Phép thử và biến cố: a Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên gọi tắt là phép thử thường kí hiệu T, là một thí nghiệm hay một hành động mà: Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều [r]
Trang 1§1: HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
A LÝ THUYẾT
1 Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B Nếu phương
án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2 Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B Nếu công đoạn A có m cách thực hiện
và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng
Phương pháp:
Đếm số phần tử của tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó
Dựa vào tính chất của các phần tử, ta chia tập hợp cần đếm thành các tập hợp con rời nhau Đếm số phần tử rồi sử dụng quy tắc cộng.
Ví dụ 1: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có:
a) Ba chữ số khác nhau
b) Hai chữ số khác nhau
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm các chữ số khác nhau?
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số
0,1,2,3,4,5?
Dạng 2: các bài toán sử dụng quy tắc nhân
Ví dụ 1: Cho 3 thành phố A,B,C Biết rằng từ thành phố A đi đến thành phố B có 4 con đường khác
nhau, từ thành phố B đi đến thành phố C có 3 con đường khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến
C mà phải qua B
Ví dụ 2:
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số ?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chũa số đôi một khác nhau?
Ví dụ 3: Cho số A 2 3 55 3 4
a) Có bao nhiêu số tự nhiên là ước dương của A
b) Có bao nhiêu số tự nhiên là ước dương của A2 và chia hết cho A?
Dạng 3: Các bài toán kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân
Ví dụ 1: Trên giá sách có 14 quyển sách, trong đó có 5 quyển sách toán, 6 quyển sách văn và 3 quyển
sách ngoại ngữ Nếu chọn 2 quyển sách khác thể loại trên giá sách đã cho thì có bao nhiêu cách chọn
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 học sinh nữ và 15 học sinh nam.
a) Nhà trường cần chọn một học sinh tham gia cuộc thi về môi trường Hỏi có bao nhiêu cách chọn b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện phải có cả nam và nữ
Trang 2Bài 2: Một trường THPT có 5 học sinh giỏi lớp 10, 6 học sinh giỏi lớp 11 và 8 học sinh giỏi lớp 12 Cần
chọn ra 3 học sinh để tham gia đội tuyển thi “ Đố vui để học” Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu mỗi khối
có một học sinh?
Bài 3:
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
b) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 ta thành lập các số tự nhiên có 5 chữ số Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên
có hai chữ số kề nhau khác nhau
Bài 4: Một lớp gồm có 30 học sinh Cần chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thư ký Hỏi có
bao nhiêu cách chọn biết rằng học sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, làm lớp phó và làm thư ký
Bài 5: Có 4 thành phố A,B,C,D Có 4 con đường đi từ A đến B, có 3 con đường đi từ B đến C, có 5 con
đường đi từ A đến D và 5 con đường đi từ B đến C Biết rằng để đi từ A đến C phải qua B hoặc D Hỏi
có tất cả bao nhiêu cách khác nhau để đi từ A đến C
Bài 6: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta thành lập các số tự nhiên gồm 4 chữ số
a) Hỏi có bao nhiêu số đượ tạo thành?
b) Hỏi có bao nhiêu số có các chữ số đôi một khác nhau?
c) Hỏi có bao nhiêu số sao cho hai chữ số kề nhau phải khác nhau về tính chẵn lẻ
Bài 7: Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra hai đồ vật từ một tập hợp có:
a) 2 đồ vật khác nhau? b) 3 đồ vật khác nhau
c) 4 đồ vật khác nhau? d) n đồ vật khác nhau?
Bài 8: Một học sinh có 4 quyển sách toán khác nhau và 3 quyển sách văn khác nhau Cần sắp xếp 7
quyển sách trên thành một dãy theo hàng ngang trên một tủ sách
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
b) Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu hai quyển sách kề nhau phải khác thể loại?
Bài 9: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 cần lập ra các số tự nhiên gồm 4 chữ số.
a) Hỏi có bao nhiêu số chia hết cho 5
b) Hỏi có bao nhiêu số mà trong đó các chữ số đều khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 1?
