Các dạng bài Rút gọn biểu thức ôn thi vào 10 môn Toán năm 2021

VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official RÚT GỌN BIỂU THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 Dạng 1 Tìm điều kiện xác định của biểu thức Phương pháp Để[.]

RÚT GỌN BIỂU THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Phương pháp

Để tìm điều kiện xác định của biểu thức ta làm như sau

B1: Đưa ra điều kiện xác định của biểu thức trong đó lưu ý một số kiến thức sau

A xác định  A ≥ 0 (biểu thức A là đa thức)

A

B xác định B ≠ 0 (biểu thức A, B là đa thức)

A

B xác định B > 0 (biểu thức A, B là đa thức)

B2: Giải điều kiện và kết hợp các điều kiện

B3: Kết luận

Ví dụ 1

Tìm điều kiện xác định của biểu thức P x 3 6 x 4

x 1

−

−

Giải

P

x 1

−

Điều kiện

x 0

x 1 0







− 







x 0

x 1













x 1





 

Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 1

Ví dụ 2

Tìm điều kiện xác định của biểu thức 3 x 2 2 x 3 3 3 x( 5)

P

−

Giải

x − 2 x − = − − 3 x 1 2 x − = 2 x − 1 x + − 1 2 x + = 1 x + 1 x − 3

3 3 x 5

P

−

Điều kiện xác định của P là

x 0

x 9



Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 9

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, chứa phân thức đại số

Phương pháp

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử

thành nhân tử

Ở bước này ta hay áp dụng các hằng đẳng thức để phân tích, chẳng hạn như:

Sử dụng hằng đẳng thức 2 2 ( )( )

A −B = A−B A+B

2

x 1− = x − =1 x −1 x +1

2

x− =4 x −2 = x −2 x +2

Sử dụng hằng đẳng thức 3 3 ( ) ( 2 2)

A −B = A−B A +AB+B

3

Sử dụng hằng đẳng thức 3 3 ( ) ( 2 2)

A +B = A+B A −AB+B

3

x x + =1 x + =1 x +1 x− x +1

Sử dụng hằng đẳng thức ( )2 2 2

A−B =A −2AB+B

2

x−4 x + =4 x −2 x.2+2 = x −2

Sử dụng hằng đẳng thức ( )2 2 2

A+B =A +2AB+B

2

x+6 x + =9 x +2 x.3 3+ = x +3

+ Đổi dấu phân thức: A A A; A A; A

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu

Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn

Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức 2 x 1 x 2 x 1

    với x > 0, x ≠ 4

Giải

( ) ( )( ( ) ) ( )

=

=

=

−

−

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:

x 1 P

x 4

+

=

−

Chú ý: Ví dụ trên đề bài đã cho trước điều kiện của biểu thức nên ta không phải đi tìm

Nếu đề bài chưa cho điều kiện xác định ta phải tìm điều kiện trước rồi mới rút gọn

Ví dụ 2

Rút gọn biểu thức x 1 2 x 5 x 2 3 x x

4 x

−

với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9

Giải

4 x

−

x 4

−

Q x 1 2 x ( 5 x )( 2 ) : 3 x x

=

2

+

=

( )( ) ( ( ) )

2

+

− +

=

2

−

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là: x 2

Q

x 3

+

=

−

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến

Phương pháp

Bài toán: Cho biểu thức P(x) tính giá trị của biểu thức khi x = a (a là số thực)

Cách giải:

+ Nếu biểu thức P(x) đã rút gọn thì trong biểu thức ta thay x bởi a rồi tính

+ Nếu biểu thức P(x) chưa rút gọn thì ta rút gọn P(x) rồi thay x bởi a và tính Chú ý: Đôi khi ta cũng phải biến đổi số thực a trước rồi mới thay vào biểu thức P(x)

Ví dụ 1: Cho biểu thức

  với x > 0

Tính giá trị của P khi x = 4

Giải

Ta thấy x = 4 thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi

x = 4

=

x 1 x

x

+ + +

=

+

x 1 x

P

x

+ +

=

Khi x = 4 thì x 1 x 4 1 4 7

P

2

Vậy khi x = 4 thì 7

P 2

=

với x > 0 và x ≠ 4 Tính giá trị của P khi 3 5

x

2

−

Giải

Ta thấy 3 5

x

2

−

= thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi

x

2

−

=

=

=

=

4 4 x

−

Ta có

2

x

Khi

2

5 1

x

2

  thì

2

Vậy khi 3 5

x

2

−

P

2

−

=

Dạng 4: Tính giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

Phương pháp

Bài toán 1: Tìm x để P(x) = Q (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải:

