a) Cho bằng công thức của số hạng tổng quát b) Cho bằng phương pháp mô tả c) Cho bằng phương pháp truy hồi. 4.[r]
Trang 1HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)
I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
* Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1
* Bước 2: Giả sử mệnh đề P(n) đúng với mọi n = k 1 (xem đây là giả thiết để c/m bước 3)
* Bước 3: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với n = k + 1
Vậy: P(n) đúng với mọi n (đpcm)*
Phương pháp chứng minh trên gọi là phương pháp quy nạp toán học
1 Bài tập mẫu:
Bài 1: Chứng minh rằng với n , ta có: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n* 2 (1)
+ B2: Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Sk = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2
+ B3: Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là:
Sk + 1 = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 = k2 + 2k + 1
Thật vậy: Sk + 1 = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1]
= Sk + [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 (1) đúng khi n = k + 1
Vậy: (1) đúng với n (đpcm)*
Bài 2: Chứng minh rằng với n thì 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) = *
n(3n 1) 2
(1)
2
VT = VP (1) đúng + Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Sk = 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) =
k(3k 1) 2
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là:
Sk + 1 = 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)] =
2
Thật vậy: Sk + 1 = 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)]
= Sk + [3(k + 1) – 1)] =
k(3k 1) 2
+ (3 k + 2) =
2
2
(1) đúng khi n = k + 1 Vậy: (1) đúng với n (đpcm)*
Bài 3: Chứng minh rằng với n thì n* 3 – n chia hết cho 3 (1)
+ Khi n = 1: A1 = 13 – 1 = 03 (1) đúng
+ Giải sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Ak = k3 – k3
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: Ak + 1 = (k + 1)3 – (k + 1)3
Thật vậy: Ak + 1 = (k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 = k3 + 3k2 + 2k
= (k3 – k) + (3k2 + 3k) = Ak + 3k(k + 1)
Mà Ak3 và 3k(k + 1)3 nên: Ak + 1 = (k + 1)3 – (k + 1)3 (1) đúng khi n = k + 1
Vậy: (1) đúng với n (đpcm)*
Bài 4: Chứng minh rằng với n thì 4.6* n + 5n – 4 chia hết cho 5 (1)
+ Khi n = 1: A1 = 4.61 + 51 – 4 = 255 (1) đúng
+ Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Ak = 4.6k + 5k – 45
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: Ak + 1 = 4.6k + 1 + 5k + 1 – 45
Thật vậy: Ak + 1 = 4.6k + 1 + 5k + 1 – 4 = 4.6k.6 + 5k.5 – 4 = 24.6k + 5k.5 – 4
= (4.6k + 5k – 4) + (20.6k + 4.5k) = Ak + 5(4.6k + 4.5k – 1)
Mà: Ak5 và 5(4.6k + 4.5k – 1)5 nên: Ak + 1 = 4.6k + 1 + 5k + 1 – 45 (1) đúng khi n = k + 1
Trang 2Vậy: (1) đúng với n (đpcm)*
Bài 5: Cho tổng Sn =
1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) a) Tính S1, S2, S3, S4
S
1.3 3
2
S
3 3.5 15 5
3
S
5 3.7 35 7
4
S
7 7.9 63 9
b) Dự đoán: Sn =
1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) =
n 2n 1 (1) + Khi n = 1: VT =
1
3 , VP =
1
3 VT = VP (1) đúng + Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Sk =
1.3 3.5 5.7 (2k 1)(2k 1) =
k 2k 1 + Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là:
Sk + 1 =
1.3 3.5 5.7 (2k 1)(2k 1) [2(k 1) 1][2(k 1) 1] =
2(k 1) 1 2k 3
Thật vậy: Sk + 1 =
1.3 3.5 5.7 (2k 1)(2k 1) [2(k 1) 1][2(k 1) 1]
= Sk +
1 [2(k 1) 1][2(k 1) 1] =
k 2k 1 +
1 (2k 1)(2k 3)
=
2
(2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3) 2k 3
