Định nghĩa: Mệnh đề là một phát biểu một câu khẳng định luôn đúng hoặc luôn sai không thể vừa đúng hoặc vừa sai.. Bài tập 2: Tìm các mệnh đề đúng, mệnh đề sai và cho biết mệnh đề đảo của
Trang 1MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
MỆNH ĐỀ
1 Định nghĩa: Mệnh đề là một phát biểu (một câu khẳng định) luôn đúng hoặc luôn sai (không thể vừa đúng hoặc vừa sai)
Mệnh đề thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa như: P, Q, R, S, …
Ví dụ 1: Mệnh đề P là “Mặt trời mọc ở hướng Đông” Đây là mệnh đề đúng hay P đúng.
Mệnh đề Q là “Hai nhân hai bằng 6” Đây là mệnh đề sai hay Q sai
2 Mệnh đề chứa biến: Trong phát biểu chứa biến và chưa biết được đúng sai
Ví dụ 2: P x là “ chia x hết cho 5”
+ Nếu x5 thì P 5 đúng
+ Nếu x6 thì P 6 sai
3 Mệnh đề phủ định (phủ định mệnh đề): Cho mệnh đề P, khi đó mệnh đề phủ định của P là P
+ Nếu P đúng thì sai.P
+ Nếu P sai thì đúng.P
Ví dụ 3: Cho mệnh đề Q “2 2 5” Khi đó mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là Q: "2 2 5"
4 Mệnh đề kéo theo: Cho hai mệnh đề P và Q Ta nói mệnh đề “nếu P thì Q”, kí hiệu: “PQ”
(Nếu có P thì có Q, ngược lại nếu có Q thì chưa chắc là có P)
+ Ta nói Q là điều kiện cần để có P
+ Hay P là điều kiện đủ để có Q
Chú ý: Đây là cơ sở để giải những bài tập khó cần phải sử dụng điều kiện cần và đủ
Ví dụ 4: Nếu ABC vuông tại A thì 2 2 2 (Định lí Pytago)
BC AB AC
Nếu 2 2 2 thì vuông tại A (Định lí Pytago đão)
BC AB AC ABC
5 Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương:
Mệnh đề đảo của mệnh đề PQ là mệnh đề QP
Cho hai mệnh đề P và Q đều là 2 mệnh đề đúng, khi đó nếu ta có P Q thì hai mệnh đề P và Q
tương đương Kí hiệu PQ
Chú ý: Hai mệnh đề tương đương có cùng tính chất
Ví dụ 5: Từ ví dụ 4, ta có: ABC vuông tại A 2 2 2
BC AB AC
6 Lượng từ: Có 2 lượng từ là (đọc là với mọi) và (đọc là tồn tại).
Ví dụ 6: Mệnh đề “ 2 ” Mệnh đề này sai vì phương trình vô nghiệm với mọi
x x
1 0
Mệnh đề “x x: 2 1 0” Mệnh đề này sai vì nếu chọn x0 thì 2
0 1 1 0 Mệnh đề “x x: 2 1 0” Mệnh đề này đúng vì thay x1vào ta được: 2
1 1 0
Chú ý: Phủ định của lượng từ “ ” là “ ”, phủ định của lượng từ “ ” là “ ”.
Phủ định của “ ” là “ ”, của “ ” là “ ”, của “>” là “ ”, của “ ” là “>”, của “ ” là “<”.
Ví dụ 7: Cho mệnh đề P là "x x: 2 0", khi đó: P: "x x: 2 0" P đúng, sai.P
Trang 2Cho mệnh đề Q là 2 , khi đó: : Q sai, đúng.
"x x: 3x 2 0" Q "x x: 23x 2 0" Q
BÀI TẬP ÁP DỤNG
I BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài tập 1: Câu nào sau đây là mệnh đề đúng, mệnh đề sai?
a Đây là đâu? b Phương trình: 2 vô nghiệm
1 0
x x
c x 3 5 d 16 không là số nguyên tố
Bài tập 2: Tìm các mệnh đề đúng, mệnh đề sai và cho biết mệnh đề đảo của chúng.
