Khóa học LTĐH môn Toán Chuyên đề 2&3 -Phương trình vô tỷ- Thầy Trần Phương ppsx

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giácBài 1.. Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác... Khóa học LTðH môn

Trang 1

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác

Bài 1 PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX

1 Phương pháp chung: asinx b+ cosx=c a; 2+b2 >0 (1)

Cách 3 Phân tích thành phương trình tích

2 Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1 Giải phương trình: 2

3sin 3x− 3 cos 9x= +1 sin 3x

(1) (cos 7 cos 5 sin 7 sin 5 ) 3 sin 2 1

cos(7 5 ) 3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2 1

PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP ðỐI VỚI SIN, COS

(TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)

Trang 2

⇔ − < − ⇔ < ⇔ < (ñúng) Vậy (1) vô nghiệm

Bài 4 Giải phương trình: 3sin 4 sin 5sin 5 0

(1) 3sin sin 3 cos 3 3cos cos 3 sin 3 3 3 cos 4 3

3 sin cos 3 sin 3 cos 3 3 cos 4 3 sin 4 3 cos 4 1

Trang 3

Trang 4

Trang 5

Bước 1: Xét cosx = 0 có là nghiệm của (1) hay không ⇔ + = a d 0

Bước 2: Xét a + d 0≠ ⇒cosx= không là nghiệm của (1) 0

Chia cả 2 vế của (1) cho cos2x ≠ 0 ta nhận ñược phương trình

(1)⇔atan x b+ tanx+ +c d(1 tan+ x)= ðặt t = tanx 0

2(1)⇔ f t( )=(a+d t) +bt+(c+d)= 0

Bước 3: Giải và biện luận ( ) 0f t = ⇒ nghiệm t0 =tanx⇒ nghiệm x

Bài 1 a Giải phương trình: sin2

πππ

Trang 6

Bài 2 a Giải phương trình: 2 2 5

4 3 sin cos 4 cos 2sin

Trang 7

∈  thì cosx ≠ 0 nên chia 2 vế phương trình cho cos2x ≠ 0 ta có phương trình

m – 4tanx + (m – 2)(1 + tan2x) = 0 ðặt t = tanx x ∈(0;1)

Trang 8

1

m m

• m ≠ 0 thì (1) ⇔mtan2x+4 tanx + = với ' 4 2m2 0 ∆ = −

+ Nếu m > 2 thì (1) vô nghiệm

Trang 9

asin3x b+ sin2xcosx c+ sin cosx 2x+dcos3x+( sinm x+ncos )x = 0

Bước 1: Xét cosx = 0 có là nghiệm của phương trình hay không

Bước 2: Xét cosx ≠ 0 không là nghiệm của phương trình Chia 2 vế của (1) cho cos3x ≠ 0 và sử dụng công

ta nhận ñược phương trình bậc 3 ẩn tanx

Bước 3: Giải và biện luận phương trình bậc 3 ẩn tanx

Bài 1 Giải phương trình: 3 3 2

4 sin x+3cos x−3sinx−sin xcosx=0 (1)

Giải

Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra

(1) (2 sin cos ) 3sin 4 sin 6 cos

4 sin 3sin 2 sin cos 6 cos 0 (2)

Trang 10

(tanx 1) 4 tan (1 tanx x)

⇔ + = + ⇔tan3x+3 tan2x+3 tanx+ =1 4 tan3x+4 tanx

3 3 tan 3( 3 tan ) 3 3 tan 1 3(1 tan ) 4 0

3 3 tan 12 tan 3 3 tan 0 tan ( 3 tan 4 tan 3) 0

Trang 11

Giải:

3 3

(sin cos ) 4 sin (tan 1) 4 tan (1 tan )

tan 3 tan 3 tan 1 4 tan 4 tan 3 tan 3 tan tan 1 0

(4 6 ) sin− m x+3(2m−1) sinx+2(m−2) sin xcosx−(4m−3) cosx= 0

a Giải phương trình khi m = 2

b Tìm m ñể phương trình có nghiệm duy nhất 0;