Vậy: (1) đúng với n (đpcm)*
2 Bài tập tự luyện
Bài 1: Chứng minh rằng với n thì: a) 1 + 2 + 3 + … + n = *
n(n 1) 2
b)
n
c)
6
d) 3 + 9 + 27 + … + 3n =
n 1
1 (3 3) 2
e) 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 =
2
n(4n 1) 3
f) 13 + 23 + 33 + … + n3 =
n (n 1) 4
g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) =
n(n 1)(n 2) 3
h)
Bài 2: Chứng minh rằng với n thì: a) n* 3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3
b) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 c) n3 + 11n chia hết cho 6 d) 11n + 1 + 122n – 1 chia hết cho 133 e) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6
f) 13n – 1 chia hết cho 6 g) 3n3 + 15n chia hết cho 9
Bài 3: Cho tổng Sn =
1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4n 1) ĐS: S n =
n 4n 1
Trang 3a) Tính S1, S2, S3, S4
Bài 4: Cho tổng Sn =
1.2 2.3 3.4 n(n 1) ĐS: S n =
n
n 1
a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp
II DÃY SỐ:
Viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …, un, …
Trong đó u1 là số hạng đầu; un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số
Viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …, um Trong đó: u1 là số hạng đầu; um là số hạng cuối
3 Cách cho một dãy số:
a) Cho bằng công thức của số hạng tổng quát b) Cho bằng phương pháp mô tả
c) Cho bằng phương pháp truy hồi
4 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn:
a) Dãy số (un) gọi là dãy số tăng nếu un + 1 > un hoặc un + 1 – un > 0 với n *
b) Dãy số (un) gọi là dãy số giảm nếu un + 1 < un hoặc un + 1 – un < 0 với n *
c) Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu một số M: un M, n *
d) Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu một số m: un m, n *
e) Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: m unM, n *
Bài tập mẫu:
Bài 1: Viết 5 số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
a)
n
3n ( 1)
u
b) n 2
2n 1 u
n
c)
n
3 n u
2
Giải: a) 5 số hạng đầu là:
2; 1; 8 13 2; ;
5 13 15 3 b) 5 số hạng đầu là: 3;
5
4 ;
7
9 ;
9
16 ;
11 25 c) 5 số hạng đầu là:
3
2 ;
9 2
4 ;
27 3
8 ;
81
8 ;
243 5 32
Bài 2: Cho dãy số
1
n 1 n
u 1
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = n2 (1)
Giải: a) 5 số hạng đầu là: 1, 4, 9, 16, 25
b) + Khi n = 1, ta có: u1 = 12 = 1 (1) đúng
+ Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: uk = k2
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: uk + 1 = (k + 1)2
Thật vậy: uk + 1 = uk + 2k + 1 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 (1) đúng khi n = k + 1
Vậy: (1) đúng khi n *
Bài 3: Cho dãy số (un) với un =
2n 1 2n 1
a) Tìm 6 số hạng đầu của dãy số b) Tìm xem
31
29 là số hạng thứ mấy của dãy số
Giải: a) 6 số hạng đầu là: 3;
5
3 ;
7
5 ;
9
7 ;
11
9 ;
13 11 b) Ta có:
2n 1 31
2n 1 29
31
29 là số hạng thứ 15
Trang 4Bài 4: Cho dãy số (un) xác định như sau:
1
n 1
n
1
u
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp un =
n 1 n
(1) c) Tìm số hạng thứ 101 của dãy số
Giải: a) 6 số hạng đầu của dãy số là: 2;
3
2 ;
4
3 ;
5
4 ;
6
5 ;
7 6 b) + Khi n = 1: u1 = 1 1 2
1
(1) đúng + Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: uk =
k 1 k
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: uk + 1 =
(k 1) 1 k 2
Thật vậy: uk + 1 = 2 – k
1
u = 2 – k 1k =
k 2
k 1
(1) đúng khi n = k + 1 Vậy: (1) đúng khi n * c) Số hạng thứ 101 là: u101 =
101 1 102
* Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số (u n )
1) Cách 1: + Lập hiệu H = un + 1 – un và xét dấu biểu thức này
