CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1.. Tập xác định của hàm số lượng giác: a Hàm số ytan u.. CÁC PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.
Trang 1HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)
I CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1 Tập xác định của hàm số lượng giác:
a) Hàm số ytan u Điều kiện: cosu 0 u k ,
2
k
b) Hàm số ycot u Điều kiện: sinu 0 k k u ,
c) Hàm số y g(x) Điều kiện: sinu 0 u ,
sin u
d) Hàm số y h(x) Điều kiện: cosu 0 u ,
cos u
2
k
* Các trường hợp đặc biệt: a) cosu 1 k2 k u , b) cosu -1 u k2 k ,
c) sinu 1 u k2 , d) sinu -1 u ,
2
k2 2
Ghi nhớ: a) 1 sin u1 b) 1 cos u1 c) 2 d)
0cos u1 e) 0 sin u 1 f) 0 cosu 1 g) 0 sin u 1 h) 0 cosu 1
II CÁC PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1 PT sinx = a
a) Nếu a a1 1hoặc t > 1: PT sinx = a: Vô nghiệm
b) Nếu a 1 a 11
a là những cung không đặc biệt: sinx = a x arcsin a k2 ( )
x arcsin a k2
a là những cung đặc biệt như: 1; ;
2
2
2
* sinx = a sinx = sin x k2 ( là đơn vị rađian)
* sinx = a sinx = sin ( là đơn vị độ)
0
2
k2 2
2 PT cosx = a a) Nếu a a1 1hoặc t > 1: PT cosx = a: Vô nghiệm
b) Nếu a 1 a 11
a là những cung không đặc biệt: cosx = a x = arc cos ak2
a là những cung đặc biệt như: 1; ;
2
2
2
* cosx = a cosx = cos x = k2 ( là đơn vị rađian)
* cosx = a cosx = cos x = 0( là đơn vị độ)
k360
Đặc biệt: a) cosx = 1 x = k2 b) cosx = –1 x = k2 c) cosx = 0 x k
2
3 PT tanx = a Điều kiện: cosx 0 x k , k
2
a là những cung không đặc biệt: tanx = a x = arctana + k
a là những cung đặc biệt như: 3; ; ; 0
3
Trang 2* tanx = a tanx = tan x k ( là đơn vị rađian)
* tanx = a tanx = tan 0( là đơn vị độ)
x k180
Đặc biệt: a) tanx = 0 x k b) tanx = 1 x k c) tanx = -1
4
4
4 PT cotx = a Điều kiện: sinx 0 k x , k
a là những cung không đặc biệt: cotx = a x = arccota + k
a là những cung đặc biệt như: 3; ;
3
* cotx = a cotx = cot x k ( là đơn vị rađian)
* cotx = a cotx = cot 0 ( là đơn vị độ)
x k180
2
4
4
II PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1/ PT bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác: at = b (a 0) (1), t là 1 trong những h/ số lượng giác + Bước 1: (1) t = b + Bước 2: Giải như PT lượng giác cơ bản
a
2/ PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác: at2 + bt + c = 0 (a 0) (2)
t là một trong những hàm số lượng giác
III PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx: asinx + bcosx = c (a2 + b2 0) (1)
+ Bước 1: Tính a2 b2 (nháp)
+ Bước 2: Chia 2 vế cho a2b2 , ta được: sinx + cosx =
a
b
c
a b + Bước 3: Đặt sin = , cos =
a
b
a b
a
b
+ Bước 4: Áp dụng đảo của công thức cộng
+ Bước 5: Giải PT lượng giác cơ bản
Ghi nhớ: a) sinx + cosx = 2 cos x =
4
b) sinx – cosx = 2 cos x =
4
Chú ý: Dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0
+ Bước 1: TH1: cosx = 0 x k , Khi đó: sin2x = 1
2
k
* Nếu VT VP x k không là n0 của PT * Nếu VT = VP là n0 của PT
2
2
+ Bước 2: TH2: cosx 0 x k , (chia 2 vế cho cos 2 x): PT atan2x + btanx + c = 0
2
+ Bước 3: Giải như PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác
