3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có 1 thừa số chia hết cho đa thức chia.. Cách 2 : Biến đổi đa thức bị chia thà
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 2 :
TÍNH CHIA HẾT
==============
A/ CHIA HẾT SỐ NGUYÊN :
I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, c chia hết cho m, thì (a+b+c) chia hết cho m.
2/ a chia hết cho b a = bq
a không chia hết cho b a = bq + r 3/ (a,b) = 1 và a.c chia hết cho b => c chia hết cho b
4/ c chia hết cho a, c chia hết cho b, và (a,b) = 1 => c chia hết cho a.b
5/ a chia hết cho m, b chia hết cho n, thì a.b chia hết cho m.n
II/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI :
1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p
Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho 5
n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5
a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5
b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
2/ Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q
a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q
3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n) m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n
4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n) m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :
an – bn a – b ( a b) n bất kỳ.
an – bn a – b ( a - b) n chẵn
an + bn a + b ( a - b) n lẻ.
5/ Chứng minh bằng quy nạp toán học :
1/ Với n = 1 ta xét bài toán đúng hay không 2/ Giả sử bài toán đúng với n = k
3/ Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 ( Lưu ý thường là sử dụng điều giả sử 2/)
Ví dụ CMR 16n – 15n – 1 225 n N*
+ Với n = 1 ta có 16 – 15 – 1 = 0 225
+ Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có :
Trang 216k – 15k – 1 225
Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1
Thật vậy : 16k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1 =
= ( 15+1 ) 16k – 15k – 15 – 1 =
= (16k – 15k – 1) + 15 16k – 15 Theo giả thiết qui nạp thì : 16k – 15k – 1 225
Còn 15 16k – 15 = 15(16k – 1)
Mà (16k – 1) ( 16 – 1) = 15
15(16k – 1) 15.15 = 225
Vì vậy 16k+1 – 15(k+1) – 1 225
Hay 16n – 15n – 1 225 n N*
B/ CHIA HẾT ĐA THỨC :
1/ Ta sử dụng định lý Bơ zu :
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x
= a
Từ đó ta có các hệ quả :
+ Đa thức f(x) ( x – a) < = > f(a) = 0 tức là khi a là nghiệm của đa thức/
Từ đó suy ra :
_ Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1
_ Đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì f(x) ( x + 1)
2/ Đa thức bậc 2 trở lên :
Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có nhân tử chi hết cho đa thức chia Cách 2 : Xét giá trị riêng
3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác :
Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có 1 thừa số chia hết cho đa thức chia
Cách 2 : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách 3 : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x) g(x) hoặc f(x) - g(x) g(x).
Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
=============================
MỘT SỐ BÀI TẬP
- - - 1/ Chứng minh rằng : n(n2 + 1)( n2 + 4) 5
2/ Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên n bất kỳ ( n>1) trừ đi 13 lần số nguyên đó thì chia hết cho 6
3/ Chứng minh rằng : 24n – 1 15
4/ Chứng minh rằng : 2.7n + 1 3; n N*
5/ Chứng minh rằng : m3 + 20m 48; n N*, n chẵn
6/ Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9
7/ Chứng minh rằng : 5.72(n+1) + 23n 41; n N*
Trang 3Từ kết quả đó suy ra rằng biểu thức : n4 – 6n3 + 27n2 – 54n + 32 luôn là một số chẵn với mọi số nguyên dương n
9/ Chứng minh rằng : n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24; n N
10/ Chứng minh rằng : A = n3(n2 – 7)2 – 36n 5040; n N
11/ Chứng minh rằng :
a/ Một số chính phương chi cho 3 chỉ có số dư bằng 0 hay bắng 1
b/ Một số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư bằng 0 hay bắng 1
c/ Các số sau có phải là số chính phương không ;
M = 19922 + 19932 + 19942
N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
12/Chứng minh rằng : 16n – 1 17 khi n N và n chẵn.