a “Phương trình 2 ” b “6 là số nguyên tố” c “ là số lẻ”
4 0
,n 1
n
Bài tập 3: Xác định tính đúng sai và cho biết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a A:" x ,x3 x2" b B: "x,x x 1 "
Bài tập 4: Phát biểu mệnh đề PQ, xét tính đúng sai và phát biểu mệnh đề đảo của nó
a P: "ABCD là hình chữ nhật” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b P: "35" và Q: "7 10"
c P: “ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q: “Góc 0
45
B
Bài tập 5: Phát biểu mệnh đề PQ bằng 2 cách và xét tính đúng sai của nó
a P: "ABCD là hình chữ nhật” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b P: “9 là số nguyên tố” và Q: “ 2 là số nguyên tố”
9 1
Bài tập 6: Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phat biểu mệnh đề đảo của nó.
a P: “Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc nhau”
b Q: “Tam giác cân có 1 góc 600 là tam giác đều”
c R: “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10”
Bài tập 7: Cho mệnh đề chứa biến 2 Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
: " "
P x xx
a P 1 b 1 c d
3
P
x ,P x x ,P x
Bài tập 8: Phát biểu mệnh đề AB và AB của các cặp mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
a A: “Tứ giác là hình bình hành” và B: “Tứ giác có hai cạnh đối diện bằng nhau”T T
b A: “Tứ giác là hình vuông” và B: “Tứ giác có ba góc vuông”T T
c A: “x y” và B: “ 2 2” (với )
x y x y,
d A: “Điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy” và B: “Điểm M nằm trên đường phân giác góc xOy”
Bài tập 9: Hãy xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và phủ định chúng.
2
Trang 3Bài tập 11: Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây và xét tính đúng sai của chúng.
a A: x,x2 0 B: 2
,x 0
x
b C: ,1 x 1 D:
x x
x x
c E: F:
2 4
2
x
x x
x
2 4
2
x
x x
x
d G: x,x23x20 H: 2
,x 3x 2 0
Bài tập 12: Cho số thực , xét các mệnh đề chứa biến:x
P: "x2 1" Q: "x1"
a Phát biểu mệnh đề PQ, mệnh đề đảo và tính đúng sai của mệnh đề đó
b Hãy chỉ ra một giá trị của làm cho mệnh đề x PQ sai
Bài tập 13: Cho tam giác ABC Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của
chúng
a Nếu ABBCCA thì ABC là tam giác đều
b Nếu ABBC thì ACBBAC
c Nếu 0 thì ABC là tam giác vuông
90
BAC
II BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài tập 14: Hãy phát biểu và chứng minh các định lý sau đây
a 2 b c
Bài tập 15: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây, tại sao? Lập mệnh đề phủ định của chúng.
a r , 4r2 1 0 b 2
, n 1 8
n
c r,x2 x 1 0 d *
, 1 2 3 11
Bài tập 16: Cho P n : “n là số chẵn” và Q x : “7n4 là số chẵn”
a Phát biểu và chứng minh định lý “n, P n Q n ”
b Phát biểu và chứng minh định lý đảo của định lý trên
c Phát biểu gộp 2 định lý trên bằng 2 cách
Bài tập 17: Chứng minh rằng: 2 là số vô tỉ
Trang 4TẬP HỢP
1 Định nghĩa: Là một nhóm các phần tử có cùng tính chất hoặc có cùng một đặc điểm nào đó Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa như: A, B, C,…
Ví dụ 1: Tập hợp những học sinh lớp chuyên Hóa của Trường Chuyên Thành Phố Cao Lãnh.
Tập hợp các chữ cái bảng chữ cái (trong bảng chữ cái Việt Nam)
Cho tập hợp A
+ Nếu là phần tử thuộc tập A ta viết a aA
+ Nếu là phần tử không thuộc tập A ta viết a aA
Một vài tập hợp số thường gặp:
+ Tập các số tự nhiên: 0,1, 2,
+ Tập các số tự nhiên khác 0: *
1, 2, 3,
+ Tập các số nguyên: , 2, 1, 0,1, 2, 0, 1, 2,
+ Tập các số hữu tỉ: *
m
n
+ Tập các số thực: ; gồm tất cả các số trên kể cả số vô tỉ.