+ Nếu H > 0, thì dãy số (un * n) tăng + Nếu H < 0, thì dãy số (un * n) giảm
2) Cách 2: + Lập tỷ số T =
n 1 n
u
u (với ĐK u
n > 0, )n * + Nếu T > 1, thì dãy số (un * n) tăng + Nếu T < 1, thì dãy số (un * n) giảm
Bài 5: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:
a) un = 2n – 1 b) un = n
n
3 c)
n
2 1 u
2 1
d) n
n 1 u
n 2
e)
n n
n
n 1
Suy ra: H > 0 un + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
Cách 2: Vì un > 0, : Xét tỷ số: T = n *
n 1 n
Do
2n 1
2n 1
> 1, T > 1 un * n + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
Do – 2n + 1 < 0 và 32n + 1 > 0, n * 2n 1
2n 1
< 0 , H < 0 un * n + 1 < un Vậy: Dãy số (un) là dãy số giảm
Cách 2: Vì un > 0, : Xét tỷ số: T = n *
n
n 1
n 1 n
Do
n 1
3n
< 1, T < 1 un * n + 1 < un Vậy: Dãy số (un) là dãy số giảm
Trang 5c) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un =
=
Do 2n + 1 > 0 và (2n + 1 + 1)(2n + 1) > 0, n *
n 2 n 1
H > 0 un + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
Cách 2: Vì un > 0, : Xét tỷ số: T = n *
n 1
n
Do
2n 1 n 1 n
2n 1 n 1 n
, T > 1 un * n + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
d) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un =
n 1 1 n 2
n 1 2 n 3
Do n + 2 > 0 và n + 3 > 0, H > 0 un * n + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
Cách 2: Vì un > 0, : Xét tỷ số: T = n *
2
n 1
2 n
Do
2
2
> 1, T > 1 un * n + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
e)
n
n
n
n 1
, ta có: u1 =
1 2
; u2 =
2
3 ; u3 =
3 4
; u4 =
4 5 Nhận thấy: u1 < u2; u2 > u3; u3 < u4 Vậy: Dãy số (un) không tăng cũng không giảm
* Phương pháp xét tính bị chặn của dãy số (u n )
+ Nếu CM được: un M, (1) hoặc un * n m, (2) hoặc m un * nM, (3)n * + Nếu (1) xảy ra thì dãy số (un) bị chặn trên bởi M
+ Nếu (2) xảy ra thì dãy số (un) bị chặn dưới bởi n + Nếu (3) xảy ra thì dãy số (un) bị chặn
Bài tập mẫu
Bài 1: Xét tính bị chặn của dãy số (un), biết:
a) un =
2
2
2n 1 u
c)
3 n
2n 1 u
n 1
d)
n n
n ( 1) u
2n 1
2 2
> 0, dãy số (un * n) bị chặn dưới
Ta lại có: un =
2
dãy số (un) bị chặn trên Vậy: Dãy số (un) bị chặn
2n 1
, dãy số (un * n) bị chặn dưới
Vậy: Dãy số (un) bị chặn
c) Ta có:
3 n
2n 1
n 1
, dãy số (un * n) bị chặn dưới
Ta lại có: Dãy (un) không có số M nào mà
3 n
2n 1
n 1
Trang 6 dãy số (un) không bị chặn trên Vậy: Dãy số (un) không bị chặn
d) Ta có:
n n
n ( 1)
2n 1
, dãy số (un * n) bị chặn dưới
Ta lại có:
n n
u
Vậy: Dãy số (un) bị chặn
Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
n
u
2 1
b)
n
2 1 u
2 1
c)
n n
1
n
n u
n 1
Bài 2: Cho dãy số (un), biết:
1
n 1 n
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4
c) Tìm số hạng thứ 200 của dãy số (596) d) Tìm xem 245 là số hạng thứ mấy của dãy số (83)
2n u
n 1
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Số
9
41 là số hạng thứ mấy của dãy số (9) Bài 4: Cho dãy số (un), biết: n
n 1 u
n(n 1)
a) Tìm số hạng thứ 25 của dãy số (
12
325 ) b) Số
3
28 là số hạng thứ mấy của dãy số (7) Bài 5: Cho dãy số (un) xác định như sau:
1
u 1
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 2n – 1
c) Tìm xem 1023 là số hạng thứ mấy của dãy số (10)
Bài 6: Cho dãy số (un), biết:
1
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh un = 2n – 1 + 1 bằng phương pháp quy nạp
b) Tìm xem 257 là số hạng thứ mấy của dãy số (9)
Bài 7: Cho dãy số (un), biết:
5
u 1,u
2 1
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) CM bằng phương pháp quy nạp:
n 1
u
2
Bài 8: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:
a) un = 2n2 – 5 (tăng) b) n
2 n u
n 1
(giảm) c)
2
n 1 u
n 1
(tăng)
d)
2
u
n 1
(giảm) e)
n
2 1 u
2
(giảm) d) un 2n ( 1) n (không tăng, không giảm)
Bài 9: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:
Trang 7a) n
1
n
(giảm) b) n
n 1 u
n 1
(tăng) c) n
2n 1 u
5n 2
(giảm)
d) un ( 1) (2 1)n n (không tăng, không giảm) e)
n
3 n u
2
(tăng) Bài 10: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:
a) un = 101 – 2n (giảm) b) un = 3n – 7 (tăng) c) n 2
2n 1 u
n
(tăng) Bài 11: Xét tính bị chặn của dãy số (un) sau:
1
u
(n 2)
1
0 u
9 , n * ; bị chặn) b)
2
4n 1 u
c)
2
n
n 1
u
n
(u n 2 , n * ; bị chặn dưới) f) n 2
n 2 u
n 1
3 2
1 u
d) n
n
u
n 1
( 1 u 1 n
n n
2n ( 1) u
2n 1
III CẤP SỐ CỘNG
1 Nếu (u n ) là CSC (u n ) có công sai d thì un 1 un với d n *
Đặc biệt: Khi d = 0 thì CSC là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)
2 Số hạng tổng quát: un u (n 1)d1 với n 2 trong đó u1 là số hạng đầu, d là công sai
3 Các số hạng của cấp số cộng:
k 1 k 1 k
u
2
với k 2
n
2
n
2
Bài tập mẫu
Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tìm số hạng đầu và công sai của
nó ? (nếu có) a) un 9 5n b) n
5 3n u
4
c) un 2 1n d)
1
u 1
Phương pháp: Xét hiệu H = un 1 un; a) Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp số cộng
b) Nếu H = f(n) thì dãy số không phải là cấp số cộng
Vậy : Dãy số un = 9 – 5n là một cấp số cộng Số hạng đầu là: u1 = 9 – 5 = 4 ; công sai là: d = – 5
b) Xét hiệu: un + 1 – un =
5 3n u
4
là một cấp số cộng Số hạng đầu là: u1 =
1
2 ; công sai là: d =
3 4
c) Xét hiệu: un + 1 – un = 2n 1 1 2 1 2n n 1 2n
Vậy: Dãy số un 2 1n không phải là 1 cấp số cộng
d) Ta có: u1 = 1, u2 = 0, u3 = 1, u4 = 0,
Nhận thấy: u2 – u1 = –1 u3 – u2 = 1 Vậy: Dãy số
1
u 1
Bài 2: Cho 1 cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un 7n 3
a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC b) Tìm u2012
c) Tính tổng 100 số hạng đầu d) Số 1208 là số hạng thứ mấy của CSC
Trang 8c) S100 = 1
d) Ta có: 7n – 3 = 1208 n = 173 Vậy: Số 1208 là số hạng thứ 173 của CSC
Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 5 ; d = 3 và Sn = 34275
a) Tìm công thức số hạng tổng của cấp số cộng b) Tìm u99 c) Số 1502 là số hạng thứ bao nhiêu ? d) Tìm n
b) * Cách 1: u99 = 5 + (99 – 1).3 = 299 * Cách 2: u99 = 2 + 3.99 = 299
c) * Cách 1: un = u1 + (n – 1)d 1502 = 5 + (n – 1).3 3n = 1500 n = 500
* Cách 2: un = 2 + 3n 1502 = 2 + 3n 3n = 1500 n = 500
d) Ta có : Sn = n [2u (n 1)d]1
3n2 + 7n – 68550 = 0
n 150 457
Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u20 = – 52 và u51 = – 145 Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó
Khi đó, ta có hệ:
1 1
1
Suy ra: un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1).( –3) = 8 – 3n
Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u18 – u3 = 75 Tìm công sai d
Khi đó : u18 = u3 + (18 – 3).d u18 – u3 = 15d 15d = 75 d = 5
Bài 6: Cho cấp số cộng (un) có u4 + u12 = 90 Tìm S15
Bài 7: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng (un), biết:
a)
u u 22 b)
3 8
u u 184 c)
6
Giải: a)
u u 5d 18
1 1
2u 5d 18
1
17 u 3 4 d 3 b)
3 8
u 8d u 3d 15
5d 15 (u 2d)(u 7d) 184
d 3
d 3
d 3
c)
6
1
u 5d 8
1
1
2
1
1
14 d 5
Bài tập tự luyện
Trang 9Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tìm số hạng đầu và công sai của
nó ? (nếu có)
a) un = 5 – 2n (CSC) b) un = n 1
2 (CSC) c) un = 3 (không là CSC) d) un n =
7 3n