B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

B2: Xét phương trình P(x) = Q, giải phương trình tìm x

B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Bài toán 2: Tìm x để P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải:

B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

B2: Xét phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a, giải bất phương trình tìm x

B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Ví dụ

P

−

= + với x ≥ 0 Tìm x biết P = − x

Giải

x 2

− = − +  x − = − 1 x( x + 2) x + 3 x − = 1 0 (*) Đặt t = x(t ≥ 0), khi đó phương trình (*) trở thành: t2 + − = 3t 1 0

Ta có  = − 9 4.1.( 1) 13 − =  0nên phương trình 2

t + − = 3t 1 0có hai nghiệm phân biệt

3 13

t

2

− +

= (nhận) , 3 13

t

2

− −

= (loại)

Với 3 13

t

2

− +

2

− +

=



2

x

Ta thấy 11 3 13

x

2

−

= > 0 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0)

Vậy với 11 3 13

x

2

−

P

−

=

− với x ≥ 0, x ≠ 4 Tìm x biết P1

Giải

P  x 3 11

x 2

− − 

0

x 2

0 *

−



−

Vì -1 < 0 nên bất phương trình (*) x −  2 0 x  2x < 4

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4 ta có các giá trị x cần tìm là 0 ≤ x < 4

Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

Phương pháp

TH 1: Nếu ( ) ( )a

P x

Q x

= ( a là số thực, Q(x) là một biểu thức của x) thì ta làm như sau

B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

B2: Lập luận để biểu thức

( )a

Q x nhận giá trị nguyên thì Q(x) phải là ước của a

Từ đó tìm x

B3: Đối chiếu x tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

TH 2: Nếu P x( ) A x( ) ( )

B x

= ( A(x), B(x) là các biểu thức của x trong đó bậc của A(x) lớn

hơn hoặc bằng bậc của B(x)) thì ta làm như sau

B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

B2: Lấy A(x) chia cho B(x) đưa P(x) về dạng ( ) A x( ) ( ) a

( a là số thực)

B3: Làm tương tự trường hợp 1

P

= + Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0

Để P nguyên thì x + 1 là ước của 3, tức là x + 1nhận các giá trị -3, 3, -1, 1

x + = −  1 3 x = − 4(vô nghiệm)

x + = −  1 1 x = − 2(vô nghiệm)

x + =  1 3 x =  = 2 x 4(thỏa mãn x ≥ 0)

x + =  1 1 x =  = 0 x 0( thỏa mãn x ≥ 0)

Vậy với x = 0, x = 4 thì biểu thức P nguyên

Ví dụ 2: Cho 3 x 2

P

x 2

−

=

− Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0, x ≠ 4

Ta có 3 x 2 3 x 6 4 3( x 2) 4 4

Để P nguyên thì x − 2 là ước của 4, tức là x − 2nhận các giá trị -4, 4, -1, 1, -2, 2

x − = −  2 4 x = − 2(vô nghiệm)

x − = −  2 2 x =  = 0 x 0 (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4 )

x − = −  2 1 x =  = 1 x 1(thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4)

x − =  2 4 x =  = 6 x 36( thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4)

x − =  2 2 x =  = 4 x 16 (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4)

x − =  2 1 x =  = 3 x 9( thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4)

Vậy với x = 0, x = 1, x = 9, x = 16, x = 36 thì biểu thức P nguyên

Dạng 6: Chứng minh biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

Phương pháp

Để chứng minh biểu thức P thỏa mãn yêu cầu cho trước ta làm như sau

+B1: Tìm điều kiện xác định của P

+B2: Rút gọn P nếu cần

+B3: Chứng minh yêu cầu đề bài đặt ra

Ví dụ 1

A

− + + − , chứng minh rằng

1 A 3



Giải

Ta có

A

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1

Rút gọn biểu thức ( )( ) ( )

A

=

A

=

A

−

−

Ta có 1 x 1( )

Vì x ≥ 0 nên x + x +  1 0do đó 3(x+ x + 1) 0 Nhân hai vế của (*) với

3(x+ x +1) ta được bất đẳng thức cùng chiều

3 x x 1 3 x x 1

3

x x 1



 3 x  + x x + 1

 − +   −  (luôn đúng với mọi x ≥ 0, x ≠ 1)

Vậy với mọi x ≥ 0, x ≠ 1thì 1

A 3



Cho biểu thức 2

2

   với 0 < a < 1 Chứng minh rằng P = –1

Giải

Với 0 < a < 1 ta có:

2

2

1 a

P

2

2

1 a

a

2a

1 a 1 a 2 1 a 1 a (1 a) (1 a)

.

2a

=

.