Ghi nhớ: a) sinx – cosx = 0 tanx = 1x = k
4
b) sinx + cosx = 0 tanx = -1x = k
4
ThuVienDeThi.com
Trang 3IV CUNG LIÊN KẾT: 1 Cung đối nhau:
a) cos() = cos b) sin() = – sin c) tan() = – tan d) cot() = – cot
2 Cung bù nhau: a) cos( ) = – cos b) sin( ) = sin
c) tan( ) = – tan d) cot( ) = – cot
3 Cung hơn kém : a) cos( ) = – cos b) sin( ) = – sin
c) tan( ) = tan d) cot( ) = cot
2
2
c) tan( ) = cot d) cot( ) = tan
2
2
5 Cung hơn kém : a) cos( ) = – sin b) sin( ) = cos
2
2
2
c) tan( ) = – cot d) cot( ) = – tan
2
2
Lưu ý: a) sin( k2) = sin b) cos( k2) = cos
c) tan( k ) = tan d) cot( k ) = cot
e) sin( k ) = sin neáu k chaün f) cos( ) =
sin neáu k leû
cos neáu k chaün cos neáu k leû
V CÔNG THỨC CỘNG:
a) cos(a – b) = cosacosb + sinasinb b) cos(a + b) = cosacosb – sinasinb
c) sin(a – b) = sinacosb – cosasinb d) sin(a + b) = sinacosb + cosasinb
VI CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI:
a) sin2a = 2sinacosa b) sina = 2sin cosa a c) sin2a.cos2a =
2
1 sin 2a 4
d) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a e) tan2a = 2 tan a2
1 tan a
VII CÔNG THỨC HẠ BẬC
a) cos2a = 1 cos 2a = 1 + cos2x = 2cos2x
2
cos 2x
b) sin2a = 1 cos 2a= 1 – cos2x = 2sin2x c)
2
cos 2x
tan a
1 cos 2a
VIII CÔNG THỨC TÍNH THEO tana t
2 a) sin a 2t2 b) c)
1 t
2 2
1 t cos a
1 t
2t tan a
1 t
IX CÔNG THỨC NHÂN BA
a) sin3a = 3sina – 4sin3a sin3a =1(3sina – sin3a)
4 b) cos3a = 4cos3a – 3cosa cos3a = 1(3cosa + cos3a) c)
4
3 2
3 tan a tan a tan 3a
1 3 tan a
X CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
a) cosacosb =1[cos(a b) cos(a b)] b) sinasinb =
c) sinacosb =1[sin(a b) sin(a b)] d) cosasinb =
Trang 4XI CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
a) cosa + cosb = cosa b b) cosa – cosb = –
2
a+b
2cos 2
a b sin 2
a+b
2sin 2 c) sina + sinb = cosa b d) sina – sinb =
2
a+b
2sin 2
a b sin 2
a+b
2cos 2 e) tan a tan b sin(a b)
cos a cos b
XII CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
a) tan = sin b) cot = c) tan cot = 1
cos
cos sin
d) sin2 cos2 1 e) 2 f)
2
1
1 cot
sin
2
2
1
1 tan
cos
BÀI TẬP MẪU
I Hàm số lượng giác:
Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y 2 3sin x b) c) d)
x
sin
3
2cos 2x
3
3 y
4
1 sin x y
1 cos2x
e) y = tan 2x f) y = g) y =
6
3
4
3 3k k \ 3k ,k
3 2
6
Vậy: TXĐ: D = \ 5 k ,k
4
4
x 3 k
8
Vậy: TXĐ: D = \ 3 k ,k
8
d) ĐK: 1 cos2x 0 cos2x 1 2x k2 x k k , Vậy: TXĐ: D = \ k ,k
6 2
3
3
3
4 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y 2sin3x 5 b) c) d)
2x 3cos
3
3
5 sin x y
2 2cos 3x
4
4 y
3 3sin2x
e) y = tan x f) y = g) y =
3 3
6
ThuVienDeThi.com
Trang 5h) y 1 3sin3x i) j)
cos(2x 1) 1
5 2cosx
3sin 3 3
4
2
f) x k g) h) i) j)
2
2
3
II Phương trình lượng giác:
BÀI TẬP MẪU Bài 1: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản)
a) sin3x = 3 b) cos(2x + 1) = 3 c) sin (x – 2) = d) cos2x =
2
3
1 3
e) sin 2x = 1 f) g) tan2x = 1 h) cotx = 3
3
3x
Giải: a) sin3x = 3: VN (vì 3 > 1) b) cos(2x + 1) = 3: VN (vì )
2
2
3
2
x 2 acrsin k2
3 2
3
2
x 2 acrsin k2
3 2
3
k
3
3
3
3 2
6
12
k
k
4
Bài 2: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản)