4

x  π

∈  

Giải:

Nếu cosx = 0 là nghiệm của phương trình thì từ phương trình suy ra:

(4 6 ) sin (6 3) sin 0 (4 6 ) sin (6 3) sin 0

(4 6 ) tan 3(2 1) tan (1 tan ) 2( 2) tan (4 3)(1 tan ) 0

tan (2 1) tan 3(2 1) tan (4 3) 0

(tan 1) (tan 2 tan (4 3) 0 (1)

Trang 12

Trang 13

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương Chuyên ñề 2 – Phương trình lượng giác

Giải các phương trình lượng giác sau

Bài 1: cos2x− 3sin2x=1+sin2x

Bài 2: cos3x−4sin3x−3cosxsin2x+sinx =0

Bài 3: sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

1sintan1

2

−+

+

=

Bài 5: sin3x + cos3x + 2cosx = 0

Bài 6: sinx – 4sin3

x + cosx = 0

Bài 7: tanxsin2x−2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

BÀI GIẢNG 01

( BÀI TẬP TỰ LUYỆN)

Trang 14

t

πππ

= + thì cosx = 0 và sinx = 1± thì phương trình vô nghiệm

• Do cosx = 0 vô nghiệm nên ta chia cả 2 vế của PT cho cos3x ≠ ta có: 0

2

1 4 tan 3 tan tan (1 tan ) 0

3 tan 3 tan tan 1 0

PT⇔2 sin2xcosx+3sinx−4 sin3x=6 cos3x

• Khi cosx = 0 và sinx = ± thì phương trình vô nghiệm 1

• Do cosx = 0 vô nghiệm nên ta chia cả 2 vế của PT cho cos3x ≠ ta có: 0

(HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN)

Trang 15

ðiều kiện: sin 2x≠0; tanx≠ − Ta có: 1

2 2 cos cos sin

cos 2 cos sin

cos (cos sin )sin

3sin 4 sin 4 cos cos 0

Trang 16

Vì cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế của phương trình chocos3x ≠ 0

Trang 17

I PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG VÀ NỬA ðỐI XỨNG VỚI SINX, COSX

1 Phương pháp chung

(s inx cos ) sin cos 0

Biến ñổi ñưa về phương trình bậc 2 ẩn t

Bước 2 Giải phương trình bậc 2 ẩn t Từ ñó suy ra nghiệm x

Bài 1 Giải phương trình: 2(s inx cos ) sin x cos+ x − x=1 (1)

Trang 18

Trang 19

(1) ⇔(3sinx−4sin3x) (4 cos− 3x−3cos ) 2(s inxx + +cos ) 1x =

4(s inx cos )(1 sin x cos ) 5(s inxx x cos ) 1x

Trang 20

Vậy phương trình ñã cho luôn có nghiệm m∀ ∈ R

Bài 11 Tìm m ñể phương trình: sin 2x+4(cosx−s inx)= có nghiệm m

Trang 21

Với t= 2∨ ∈ −t ( 1;1) cho ta 1 nghiệm x∈[0;π]

và với mỗi t∈ 1; 2) cho ta 2 nghiệm x∈[0;π]

Nên ñể phương trình sin3x c− os3x=m có 3 nghiệm phân biệt x∈[0;π] thì ( )f t =2m phải có 2 nghiệm

a a b

a b a

b a b

a

b a

b a b

a b a

b a b

a b a

b a b

a

2cot2tancot

;2sin

2cot

tan

;cossin

)cos(

tan

cot

sincos

)cos(

cottan

;coscos

)sin(

tantan

;coscos

)sin(

II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: 3(tanx+cotx)=4 (1)

Giải:

36

2

34

322sin42

sin

3

2

Z n n

x n x

2sin0cos

x x

x

4cos2cos

2sin

2)cos(sin

x x

x

)(24

14cos2

0)12)(

2sin0cos

x x

x

Trang 22

π

n x

x x

⇔

41

2sin032sin22sin2

sin22

x x

x

x x

sin.2cos.cos8coscos

8sin

2

cos

)2

5

;224

;222

14sin0

cos

0)4sin21(cos0)sin2coscos

x x

x

x x

x x x x

Bài 5 Giải phương trình: tanx=cotx+2cot32x (1)