2a

=

( 1 a 1 a)( 1 a 1 a)

2a

= −

1

+ − +

Vậy P = -1(ta có điều phải chứng minh)

Dạng 7: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

Phương pháp

Cách 1: Ta biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một biểu thức không âm và

một hằng số

- Nếu biến đổi biểu thức về dạng tổng của một biểu thức không âm và một hằng số

ta tìm được GTNN

- Nếu biến đổi biểu thức về dạng hiệu của một hằng số và một biểu thức không âm

ta tìm được GTLN

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

Cho hai số không âm a và b ta có: a b

ab 2

+

Dấu ‟ = ” xảy ra khi a = b

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

a + b  +a b Dấu ‟ = ” xảy ra khi a.b ≥ 0

P

= + , tìm GTLN của biểu thức P

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0

Dấu ‟ = ” xảy ra x = 0

Vậy GTLN của P là 3

2 đạt được khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 2:

− − − + , tìm GTLN của biểu thức Q

Giải

x 2 x 10 x 2 1

Q

( x x 2 x 3 )( x 10 2 ) x x 2 3 x 1 2

=

=

−

+

Vậy với x0; x 9thì 1

Q

= +

Vì x 0với mọi x0; x 9nên x + 2 2với mọi x 0; x 9

2

+ với mọi x0; x 9

Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 1

2 khi x = 0 (thỏa mãn x 0; x 9)

Q

+

=

+ , với x 0, x 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q

Giải

Với x 0, x 4, ta có: x 27

Q

+

= +

36

+

Áp dụng Co-si cho hai số dương: 36

x 3;

+

+ ta có

+ Dấu “=” xảy ra khi 36

+ =

 + =  + =  = x 9(thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 6 đạt được khi x = 9

Bài tập áp dụng

P

− + , với x0; x 1

a Rút gọn biểu thức P

b So sánh P với 5

x 9

−

a Rút gọn biểu thức P

b Tìm x để 1

P

2

 −

a Rút gọn M

b Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên

a Rút gọn P

b Tìm x để P = 2

A

−

+

= + Với x0, x 1

b Rút gọn biểu thức A

c Tìm x để A = B

a Rút gọn P;

b Tính giá trị của P khi x = 9 + 4 5 − 9 − 4 5 ;

c Tìm x để P = 2

a Rút gọn P;

b Tìm các giá trị của x để P > 0;

c Tìm các giá trị của x để P < 1

P

x 1

−

a Rút gọn P;

b Tìm x để 2

P 3

= ;

c Chứng minh rằng với những giá trị của x làm cho P được xác định thì P 1

a Rút gọn P;

b Tìm giá trị nhỏ nhất của P

c Tìm x để

2

x 1

x 8x

−  −

  , với x > 0

a Rút gọn biểu thức P

b Tìm giá trị của P khi x = 4

c Tìm x để P =13

3

A

x 25

−

− + , với x  0 và x  25

a Rút gọn biểu thức A

b Tìm giá trị của A khi x = 9

c Tìm x để A < 1

3

−

a Rút gọn biểu thức A

b Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức 2P

Q

1 P

=

− nhận giá trị nguyên

A

x

−

B

x 9

x 3

−

− ( Với x 0, x 9)

a Rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của A khi x = 4 − 2 3.

c Tìm x để biểu thức A

1

B =

d Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn A

m

B =

Bài 14: Cho biểu thức

+

a Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A

b.Tim giá trị của x để A 1

3

=

c.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x

Bài 15: Cho biểu thức P =

−

−

a Rút gọn P

b Tìm giá trị của x để P = -1

c Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x − 3)P  + x 1

a Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M

b Tìm x để M = 5

c Tìm x  Z để M  Z

A

x 2

+

= + Tính giá trị của A khi x = 36

2) Rút gọn biểu thức B x 4 : x 16

  (với x0; x 16) 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

B

a 9

−

−

− + với a0;a 9 a) Rút gọn B

b) Tìm các số nguyên để B nhận giá trị nguyên

x 9

−

(với x0; x4; x 9 )

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị biểu thức P khi 4 2 3.( 3 1)

x

=

A

x

+

B

+ a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm x để A 3

B  2

Bài 21: Cho biểu thức

2

A

( Với x0, x1)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên

+

   , (với x > 0 và x  ) 1 a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P tại x = 2022 + 4 2018 − 2022 − 4 2018

(với x0; x1 và 1

x 4

 )

Tìm tất cả các giá trị của x để B > 0

Bài 24: Cho hai biểu thức x 2

A

x 5

+

=

− và

B

x 25

x 5

−

− + với x 0, x 25 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9

2) Chứng minh rằng 1

B

=

− 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A =B x−4