Toán 12 Chuyên đề 2: Thể tích khối chóp19001

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông c nh a... Th tích hình chóp là A... Th tích hình chóp là A.. Th tích hình chóp S.ABCD là A.

M C L C

ỎHUỤÊộ Đ TH TÍCH KH I CHÓP 2

D NG 1 KH I CHÓP CÓ C ộH ọÊộ VU4ộỒ Ồ2Ỏ ĐỦỤ 2

D NG 2 KH I CHÓP CÓ HÌNH CHI U C A Đ NH LÊN M T PH ộỒ ĐỦỤ 17

D NG 3 KH I CHÓP CÓ M T BÊN VUÔNG GÓC V I ĐỦ 31

D NG 4 KH I ỎH2ớ Đ U 42

D NG 5 T L TH TÍCH 50

CHUỤÊộ Đ 2 TH TÍCH KH I CHÓP

Công th c chung: V 1Bh

3

Trong đó B là di n tích đáy h là chi u cao

D NG 1 KH I CHÓP CÓ C ộH ọÊộ VU4ộỒ Ồ2Ỏ ĐỦỤ

M t s chú ý khi gi i toán

 M t hình chóp có m t c nh bên vuông góc v i đáy thì c nh bên đó chính là

đ ng cao

 M t hình chóp có hai m t bên k nhau cùng vuông góc v i đáy thì c nh bên là giao tuy n c a hai m t đó vuông góc v i đáy

Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a SA vuông góc v i m t

ph ng ABC Góc gi a đ ng th ng SB và m t ph ng ABC b ng 0 Tính theo a th tích

kh i chóp S.ABC

A

3

a 13

V

2

3 a V 12

3 3a 13 V

2

3 5a 13 V

2



Phân tích: Bài toán yêu c u tính th tích c a kh i chóp khi có đáy là tam giác đ u ABC

c nh a, hi n nhiên t đây ta có th suy ra đ c ngay di n tích c a  ABC Ta c n tìm thêm chi u cao SA thông qua vi c xác đinh góc gi a SB, ABC   Góc gi a đ ng th ng SB và

m t ph ng (ABC) là SBA 30  

H ng d n gi i

2

ABC

S

4

3

V y ch n đáp án A

Chú ý: Ỏách xác đ nh góc gi a đ ng th ng và m t ph ng

ọ c 1: Tìm giao đi m O c a a v i

 

ọ c 2: Ch n A  a và d ng

 

AH   , v i H   

Khi đó AOH  a, 

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có chi u cao SA b ng a M t đáy ABCD là hình thoi c nh a,

góc ABC b ng 600 Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a

3 tan

3

a

SA SBA AB

30 0

a

S

A

B

C

a

O

H A



A

3

3

3 a

3 2a 3

Phân tích: Đ bài yêu c u tính th tích kh i chóp khi đã cho chi u cao có đ dài là a Ta ch

c n tìm di n tích đáy đáy ABCD là hình thoi c nh a, góc ABC b ng 600 nên  ABC là tam giác đ u (tam giác cân có 1 góc b ng 0

60 ) T đây ta suy ra đ c di n tích c a hình thoi ABCD

H ng d n gi i

Tam giác ABC đ u c nh a nên

2

ABC

3

4



Th tích kh i chóp

3 2

V y ch n đáp án A

Câu 3 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD là hình vuông v i AC a 2

2

 C nh bên SA vuông góc v i m t ph ng ABCD c nh bên SB h p v i m t ph ng ABCD m t góc

Tính th tích kh i chóp S ABCD

A

3

3 3a 3

3

3 3a 3 8

ớhân tích Đ bài cho đáy là hình vuông bi t đ ng chéo AC a 2

2

 ta suy ra đ c ngay

đ c c nh hình vuông là a

2 t đây tính đ c di n tích hình vuông “”CD Ta th y AB là hình chi u c a SB lên m t ph ng ABCD nên     0

SB, ABCD  SBA 60  ; SA ABCD

SA là chi u cao c a kh i chóp S.ABCD

H ng d n gi i

Ta tính đ c

2 ABCD

3

V y ch n đáp án A

Câu 4 Cho t di n OABC có đáy OBC là tam giác vuông t i O, OB = a, OC = a 3, (a > 0) và

