TÍNH CHÍNH XÁCPHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH I... Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau:... Aùp dụng tính chất PP ta được cách làm trên... Nên ta tính theo cách sau: Ta biểu diễn S dưới dạng :
Trang 1CHUYÊN ĐỀ III TÍNH CHÍNH XÁC
PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH
I Tính toán trên máy kết hợp trên giấy:
Bài 1: a) Nêu một phương pháp (kết hợp trên máy và trên giấy) tính chính xác kết
quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375
b) Tính chính xác A
c) Tính chính xác của số: B = 1234567892
d) Tính chính xác của số: C = 10234563
Giải:
a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm như sau:
A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375
+ 963.14375
* Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750
12578.103.14375 = 180808750000
* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125
Từ đó ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125
(Tính trên máy)
Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 và cộng trên máy:
808750000 + 13843125 = 822593125 A = 180822593125
b) Giá trị chính xác của A là: 180822593125
c) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892
Tính trên máy: 123452 = 152399025
2x12345x6789 = 167620410
67892 = 46090521 Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521
= 15239902500000000 + 1676204100000 +
46090521= 15241578750190521
d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3
Trang 2= 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563
Tính trên máy:
10233 = 1070599167
3.10232.456 = 1431651672
3.1023.4562 = 638155584
4563 = 94818816
Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 +
+ 638155584000 + 94818816 = 1072031456922402816 Bài 2 (Thi giải Toán trên MTBT khu vực - Năm học 2003-2004) Tính kết quả đúng của các tích sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004
Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Bài 3: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tính kết quả đúng của các phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895
Trang 3
Đáp số: a) A = b) B = Bài 4: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tính kết quả đúng của phép tính sau: A = 52906279178,48 : 565,432
Đáp số: A = Bài 5: Tính chính xác của số A = 1012 2 2 3 Giải: - Dùng máy tính, tính một số kết quả: và
2 10 2 34 3 2 2 10 2 1156 3 và
3 10 2 334 3 2 3 10 2 111556 3 và
4
3334 3
2 4
11115556 3
Nhận xét: 10 2 là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4
3
k
là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng
2
3
k
là 6
* Ta dễ dàng chứng minh được nhận xét trên là đúng và do đó:
Trang 4A = 111111111111555555555556
Ví dụ 1: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải Dương)
Giải:
Đặt a 1038; b 471
Khi đó D = 3 3 3 3 3 32 3 2 3
1038471 a.10 b a.10 3. a.10 b 3 a.10 b b
3 9 2 6 2 3 3
Lập bảng giá trị ta có:
33
.10
32
3 2
3
Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: D = 1038471 3 =1119909991289361111
Bài 1: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau:
a) 2; b)
123456789
Giải:
12345.10 6789
Bài 2: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau
a) P = 13032006 × 13032007
b) Q = 3333355555 × 3333377777
Giải:
a) Đặt a 1303; b 2006 , c 2007
Khi đó ta có: P = 13032006 × 13032007 = 4 4
Lập bảng giá trị ta có:
Trang 52 8
10
4
.
Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042
b) Đặt a 33333; b 55555 , c 77777 Khi đó ta có:
Q = 3333355555 × 3333377777 = 5 5
10 10 a b a c 2 10 5 10 ( ) 10 a b c a b c Lập bảng giá trị ta có: 2 10 10 a 1 1 1 1 0 8 8 8 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 (b c a ) 10 4 4 4 4 3 5 5 5 5 6 0 0 0 0 0 . b c 4 3 2 0 9 0 1 2 3 5 P 1 1 1 1 1 3 3 3 3 2 9 8 7 6 5 0 1 2 3 5 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042
Q = 11111333329876501235 Bài 3: Tính S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 2 3 4 2 3 4 10 chính xác đến 4 chữ số thập phân Giải: Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X, B, C Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1 X : B = B + A : C = C B rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau:
Trang 62 và
A = B =
a- Tính kết quả đúng của các tích sau:
M = 3333355555 3333366666
N = 20052005 20062006
b) Tính C = 1 1! + 2 2! + 3 3! + …… + 16 16!
c) Tính kết quả đúng của tích A =2222288888 2222299999
a) Tính kết quả đúng của tích A = 20082009 2
b) Tính
22 25 18 2,6 7 47 53
9 28 16
h
B
Bài 5: So sánh các cặp số sau: a) A 5 555222 và B 2 444333 b) và
1 1 2007 2006 2008 2007 A 1 1 2008 2007 2009 2008 B c) và B = 1 1 2008 2 2007
2006 3 2007 2 2008 1 ) 2008
3 2 1 (
) 3 2 1 ( 2 1 1 A
Bài 6: Tính tổng các phân số sau: a)
49 47 45 36
7 5 3 36 5 3 1 36 A b) 10000 1 1
16
1 1 9
1 1 3
1
B
Trang 7c) .