Bài 10: Một bàn cờ vua có hình vuông, mỗi cạnh chia thành 8 ô, tổng cộng có 64 ô Một quân xe có thể
“ ăn trực tiếp” bất kì một quân cùng cột hoặc hàng với nó Giả sử trên bàn cờ chỉ có hai quân xe, hỏi có bao nhiêu cách đặt hai quan xe trên bàn cờ sao cho chúng không ăn lẫn nhau
§2: HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
A LÝ THUYẾT
I Hoán vị:
1 Giai thừa:
n! = 1.2.3…n
Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n
!
!
n
p = (p+1).(p+2)…n (với n>p)
!
n
n p = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
2 Hoán vị (không lặp):
Một tập hợp gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là: P n = n!
3 Hoán vị lặp:
Trang 3Cho k phần tử khác nhau: a 1 , a 2 , …, a k Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n 1 phần tử a 1 , n 2
phần tử a 2 , …, n k phần tử a k (n 1 +n 2 + …+ n k = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n 1 , n 2 , …, n k ) của k phần tử.
Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n 1 , n 2 , …, n k ) của k phần tử là:
P n (n 1 , n 2 , …, n k ) = 1 2
!
! ! !k
n
4 Hoán vị vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Q n = (n – 1)!
II Chỉnh hợp:
1 Chỉnh hợp (không lặp):
Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 k n) theo một thứ tự nào
đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
! ( 1)( 2) ( 1)
k n
n
n k
Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
Khi k = n thì
n n
A = P n = n!
2 Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần
tử của tập A.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: A n k n k
III Tổ hợp:
1 Tổ hợp (không lặp):
Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (1 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập
k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
!
k
n
C
Qui ước:
0
n
C = 1 Tính chất:
1
n k
k
2 Tổ hợp lặp:
Cho tập A = a a1; ; ;2 a n và số tự nhiên k bất kì Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp
gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: C n k C n k k 1 C n k m11
3 Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: k ! k
A k C
Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp
Ngược lại, là tổ hợp.
Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n):
+ Không thứ tự, không hoàn lại: C n k
Trang 4+ Có thứ tự, không hoàn lại: A n k
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Một số bài toán về hoán vị
Ví dụ 1: Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.
a) Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau
b) Hỏi trong những số tìm được có bao nhiêu số chẵn?
c) Tìm tổng của các số tự nhiên tìm được ở câu a
Ví dụ 2: Một tổ có 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp các học sinh trong tổ:
a) Thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau?
b) Ngồi quanh một bàn tròn sao cho nam, nữ ngồi xen kẻ nhau?
Dạng 2: Một số bài toán về chỉnh hợp
Ví dụ 1: Từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 người ta cần lập ra các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau Hỏi có bao
nhiêu số như thế? Tính tổng của các số tự nhiên tìm được
Ví dụ 2: Vào giữa tháng 1 năm 2007, tám đội bóng đá thuộc liên đoàn bóng đá Đông Nam Á (AFF)
khởi tranh cúp vô địch, chia thành hai bảng: Bảng A gồm có Thái Lan, Malaixia, Mianma và Philippin, bảng B gồm Việt Nam, Singapo, inddonexia và Lào
a) Ban tổ chức sẽ trao 2 huy chương Vàng và Bạc cho hai đội nhất và nhì ( không có tranh giải ba) Hỏi có bao nhiêu khả năng trao hai huy chương cho hai đội đoạt giải nhất và nhì?(giả sử 8 đội có trình độ tương đương)
b) Theo dự đoán Lào và Philippin là hai đội yếu, không có khả năng vào bán kết Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra 4 đội vào bán kết theo quy định mỗi bảng có hai đội, gồm một đội nhất bảng và một đội nhì bảng
Ví dụ 3: Cho tập hợp X={0,1,2,3,4,5,6} Người ta thiết lập các số tự nhiên gồm có 4 chữ số khác nhau
từ các chữ số của tập X
a) Hỏi có thể lập được bao nhiêu số?
