CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH.[r]
Trang 1HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)
I CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1 Tập xác định của hàm số lượng giác:
a) Hàm số y tan u Điều kiện: cosu 0 u 2 k
, k b) Hàm số y cot u Điều kiện: sinu 0 u k , k
c) Hàm số
g(x) y
sin u
Điều kiện: sinu 0 u k , k d) Hàm số
h(x) y
cos u
Điều kiện: cosu 0 u 2 k
, k
* Các trường hợp đặc biệt: a) cosu 1 u k2 , k b) cosu -1 u k2 , k c) sinu 1 u 2 k2
, k d) sinu -1 u 2 k2
, k
Ghi nhớ: a) 1 sin u 1 b) 1 cos u 1 c) 0 sin u 1 2 d) 0 cos u 1 2 e) 0sin u 1 f) 0 cosu 1 g) 0 sin u 1 h) 0 cosu 1
II CÁC PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1 PT sinx = a
a) Nếu a a1 hoặc t > 1: PT sinx = a: Vô nghiệm1
b) Nếu a 1 1 a 1
a là những cung không đặc biệt: sinx = a
x arcsin a k2
x arcsin a k2
a là những cung đặc biệt như:
1 2
;
3 2
;
2 2
* sinx = a sinx = sin
( là đơn vị rađian)
* sinx = a sinx = sin
0
Đặc biệt: a) sinx = 1 x = 2 k2
b) sinx = –1 x = 2 k2
c) sinx = 0 x = k
2 PT cosx = a a) Nếu a a1 hoặc t > 1: PT cosx = a: Vô nghiệm1
b) Nếu a 1 1 a 1
a là những cung không đặc biệt: cosx = a x = arccosa k2
a là những cung đặc biệt như:
1 2
;
3 2
;
2 2
* cosx = a cosx = cos x = k2 ( là đơn vị rađian)
* cosx = a cosx = cos x = k3600( là đơn vị độ)
Đặc biệt: a) cosx = 1 x = k2 b) cosx = –1 x = k2 c) cosx = 0 x 2 k
3 PT tanx = a Điều kiện: cosx 0 x 2 k
, k
Trang 2 a là những cung đặc biệt như:
3 3
; 3; 1 ; 0
* tanx = a tanx = tan x ( là đơn vị rađian)k
* tanx = a tanx = tan x k1800( là đơn vị độ)
Đặc biệt: a) tanx = 0 x k b) tanx = 1 x k
4
c) tanx = -1 x k
4
4 PT cotx = a Điều kiện: sinx 0 x k , k
a là những cung không đặc biệt: cotx = a x = arccota + k
a là những cung đặc biệt như:
3 3
; 3; 1
* cotx = a cotx = cot x ( là đơn vị rađian)k
* cotx = a cotx = cot x k1800 ( là đơn vị độ)
Đặc biệt: a) cotx = 0 x k
2
b) cotx = 1 x k
4
c) cotx = -1 x k
4
II PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1/ PT bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác: at = b (a 0) (1), t là 1 trong những h/ số lượng giác
+ Bước 1: (1) t =
b
a + Bước 2: Giải như PT lượng giác cơ bản
2/ PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác: at2 + bt + c = 0 (a 0) (2)
t là một trong những hàm số lượng giác
III PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx: asinx + bcosx = c (a2 + b2 0) (1)
+ Bước 1: Tính a2 b2 (nháp)
+ Bước 2: Chia 2 vế cho a2 b2 , ta được: 2 2
a
a b sinx + 2 2
b
a b cosx = 2 2
c
a b + Bước 3: Đặt sin = 2 2
a
a b , cos = 2 2
b
a b (Nếu 2 2
a
a b , 2 2
b
a b là những cung đặc biệt thì ta viết: sin sin , cos cos ) + Bước 4: Áp dụng đảo của công thức cộng
+ Bước 5: Giải PT lượng giác cơ bản
Ghi nhớ: a) sinx + cosx =
2 cos x
4
= 2 sin x 4
b) sinx – cosx = 2 cos x 4
= 2 sin x 4
Chú ý: Dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0
+ Bước 1: TH1: cosx = 0 x 2 k
, k Khi đó: sin2x = 1
* Nếu VT VP x 2 k
không là n0 của PT * Nếu VT = VP x 2 k
là n0 của PT + Bước 2: TH2: cosx 0 x 2 k