2 Cách xác định tập hợp: Có 2 cách để xác định tập hợp
a Liệt kê: Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấy , các phần tử cách nhau bởi dấu “,”
Ví dụ 2: A1, 2, 3, 4, 5, 6 Ba b c, , , 2, 5, 3, 4
b Nêu tính chất đặc trưng:Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử
Ví dụ 3: 2
Ta thường minh họa tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven
3 Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là
:
A x xA
4 Tập con của một tập hợp:
Tập hợp A là con của tập hợp B hay còn gọi tập B là tập cha của tập A Kí hiệu: AB
A B x A x B
Ví dụ 4: Cho Aa b c d e B, , , , , c d a, , Khi đó: BA vì c d a, , A
Chú ý: » A,A » A A, A » AB B, C A C (bắc cầu)
Số tập con của một tập hợp:Tập hợp A gồm có n phần tử thì số tập con của tập hợp A là 2n
P A
Ví dụ 5: Cho A1, 2, 3, các tập con của tập hợp A là ; 1 ; 2 ; 3 ; 1, 2 ; 1, 3 ; 2, 3 ; 1, 2, 3
tập hợp bằng nhau:
A
Tập hợp A
Trang 5AB AB
\
A B
\
A X
C X A
6 Các phép toán trên tập hợp:
a Phép giao: ABx|xA vµ xB hay x A B x A
b Phép hợp: A B x|xAhoÆcxB hay x A B x A
c Hiệu của hai tập hợp: A B\ x x| AvµxB hay A B\ x A
x B
d Phần bù: Cho tập AX , khi đó phần bù của trong là A X X A\ , kí hiệu là C X A
Vậy A \ | vµ
X
C X A x xX xA
X
A A
B
A
B B
A
BÀI TẬP ÁP DỤNG
§ BÀI TẬP VỀ TẬP HỢP BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
2 2
| 2x 1 x x 1 2x 3x 1 0
B x x x 2 2 2
Ex | x 2 vµx2 F x | x 3
2
|x 9 0
| x 1 x 6x 5 0
2
Kx|x2 víik kva 3 x 3 2
Mx |x3 víik kv a 1 k5 2 2
|x 1 0 vµx 4x 3 0
Bài 2: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
2
B x x x 2
D x
Trang 6Bài 3: Cho tập hợp Ax |x210x21 0 hoÆc x3x0
Hãy liệt kê tất cả các tập con của tập hợp chứa đúng 2 phần tử.A
Bài 4: Hãy xét quan hệ bao hàm các tập hợp sau:
A là tập hợp các tam giác
B là tập hợp các tam giác đều C là tập hợp các tam giác cân
Bài 5: Cho hai tập hợp:
An |n là ước của 6 Bn |n là ước chung của 6 và 18
Hãy xét quan hệ bao hàm của hai tập hợp trên
Bài 6: Hãy xét quan hệ bao hàm của hai tập hợp A và B dưới đây Hai tập hợp A và B có bằng nhau
không?
a A là tập các hình vuông, B là tập các hình thoi
b An |n là ước của và 6 Bn |n là ước chung của 24 và 30
Bài 7: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau đây
A là tập các hình tứ giác B là tập các hình bình hành
C là tập các hình vuông D là tập các hình chữ nhật
Bài 8: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau đây
A là tập các hình tứ giác B là tập các hình bình hành
C là tập các hình thang D là tập các hình chữ nhật
E là tập các hình vuông G là tập các hình thoi
Bài 9: Cho
T V tập hợp tất cả các tam giác vuông
T tập hợp tất cả các tam giác
T c tập hợp tất cả các tam giác cân
T d tập hợp tất cả các tam giác đều
T vc tập hợp tất cả các tam giác vuông cân Xác định tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập trên
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 10: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
A x x; 2 |x 1,0,1 B x y; |x2 y2 2 vµ ,x y
Bài 11: Viết các tập hợp sau đây bằng cách nêu tính chất đặc trưng của chúng
2, 6,12, 20, 30, 1, , , , ,
4 9 16 25
Trang 7Bài 15: Cho A 2, 5 ; B 5,x ; Cx y, , 5 Tìm các cặp số x y; để A B C.