a) sin 2x 0 b) c) d) tan(2x + 1) = 0
3
cos
sin(2x 40 )
2
e) cosx 2 f) g) h)
3
3
3
11
8 5
8
c) sin(2x 40 )0 3
2
sin(2x 40 ) sin( 60 ) 0 0
,
x 100 k180
Trang 6d) tan(2x + 1) = 02x + 1 = k x = 1 k ,
3 2
x
4
6
6 3
g) cot(200 2x) 3
3
cot(200 2x) cot 60 0 200 2x 60 0 k1800 x 200 k900
6
6
Bài 3: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác thường gặp)
a) 3cosx + 7 = 0 b) 2sin2x 2 0 c) 2cos 2x 1 0 d)
4
e) 3tan 3x 3 0 f) g)
0
2cot(2x 15 ) 2 0 3 3 tan 30 0 x0
3
3
2
sin2x sin
4
4
4
8 3
8
k
c) 2cos 2x 1 0
4
1 cos 2x
,
4 3
7
12
12
7
24
24
k
d) 3cos3x 1 0 cos3x 1
3
3
tan
3x
,
f) 2cot(2x 15 ) 0 2 0 cot(2x 15 )0 2
2
cot(2x 15 ) cot 45 0 0
,
2x 15 0 450 k1800 x 30 0 k900 k
g) 3 3 tan 30 0 x 0 tan 30 0 x 3 tan 30 0 xtan600
,
300 x 600 k1800 x 300 k900 k
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) sin 2x sin x b) c) cos(2x – ) – sin3x = 0
4
d) sin3x = sin2x e) cos3x = cosx f) cos5x + cos2x = 0
g) sin3x – cos5x = 0 h) sin4x + cos2x = 0 i) sin3x + sinx = 0
ThuVienDeThi.com
Trang 7Giải: a) sin 2x sin x ,
7
12
k
4
4
4
k
c) cos(2x – ) – sin3x = 0 cos(2x – ) = sin3x cos = cos
3
3
3
2
2x
3
2
2
6
k
x k2
2
k
e) cos3x = cosx 3x = x + k2 3x x k2 ,
x k
x k 2
k
f) * Cách 1: cos5x + cos2x = 0cos5x = – cos2x cos5x = cos( – 2x)
2
2
k
* Cách 2: cos5x + cos2x = 02cos7xcos = 0
2
3x 2
7x
2
3x
2
2
2
g) sin3x – cos5x = 0sin3x = cos5x sin3x = sin 5x
2
,
2
2
4
k
Ghi nhớ: a) sinu = sinv u v k2 b) cosu = cosv u = v +
c) tanu = tanv u = v + k d) cotu = cotv u = v + k
e) cosu = – cosv cosu = cos( – v) f) sinu = – sinv sinu = sin(–v) g) cosu = sinv cosu = cos v h) sinu = cosv sinu = sin
2
2
i) tanu = – tanvtanu = tan(–v) j) cotu = tanv cotu = cot v
2
Trang 8h) sin3x + sinx = 0sin3x = –sinx sin3x = sin(–x) 3x x k2 ,
x k 2
2
k
Bài 5: Giải các phương trình sau: (PT đưa về dạng PT tích)
a) cosx(sin2x + 1) = 0 b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0 c) 2sin2xsin x 3 sin x 0 d) cos2x – cos3x + cos4x = 0 e) sin5x + sin3x – cosx = 0 f) cos2x + sin4x = 0 g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
sin2x 1 0
2
2
4
k
b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0 sin x cosx 0
2cos2x 1 0
* sinx + cosx = 0 tanx + 1 = 0 tanx = -1 x k ,
4
k
3
6
k
c) 2sin2xsin x 3 sin x 0 sinx(2sin2x – 3) = 0 sin x 0
* sinx = 0 x = k k ,
2
3
3
3
6
3
k
d) cos2x + cos3x + cos4x = 0cos4x + cos2x + cos3x = 0 2cos3xcosx + cos3x = 0
cos3x 0
1 cosx
2
2 2 cosx cos
3
2
3
k
e) sin5x + sin3x – cosx = 02sin4xcosx – cosx = 0cosx(2sin4x – 1) = 0
,
cosx 0
1 sin 4x
2
2 sin 4x sin
6
2
6
6
2
5
k
f) cos2x + sin4x = 0cos2x + 2sin2xcos2x = 0 cos2x(1 + 2sin2x) = 0
ThuVienDeThi.com
Trang 9,
cos2x 0
1 sin2x
2
2 sin2x sin( )
6
6
6
12 7
12
k
g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (cos3x – cosx) + (cos2x – 1) = 0– 2sin2xsinx – 2sin2x = 0 2sinx(sin2x + sinx) = 0
sin2x sin x
x k sin2x sin( x)
x k
,
x k
3x k2
x k 2
x k 3
k
h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinxcosx – sinx (2cosx – 1)(2sinx + cosx) – sinx(2cosx – 1) = 0 (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0
