Ôn tập Đại số 11 Chương 5: Đạo hàm32565

2 Đạo hàm của hàm số trên khoảng  Định nghĩa: Hàm số fx được gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên J... Chứng minh rằng hàm số fx liên tục tại x0=2 nhưng không c

§1: ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

A LÝ THUYẾT:

1) Định nghĩa:

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b):

y

f x

+ D -D









0

0

0 x x

0

f(x) f(x )

f '(x ) lim

x x

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó

2) Đạo hàm của hàm số trên khoảng

 Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên

J Kí hiệu f’(x) hoặc y’

 Định lí: ( Đạo hàm một số hàm số thường gặp):

 f x( )= cÞ f x'( )= 0

 f x( )= xÞ f x'( )=1

f x = x nÎ ¥ n³ Þ f x = n x

2

x

3) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

 f  (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ;f(x ) 0 0 

 Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ;f(x ) 0 0  là:

y – y 0 = f  (x 0 ).(x – x 0 )

4) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:

 Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t 0 là

v(t 0 ) = s  (t 0 ).

 Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t 0 là I(t 0 ) = Q  (t 0 ).

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Tính số gia của hàm số y=f(x) tại điểm x 0

Ví dụ 1: Tính số gia của hàm số 2 tại điểm x0=1, biết

y f x  x  a)  x 0,1 b)   x 0, 01

Ví dụ 2: Tính số gia của hàm số 2 tương ứng với sự biến thiên của đối số

y f x x  a) Từ x0=1 đến x0  x 2

b) Từ x0=1 đến x0  x 0, 08

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm y=f(x) tại điểm x 0 bằng định nghĩa

Phương pháp:

+ B1:

+ B2:

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra

Chương 5: Đạo hàm

a) y f x( )2x1, x0  1 b) 2

0

y f x  x x  c) y f x( ) 3x 2, x0 1 d)

x



Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đaoh hàm của hàm số y f x( )x(1x)(2x) (2007x) tại điểm x=0

Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên R

2

y  x

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng đã chỉ ra

a) y x3 trên khoảng ( 3; ) b) 2 trên các khoảng và

1

y x



Dạng 3: Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x( ) x 2 Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục tại x0=2 nhưng không có đạo hàm tại đó ( Minh họa bằng đồ thị)

Dạng 4: Ý nghĩa hình học của Đạo hàm

Ví dụ 1: Cho dồ thị (C) 3

( )

y f x x

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ

1, 2, 2

 

b) Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là 3, 27

Ví dụ 2: Cho hàm số 3 có đồ thị là đường cong (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

( ) 2

y f x   x

hàm số trong những trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến tại điểm (2;-16)

b) Tiếp tuyến có hệ số góc là -3/2

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x+y-1=0

d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 5

24

y x

Ví dụ 3: Cho hàm số 2

( )

y f x x mxn

a) Tìm m và n biết đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y=-x+2 tại điểm x=1

b) Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B sao cho OB=3OA

C BÀI TẬP ÔN LUYỆN

Tính số gia của hàm số

Bài 1: Tính số gia của hàm số 2 tại điểm x0=-2 biết

y x 

Bài 2: Tính số gia của hàm số y 3 tại điểm x0=1 chính xác đến hàng phần nghìn biết

x



Bài 3: Tính số gia của hàm số y x3 tại điểm x0=1 biết

Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

Bài 4: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra

a) yx22x tại x0=-1 b) y 2, x0 2

x



c) y 2x, x0 1 d) y 1 , x0 4

x

Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số sau trên R

1

y  x

Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau

1

x

Bài 7: Cho hàm số 3

( ) 3

y f x  x

a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x bất kì

b) Tính f '( 1), f '( 2),f '(2)

Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại điểm chỉ ra

Bài 8: Chứng minh rằng các hàm số sau đây không có đạo hàm tại điểm chỉ ra

a) y f x( ) x 3 , tại x0=-3

b) ( ) 1 tại x0=1

1

x

y f x

x





Bài 9: Cho hàm số

2

2

( )

y f x





a) Tìm điều kiện của a và b để f(x) liên tục tại x=1

b) Xác định a và b để f(x) có đạo hàm tại x=1

Bài 10: Cho hàm số

2

2

( )

y f x





a) Tính đạo hàm của hàm số tại các điểm x0=-1, x0=1

b) Hàm số có đạo hàm tại điểm x0=0 hay không?