13/ Chứng minh rằng : a Z ta có :
a/ a2 – a 2 b/ a3 – a 3 c/ a5 – a 5 d/ a7 – a 7 Từ bài toán này rút ra được điều gì ? 14/ Chứng minh rằng :
a/ ( n2 + n – 1)2 – 1 24; n Z
b/ n3 + 6n2 + 8n 48; n chẵn
c/ n4 - 10n2 + 9 384; n lẻ
15/ a/ Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3, CMR : a2 – 1 24
b/ CMR nếu a,b là các số nguyên tố lớn hơn 3,t hì : a2 – b2 24
c/ Tìm điều kiện số tự nhiên a để a4 – 1 240
16/ Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B :
A = n3 + 2n2 – 3n + 2 ; B = n2 – n
17/ a/ Tìm số nguyên dương n để n5 + 1 n 3 + 1
b/ giải bài toán trên với n là số nguyên 18/ Tìm giá trị n N để n + 7 n – 2
19/ Tìm n Z để :
a/ n2 + 2n – 4 11 b/ 2n3 + n2 + 7n +1 2n – 1 c/ n3 – 2 n – 2
d/ n3 - 3n2 + 3n - 1 n 2 +n + 1 e/n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + 1 n 4 – 1 20/a/ CMR nếu n + 1 và 2n + 1 (n N) đều là số chính phương thì n 24
b/ CMR nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n N) đều là số chính phương thì n 40
21/ Các số p, p + 14, p + 10 là những số nguyên tố; tìm p
22/ CMR 32n+2 – 8n – 9 64; n 1
23/ Không thực hiện phép chia đa thức xét xem x3 – 9x2 + 6x + 16 có hay không chia hết cho : a/ x + 1; b/ x – 3;
24/ Tìm số dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + 7 cho x + 1
25/ CMR : a/ x50 + x10 + 1 x 20 + x10 + 1
b/ x2 - x9 – x1945 x 2 - x + 1 c/ x10 - 10x + 9 (x – 1) 2
d/ 8x9 - 9x8 + 1 (x – 1) 2
Trang 426/ Tìm f(x); biết f(x) chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; còn chia cho (x – 2)(x – 3) thì được thương là 3x và còn dư
27/ Xác định a,b để : a/ x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b x 2 – x – 2
b/ 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2 x 2 – x + b 28/ Với điều kiện nào thì tổng 2 đa thức chia hết cho x – 1, nếu mỗi đa thức không chia hết cho x – 1
29/ Với điều kiện nào thì tích 2 đa thức chia hết cho x2 – 1, mà mỗi đa thức không chia hết cho x2 – 1
30/ Xác định a,b,c để : a/ P(x) = x4 + ax2 + bx + c (x – 3) 3
b/ P(x) = x3 – 5x2 – 8x + a x 2 +x + b c/ P(x) = x3 + ax2 + 2x + b x 2 +x + 1
1/ Cho A = ( a+b+c)3 – a3 – b3 – c3 ( a,b,c là các số nguyên )
a/ Phân tích A thành nhân tử ?
b/ CMR : Nếu a,b,c cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì A 24 ?
2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
a/ x2 - y2 = 105
b/ x2 – 3y2 = 17 3/ Giải phương trình
a/
x
x m x
1
b/ ( x – 1)m2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0
4/ Cho Q = 32n+1 + 2n+2 ( n là số tự nhiên ) Chứng minh rằng Q chia hết cho 7
5/ Cho điểm D trong ABC đều Vẽ các BDE, CDF đều ( E, F, D nằm cùng phía đối với BC) Chứng minh AEDF là hình bình hành
2/ Cho B = n3+ 3n2+ 2n với n là các số nguyên Chứng minh rằng B chia hết cho 6
3/ Cho n lẻ và C = n3 – n ; D = n2 + 4n – 5 Chứng minh rằng C 24 và D 8.
4/ Cho F = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n ( n: chẵn ) Chứng minh rằng F chia hết cho 384.
5/ Cho K = ( n là số nguyên) Tìm n để K là số nguyên.
5 2
8
n n
1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 + 2y2 = 1
2/ Tìm hình chữ nhật biết các cạnh là những số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi ?
Trang 53/ Tìm tất các các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4 là một số chính phương ?
4/ Tìm các chữ số x,y,z sao cho : xyz + xzy = zzz
5/ Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 1 là số chính phương ?
6/Tìm nghiệm nguyên dương của x2 - y2 = 105.
7/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - y2 = 93.
8/ CMR phương trình x2 – 3y2 = 17 không có nghiệm nguyên
9/ Giải và biện luận phương trình :
a/ a2x = a2(x + b) – b.
b/ ( x – 1)m2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0
x
x m x
1
2
x a x x
b x
x a x b
b x a x