6

5 3

2

2

4







a

a A

41. A x11 x x x2 x1:22x x1x A 2xx1











































1

1 3

1 : 3

1 9

7 2

x x

x

x x

x x A

3

1







x

x A

43.

2

1 :

1

1 1 1



























a a

a

a a

a

a A

44. Aaaa1 1aaa1 1

45. A 2x 21xxx 1x xx1x

46. A3xx 1x3 xx 1x

47.

1 1

1 1

2





















a

a a a a

a a a

a A

: 2

A

a



49. A12aa1: a11a a 2 a aa1

50. A1 aa1: a111a2 a aa a

51. A x x118xx1 x x 11: x xx13 x11









































a

a a

a

a a

a A

1

1 1 1

1

3

53.

1 2 1

2 1

1 2

1





































a

a a a

a

a a a a a

a a A

54. A 2aa3 a a339aa3:2 a a321

55. Ax x 2 x xx1 x11:1 xx1

56. A 1x44x x1:1142x x22x x11

57.

1 4 4

1 :

2 1

1 1

4

5 2

2 1

































x x

x x

x

x x

P

58.

3

3 2 1

2 3 3 2

11 15





















x

x x

x x

x

x P





































x x

x x x

x P

1

2 1

1 : 1 1

60.

1 2

1 :

1

1 1



























x x

x x

x x P









































x

x x

x x

x P

1

3 2 : 1

1 3 5 2 2

62. P   x  x   x x x   x xx xx x 

1

2 1

1 2

: 1 1

1





















































3

5 5

3 15

2

25 :

1 25

5

x

x x

x x

x

x x

x x M

































































x

x x x

x

x x x

x x P

1

1 1

1 : 1

1















































3

2 2

: 9

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

66. 1 1 2 2 1

:

1

x x

x x x x P

x

x x x x

      

68.

1

1 1

1











x

x x

x

x

69.

4

5 2 2

2 2

1















x

x x

x x

x

70.         

1

2 2

1 :

1 1

1

a

a a

a a

a

71.

x

x x

x x

x

4

4 2 2





















72.

1

3 1









x x

x x

x

73.

8

4 4 2

2 2



















x x x

x













6

5 3

2

a a a

a P

a

 2 1

75.         

1

2 2

1 :

1 1

1

a

a a

a a

a

76.

1

2 1

3 1

1











x

77.

x

x x

x x

x

x



















3

1 2 2

3 6

5

9 2

































2 1

1 : 1

x

x

a a

84. 1 3 2

x x x x x

x

87.

2

x x

1

x x

x



91.

2



92.  2 21  . 11 11

2

a

a a

a a

a P

93.

a

a a

a a

a

a a P























1

2 2

1 2

3 9 3

94.

x

x x

x x

x

x

1

2 1

2



























1

1 1

1











a a

A

96.

2

2 : 1 1





























a

a a a

a a a a

a a A



































1

1 1

1 1

1

x

x x

x A

1

1 2 2 : 1 1































x

x x x x

x x x x

x x A

x

x x

x x















1

1 1

1 2



















































1 2

2 1 2

1 1

: 1 1 2

2 1 2

1

x

x x x

x x

x x x

x

1 Cho biểu thức :P a 2 5



1

2 a a) Rút gọn P

b) Tm giá tr ca để P < 1

2 Cho biểu thức: P = 1 x : x 3 x 2 x 2

a) Rút gọn P

b) Tm giá tr ca a để P < 0

3 Cho biểu thức: P = x 1 1 8 x : 1 3 x 2

9x 1

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P = 6

5

a) Rút gọn P

b) Tm giá tr ca a để P < 1

c) Tm giá tr ca P nếu a 19 8 3 

5 Cho biểu thức: P = a(1 a)2 : 1 a3 a 1 a3 a

a) Rút gọn P

b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P- )1

2

6 Cho biểu thức: P = x 1 2x x 1 : 1 x 1 2x x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi x 1 3 2 2 

2

Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau

 Để tính giá trị của biểu thức biết xa ta rút gọn biểu thức rồi thayxa

vào biểu thức vừa rút gọn.

 Để tỡm giỏ trị của khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trỡnh x

Ax

Lưu ý: Tất cả mọi tính toán, biến đổi đều dựa vào biểu thức đó rỳt gọn.