đ ng cao OA a 3  Tính th tích kh i t di n theo a

A

3

a

V

3

2

6

12



60 0

a

D A

S

60 0 a 2

2

D A

S

Phân tích: Đ bài đã cho đ ng cao OA a 3  đáy OBC là tam giác vuông t i O có đ dài hai c nh c a góc vuông t đây ta suy ra tr c ti p di n tích đáy  OBC

H ng d n gi i

Ta có:

2 OBC

Th tích kh i t di n

OBC

V y ch n đáp án ọ

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a, ABC 60  0c nh SA vuông

góc v i đáy và SC t o v i đáy m t góc 600 Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD

A

3

a

V

2

3 a V 3

3 2a V 3

3 a V 9



Phân tích: Đ bài cho đáy ABCD là hình thoi c nh a, ABC 60  0 nên ABC đ u c nh a, t đây suy ra đ c di n tích c a hình thoi Đ tính chi u cao SA ta ph i xác đ nh đ c góc

t o b i SC, ABCD   SCA 60  0

H ng d n gi i

2

2

Ta có  ABC đ u nên AC a 

SA AC.tan60   a 3.

Suy ra:

3

V y ch n đáp án A

L i bình: Vi c nh n đ nh đ c tam giác “”C đ u c nh a t đó giúp ta tính nhanh

đ cdi n tích hình thoi N u dùng công th c tính di n tích hình thoiSABCD 1AC.BD

2

2 }

s lâu h n và bu c ta ph i tính thêm BD  AB 2  AD 2  2AB.AD.cos120  BD a 3 

Suy ra

2 ABCD

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có c nh b ng a 3, BAD 120  0 và

c nh bên SA vuông góc v i đáy ”i t m t ph ng (SBC và đáy b ng 600 Tính theo a th

tích kh i chóp S.ABCD

A

3

V

4

4

4

5



Phân tích: Do dáy ABCD là hình thoi có BAD 120  0 nên các tam giác ABC ADC đ u c nh

a 3 t đây ta suy ra đ c di n tích c a hình thoi “”CD

Đ tính đ c chi u cao c a S“ ta ph i tính thông qua góc t o b i (SBC và đáy G i H là

trung đi m c a BC ta có AHBC SABCBCSH

a

a

60 0

60 0

D A

S

Do đó  SBC ; ABCD   AH;SH SHA 60  0

H ng d n gi i

Tam giác S“H vuông t i “

0 3a

SA AH.tan 60

2

Ta có

2

3

ch n đáp án ọ

L u Ỏách xác đ nh góc gi a hai m t ph ng

 Xác đ nh giao tuy n d c a (P) và (Q)

 Tìm trong P đ ng th ng a  (d) , trong m t ph ng Q đ ng th ng

b  (d)

 Khi đó góc gi a (P) và (Q) là góc gi a hai đ ng th ng a và b

Bài toán v góc s đ c đ c p sâu h n trong ch đ 8

Câu 7 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB 2a, BAC 60   0

C nh bên SA vuông góc v i m t ph ng (ABC) và SA a 3  Tính theo a th tích kh i chóp S.ABC

A V a  3 B V 3a  3 C V 2a  3 D V 4a  3

Phân tích: Đ bài đã cho đ dài chi u cao SA a 3  , nên ta ch c n tìm di n tích đáy n a là xong M t khác đáy ABC là tam giác vuông t i B và đã cho AB 2a  , ta tìm thêm AC

thông qua AB và BAC 60  0

H ng d n gi i

Xét tam giác ABC có:

0

2 ABC

BC AB.tan 60 2a 3

1

2

3

1

3 

Ỏh n đáp án Ỏ

Câu 8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B có góc BAC 30  0 , SA a  ,

0

SCA 45  và SA vuông góc v i đáy Th tích kh i chóp S.ABC là V T s V3

a là

A 3

34

a 3

60 0

120 0

H

B A

S

60 0

2a

a 3

S

A

B

C

Phân tích: Đ bài đã cho đ dài chi u cao SA a  , ta ch c n tìm thêm di n tích đáy là ABC

là tam giác vuông t i B {SABC 1AB.AC

2

0

SCA 45   AC SA.tanSCA a   ; AB AC.cosBAC a.cos300 3a

2

H ng d n gi i

Ta có:

ABC

2

1

2

1 a 3.a 1 a 3

V y

3

24

a

  V y ch n đáp án Ỏ

Câu 9 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình ch nh t có AB 2a,AD a   Hai m t

ph ng SAB và SAD c ng vuông góc v i đáy góc gi a hai m t ph ng SAB và SBD

b ng 450 Th tích kh i chóp S.ABCD là V T s

3

V

a g n nh t giá tr nào d i đây

A 0,25 B 0,5 C 0,75 D 1,5

Phân tích: Yêu c u bài toán th t ra ch c n tìm th tích kh i chóp S.ABCDlà xong Đ bài