b) Trong những số ở câu a có bao nhiêu số chia hết cho 5
Dạng 3: Một số bài toán về tổ hợp
Ví dụ 1: Tại một cuộc họp của tổ chức Apec tổ chức tại Hà Nội vào tháng 12 năm 2006 có 21 đại biểu
là thành viên của các nước Trước khi họp, các đại biểu chào hỏi và bắt tay nhau, mỗi đại biểu bắt tay một đại biểu khác một lần Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay
Ví dụ 2: Trong một trường có 4 học sinh giỏi lớp 12, 3 học sinh giỏi lớp 11 và 5 học sinh giỏi lớp 10.
Cần chọn ra 5 học sinh giỏi để tham gia thi “ đố vui để học” nhân ngày Nhà giáo Việt Nam sao cho khối
12 có ít nhất hai em và mỗi khối 10, 11 có ít nhất một em Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng song song a và b Trên đường thẳng a ta chọn 10 điểm phân biệt và trên
đường thẳng b ta chọn 11 điểm phân biệt
a) Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng?
b) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng?
Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức, BĐT về số Hoán vị, Chĩnh hợp, Tổ hợp
Ví dụ 1: Chứng minh
Trang 5a) 1
( 1)
n
n k
b) A n k A n k1 kA n k 11
c) 22 32 2
n
n
A A A n! 1.1! 2.2! ( n 1).(n1)! 1
Dạng 5: Giải phương trình, bất phương trình chứa , P A C n n k, n k
Ví dụ 1: Giải các phương trình, bất phương trình sau ( n, k là ẩn)
a) A n5 30A n42 b) 2 3 4 3k
C C A
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình
a)
2
x
C
Dạng 6: Bài tập tổng hợp phép đếm
Ví dụ 1: Có hai đơn vị thi đấu bóng bàn tranh giải nhân ngày 20/11 của Báo Giáo dụ thời đại Đội A có
5 cầu thủ nữ, đội B có 6 cầu thủ nữ Cần chọn ra mỗi đội 3 cầu thủ để ghép cặp thi đấu với nhau, tính điểm trực tiếp 3 trân đấu Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện như thế
Ví dụ 2: Xếp 8 cuốn sách vào kệ sách gồm 4 ngăn, mỗi ngăn 2 cuốn Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Hoán vị
Bài 1: Có 6 con tem khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách dán 6 con tem lên 6
bì thư đã cho biết rằng 1 bì thư chỉ dán một con tem
Bài 2: Cần sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D, E thành một dãy hàng ngang.
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai học sinh A và B luôn đứng ở hai đầu hàng?
Bài 3: Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau, trong đó
phải có mặt hai chữ số 1 và 2.?
Bài 4: Cần sắp xếp 3 học sinh nữ và 5 học sinh nam thành một hàng dọc.
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 3 học sinh nữ luôn đứng liền nhau?
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu học sinh đứng đầu hàng là học nữ và học sinh đứng cuối hàng
là học sinh nam?
Bài 5: Có 4 nữ sinh là Huệ, Anh, Lan, Nhã và 4 nam sinh là An, Bình, Khoa, Hải cùng ngồi quanh một
bàn tròn có 8 chỗ
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẻ nhau?
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẻ nhau nhưng hai bạn Oanh và Khoa không chịu ngồi cạnh nhau?
Chỉnh hợp:
Bài 6: Một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một
thủ quỹ
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng phải là học sinh nam?
Bài 7: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta lập ra các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau Trong những số tìm
được có bao nhiêu số lẻ, bao nhiêu số chẵn?
Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6?
Trang 6Bài 9:
a) Từ 9 chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau? b) Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên tìm được ở câu a) chia hết cho 11111
Tổ hợp
Bài 10: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 6 học sinh để
tham gia trồng cây Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Không phân biệt nam, nữ?
b) Có ít nhất 4 học sinh nam và một học sinh nữ?
c) Có nhiều nhất 2 học sinh nữ?