7 Cho biểu thức: P = 2 x 1 : 1 x

x 1

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P 0

8 Cho biểu thức: P = 2a 13 a 1 a3 a

a 1

a) Rút gọn P

b) Xét dấu của biểu thức P 1 a

9 Cho biểu thức P = 1: x 2 x 1 x 1

x 1

x x 1 x x 1

a) Rút gọn P

b) So sánh P với 3

10 Cho biểu thức : P = 1 a a 1 a a

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P < 7 4 3

11 Cho biểu thức: P = 2 x x 3x 3 : 2 x 2 1

x 9

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P < 1

2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

12 Cho biểu thức: P = x 3 x 1 : 9 x x 3 x 2

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P < 1

13 Cho biểu thức : P = 15 x 11 3 x 2 2 x 3

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P=12

c) Chứng minh P 2

3



14 Cho biểu thức: P= 2 x x m2 2 với m > 0

4x 4m

x m x m



a) Rút gọn P

b) Tính x theo m để P = 0

c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1

15 Cho biểu thức P = a2 a 2a a 1

a) Rút gọn P

b) Biết a > 1 Hãy so sánh P với P

c) Tìm a để P = 2

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

16 Cho biểu thức P = a 1 ab a 1 : a 1 ab a 1

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a =2 3 và b =

3 1

1 3



 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a b 4

17 Cho biểu thức : P = a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1

a) Với giá trị nào của a thì P = 7

b) Với giá trị nào của a thì P > 6

18 Cho biểu thức: P =

2

a) Tm các giá tr ca a để P < 0

b) Tm các giá tr ca a để P = -2

19 Cho biểu thức P =  2

a b 4 ab a b b a

 a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi a =2 3 và b = 3

20 Cho biểu thức : P = x 2 x 1 : x 1

2

x x 1 x x 1 1 x

a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng P > 0 x  1

21 Cho biểu thức : P = 2 x x 1 : 1 x 2

a) Rút gọn P

b) Tính Pkhi x=52 3

22 Cho biểu thức P =

3x

4 x

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P = 20

23 Cho biểu thức: P = 1 2a a 1 2a a a a a a

a) Cho P= 6 tìm giá trị của a

1 6 b) Chứng minh rằng P > 2

3

24 Cho biểu thức: P = x 5 x 1 : 25 x x 3 x 5

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của x thì P < 1

25 Cho biểu thức P = 3 a 3a 1 a 1 a  b

:

a) Rút gọn P

b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên

26 Cho biểu thức P = 1 1 : a 1 a 2

a) Rút gọn P

b) Tm giá tr ca a để P > 1

6

27 Cho biểu thức : Q = x 2 x 2 . x 1

x 1



a) Tìm x để Q Q

b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên

28 Cho biểu thức P = 1 x

x 1 x x

a) Rút gọn biểu thức sau P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1

2

29 Cho biểu thức : A = x x 1x 1 x 1

x 1

  

a) Rút gọn biểu thức

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1

4

c) Tm x để A < 0

d) Tm x để A A

30 Cho biểu thức : A = 1 1 1 3

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Xác định a để biểu thức A > 1

2

31 Cho biểu thức : A = x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 

:

x 1



a) Rút gọn biểu thức sau A.

b) Tm x để A < 0

32 Cho biểu thức : A = x 2 x 1 : x 1

2

x x 1 x x 1 1 x

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2

33 Cho biểu thức : A = a 3 a 1 4 a 4

4 a



a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tính giá trị của P với a = 9

34 Cho biểu thức : A = 1 a a 1 a a

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tìm giá trị của a để N = -2010

35 Cho biểu thức : A =     

x x 26 x 19 2 x x 3

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

36 Cho biểu thức : A = a 1 a 1 4 a a 1

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tính A với a = 4 15 10   6 4   15