, k (chia 2 vế cho cos 2 x): PT atan2x + btanx + c = 0
Trang 3+ Bước 3: Giải như PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
Ghi nhớ: a) sinx – cosx = 0 tanx = 1 x = k
4
b) sinx + cosx = 0 tanx = -1 x = k
4
IV CUNG LIÊN KẾT: 1 Cung đối nhau:
a) cos( ) = cos b) sin( ) = – sin c) tan( ) = – tan d) cot( ) = – cot
2 Cung bù nhau: a) cos( ) = – cos b) sin( ) = sin
c) tan( ) = – tan d) cot( ) = – cot
3 Cung hơn kém : a) cos( ) = – cos b) sin( ) = – sin
c) tan( ) = tan d) cot( ) = cot
4 Cung phụ nhau: a) sin( 2
) = cos b) cos( 2
) = sin c) tan( 2
) = cot d) cot( 2
) = tan
5 Cung hơn kém 2
: a) cos( 2
) = – sin b) sin( 2
) = cos c) tan( 2
) = – cot d) cot( 2
) = – tan
Lưu ý: a) sin( k2 ) = sin b) cos( k2 ) = cos
c) tan( ) = tan d) cot(k ) = cot k
e) sin( ) = k
sin neáu k chaün sin neáu k leû
f) cos( ) = k
cos neáu k chaün cos neáu k leû
V CÔNG THỨC CỘNG:
a) cos(a – b) = cosacosb + sinasinb b) cos(a + b) = cosacosb – sinasinb
c) sin(a – b) = sinacosb – cosasinb d) sin(a + b) = sinacosb + cosasinb
VI CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI:
a) sin2a = 2sinacosa b) sina =
2sin cos
2 2 c) sin2a.cos2a =
2
1 sin 2a 4
d) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a e) tan2a = 2
2 tan a
1 tan a
VII CÔNG THỨC HẠ BẬC
a) cos2a =
1 cos 2a
2
=
1 1 cos 2x
2 2 1 + cos2x = 2cos2x b) sin2a =
1 cos 2a
2
=
1 1 cos 2x
2 2 1 – cos2x = 2sin2x c)
2 1 cos 2a tan a
1 cos 2a
VIII CÔNG THỨC TÍNH THEO
a tan t
2
2t
sin a
1 t
b)
2 2
1 t cosa
1 t
c) 2
2t tan a
1 t
IX CÔNG THỨC NHÂN BA
Trang 4a) sin3a = 3sina – 4sin3a sin3a =
1
4 (3sina – sin3a) b) cos3a = 4cos3a – 3cosa cos3a =
1
4 (3cosa + cos3a) c)
3 2
3tan a tan a tan 3a
1 3tan a
X CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
a) cosacosb =
1 [cos(a b) cos(a b)]
2 b) sinasinb =
1 [cos(a b) cos(a b)]
c) sinacosb =
1 [sin(a b) sin(a b)]
2 d) cosasinb =
1 [sin(a b) sin(a b)]
XI CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
a) cosa + cosb =
a b cos 2
a+b
2cos
2 b) cosa – cosb = –
a b sin 2
a+b 2sin 2 c) sina + sinb =
a b cos 2
a+b
2sin
2 d) sina – sinb =
a b sin 2
a+b 2cos 2 e)
sin(a b) tan a tan b
cosa cos b
XII CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
a) tan =
sin
cos
b) cot =
cos sin
c) tan cot = 1 d) sin2 cos2 e) 1
2
2
1
1 cot
sin
f)
2
2
1
1 tan
cos
BÀI TẬP MẪU
I Hàm số lượng giác:
Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:
a)
2 3sin x
sin
3
b)
sinx 2 y
2cos 2x
3
c)
3 y
4
d)
1 sin x y
1 cos2x
e) y =
tan 2x
6
f) y = 6cot x
3
g) y = tan 3x sin2x
4
Giải: a) ĐK: x k
3 x 3k , k Vậy: TXĐ: D = \ 3k ,k
3 2
5
6
5
, k
Vậy: TXĐ: D =
5
c) ĐK:
4
4
3
8
, k Vậy: TXĐ: D =
3
8
d) ĐK: 1 cos2x 0 cos2x 1 2x k2 x k , k Vậy: TXĐ: D = \ k ,k
Trang 5e) ĐK: 2x k
6 2
, k Vậy: TXĐ: D = \ k ,k
f) ĐK: x k
3
3
, k Vậy: TXĐ: D =
3
4 2
, k Vậy: D =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:
a)
2sin3x 5
3cos
3
b)
cosx 1 y
3
c)
5 sin x y
2 2cos 3x
4
d)
4 y
3 3sin2x
e) y =
x
tan
3 3
f) y = 3 cot 2x
g) y = tan 2x 3cos5x
6
h)
1 3sin3x
y
cos(2x 1) 1
i)
5 2cosx