( 1)( 2)( 3) ( 2007)

x y



Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Bài 12: Cho hàm số 3

( )

y f x x

a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0=-2

b) Điểm nào trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là 4;-3; 3

c) Một tiếp tuyến của đồ thị tiếp xúc với đồ thị tại điểm có tung độ là 8 Viết phương trình tiếp tuyến đó

Bài 13: Cho hàm số 2

y x x

a) Tính hệ số góc của tiếp tuyến với ĐTHS tại các điểm có hoành độ x=-3,x=2,x=4

b) Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là -2;4

Bài 14: Cho đồ thị (C) có phương trình ( ) 3 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong

x

y f x

x



 những trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến tại điểm 1;2

3

Chương 5: Đạo hàm

b) Tiếp tuyến có hệ số góc là 7

4

 c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-7x+4

d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 9x-7+3=0

e) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc mà  tan 1

7

  

Bài 15: Cho hàm số 3

( ) 2

y f x   x

a) Tìm điểm trên ĐTHS mà tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc lớn nhất

b) Điểm nào trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích 27

4

§2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

A LÝ THUYẾT

1 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số:

(u  v) = u  v (uv) = uv + vu u u v v u2 (v  0)





 

 



    

 

 

2 Đạo hàm của hàm số hợp

 Khái niệm hàm số hợp: Nếu y=f(u) và u=u(x) thì hàm số y=f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của

biến số x qua hàm trung gian u

 Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số F(x)=f[u(x)] Ta có F x'( )= f u x u x'[ ( )] '( ) hay

' ' '

F = f u

3 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp: Với u=u(x), ta có:

1 ( n) ' n ( , 2)

( n) ' n '

u = n u - u

'

2

(x 0)

æ ö÷

ç ÷ ç

è ø

'

2

'u

æ ö÷

ç ÷=

-ç ÷ ç

è ø 1

2

x

2

u

=

Chú ý:

 Tìm TXĐ của hàm số trước khi tính đạo hàm

 Rút gọn hàm số trước khi tính đạo hàm

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra

a) yx23x2, x0 1 b) 1 , 0 2

x

 

x

x



 

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây

a) y 4x3 5x2 7x 3 11 b)

x

3

y x x x  x

c) y(2x2   x 1)( 3x 2) d) 3 2 1

y

x

 





Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số sau:

3

y aax ax  x aconst

b)

2

1

ax bx

ax b



Dạng 2: Đạo hàm của hàm số hợp

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau

y x  x

7

x y

x



( 5 4) ( 4 3)

y x  x  x

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y 3x24x5 b) 3 2

1

x y x







2

1

y



 

2

y

x

 





Ví dụ 3: Cho hàm số

2

( )

1

x

y f x

 

  a) Tính đạo hàm của hàm số

b) Tìm giá trị nguyên của x thỏa mãn ( ) 0

'( ) 0

f x

f x







Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm với mọi x Chứng minh rằng

a) Nếu f(x) là hàm số chẵn thì f’(x) là hàm số lẻ; nếu f(x) là hàm số lẻ thì f’(x) là hàm số chẵn

b) Nếu f(x) là hàm số tuần hoàn thì f’(x) cũng là hàm số tuần hoàn

C BÀI TẬP ÔN LUYỆN

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại các điểm chỉ ra

a) y4x2 x 1, x0  2 b) 1 , 0 1

x

  c) y 3 2 , x x0  3 d) 5 2 , 0 1

x

x



 

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y 4x3 6x2 3x 1 2 b)

x

4

y x  x  x x

Chương 5: Đạo hàm

c) y ( 3x24x6)(7x1) d) 5 2 4 2

y

x





Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây

a) y ( 4x22x3)( 2 x 4)(3x1) b) 3 ( 2 1)

y

x

 





(4 1)( 2 3)

x y

 



  

( 1)( 1)( 1)( 1)

y x x x  x 

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau

x

x





x

1 3

x y

x







Đạo hàm của hàm số hợp

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau

10 2

11

y  x  x 

7

x y

x

 

   

( 2 5 6) ( 2 9)

y  x  x  x

Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau

2

1

x y x







x y

x



1

x y

x





 

Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số

x y

x



2 1

y x x 

3

2

x y

x

3 2

y

x

  

Bài 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

y

y

2

y

 



y

Bài 9: Cho hàm số 3 2 Giải các phương trình và bất phương trình sau:

y x  x  x

( ) ( 1) ( 2)

y f x  x x a) Tính đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng ( ;2), (2; )

b) Hàm số có đạo hàm tại x=2 không?