Bài 11: Có 12 đội bóng đá tranh giải vô địch quốc gia Trong vòng đấu loại, các đội thi đấu với nhau
theo thể thức vòng tròn, hai đội bống bất kỳ trong 12 đội gặp nhau 2 trận, một trận lượt đi và một trận lượt về Hỏi có bao nhiêu trận đấu trong vòng loại?
Bài 12: Cho 15 điểm nằm trên mặt phẳng trong đó có 5 điểm nằm trên một đường thẳng, ngoài ra không
có bất cứ 3 điểm nào khác thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho?
Bài 13: Một tập hợp gồm 8 đường thẳng song song cắt một tập hợp gồm n đường thẳng song song tạo ra
420 hình bình hành Tìm n?
Bài 14: Cho tập hợp X có 20 phần tử Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra từ X một tập con có số phần tử lẻ? Bài 15: Có bao nhiêu số tự nhiên có đúng 4 chữ số, sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn
chữ số đứng trước?
Đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
Bài 16: Chứng minh rằng:
a) k k11 k21 k11 ( )
Bài 17: Giải các phương trình, bất phương trình:
a) A n32 4A n23 b) A n32 C n21 c) A n3 2C n31P2
Bài 18: Giải các hệ phương trình sau:
a)
2
n
C
1
m
A
Bài tập tổng hợp
Bài 19: Ban văn nghệ của lớp 11 C có 7 nam sinh và 9 nữ sinh Cần chọn ra 5 nam và 5 nữ để ghép
thành 5 cặp nam nữ trình diễn tiết mục thời trang Hỏi có bao nhiêu cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 20: Có 5 nam ca sĩ và 7 nữ ca sĩ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 nam và 2 nữ ca sĩ để hát 2 bì song ca
nam nữ
Bài 21:
a) Cần chia 18 học sinh của một lớp thành 3 nhóm sinh hoạt ( không cần đặt tên nhóm không quy thứ tự ) , mỗi nhóm có 6 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chia?
b) Cần chia 18 học sinh của một lớp thành 3 tổ 1,2,3 khác nhau, mỗi tổ có 6 học sinh để tham gia làm vệ sinh trường ở 3 địa điểm khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chia?
Bài 22: Xét tập hợp các số tự nhien gồm 6 chữ số Hỏi có bao nhiêu số chứa đúng hai chữ số 9, các chữ
số khác có mặt đúng một lần?
§3: CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN
A LÝ THUYẾT:
1 Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:
Trang 7n k
2 Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T k+1 = C a b n k n k k
( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:
C C
5) C n0 C n n ,1 C n k1 C n k C n k1
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt Chẳng hạn:
0
k
(1+x) n = C x n0 n C x1n n1 C n n
C C C Suy ra: Số tập con của tập có n phần tử là: 2 n
(x–1) n = C x n0 n C x n1 n1 ( 1) n C n n
0 1 ( 1)n n 0
C C C
B CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-Tơn
Ví dụ 1: Khai triển các nhị thức:
4 2
1
2 a a
Dạng 2: Tìm số hạng và hệ số của số hạng có lũy thừa với số mũ cho trước
Ví dụ 1: Cho nhị thức
9 2
1 2 2
x x
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức trên
Ví dụ 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển
8
(2 5 ) 1
2
x
Ví dụ 3: Tìm đa thức f(x) biết 0
( )
!( )!