n
C 3 33 333 3333 333 333
II Tìm tích ab( tích một số cĩ 5 chữ số với một số nhiều hơn 5 chữ số) Ví dụ: Tìm tích a= 123456789123456789 với b= 56789 -Ghép a thành các nhĩm: + Từ phải qua trái, mỗi nhĩm cĩ 5 chữ số + Nhĩm cuối cùng cĩ thể ít hơn 5 chữ số n.4 n.3 n.2 n.1 a 123456789123456789 -Lấy nhĩm 1 nhân với b được kết quả, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi ra giấy lapbuoc2 ghiragiay a 56789 56789 3224990521 -Lấy các số cịn lại của KQ ở bước 1 cộng với nhĩm 2 nhân b: ghiragiay lapbuoc2 n2 laybuoc3 32249 91234 56789 5181119875 KQ được bao nhiêu, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi vào phía trước đã ghi ở bước 1 -Tiếp tục là như vậy đến hết Ví dụ 2: a=34 56789 ; b=56789 Buớc 1: 56789 56789=32249 90521 Bước 2: 32249+34 56789=1963075 Cơ sở lý luận: Bài tập áp dụng: 1/ Tìm tích ab biết : a/ a= 112233445566778899987654321; b= 24068 b/ a= 147689245; b= 12567
Ghi ra giấy 90521
Ghi ra giấy 19875 90521
Đáp số : 7010987597531987590521
Khi tách 5 chữ số cuối của số a ta cĩ a=(34 00000+56789)
Lúc này ab=(34 00000+56789)56789
Aùp dụng tính chất PP ta được cách làm trên
KQ: 1963075 90521
Trang 82/ Tìm 7 chữ số cuối cùng của tích a= 23455432 với b= 78998
3/ Tìm xem tích ab có bao nhiêu chữ số 5 biết a=5678998765; b= 55667
III PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH
Bài 1:
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16!
Giải:
Vì n n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + + (17! – 16!)
S = 17! – 1!
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình) Nên ta tính theo cách sau:
Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác
Ta có : 17! = 13! 14 15 16 17 = 6227020800 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 106 + 208 102 nên
S = (6227 106 + 208 102) 5712 10 – 1
= 35568624 107 + 1188096 103 – 1 = 355687428096000 – 1
= 355687428095999
Bài 2:
Tính kết quả đúng của các tích sau:
a) M = 2222255555 2222266666
b) N = 20032003 20042004
Giải:
a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
Tính trên máy:
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 Tính trên giấy:
Trang 9AC.105 1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0
b) Đặt X = 2003, Y = 2004 Ta cĩ:
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả:
M = 4938444443209829630
N = 401481484254012
Bài tập tương tự:
1.Tính chính xác các phép tính sau:
a) A = 20!
b) B = 5555566666 6666677777
c) C = 20072007 20082008
d) 1038471 3
20122003 2
2 Tính A = 999 999 9993 Giải
Ta cĩ: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992 (1000-1)= 999700029999 Từ đĩ ta cĩ quy luật: 3 n 1 chữsố n 1 chữ số nchữ số 9 nchữ số 9 99 9 99 9 7 00 0 299 9
Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999 3 Tính kết quả đúng (khơng sai số) của các tích sau : Kết hợp tính trên giấy ta sẽ được kết quả 2 2 4 2 4 4 2 4 4 P 123456789 ;Q 20052005.20062006 HD : P 12345.10 6789 12345.10 2.12345.10 6789 6789
Q 2005.10 2005 2006.10 2006
Trang 104 Tìm ƯCLN và BCNN của hai số A = 1234566 và B = 9876546
(ƯCLN = 18; BCNN = 677402660502)
5 Tính chính xác giá trị của biểu thức 200720082 và
A
7777788888
5555566666
B
6 Tính chính xác giá trị của 1234567892(đáp số 15241578749590521)
(đáp số: A=4022834
A 20052005.20062006
7 Hãy tính chính xác số 22220083
VI TÍNH CHÍNH XÁC GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ:
Lí thuyết:
Ví dụ 1: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm
2004-2005- Hải Dơng)
Giải:
Đặt a 1038; b 471
Khi đó D = 3 3 3 3 3 32 3 2 3
1038471 a.10 b a.10 3. a.10 b 3 a.10 b b
a3.109 3.a b2 .106 3 10a b2 3b3
Lập bảng giá trị ta có:
33
.10
32
3 2
3
Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: D = 10384713 =1119909991289361111
Ví dụ 2: (5 điểm) Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64
Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị
Giải:
Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1
Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264
Để ý rằng : 264 = 32 2
2
= 42949672962 Đặt 42949 = X ; 67296 = Y Ta có : A = ( X.10 +Y) = X 10 + 2XY.10 + Y 5 2 2 10 5 2
Trang 11Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:
X2.1010 = 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6
Vậy A = 18446744073709551616
Ví dụ 3:
Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000
Giải:
Đặt a = x1000, b = y1000 Ta có: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244
Khi đó : a3 + b3 = (a + b)3- 3ab(a + b) = (a + b)3 - 3 2 2 2 2 a b a b a b Đáp số : A = 184,9360067 4) Ví dụ 4: Cho: 17 16 15 P(x) =ax + bx + cx + + m biết: P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18) Bài tập: Bài 1: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau: a) P 1234567892; b) Q 20082008.20092009 Giải a) Ta có: 4 2 12345.10 6789 P 42 4 2 12345.10 2.12345.10 6789 6789 P
b) 4 4 2008.10 2008 2009.10 2009 Q
Trang 12
Bài 2: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau
a) P = 13032006 × 13032007
b) Q = 3333355555 × 3333377777
Giải:
a) Đặt a 1303; b 2006 , c 2007
Khi đó ta có: P = 13032006 × 13032007 = 4 4
= a2108 (b c a). 104b c.
Lập bảng giá trị ta có:
2 8
10
4
.
Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042
b) Đặt a 33333; b 55555 , c 77777
Khi đó ta có:
Q = 3333355555 × 3333377777 = 5 5
Lập bảng giá trị ta có:
2 10
10
5
.
Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042
Q = 11111333329876501235
Bài 3: Tính S =
chính xác đến 4 chữ số thập phân
Giải:
Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X, B, C Viết vào
màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1 X : B = B + A : C = C B
rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả
gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353
Trang 13Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau:
A = 200720082 và B 55555666667777788888
A = B =
a- Tính kết quả đúng của các tích sau:
M = 3333355555 3333366666
N = 20052005 20062006
b) Tính C = 11! + 22! + 33! + …… + 1616!
c) Tính kết quả đúng của tích A =2222288888 2222299999
e) Tính kết quả đúng của tích A = 20082009 2
f) Tính
22 25 18 2,6 7 47 53
9 28 16
h
B
Bài 5: So sánh các cặp số sau: a) A 5 555222 và B 2 444333 b) 1
1 2007 2006 2008 2007 A và 1
1 2008 2007 2009 2008 B c) 1 2008 2 2007
2006 3 2007 2 2008 1 ) 2008
3 2 1 (
) 3 2 1 ( 2 1 1 A và B = 1
Trang 14
Bài 6: Tính tổng các phân số sau: a) 45 47 49 36
7 5 3 36 5 3 1 36 A
b) 10000 1 1
16 1 1 9 1 1 3 1 1 B c) n C 3 33 333 3333 333 333
Trang 15
Bài 7:
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16!
Giải:
Vì n n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + + (17! – 16!)
S = 17! – 1!
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình) Nên ta tính theo cách sau:
Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác
Ta có : 17! = 13! 14 15 16 17 = 6227020800 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 106 + 208 102 nên
S = (6227 106 + 208 102) 5712 10 – 1
= 35568624 107 + 1188096 103 – 1 = 355687428096000 – 1
= 355687428095999
Bài 8:
Tính kết quả đúng của các tích sau:
c) M = 2222255555 2222266666
d) N = 20032003 20042004
Giải:
c) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
Tính trên máy:
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 Tính trên giấy:
A2.1010 4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
d) Đặt X = 2003, Y = 2004 Ta có:
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả:
M = 4938444443209829630
N = 401481484254012
Bài 9 Tính chính xác các phép tính sau:
e) A = 20!
f) B = 5555566666 6666677777
g) C = 20072007 20082008
Trang 16
Bài 10 Tính A = 999 999 9993 Giải
Ta cĩ: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992 (1000-1)= 999700029999 Từ đĩ ta cĩ quy luật: 3 n 1 chữsố n 1 chữ số nchữ số 9 nchữ số 9 99 9 99 9 7 00 0 299 9
Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999