§3: ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A LÝ THUYẾT:

1 Giới hạn

0

sin lim

x

x x



2 Đạo hàm của các hàm số lượng giác

(sin ) 'x cosx (sin ) 'u (cos ) 'u u

(cos ) 'x -sinx (cos ) 'u (-sin ) 'u u

2

1

x

u

2

1

sin

sin

u

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Tính giới hạn các hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

0

sin 3 lim

2

x

x x

1 cos 5 lim

x

x x





0

cos 3 - cos lim

x

x

sin 2 lim

x

x x

Dạng 2: Tính đạo hàm các hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số lượng giác

a) y3cosx2 sinx b) ysin 3 cos 2x x

sin 2 cos 2

y







sin 3 cos cos 2

x y



Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau

a) ytan 3xcosx b) ysin 2 cotx x

3

cot tan

y







Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số

2 sin

y

cos 1

y

x





 c) y(2 cosx1)(1x2sin )x d) y 1 2 cos x x

Ví dụ 4: Tính đạo hàm các hàm số sau

x

1 cot

y

x







(tan - cos )

Ví dụ 5: Cho hàm số y f x( )3cos 2x2 sinx Giải phương trình f’(x)=0

( ) sin cos

y f x  

Chương 5: Đạo hàm

6

f   



3 '( ) 4

f x 

Ví dụ 7: Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x

y



2

y  x x  x

C BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1: Tính các giới hạn sau:

0

sin 4 lim

3

x

x x

1 cos 6 lim

2

x

x x





2 0

cos 5 - cos 3 lim

x

x

sin 3 lim

x

x x

Bài 2: Tính các giới hạn sau

0

1 cos 3 lim

1 cos

x

x x





sin 5 lim tan 4

x

x x



0

sin 2 lim

x

x

1 cos 2 lim

sin

x

x





Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra

6

x

4

2

x

Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y4 cosx3sinx b) 2 cos sin

2 sin cos

y





 c) yxcos 2x d) y (sin ).x x1

Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau

a) yx2cot 3x b) y3x 1 cot x

tan

x y

x



tan

y

§4 VI PHÂN

A LÝ THUYẾT

1 Khái niệm vi phân: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) Tại điểm xÎ ( ; )a b cho số gia Dx

sao cho x+ D Îx ( ; )a b Tích số f x'( ).Dx được gọi là vi phân của hàm số y=f(x) tại x ứng với số gia Dx, kí

hiệu df(x) hay dy

Ta có df x( )= f x'( ).Dx

Chú ý: Vì dx= ( )'x D = D ®x x df x( )= f x dx'( ) hay dy= y dx'

2 Áp dụng vi phân vào tính gần đúng: Xét tại điểm x0 và với Dx khá nhỏ thì ta có:

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tính vi phân của các hàm số

Ví dụ 1: Tính vi phân của các hàm số sau đây tại điểm x ứng với số gia Dx đã cho a) f x( )= x2+ x tại điểm x=0 ứng với số gia D =x 0,01

b) f x( ) cos3= x tại điểm ứng với số gia

12

Ví dụ 2: Tính :

a) d x(2 2- x+3) b) d( 3x +2 1) c) d(cos )2x d) d(tan3 )x

Dạng 2: Tính gần đúng nhờ vi phân

Ví dụ 1: Tính gần đúng các giá trị sau:

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tính vi phân của hàm số tại một điểm