n k n
k
x
f x
k n k
Dạng 3: Một số dạng toán tính tổng các tổ hợp
Ví dụ 1: Tính các tổng sau đây:
a) S C n02C1n22C n2 2 n C n n
b) T C n022C n2 24C n4 2 n C n n, R 2C n1 23C n3 25C n5 2n1C n n1
Ví dụ 2: Cho ( ) (1 2)n 0 1 2 2 2 1 2n 1 2 2n
S a a a a a
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Khai triển nhị thức Niu-Tơn
Trang 8Bài 1: Khai triển các nhị thức sau:
a) (x 3)5 b) (y 3)6
c)
7
3
x
y
4
1
3a a
Bài 2: Giả sử khai triển nhị thức (1 2 ) x 12 a0a x a x1 2 2 a x12 12 Tìm hệ số (a i i 0,1, 12) lớn
nhất
Bài 3: Tìm a để trong khai triển (1ax)(1 3 ) x 6, hệ số của số hạng chứa x3 , hệ số của số hạng chứa x3
là 405
Bài 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển của (1 2 )(3 x x)11
Bài 5: Cho khai triển nhị thức (a b )n với a, b khác 0 Gọi ba số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba của khai
triển lần lượt là p, q, r Cho biết 17q2 36pr Tính tổng tất cả các hệ số của khai triển
Bài 6: Giả sử khai triển: (a x )(1 2 ) x n được viết theo lũy thừa tăng dần của x là
2
(a x )(1 2 ) x n 3 41x bx Tìm a,b,n
Bài 7: Cho khai triển (x 1)n C x n0 n C x1n n1 C x n n1 C n n
Biết rằng trong khai triển có 3 hệ số
liên tiếp tỉ lệ với 2:15:70
a) Tìm n
b) Tính tổng tất cả các hệ số của các lũy thừa bậc lẻ của x
Tính tổng tổ hợp
Bài 8: Cho đa thức P x( ) ( x 2)200a0a x a x1 2 2 a x199 199a x200 200 Tính tổng
S a a a a và S'a0 a1a2 a199a200
Bài 9: Cho n là số nguyên dương chẵn Chứng minh rằng:
a) 12 23 22n 1 20 22 22n 22n 1
b)
2
n
Bài 10: Tính tổng:
a) S520C200 519C201 518C202 5 C2019C2020
b) T C 300 3C301 32C302 3 30C3030
Bài 11: Chứng minh:
n
k m
với n 1 và m n
Bài 12: Chứng minh rằng: 0
1 ( 1)
k n
k
C
§4: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
A LÝ THUYẾT:
1 Phép thử và biến cố:
a) Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt là phép thử ) thường kí hiệu T, là một thí nghiệm
hay một hành động mà:
Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau;
Kết quả của nó không thể dự đoán được;
Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó
Trang 9Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian
mẫu của phép thử, kí hiệu
b) Biến cố: Biến cố A liên qua đến phép thử T là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A, kí hiệu
A
, A
cố chắc chắn:
2 Xác suất của biến cố
a) Định nghĩa cổ điển của xác suất: giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hữu hạn
và các kết quả của T đồng khả năng A là biến cố liên quan đến phép thử T và là tập các kếtA
quả thuận lợi cho A Xác suất của biến cố A: P(A) =
A
Ta thấy: 0 P(A) 1; P() = 1; P() = 0
b) Định nghĩa thống kê của xác suất
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính xác suất P(A) dựa vào cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu và các phần tử của tập A
Ví dụ 1: Với phép thử gieo 3 đồng xu phân biệt một lần.
a) Mô tả không gian mẫu
b) Gọi A là biến cố “Có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp” Tìm tập hợp mô tả các kết quảA
của A và tính P(A).
c) Gọi B là biến cố “ Có ít nhất hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa” Tìm tập hợp mô tả các kếtB
quả của B và tính P(B)
Ví dụ 2: Gọi T là phép thử “ Gieo hai con súc sắc”.
a) Mô tả không gian mẫu của T.
b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên các mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn 8” Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A và tính P(A)
c) Gọi B là biến cố “Hiệu số chấm trên các mặt xuất hiện của hai con súc sắc bé hơn 2” Liệt kê các kết quả thuận lợi cho B và tính P(B)
Dạng 2: Tính xác suất P(A) dựa vào các quy tắc cộng, quy tắc nhân và dựa vào các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Ví dụ 1: Lớp 11 A có 25 đoàn viên trong đó có 10 nam và 15 nữ.