3sin 3 3
j)
ĐS: a)
b) x k
c)
2
d) x k
4
e) 5
2
g) x k
h)
1
2
i)
3
2
j)
8
3
II Phương trình lượng giác:
BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản)
a) sin3x = 3 b) cos(2x + 1) =
3 2
c) sin (x – 2) =
2
3 d) cos2x =
1 3
e) sin
2x
3
= 1 f)
3x
g) tan2x = 1 h) cotx = 3
Giải: a) sin3x = 3: VN (vì 3 > 1) b) cos(2x + 1) =
3 2
: VN (vì
2
)
c) sin (x – 2) =
2
3
2
x 2 acrsin k2
3 2
3
2
x 2 acrsin k2
3 2
3
d) cos2x =
1 3
1
3
, k
e) sin 2x
3
3 2
2x = k2
6
x = k
12
, k f)
3x
x =
5 k4
, k
Trang 6g) tan2x = 1 2x k
4
, k h) cotx = 3 x arccot 3 k , k
Bài 2: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản)
a)
3
b)
cos
c)
sin(2x 40 )
2
d) tan(2x + 1) = 0 e)
cos
3 2 f) tan(3x 6) 3
g)
cot(20 2x)
3
h) cot(3x 1) 3
Giải: a)
3
3
, k
b)
cos
11
8 5
8
c)
sin(2x 40 )
2
sin(2x 40 ) sin( 60 ) 0 0
2x 200 k360
x 100 k180
d) tan(2x + 1) = 0 2x + 1 = k x = 1 k
, k e)
cos
3 2
x
3
4
, k f) tan(3x ) 3
6
tan(3x ) tan
6 3
, k g)
cot(20 2x)
3
cot(200 2x) cot 60 0 200 2x 60 0 k1800 x200 k900
h) cot(3x 1) 3 cot(3x 1) cot
6
6
1
, k
Bài 3: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác thường gặp)
a) 3cosx + 7 = 0 b) 2sin 2x 2 0 c) 2cos 2x 1 0
4
d) 3cos3x 1 0
e)
3x
f) 2cot(2x 15 ) 0 2 0 g) 3 3 tan 30 0 x 0
Giải: a) 3cosx + 7 = 0 cosx =
7 3
: VN (vì
3
)
b) 2sin 2x 2 0
2 sin2x
2
sin2x sin
4
4
4
8 3
8
c)
4
1 cos 2x
Trang 74 3
7
12
12
7
24
24
d) 3cos3x 1 0
1 cos3x
3
1
3
e)
3x
tan
3x
2
, k f) 2cot(2x 15 ) 0 2 0
cot(2x 15 )
2
cot(2x 15 ) cot 45 0 0
2x 15 0 450 k1800 x 30 0 k900, k
g) 3 3 tan 30 0 x 0 tan 30 0 x 3 tan 30 0 x tan600
300 x 60 0 k1800 x300k900, k
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) sin 2x sin x
b) tan x t an2x
4
c) cos(2x – 3
) – sin3x = 0 d) sin3x = sin2x e) cos3x = cosx f) cos5x + cos2x = 0
g) sin3x – cos5x = 0 h) sin4x + cos2x = 0 i) sin3x + sinx = 0
Giải: a) sin 2x sin x
7
12
b)
4
4
= 2x + k –3x = k
4
, k c) cos(2x – 3
) – sin3x = 0 cos(2x – 3
) = sin3x cos
2x 3
2
Ghi nhớ: a) sinu = sinv
u v k2
b) cosu = cosv u = v + k2 c) tanu = tanv u = v + k d) cotu = cotv u = v + k
e) cosu = – cosv cosu = cos( – v) f) sinu = – sinv sinu = sin(–v)
g) cosu = sinv cosu = cos
v 2
h) sinu = cosv sinu = sin v
2
i) tanu = – tanv tanu = tan(–v) j) cotu = tanv cotu = cot
v 2
Trang 8 2x
3
=
3x 2
+ k2
3 2
2
6
d) sin3x = sin2x
3x 2x k2
x k2
2
e) cos3x = cosx 3x = x + k2
3x x k2
x k
x k 2
, k
f) * Cách 1: cos5x + cos2x = 0 cos5x = – cos2x cos5x = cos( – 2x)
5x = ( 2x) + k2
2
2
* Cách 2: cos5x + cos2x = 0 2cos
7x
2 cos
3x
2 = 0
7x
2
3x
2
2
2
g) sin3x – cos5x = 0 sin3x = cos5x sin3x = sin
5x 2
2
2
4
h) sin3x + sinx = 0 sin3x = –sinx sin3x = sin(–x)
x k 2
2
Bài 5: Giải các phương trình sau: (PT đưa về dạng PT tích)
a) cosx(sin2x + 1) = 0 b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0 c) 2sin 2xsin x 3sinx 0 d) cos2x – cos3x + cos4x = 0 e) sin5x + sin3x – cosx = 0 f) cos2x + sin4x = 0
g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
Giải: a) cosx(sin2x + 1) = 0
cosx 0 sin2x 1 0
* cosx = 0 x k
2
, k * sin2x = – 1 2x k2
2
4