Bài 1: Tính vi phân của các hàm số sau đây tại điểm đã chỉ ra ứng với số gia Dx

a) f x( )= x2- 2x tại điểm x=1 ứng với D =x 0,001

b) f x( )= 3x- 1 tại điểm x=2 ứng với D =x 0,001

c) f x( ) cos2= x tại điểm ứng với

6

x= p D =x 0,001

d) f x( ) cot= x tại điểm ứng với

3

x= p D =x 0,0001

Tính vi phân của hàm số

Bài 2: Tính vi phân của các hàm số sau đây:

a) y= (4x2- x+ 2)6 b) y= 3+ x- 2x2

1

y

x

-=

+

4

x y

x

+

=

-Bài 3: Tính vi phân của các hàm số sau đây

sin 1

x y

x

=

+ c) y= cot( 2- x2+3) d) y= x2tanx

Bài 4: Tính

a) d( 4x2- x+1) b)

2

d x

æ + + ÷ö

d

Bài 5: Tính:

Chương 5: Đạo hàm

a) d(cos4 )x b) d(sinpx) c) d(tan2x +1)

Tính gần đúng

Bài 6: Tính gần đúng

o

§5 ĐẠO HÀM CẤP CAO

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

f ''( )x  f x'( )  f'''( )x f''( ) x  n n

f( )( )x  f( 1) ( )x 

2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t 0 là a(t 0 ) = f  (t 0 ).

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao tại điểm cho trước

Ví dụ 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra:

a) y= 4x3- 2x2+ x- 1, tính ''( )1 b) , tính

4

3

x y x

+

=

- +

(3)(0)

y

c) y= 2x+1, tính y’’(1) d) y= x x , tính y(3)(2)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm tại điểm x0đến cấp đã chỉ ra

3

y æççç- pö÷÷

÷ ç

(4) cos2 , tính y ( )

6

c) sin 2 , tính y2 (4) 2

3

y= x æççç- pö÷÷÷

÷ ç

Dạng2: Tính đạo hàm cấp n của hàm số

Chú ý: ta phải chứng minh kết quả bằng quy nạp

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

( )

1

1 n ( 1) !n

n

n

æ ö÷

-ç ÷ =

ç ÷

ç ÷

ç

è ø

( )

1

n

n

2

ax = a æçççax+ npö÷÷÷

÷ ç

( )

2

ax = a æçççax+npö÷÷÷

÷ ç

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

f x = +

2

( )

1

f x

x

- +

=

3 ( )

4

x

f x

x

=

-Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau

a) y= sin 2x b) y= sin cos4x x c) y= sin 32 x d) y= cos 34 x+sin 34 x

Dạng 3:Chứng minh các hệ thức liên quan đến đạo hàm các cấp

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã chỉ ra

a) 3 1 thỏa mãn hệ thức

1

x

y

x

+

=

-2 (y- 3) '' 2( ')y = y

b) y= 2x2+ x+1 thỏa mãn hệ thức ( ')y 2+ y y '' 2=

Ví dụ 2: Chứng minh rằng các hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã chỉ ra

y= æççç x+ pö÷÷÷+ æççç x+ pö÷÷÷

(4) ''' 4 '' 4 ' 0

y + y + y + y =

b) y= sin 24 x thỏa mãn 8 5 '' 1 (4) 3

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau

a) y= 3x3+2x2- x- 1, tính ''( )1 b) , tính y’’’(0)

4

x y

x

+

=

b) y= 1 2- x , tính y”(-4) d) y= x2 x, tính y”(2)

Bài 2: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau

a) y= sin 22 x, tính ''( ) b) , tính

4

3

y

c) y= tan 32 x, tính ''( ) d) , tính

9

2

x

4

y p

Bài 3: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau đây

2

x y

x x

=

2

1

x

y

x

=

-1 1

x y

x

+

=

-Bài 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau

y

x

1

x y x

+

= +

2

1

y

x

=

2 3 1

x y

x

-=

-Bài 5: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau

3

x

y = y= sin cos2x x y= sin sin3x x

Bài 6: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau

a) y= sin2x b) y= cos 23 x d) y= sin4x+cos4x e) y= sin3 (1 sin 3 )x + 2 x

Bài 7: Cho hàm số y x2 x 4 Hãy giải các bất

x

- +

Chương 5: Đạo hàm

a) y”>0 b) y"> y'+ y

Bài 8: Cho hàm số ( ) nvới n là số nguyên dương Chứng minh rằng:

f x = x

( )

n

n

f

n

!

k k

f a

k

=

Áp dụng: Tìm hệ số của x2 trong khai triển (2x2+ x+1)100