Giải:

20

2sin02sincos

x x

242

202cot0cot

1

2

cot

2cot2cossin2

2cos22

cot2cot

πππ

x n x

x x

x

x x

x

x x

+

=

⇔+

2sin0cos

x x

x

282

41

2tan0

2

cos

0)2cos2(sin2cos0)2sin1(2

cos

2

sin

1)2cos2(sin2sin)2cos2(sin22

x

n x

x x

+

=

∨+

⇔+

x x

x x x

x x

x x x

x

x x x

x x

x

4cos2cos2cos10sin

.3sin22cos10sin

.3sin2

cos

5

cos.2cos

)2sin(

3sincos

)3cos(

5tan2tan)3cot(tan

⇔

012cos2cos12)12cos2(2cos2

παπ

β

παβ

α

k x

x

2

22

2

22

cos4

12

cos

cos3

Trang 23

)23cos(

3sin

2

sin

)23

x x x

x

x x

)3(03sin4sin04sin0cossin22sin0sin0

Do (2) và (3) mâu thuẫn nhau nên phương trình (1) vô nghiệm

Bài 9 Giải phương trình: (1)

sin

23cottan2

x x

Giải:

20

2sin0cos

x x

x

x x

x x x

sin

23sin

2tansin

23)cot(tan

⇔

33

Sử dụng: t anx cot 2 sin 2 sin os2 cos cos 1

cos sin 2 cos sin sin 2

(1) t anx (t anx cot ) 2 sin 2 (t anx cot )

t anx 4 sin cos s inx 4sin cos s inx(1 4 cos ) 0

Trang 24

(2) 2

(1) tan 6 2(tan 6 tan 2 )

sin 4 cos 4 sin 4

Bài 13 Giải phương trình: 2

3 tan 2x−4 tan 3x=tan 3 tan 2 (1)x x

(1)⇔3 tan 2x−3 tan 3x=tan 3 (1 tan 3 tan 2 ) (3)x + x x

Nếu 1 tan 3 tan 2+ x x= thì từ (3) 0 tan 2 tan 3 0

 Vô lý ⇒ +1 tan 3 tan 2x x≠ 0

Khi ñó (1) (3) 3(tan 2 tan 3 ) tan 3 3 tan( ) tan 3

Bài 14 Giải phương trình: 2 3 2 3

t anx+tan x+tan x+cotx+cot x+cot x=6 (1) Giải:

ðiều kiện: sin x cos 0 sin 2 0 (2)

Trang 25

ðặt t anx+cotx= ⇒ =t t t anx + cotx ≥2 t anx cotx = 2

ðiều kiện: os2 os3 os5c x c x c x ≠0 (2)

(1)⇔tan 2x−5 tanx=tan 3 (1 tan 2 tan 5 ) (3).x + x x Nếu 1 tan 2 tan 5+ x x= thì 0

từ (3) tan 2 tan 5 0 tan 2 tan 5 1 tan 22 0

Khi ñó (1) (3) tan 3 tan 2 tan 5 tan(2 5 ) tan( 3 ) tan 3

3

k

⇔ = ⇔ = (thỏa mãn (2))

tan 2 tan 3 tan 5x x x=tan 2x−tan 3x+tan 5 (1)x

Giải:

ðiều kiện: os2 os3 os5c x c x c x ≠0 (2)

(1)⇔tan 3x−tan 2x=tan 5 (1 tan 3 tan 2 ) (3)x − x x

Nếu 1 tan 3 tan 2− 2 x 2 x=0 thì từ (3)