, k b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0
sinx cosx 0 2cos2x 1 0
Trang 9* sinx + cosx = 0 tanx + 1 = 0 tanx = -1 x k
4
, k
* cos2x =
1
2 cos2x = cos3
3
6
, k c) 2sin 2xsin x 3sinx 0 sinx(2sin2x – 3 ) = 0
sinx 0 2sin2x 3 0
* sinx = 0 x = k , k
*
3
sin2x
2
sin2x = sin
3
3
3
6
3
d) cos2x + cos3x + cos4x = 0 cos4x + cos2x + cos3x = 0 2cos3xcosx + cos3x = 0
cos3x(2cosx + 1) = 0
cos3x 0
1 cosx
2
2 2 cosx cos
3
2
3
e) sin5x + sin3x – cosx = 0 2sin4xcosx – cosx = 0 cosx(2sin4x – 1) = 0
cosx 0
1 sin4x
2
2 sin4x sin
6
2
6
6
2
5
f) cos2x + sin4x = 0 cos2x + 2sin2xcos2x = 0 cos2x(1 + 2sin2x) = 0
cos2x 0
1 sin2x
2
2 sin2x sin( )
6
6
6
12 7
12
g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (cos3x – cosx) + (cos2x – 1) = 0 – 2sin2xsinx – 2sin2x = 0
2sinx(sin2x + sinx) = 0
sinx 0 sin2x sin x
x k sin2x sin( x)
x k
x k
3x k2
x k 2
x k
3
h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinxcosx – sinx
(2cosx – 1)(2sinx + cosx) – sinx(2cosx – 1) = 0 (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0
Trang 101
cosx
2
sinx cosx
cosx cos
3 tan x 1
3
4
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) cos3xsin2x = cos5xsin4x b)
2cos2x 0
1 sin2x c) cos2xtanx = 0
Giải: a) cos3xsin2x = cos5xsin4x
1
2 (sin5x – sinx) =
1
2 (sin9x – sinx)
sin5x = sin9x
5x 9x k2
x k 2
, k
b)
2cos2x 0
1 sin2x ĐK: sin2x 1
2cos2x = 0 cos2x = 0
2
2
x k (loại) 4
4
c) cos2xtanx = 0 ĐK: cosx 0
cos2x.sinx 0
cosx cos2xsinx = 0
cos2x 0 sinx 0
2
x k
x k
Bài 7: Giải các phương trình sau: (PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác)
a) 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 b)
2 x
2 c) 3tan2x – 2 3 tanx + 3 = 0 d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 0 e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0 f) 2tanx – 3cotx – 2 = 0
Giải: a) * Cách 1: 2sin2x + 3sinx – 2 = 0
1 sinx
2 sinx 2(loại)
6
6
6
6 5
6
* Cách 2: Đặt t = sinx, 1 t 1 PT trở thành: 2t2 + 3t – 2 = 0
1 t 2
t 2(loại)
Suy ra: sinx =
1 2
sinx = sin
6
6
6
6 5
6
Trang 11b)
cos
x cos 2 (loại) 2
x
2
, k
c) 3tan2x – 2 3 tanx + 3 = 0
3 tan x
3 tan x 3
tan x tan( )
6 tan x tan
3
6
3
d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 0 6(1 – sin2x) + 5sinx – 2 = 0 – 6sin2x + 5sinx + 4 = 0
1 sinx
2 4
sinx (loại)
3
6
6
6
6 5
6
e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0 5(1 – cos2x) + 3cosx + 3 = 0 –5cos2x + 3cosx + 8 = 0
cosx 1
8
cosx (loại)
5
x = k2 , k
f) 2tanx – 4cotx – 2 = 0
2 4cot x 2 0 cot x – 4cot2x – 2cotx + 2 = 0
cot x 1
1
cot x
2
4 1
x arctan k
2
Bài 8: Giải các phương trình sau: (PT bậc nhất đối với sinx và cosx)
a) sinx + cosx = 2 b) cosx – 3 sinx = 1 c) 3sin2x + 4cos2x = 5
d) 3 sinx – cosx = 2 e) 2sin2x + 3 sin2x = 3 f) cos3x – sinx = 3 (cosx – sin3x)
Giải: a) * Cách 1: sinx + cosx = 2
1
2 sinx +
1
2 cosx = 1 (chia 2 vế cho 12 12 2)
sinxcos 4
+ cosxsin 4
= 1
4
x = 4 k2
, k
* Cách 2: sinx + cosx = 2
1
2 sinx +
1
2 cosx = 1 sinxsin 4
+ cosxcos 4
= 1
cosxcos 4
+ sinxsin 4
= 1 cos
x 4
= 1 x
4
= k2 x = k2
4
, k
* Cách 3: sinx + cosx = 2
4
4
4
4
, k