2 (CSC) Bài 2: Cho 1 cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un 5 4n
a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC (u 1 = 1; d = – 4) b) Tìm u2013 (–8047)
c) Tính tổng 200 số hạng đầu (–79400) d) Số – 8019 là số hạng thứ mấy của CSC (2006) Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = –7 ; d = 2 và Sn = 7040
a) Tìm công thức số hạng tổng của cấp số cộng (u n = 2n – 9) b) Tìm u1973 (3937) c) Số 4013 là số hạng thứ bao nhiêu ? (2011) d) Tìm n (88)
Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u30 = 83 và u80 = 233 Tìm số hạng tổng quát của CSC đó (3n – 7) Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u20 – u5 = – 15 Tìm công sai d (d = –1)
Bài 6: Cho cấp số cộng (un) có u2 + u22 = 60 Tìm S23 (690)
Bài 7: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng (un), biết:
a)
2 7
u u 75 c)
7 15
4 12
7 13
ĐS: a)
1
u 16
1
d 2
1
d 2
1
d 3
1
d 3
1
d 5/ 2
IV CẤP SỐ NHÂN
1 Nếu (u n ) là cấp số nhân với công bội q, ta có: un + 1 = un.q với n *
b) Khi q = 1: CSN có dạng: u1, u1, u1, , u1,
c) Khi u1 = 0 thì công bội q: CSN có dạng: 0, 0, 0, , 0,
2 Số hạng tổng quát: un u q1 n 1
với n 2 , trong đó u1 là số hạng đầu và q là công bội
3 Các số hạng của cấp số nhân: u2k u uk 1 k 1 với k 2 hay uk u uk 1 k 1
4 Tổng n số hạng đầu của CSN:
n 1 n
u (1 q ) S
1 q
với q 1 Đặc biệt : Nếu q = 1 thì Sn = n.u1
Bài tập mẫu
Bài 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3; q =
1 2
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát b) Tìm u12 c) Hỏi
3
256 là số hạng thứ mấy?
n 1
1 2
b) u12 = 3
11
1 2
3 2048
c) Ta có:
3
256 = 3
n 1
1 2
n 1
1 2
1
256
n 1
1 2
8
1 2
Vậy: Số
3
256 là số hạng thứ chín
Bài 2: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = 2, u3 = 18
a) Tìm công bội b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên
b) * Với q = 3: S10 =
10
2(1 3 ) 59048
1 3
10
1 ( 3)
Trang 10Bài 3: Cho dãy số (un) với un = 22n + 1
a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân Tìm số hạng đầu u1 và công bội q
b) Tính S14 c) Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân
Giải: a) Xét tỷ số:
2(n 1) 1 2n 3
2n 3 2n 1 2
n 1
2n 1 2n 1 n
Vậy: Dãy số (un) với un = 22n + 1 là cấp số nhân Số hạng đầu: u1 = 23 = 8 và công bội q = 4
b) Ta có: S6 =
6
8(1 4 ) 10920
1 4
c) Ta có: un = 22n + 1 2048 = 22n + 1 211 = 22n + 1 2n + 1 = 11 n = 5
Vậy: Số 2048 là số hạng thứ 5 của cấp số nhân
Bài 4: Cho cấp số nhân (un) có
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 3069 ? c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ?
Giải: a)
4
5
4 1 4 1
u (1 q )q 102 (2)
Thay (1) va (2), ta được: 51.q = 102 q = 2 Suy ra: u1.17 = 51 u1 = 3
b) Ta có: Sn =
n
3.(1 2 ) 3069
1 2
Vậy: Tổng của 10 số hạng đầu sẽ bằng 3069
c) Ta có: un = u1.qn – 1 12288 = 3.2n – 1 2n – 1 = 4096 2n – 1 = 212 n – 1 = 12 n = 13 Vậy: Số 12288 là số hạng thứ 13
Bài 5: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a)
5
6
32
u
9
64
u
27
b)
Giải: a)
5
6
32 u
9 64 u
27
4 1
4 1
32
9 64
27
2 3
Suy ra: u1
4
2 3
32
9 u1 = 18 b)
3
2 1
2 1
u q.q(q 1) 144 (2)
Thay (1) vào (2), ta được: 72q = 144 q = 2 Suy ra: u1.2.3 = 72 u1 = 12
c)
3
2 1
2 1
u q.q(1 q ) 810 (2)
Thay (1) va (2), ta được: 270q = 810 q = 3 Suy ra: u1.3.10 = 270 9
Bài tập tự luyện
Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Tìm số hạng đầu và công bội của
nó ? (nếu có) a) un = ( 5)2n 1
(CSN) b) un = ( 1) 3n 3n 1
(CSN) Bài 2: Cho cấp số nhân (un) với u1 =
1 3
; q = 3