Bài 16: Cho A1, 2, 3, 4 ; B2, 4, 3 ; C 2, 3 ; D2, 3, 5
a Tìm tất cả các tập X sao cho C X B
b Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y A
Bài 17: Cho Ax x| là ước nguyên dương của 12; Bx |x5
C1, 2, 3 và Dx |x1x2x40
a Tìm tất cả các tập X sao cho DX A
b Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y B
§ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho A1, 2, 3, 4 B2, 4, 6 C1, 3, 5
Xác định các tập hợp sau: AB A, B A, C A, C C, B C, B
Bài 2: Cho Ea b c d, , , , F b c e g, , , ,Gc d e f, , ,
Chứng minh rằng: EFG EF EG
Bài 3: Cho A1, 2, 3, 4, 5 ; B2, 4, 6,8 Hãy xác định: A B B\ , \ A
Bài 4: Cho Aa e i o, , , ; X a b c d e i o f, , , , , , , Hãy xác định A
X
C
Bài 5: Cho Ex |x8; A1, 3, 5, 7 ; B1, 2, 3, 6
a Tìm C E B,C E A,C E BC E A b Chứng minh: A B A B
E E
C C
E x x F x x B x x x x x
a Chứng minh: AE và BE
b Tìm A B và Tìm quan hệ của hai tập này
E
E
C
c Chứng minh rằng: C E A B C E A
Bài 7: Cho Ax |x6; Bx |x15;C x |x30
Chứng minh rằng: C A B
Bài 8: Hãy xác định: AA A, A A, ,A ,C A A,C A
Bài 9: Cho 2 2 2 2
Xác định các tập hợp sau: AB A B B A A, \ , \ , B
Bài 10: Cho Ax |x7 và B1, 2, 3, 6, 7,8
a Xác định các tập hợp sau: AB A, B A B B A, \ , \
b Chứng minh rằng: AB \ AB A B\ B A\
Trang 8BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 11: Cho tập A Hãy cho biết quan hệ giữa tập B và tập A nếu
A B B A B A A B A A B B A B A BA
Bài 12: Cho A và B là hai tập hợp Hãy xác định các tập hợp sau:
a ABA b ABB c A B\ B d A B\ B A\
Bài 13: Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
a AB A\ b A A B c A B A B d A B\ A
Bài 14: Chứng minh nhận định sau:
a A B A và A B B
b Ax |xlµ íc cña 6 , Bx |xlµ íc cña18 thì AB
c ABC AB AC
d P A BP A P B với P X là tập hợp các tập con của X
e Với Ax | lµ béi cña 3vµ 4x ,Bx | lµ béi x cña12 thì ta có AB
Bài 15: Tìm tập hợp X sao cho AX B với A a b, ,Ba b c d, , ,
Bài 16: Gọi N A là số phần tử tập Cho A N A 25,N B 29,N A B41
Tính N A B ,N A B\ ,N B A\
Bài 17:
a Xác định các tập hợp X sao cho a b, X a b c d e, , , ,
b Cho A 1, 2 ;B1, 2, 3, 4, 5 Xác định các tập hợp X sao cho AX B
c Tìm A B, biết A B 0,1,2,3, 4 ,A B\ 3, 2 vµ B \ A6,9,10
a Liệt kê A, B
b Chứng minh rằng: AB \ AB A B\ B A\
Bài 19: Cho tập hợp:
| 1 7 , | 29 25 6 0 , | lµ sè nguyªn tè kh«ng qu¸ 5
a Chứng minh rằng: AEvµBE b Tìm A; B; A B
E E E
Bài 20: Chứng minh rằng:
a Nếu ACvµ BD th× AB CD
Trang 9§ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ Bài 1: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số
a 3;1 0;4 b 3;1 0;4 c ;1 2; d ;1 2;
Bài 2: Cho A 2;3 vµ B 1;5 Xác định các tập hợp: AB A, B A B B, \ , \ A
Bài 3: Cho x | x 4;Bx | 2 x 1 3
Viết các tập sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng: AB A B B, \ , \ ,A \AB
Bài 4: Cho Ax | 3 x5 và Bx | 1 x5
Xác định các tập hợp: AB A, B A B B, \ , \ A
Bài 5: Cho Ax |x2 và Bx | 1 x5
Xác định các tập hợp: AB A, B A B B, \ , \ A
Bài 6: Cho A 2,7 và B 3;5 Xác định các tập hợp: AB A, B A B B, \ , \ A
Bài 7: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số
a \ 0;1 2;3 b \ 3;5 4;6
c 2;7 \ 1;3 d 1;2 3;5 \ 1;4
Bài 8: Cho Ax |1x5, Bx | 4x7 và Cx | 2x6
a Xác định các tập hợp: AB A, C B, C A, C A, \BC
b Gọi Dx | a x b Xác định a b, để D A B C
Bài 9: Viết phần bù trong các tập hợp sau:
Ax | 2 x 10B x | x 2Cx | 4 x 2 5
Bài 10: Cho Ax |x 3hoÆc x6,B x |x225 0
a Tìm khoảng – đoạn – nửa khoảng sau đây: A B B\ , \ A, \AB, \AB, \A B\
b Cho Cx |xa;Dx |xb Xác định a b, biết rằng CBvµDB là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9 Tìm CD