Vô lý ⇒ −1 tan 3 tan 22 x 2 x≠ 0

Khi ñó (1) (3) tan 5 tan 3 tan 2 tan 3 tan 2 t anx tan 5

1 tan 3 tan 2 1 tan 3 tan 2

Bài 17 Giải phương trình: 2 1 2 1 2 1

t an x.tan2x + tan 2 tan 4 tan 4 tan 8 tan 8 2

Giải:

ðiều kiện: cos cos 2 cos 4 cos 8x x x x ≠0

Ta có: cot 2 cot 2 t an 1 2 tan tan 2 2 tan tan2 tan 2

t an tan 2

Trang 26

Khi ñó: (tan 2 2 tan ) 1(tan 4 2 tan 2 ) 1(tan 8 2 tan 4 ) 1tan 8 2

tan x+4 tan 2x+16 tan 4x=64 cot 8x+41 (1) Giải:

ðiều kiện: sin8x ≠ 0

Xét ñẳng thức cotα−2 tanα=tanα ðạo hàm 2 vế của ñẳng thức này ta có:

os 3

c c

Trang 27

s inx sin+ x+sin x+sin x=cosx c+ os x c+ os x c+ os x

Bài 4: tan2x(1 sin− 3x)+cos3x− = 1 0

m(s inx+cosx+1) 1 sin 2= + x

Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

BÀI GIẢNG 02

PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG

( BÀI TẬP TỰ LUYỆN)

Trang 28

Giải các phương trình lượng giác sau:

t anx(3 tan 1) (1 s inx) 3 1 tan 4 0

(3 tan 1)(t anx 1 s inx) 0 (3 tan 1)(s inx cos 1) 0

Trang 29

sin os sin x cos (s inx cos ) 0

Trang 30

t loai t

2 t anx cot 2 5(t anx cot ) 6 0

Trang 31

ðặt sin cos 2 sin

4

t= x+ x= x+π 

 , ñiều kiện t ≤ 2Thì t2 = +1 sin 2x

Trang 32

I SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC

II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: sin 32 x c− os 42 x=sin 52 x c− os 62 x (1)

( os2 os8 ) ( os4 os6 ) 0 2 cos 5 cos 3 2 cos 5 cos 0

( os2 os6 ) os4

os 4 0 2 cos 4 cos 2 os4 2 cos 4 02

BÀI GIẢNG 03

SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ðÔI

(TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)

Trang 33

29

x

ππ

απ

Trang 34

Bài 5 Giải phương trình: 4 4 7

29

Trang 35

Bài 7 Giải phương trình: sin8 os8 17 os 22 (1)

Giải:

Trang 36

VT (1) = ( os3c x+3cos ) sin 3x x+ −( sin 3x+3sin ) os3x c x+3 3 os4c x

3(sin 3 cosx x sinxcos3 ) 3 3 os4x c x 3sin 4x 3 3 os4c x

sin 2 1 (s inx cos ) os2 1 2 sin

2 CÁC BÀI MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: cos4x+sin6x=cos2x (1)

Trang 37

2

(1) 2sin (1 sin ) cos 0 2sin (1 s inx) (1 cos ) 0

(1 cos ) 1 2 sin cos 2(s inx cos ) 0

(1 cos ) (s inx cos ) 2(s inx cos ) 0

(1 cos )(s inx cos )(s inx cos 2) 0

(1) os (1 2 sin ) 2 sin 0 ( os 1)( os 1) 2 sin (1 sin ) 0

sin 2(1 sin ) ( os 1) 0 sin (2 sin sin ) 0

(1) (cos s inx)( os sin cos sin ) (cos s inx)(cos s inx)

(cos s inx) 1 cos sin (cos s inx) 0

Trang 38

Bài 7 Giải phương trình: 1 sin s inx os sin2 2 cos2 (1)

(1) sin 4 1 os4 4(s inx cos ) 2 sin 2 cos 2 2 cos 2 4(cos s inx)