a) Chọn ngẫu nhiên một đoàn viên làm thư kí đại hội chi đoàn Tìm xác suất để chọn được thư l\kí
là một đoàn viên nữ
b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên trong chi đoàn để tham dự trại 26/3 Tìm xác suất để hai đoàn viên được chọn có 1 nam và một nữ
Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau Gọi A là biến cố “ Số tự nhiên được
chọn gồm 4 chữ số 1,2,3,4” Tính số thuận lợi của A và tính xác suất P(A)
Ví dụ 3: Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành một hàng dọc Tính xác suất
sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau
Ví dụ 4: Chọn ngẫu nhiên một biển số xe máy cùng một họ K3, mỗi biển số có 4 chữ số Tính xác suất
để có biển số có hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số sau giống nhau, biết 4 chữ số đó không hoàn toàn giống nhau
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Trang 10Bài 1: Với phép thử gieo hai đồng xu một lần.
a) Mô tả không gian mẫu
b) Gọi A là biến cố “ có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa” Tìm tập mô tả các kết quảA
của A và tính P(A)
Bài 2: Với phép thử gieo 3 đồng xu một lần Tính xác suất để có ít nhất hai đồng xu xuất hiện mặt sấp Bài 3: Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 bi đỏ và 3 bi xanh và 2 bi vàng Lấy ngẫu nhiên 2 bi Tính
xác suất để:
a) Cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ:
b) Trong hai bi lấy ra, có một bi xanh và một bi vàng
Bài 4: Trong một buổi họp mặt có 10 học sinh, trong đó có 5 nam và 5 nữ Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh
ngồi quanh một bàn tròn Tính xác suất sao cho không có hai nam, hai nữ nào ngồi cạnh nhau
Bài 5: Chọn ngẫu nhiên một biển số xe máy cùng một họ K4, mỗi biển số có 4 chữ số Tính xác suất sao
cho biển số gồm các chữ số tiến, tức là biển số có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước
Bài 6: Một tổ có 9 học sinh trong đó có 3 nữ Phân 9 học sinh này về sinh hoạt hè với 3 nhóm thiếu nhi,
mỗi nhóm có 3 học sinh Tìm xác suất để mỗi nhóm thiếu nhi có một học sinh nữ
Bài 7: Trong một cuộc dự thi tìm hiểu về ATGT, có 3 lớp 11 có học sinh tham gia dự thi Lớp A có 8
em, lớp B có 7 em và lớp C có 9 em Ban tổ chức sẽ trao 3 giải thưởng cho 3 bài dự thi xuất sắc nhất Tính xác suất để mỗi lớp đều có học sinh đoạt giải
Bài 8: Trong một lễ sinh nhật các học sinh An, Bình, Xuân, Thu, Cúc và Hoa muốn chụp hình lưu niệm
và đứng ngẫu nhiên thành một hàng ngang Tính xác suất để hình chụp có hai bạn An, Bình đứng cạnh nhau
§5: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
A LÝ THUYẾT:
I Quy tắc cộng xác suất
1 Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T Biến cố “A hoặc B xảy ra”
được gọi là hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu A B
Ta có: A B A B
2 Biến cố xung khắc: hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không
xảy ra
Ta có: A B
3 Quy tắc cộng xác suất: Qui tắc cộng: Nếu thì P(A B) = P(A) + P(B) A B
4 Biến cố đối: A là một biến cố, biến cố “ A không xảy ra”, kí hiệu A gọi là biến cố đối của A.
Ta có: P( A ) = 1 – P(A)
II Quy tắc nhân xác suất:
1 Biến cố giao: A và B là hai biến cố liên quan đến phép thử T Biến cố “ cả A và B cùng xảy ra” , kí
hiệu AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B
Ta có: AB A B
2 Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố
này không ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia
3 Quy tắc nhân xác suất: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A) P(B)
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Áp dụng quy tắc cộng xác suất