37 Cho A= x 3 x 1 : 9 x x 3 x 2 với x 0 , x  9, x  4

a) Tìm x để A < 1

b) Tìm x Z để A  Z

38 Cho A = 15 x 11 3 x 2 2 x 3 với x 0 , x  1

a) Rút gọn A

b) Tm GTLN ca A

c) Tìm x để A = 1

2

3



39 Cho A = x 2 x 1 1 với x 0 , x  1

x x 1 x x 1 1 x

a) Rút gọn A

b) Tìm GTLN của A

40 Cho A = 1 3 2 với x 0 , x  1

x 1 x x 1 x  x 1

a) Rút gọn A

b) CMR : 0 A 1 

b) Tìm x Z để A  Z

42 Cho A = 2 a 9 a 3 2 a 1 với a 0 , a  9 , a  4

a) Tm a để A < 1 b) Tìm x Z để A  Z

43 Cho A = x x 7 1 : x 2 x 2 2 x với x > 0 , x  4

a) Rút gọn A

b) So sánh A với 1

A

44 Cho A = x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 Với x > 0 , x  1

a) Rút gọn A

b) Tm x để A = 6

a) Rút gọn A

b) Tính A với x = 6 2 5

46 Cho A= 1 1 : 1 1 1 với x > 0 , x  1

a) Rút gọn A

b) Tính A với x = 6 2 5

x 1

a) Rút gọn A

b) Tìm x nguyên để A nguyên

48 Cho A= 1 2 x 2 : 1 2 với x 0 , x  1

x 1

a) Rút gọn A

b) Tm x để A đạt GTNN

49 Cho A = 2 x x 3x 3 : 2 x 2 1 với x 0 , x  9

x 9

a) Rút gọn A

b) Tm x để A < -1

2

50 Cho A = x 1 x 1 8 x : x x 3 1 với x 0 , x  1.

a) Tính A với x = 6 2 5

51 Cho A = 1 1 : x 1 với x > 0 , x  1



a) Rút gọn A

b) So sánh A với 1

52 Cho A = x 1 1 8 x : 1 3 x 2 Với

9x 1

1

x 0,x

9

a) Tìm x để A =6

5

b) Tìm x để A < 1

53 Cho A = x 2 x 2 x2 2x 1 với x 0 , x 1



b) CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0

c) Tính A khi x = 3 + 2 2

d) Tm GTLN ca A

1



x

a Tỡm điều kiện xác định

b Chứng minh A =

1

2



 x x

c Tính giá trị của A tại x8 28

d Tỡm max A

55 Cho biểu thức : P =

3

2

3 : 2

2 4

4 2

2

x x

x x x

x x

x x

x































a) Rút gọn P

b) Tỡm cỏc số nguyờn của x để P chia hết cho 4





































x x

x x

x x

: 1

1 3 1

a) Rút gọn M

b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x để M là số nguyên

c) Tỡm x thoả món M < 0

57 Cho biểu thức: 





































1

1 1

1

2

1

a a

a a

a P

a) Rút gọn P b) Tỡm giỏ trị của a để P > 0

1

1 1

1











a a

A

a) Rút gọn A

b) Tỡm a để

2

1



A

59 Cho biểu thức:

x

x x

x x

x

x

1

2 1

2



























a) Rút gọn A b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyen của x sao cho A cú giỏ trị nguyờn

60 Cho biểu thức

2

2 : 1 1





























a

a a a

a a a a

a a A

a) Tỡm điều kiện để A có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tỡm giỏ trị nguyờn của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên

1

1 2 2 : 1 1































x

x x x x

x x x x

x x A

a) Rút gọn A b) Tỡm x nguyờn để A có giá trị nguyên































1

1 1

1 1

1

x

x x

x

a) Rút gọn A b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A có giá trị nguyên

x

x x

x x















1

1 1

1 2

) 1

;

0 

 x x

a) Rút gọn A b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để nhận giá trị nguyên

A

6













6

5 3

2

a a a

a P

a

 2 1

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a để P<1



















































6 5

2 3

2 2

3 :

1

1

x x

x x

x x

x x

x

a) Rút gọn P

b)Tìm giá trị của a để P<0

66 Cho biểu thức: P = 















































1 3

2 3 1 : 1 9

8 1 3

1 1 3

1

x

x x

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P=

5 6











































1

2 1

1 : 1

1

a a a a

a a

a a

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a để P<1

c) Tìm giá trị của P nếu a198 3





















































1 2

2 1 2

1 1

: 1 1 2

2 1 2

1

x

x x x

x x

x x x

x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi x 3 2 2

2

1













































1 1

2

x

x x

x x x x

x

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P 0











































a a

a a

a

a a

a

1

1 1

1

3

a) Rút gọn P

b) Xét dấu của biểu thức P 1a

1

1 1

1 1

2 :





























x

x x

x

x x

x x

a) Rút gọn P

b) So sánh P với 3













































2 2 : 9

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P<

2 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P





















































3

2 2

3 6

9 : 1 9

3

x

x x

x x

x

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P<1

74 Cho biểu thức : P=

3

3 2 1

2 3 3 2

11 15



















x

x x

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P=

2 1

c) Chứng minh P

3

2



1

2













a

a a a

a

a a

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P=2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P









































1

1 1

1 2

1 2

2

a

a a

a a

a

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của a để P<0

c) Tìm các giá trị của a để P=-2

77 Cho biểu thức : P=

2

1 :

1

1 1 1





























x x

x

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng P>0 x  1













































1

2 1

: 1

1 1

2

x x

x x

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tính Pkhi x=52 3

79 Cho biểu thức P=

x x

x

x

1 : 2 4

2 4

2 3

2

1 : 1





































a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P=20

80 Cho biểu thức: P=

1 2

1

2 1

1 2

1





































a

a a a

a

a a a a a

a a

a) Rút gọn P

b) Cho P= tìm giá trị của a

6 1

6

 c) Chứng minh rằng P>

3 2

81 Cho biểu thức: A = æ ç ç ç 1 + a a + a 1 öæ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç 1 - a a - a 1 ö ÷ ÷ ÷ ÷

a) Tìm các giá trị của a để A có nghĩa

b) Rút gọn A