,
1
cosx
2
sin x cosx
cosx cos
3 tan x 1
3
4
k
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) cos3xsin2x = cos5xsin4x b) 2cos2x 0 c) cos2xtanx = 0
1 sin2x
Giải: a) cos3xsin2x = cos5xsin4x 1(sin5x – sinx) = (sin9x – sinx)
2
1 2
x k 2
k
b) 2cos2x 0 ĐK: sin2x 1
2
2
x k (loại) 4
4
k
c) cos2xtanx = 0 ĐK: cosx 0
cos2x.sin x 0
cos2x 0 sin x 0
2
x k
x k
k
Bài 7: Giải các phương trình sau: (PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác)
a) 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 b) 2cos2 x 2 cosx 2 0 c) 3tan2x – 2 tanx + 3 = 0
d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 0 e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0 f) 2tanx – 3cotx – 2 = 0
Trang 101 sin x
2 sin x 2(loại)
6
,
6
6
6 5
6
k
* Cách 2: Đặt t = sinx, 1 t 1 PT trở thành: 2t2 + 3t – 2 = 0
1 t 2
t 2(loại)
2
6
6
6
6 5
6
k
b) 2cos2 x 2 cosx 2 0
cos
x cos 2 (loại) 2
cosx cos
,
2
k
c) 3tan2x – 2 3tanx + 3 = 0
3 tan x
3 tan x 3
tan x tan( )
6 tan x tan
3
6
3
d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 06(1 – sin2x) + 5sinx – 2 = 0– 6sin2x + 5sinx + 4 = 0
1 sin x
2 4
sin x (loại)
3
6
6
6
6 5
6
k
e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 05(1 – cos2x) + 3cosx + 3 = 0–5cos2x + 3cosx + 8 = 0
8
cosx (loại)
5
k2 k
f) 2tanx – 4cotx – 2 = 0 2 4cot x 2 0 – 4cot2x – 2cotx + 2 = 0
,
cot x 1
1
cot x
2
4 1
x arctan k
2
k
Bài 8: Giải các phương trình sau: (PT bậc nhất đối với sinx và cosx)
a) sinx + cosx = 2 b) cosx – 3sinx = 1 c) 3sin2x + 4cos2x = 5
d) 3sinx – cosx = 2 e) 2sin2x + 3sin2x = 3 f) cos3x – sinx = 3(cosx – sin3x)
ThuVienDeThi.com
Trang 11Giải: a) * Cách 1: sinx + cosx = 2 1 sinx + cosx = 1 (chia 2 vế cho )
2
1 2
2 2
1 1 2
4
4
1 4
4
k
* Cách 2: sinx + cosx = 2 1 sinx + cosx = 1 sinxsin + cosxcos = 1
2
1
4
4
4
4
4
4
k
4
,
4
4
b) * Cách 1: cosx – 3sinx = 1 1cosx – sinx = cosxcos – sinxsin =
2
3 2
1
2
3
3
2
,
x k2 2
3
k
* Cách 2: cosx – 3sinx = 1 1cosx – sinx = sin cosx – cos sinx =
2
3 2
1
2
6
6
2
6
x k2 2
3
k
c) 3sin2x + 4cos2x = 5 3sin2x + cos2x = 1 Đặt: cos = ; sin =
5
4
5 (1)sin2xcos + cos2xsin = 1sin(2x + ) = 1 2x + = k2
2
k
d) * Cách 1: 3sinx – cosx = 2 3sinx – cosx = 1 sinxsin – cosxcos = 1
2
1
3
3
3
3
3
k
* Cách 2: 3sinx – cosx = 2 3sinx – cosx = 1 sinxcos – cosxsin = –1
2
1
6
6
2
3
e) 2sin2x + 3sin2x = 3 2.1 cos2x 3 sin2x 3
2
sin2x – cos2x = 1 sin2xcos – cos2xsin = –1
2
1
6
Trang 126
2
6
k
f) cos3x – sinx = 3(cosx – sin3x) cos3x – sinx = 3cosx – 3sin3x
cos3x + sin3x = sinx + cosx
cos3xcos + sin3xsin = cosxcos + sinxsin cos = cos
3
3
6
6
3
6
,
12
k
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) sin 2x 1 b) c) tan2x = 0 d) cot = 0
3
0
2 e) cos 2x 3 f) g) tan(2x + 1) = 2 h) cot3x = –5
2 sin3x
3
ĐS: a) x 5 k b) c) d) e) Vô nghiệm
12
2
1 1
Bài 2: Giải các phương trình sau:
2
2
4
cot 2x
2
2
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 2sin x 2 0 b) c)
4
0
2cos(3x 45 ) 3 0 3 cot x 200 3 0
3
d) 2cos 2x 2 0 e) f)
4
0
x
2
3
ĐS: a) x k2 b) c)
2
x 150 k540
d) x k e) f)
4
x k
ThuVienDeThi.com