2( os sin )( os2 sin 2 ) 4(cos s inx) 0

2(cos s inx) (cos s inx)( os2 sin 2 ) 2 0

t x t

−

=+ với tan2

Trang 39

2 2

1 tan

x

x x

2

2 tan(1) 1 3 tan 2 (1 3 tan )(1 tan ) 4 tan

1,2 1,2 2

1,2 1,2

t anx 1 2 tantan 2 tan 1 0

ðK: cos cos 2 cos 4 0; (1) 2 tan2 12 12 t anx

Trang 40

ðK: sin 8 0 (1) cot 8 2 tan2 22 22 t anx

1 tan 1 tan 2 1 tan 4

sin 3x=3sinx−4 sin x c; os3x=4 cos x−3cosx

2 CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: sin 3x+sin 2x=5sinx (1)

Giải:

2

(1) 3sin 4sin 2 sin cos 5sin s inx(3 4 sin 2 cos 5) 0

(1) 3sin 4sin 2 sin cos 2sin 0 s inx( 4 sin 2 cos 5) 0

(1) (4 cos 3cos ) (2 cos 1) 1 os 2

Trang 41

Giải:

(1) (3sin 4 sin ) s inx 2(1 sin ) 0

2 sin sin 2 sin 1 0 (s inx 1)(2 sin s inx 1) 0

os10 os8 1 cos (8cos os 3 6 cos 3 cos )

os10 os8 1 cos 2 cos (4 cos 3cos 3 )

(1) 4(1 os2 ) (4 cos 2 3cos 2 ) 1

4 cos 2 5 cos 2 1 0 ( os2 1)(4 cos 2 1) 0

Trang 42

ðiều kiện: s inx.cos 0 sin 2 0 (2)

sint 1 2(1 2 sin ) os2 0 sin (1 os2 ) 0

Trang 43

(1) (4 cos 2 3cos 2 ) (2 cos 2 1) os2 3 (1 os2 )

4 cos 2 os 2 5 0 ( os2 1)(4 cos 2 5 cos 2 5) 0

(1) (4 cos 2 3cos 2 ) 1 2(1 os2 ) (1 os 2 )

4 cos 2 os 2 os2 4 0 ( os2 1)(4 cos 2 3cos 2 4) 0

⇔ = ∨ + + = (vô nghiệm) ⇔ =x kπ (k∈Z)

Bài 15 Giải phương trình: sin 3x c− os3x+2(s inx+cos ) 1 (1)x =

Giải:

Trang 44

(1)⇔(3sinx−4 sin x) (4 cos− x−3cos ) 2(s inxx + +cos ) 1x =

4(s inx cos )(1 sin x cos ) 5(s inxx x cos ) 1x

(1) 2(4 cos 3cos ) 2 sin cos cos 0 8 cos 2 sin cos 5 cos 0

cos (8cos 2sin 5) 0 cos (8sin 2 sin 3) 0

Trang 45

Bài 1: 2 sin (1x +cos2 ) sin 2x + x= +1 2 cosx

Trang 46

Bài 1: 2 sin (1x +cos2 ) sin 2x + x= +1 2 cosx

PT ⇔(2 sin 22 x− +1) (sin 7x−sin )x = 0

os4 2 cos 4 sin 3 0 os4 (2 sin 3 1) 0

2os4 0

SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ðÔI

(HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN)

Trang 47

ππ

k Z

πππ

4

2 3 2

42

Trang 48

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác

I SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCH

II CÁC BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1: Giải phương trình: s inx+sin 2x+sin 3x= +1 cosx c+ os2x (1)

Giải:

2

(1) (sin 3 s in ) sin 2 (1 os2 ) cos

2 sin 2 cos sin 2 2 cos cos sin 2 (2 cos 1) cos (2 cos 1)

(1) ( os10 os6 ) (1 os8 ) 0

2sin 8 sin 2 2 sin 4 4 sin 4 cos 4 sin 2 4 sin 4 sin 2 cos 2 0

Tiêu đề	Phương trình vô tỷ
Người hướng dẫn	Thầy Trần Phương
Trường học	Học viện Khoa học Kỹ thuật và Quản lý
Chuyên ngành	Toán Chuyên đề 2&3
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	98
Dung lượng	4,11 MB