đã cho đáy là hình ch nh t v i kích thích các c nh thì hi n nhiên tính d dàng SABCD

M t khác: SAB  ABCD và SAD  ABCD, SAB  SAD SA  SA ABCD hay

SA chính là đ ng cao Đ tìm SA ta ph i thông qua  SAB , SBD    

Ta có: AD  AB,AD  SA  AD SAB AD  SB

K AH  SB  SB AHD SBHD

Ta có: AHSAB SB,HDSBD SBSB



  SAB , SBD    AHD 45  0

H ng d n gi i

45 30

S

B

Ta có:SABCD AB.AD 2a  2

AHD

 vuông cân t i A

AH AD a

Xét tam giác SAB vuông t i S có:

SA

3

V y

3 2

S.ABCD ABCD

3

0,77 9

a

V y ch n đáp án Ỏ

Câu 10 Cho hình chóp S ABC có c nh bên SA vuông góc v i đáy và AB a AC a

0

BAC 120  M t ph ng SBC t o v i đáy m t góc Tính th tích c a kh i chóp S ABC

A

3

a 21

V

14

3

a 21 V

13

3 2a 21 V

13

3 3.a 21 V

14



ớhân tích Đ bài cho đáy là tam giác “”C có đ dài hai c nh và góc xen gi a ta s tính

đ c di n tích đáy Đ tính chi u cao S“ ta ch c n xác đ nh góc gi a  SBC , ABC    và tính S“ thông qua y u t này

G i F là hình chi u vuông góc c a “ lên ”C

Khi đó SF  BC suy ra  SBC , ABC    SFA 60  0

H ng d n gi i

Ta có:

2 ABC

2

3

a 21

14





V y ch n đáp án A

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông c nh a SA  ABCD SB a 3  Tính

theo a th tích kh i chóp S ABCD

A

3

3

3

3

3

ớhân tích Đ bài cho đáy là hình vuông c nh a di n tích đáy “”CD

Áp d ng đ nh l Pitago trong tam giác vuông S“” đ tìm S“

H ng d n gi i

C

S

B H

2a

120 0

a

S

A

B

C F

Ta có

2

ABCD

SA  SB  AB  3a  a  a 2

Ỏh n đáp án D

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t có AB = 3a, AD = 4a,

SA (ABCD)  , SC t o v i đáy góc 0 Tính th tích kh i chóp S.ABCD

A V 20a  3 B V 20a  3 2 C V 30a  3 D V 22a  3

Phân tích: Đ bài cho đáy là hình ch nh t v i kích th c các c nh SABCD Đ tính chi u cao SA, ta c n xác đ nh đúng góc t o b i SC v i đáy và tính thông qua y u t này là đ c

Do SA  (ABCD) nên AC là hình chi u c a SC lên đáy     0

H ng d n gi i

Ta có

2 ABCD

S  3a.4a 12a 

0

SA AC.tan 45   5a

3

1

3

V y ch n đáp án A

Câu 13 Cho t di n ABCD có AD vuông góc v i m t ph ng ABC và

AB 3a, BC 4a, AC 5a,AD 6a     Th tích kh i t di n ABCD là:

Phân tích:

Nh n th y Tam giác ABC có: 2 2    2 2 2 2

AB  BC  3a  4a  25a  AC  ABCvuông t i B ABC

S

 Chi u cao đ bà đã cho AD 6a  Áp dung công th c th tích kh i chóp ta đ c đáp án bài toán

H ng d n gi i

Ta có: AD 6a 

2 ABC

V y ch n đáp án ọ

3 ABCD

a 3

a

D A

S

4a

45 0

3a

D A

S

6a

3a B

C A

D

Câu 14 Cho t di n SABC có SA vuông góc v i m t ph ng ABC, hai m t ph ng SAB

và SBCvuông góc v i nhau, SB a 3  , BSC 45  o,ASB 30  o Th tích t di n SABC là V

T s

3

a

V là:

A. 8

3

Phân tích: Ta có: SA ABC  SAB  ABC

SBCSBC SAB , ABCABC BC SAB BC SAB





ABC, SBC

   là các tam giác vuông t i B T đây đ tính di n tích tam giác ABCD ta ch

c n tính AB, BC thông qua SB a 3  , BSC 45  o,ASB 30  o

H ng d n gi i

3a

SA SB.cos ASB

2

a 3

AB SB.sin ASB

2

BC SB.tan BSC a 3  

2 ABC



V y

3

V y ch n đáp án A

SABvà SBCvuông góc v i nhau, BSC  ,ASB   Th tích t di n SABC là:

3

S.ABC

SB sin 2 tan

V

12



Th t v y

45 0

a 3

30 0

C

B A

S

Xét  SABvuông t i A có : AB SB.sin  ,

SA SB.cos  

Xét  SBCvuông t i B có :

BC SB.tan  

2 ABC



V y

2

3

1

3

1 1

.SB sin tan SB.cos

3 2

SB sin 2 tan

12







Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D, c nh bên SD

vuông góc v i đáy cho AB AD a   ,CD 3a,SA a 3   Th tích kh i chóp S.ABCD là:

A.

3

2a

3 4a

3

3 2a 2 3

Phân tích: Đ bài cho đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D  AD a  là chi u cao c a

hình thang, có thêm hai đáy là AB a  và CD 3a  SABCD Đ tìm chi u cao SD c a hình chóp ta áp d ng đ nh lý pitago trong tam giác vuôngSAD

H ng d n gi i

Ta có:

ABCD

AB CD AD a 3a a

SD  SA  AD  3a  a  a 2

V y

3 2

V y Ỏh n đáp án D

Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông c nh a Hai m t ph ng SAB

và SAD c ng vuông góc v i đáy góc gi a hai m t ph ng SBC và ABCD b ng 300

Th tích kh i chóp S.ABCD là V T s 3V3

a là:

A. 3

3

B. 3

C. 3

6

Phân tích: Đ bài đa cho đáy là hình vuông c nh a SABCD

Ta có:





C

B A

S

a 3

a a

3a

D

S

C

Đ tìm chi u cao SA ta c n xác đ nh đúng góc gi a hai m t ph ng SBC và ABCD và tính thông qua y u t này D dàng xác đ nh đ c: SBC , ABCD    SBA 30  0

H ng d n gi i

Ta có:

a 3

SA AB.tan SBA

3

3 2

3

3

a

V y ch n đáp án A

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình ch nh t có AB a, BC   3a Hai m t

ph ng SAB và SAD c ng vuông góc v i đáy c nh SC h p v i đáy m t góc 600 Th tích kh i chóp S.ABCD là:

Phân tích: Đ bài đã cho đáy ABCD là hình ch nh t có AB a, BC   3a T đây ta suy ra

đ c SABCD M t khác:





Đ tìm chi u cao SA ta c n xác đ nh đúng góc gi a hai m t ph ng SC và ABCD và tính thông qua y u t này D dàng xác đ nh đ c:SC, ABCD   SCA 60  0

H ng d n gi i

Ta có:SABCD AB.BC a  2 3

Xét tam giác SAC vuông t i S có:

0

SA AC.tan60   2a 3

V y

S.ABCD ABCD

V y ch n đáp án ọ

Câu 18 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông t i B, AB a  , ACB  6 00, c nh bên

SA vuông góc v i m t ph ng đáy và SB t o v i m t đáy m t góc b ng 450 Th tích kh i chóp S.ABClà:

A.

3

3

3

3

12

30 0

D A

S

60 0

a

a 3

D A

S

Phân tích: Đ bài cho đáy là tam giác ABC vuông t i B, có AB a  , ACB  6 00  BC T đó suy ra đ c SABC Đ tìm chi u cao SA ta c n xác đ nh chính xác góc SB, ABC   và tính

SA thông qua y u t này

Ta cóAB là hình chi u vuông góc c a SB trên ABC

SB, ABC  SB,AB SBA 45 o

H ng d n gi i

BC AB.cot ACB a.cot 60

3

2 ABC



SAB

 vuông t i A nên

o

SA AB.tanSBA AB.tan 45    a

V y

S.ABC ABC

Ch n đáp án ọ

Câu 19 Cho t di n ABCD có ABC là tam giác đ u c nh a, AD vuông góc v i m t ph ng

ABC, góc gi a BD và m t ph ng DAClà 300 Th tích kh i t di n ABCD là V T s

3

V là:

Phân tích: Đ bài cho đáy “”C là tam giác đ u c nh a

2 ABC

S

4

G i M là trung đi m AC Ta có : BM  AC,BM  DA  BM DAC

BD, DAC  BDM 30 0

   Đ tìm chi u cao AD ta c n tìm DM b ng cách áp d ng đ nh

lý pitago trong tam giác vuông DAM

H ng d n gi i

2

ABC

S

4

Xét  BMD vuông t i M có :

Xét  DAM vuông t i A có :

V y

45 0

60 0

a

C

B A

S

30 0

a

M

C

B A

D

12

V

Câu 20 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A, c nh BC a 2  ,

c nh bên SA vuông góc v i m t ph ng đáy m t bên SBCt o v i m t đáy m t góc b ng

450 Th tích kh i chóp S.ABC b ng

A.

3

3

3

3

48

Phân tích: Đ bài cho đáy ABC là tam giác vuông cân t i A, có c nh huy n BC a 2 

AB AC a

   Đ tìm chi u cao SA ta c n xác đ nh đúng  SBC , ABC    và tính SA thông qua y u t này

Ta có SA ABCSABC và BC  AM nên BC SAMBCAM

AM  BC ( vì  ABC cân t i A)

 SBC , ABC  (SM,AM) SMA 45 o

H ng d n gi i

G i M là trung đi m BC

2 2 ABC



Ta có  SAMvuông t i A

a 2

SA AM.tan SMA AM

2

V y

Câu 21 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB 90 ,  0 BSC 120 ,  0 ASC 90  0 Th

tích kh i chóp S.ABC là:

A.

3

a

3 a

3

3

12

Phân tích: M u ch t bài toán này là xác đ nh đ c chi u cao SA

Ta có SA  AB,SA  AC  SA SBC Đáy là tam giác “”C cho đ dài hai c nh và góc xen

gi a nên suy ra đ c di n tích đáy

H ng d n gi i

45 0

a 2

M

C

B A

S

Ta có:

SA a 

2

SBC

S.ABC A.SBC SBC

1

3 

V y ch n đáp án D

Câu 22 Cho hình chóp SABC có tam giác SBCđ u c nh a, CA a  Hai m t ABC và

ASC cùng vuông góc v i (SBC) Th tích hình chóp là

A.a3 3

3

3

3

a 12

Phân tích: Đ bài cho đáy là tam giác S”C đ u c nh a SSBC

M t khác:

(ABC) (SBC)

(ASC) (SBC)

(ABC) (ASC)





AC (SBC)

  Suy ra AC là chi u cao c a hình chóp

H ng d n gi i

Ta có:

CA a  ;

2 SBC

S

4



Do đó

SBC

V y ch n đáp án A

Câu 23 Cho hình chóp S“”C có đáy “”C là tam giác vuông cân t i B v i AC = a bi t SA

vuông góc v i đáy “”C và S” h p v i đáy m t góc 60o Th tích hình chóp là

A.

3

a

3

3

3

a 12

Phân tích: Ta có: SA  (ABC)  AB là hình chi u c a SB trên (ABC)

V y góc SB, ABC    SAB 60  o.ABCvuông cân nên BA = BC = a

2 ;

H ng d n gi i

120 0

a a

a

C

B S

A

a

a

B

S C

A

Ta có:

2 ABC

BA

o a 6

SA AB.tan 60

2

 

V y V 1SABC.SA 1 a a 62 a3 6

V y ch n đáp án ọ

Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a bi t SA vuông góc v i đáy ABC và SBC h p v i ABC m t góc 60o Th tích hình chóp là

A.

3

a

3

3

3 3a 3 8

Phân tích: G i M là trung đi m c a ”C vì tam giác “”C đ u nên AM BCSABC

M t khác: SBC ; ABC  SMA60o T đay ta suy ra đ c chi u cao SA

H ng d n gi i

Ta có

o 3a

SA AM tan 60

2

2

ABC

S

4

V y

V = VS.ABC 1SABC.SA a3 3

V y ch n đáp án Ỏ

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có c nh a và SA vuông góc đáyABCD và m t bên SCD h p v i đáy m t góc 60o Th tích hình chóp S.ABCD là

A.

3

a

3 a

3 3a 3

3

3

Phân tích: Ta có SA  (ABC) và CD  AD  CD  SD (1)

V y góc SCD , ABCD SDA 60      o T đây ta suy ra đ c chi u cao SA

H ng d n gi i

a

60 0

a

C

B A

S

a

60 0

a

M

C

B A

S