HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG V GIẢI TÍCH 11 (2012 – 2013)
I ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM:
1 Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm: * Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0∈(a; b)
0
0
0
f (x) f (x ) y
− ∆ (∆ = −x x x ; y f (x) f (x )0 ∆ = − 0 )
* Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó
2 Ý nghĩa của đạo hàm:
* f (x )′ 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; f(x0))
* Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0) với y0 = f(x0) là:
y f (x )(x x ) y= ′ − +
3 Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
PP: * Bước 1: Giả sử x∆ là số gia của đối số tại x0 Ta có: ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)
* Bước 2: Lập tỉ số: y
x
∆
∆ * Bước 3: Tìm x 0
y lim x
∆ →
∆
∆
4 Phương trình tiếp tuyến (PTTT):
a) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x 0 ; y 0 )
* Bước 1: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x )(x x ) y= ′ 0 − 0 + 0(1)
* Bước 2: f (x)′ ⇒f (x )′ 0
* Bước 3: PTTT là: (thay f (x )′ 0 , x0, y0 vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b
b) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng a
* Bước 1: Ta có: x0 = a ⇒y0 = f(x0) = b: M(a; b) * Bước 2: Trình bày như a)
c) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ bằng b
* Bước 1: Ta có: y0 = b ⇒x0 = b (cho f(x) = b): M(a; b) * Bước 2: Trình bày như a)
d) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc k
* Bước 1: Ta có: f (x )′ 0 = k
* Bước 2: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x )(x x ) y= ′ 0 − 0 + 0(1)
* Bước 3: f (x)′ ⇒ f (x )′ 0 = k (giải PT này suy ra nghiệm x0) ⇒ y0 = f(x0)
* Bước 4: PTTT là: (thay f (x )′ 0 , x0, y0 vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b
e) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng y = ax + b
* Bước 1: Ta có: f (x )′ 0 = k = a * Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2)
f) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với đường thẳng y = ax + b
* Bước 1: Ta có: f (x )′ 0 = k = -1: a * Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2)
II QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM :
1 Đạo hàm của tổng , hiệu, tích, thương:
a) (u v)+ ′= +u′ v′ b) (u v)− ′= −u′ v′ c) (u v w)+ − ′= + −u′ v′ w′
c) (u.v)′=u v uv′ + ′ d)
2
=
÷
e) (u.v.w)′=u vw uv w uvw′ + ′ + ′
2 Đạo hàm cơ bản và hàm hợp:
2) (x )n ′ =nxn 1 − 2) (u )n ′=nu un 1 − ′ 3) ( ) 1
x
2 x
u
2 u
′
′ = 4) (kx)′ =k 4) (ku)′=k.u′ 5) k k2
′
= −
÷
.u
′
÷
6) (sin x)′ =cos x 6) (sin u)′=u cos u′
1
Trang 27) (cos x)′ = −sin x 7) (cos u)′= −u sin u′ 8) (tan x) 12
cos x
cos u
′
′ = 9) (cot x) 12
sin x
sin u
′
′ = −
Ghi nhớ: 1) y ax b
cx d
+
=
ad bc y
(cx d)
−
′ =
+ 2)
2
y
dx e
=
2
2
adx 2aex be cd y
(dx e)
′ =
3)
2
2
y
a x b x c
=
2
(ab a b)x 2(ac a c)x (bc b c) y
(a x b x c )
′ =
4)
x 0
sin x
x
→ = 5)
x 0
tan x
x
→ = 6)
0
x x
sin u(x)
u(x)
0
xlim u(x) 0x
III VI PHÂN
1) Vi phân: df(x) = f (x)dx′ hoặc dy = y dx′
2) Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x (a;b)∈
* Đạo hàm cấp hai của y = f(x) Ký hiệu: y′′=f (x) [f (x)]′′ = ′ ′
* Đạo hàm cấp ba của y = f(x) Ký hiệu: y′′′=f (x) [f (x)]′′′ = ′′ ′hoặc y(3) =f (x) [f (x)](3) = ′′ ′
* Đạo hàm cấp bốn của y = f(x) Ký hiệu: y(4) =f (x) [f (x)]′(4) = (3)
* Đạo hàm cấp n – 1 của y = f(x) Ký hiệu: y(n 1) − =f(n 1) − (x)
* Đạo hàm cấp n của y = f(x) Ký hiệu: y(n ) =f (x) [f(n ) = (n 1) − (x)]′
BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Tình đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:
a) y 2
x 1
=
+ tại điểm x0 = 2 b) y = 2x2 – x + 3 tại x0 = -3 c)
3x 1 y
4 5x
+
=
− tại x0 = 1
Giải: a) * Giả sử x∆ là số gia của đối số tại x0 = 2
Ta có: ∆y = f(2 +∆x) – f(2) = 2 2 6 2 x 6 2 x
x 3 3 3( x 3) 3( x 3)
2
y (2)
9
′ = − b) * Giả sử x∆ là số gia của đối số tại x0 = –3
Ta có: ∆y = f(–3 +∆x) – f(–3) = [2(–3 + ∆x)2 – (–3 + ∆x) + 3] – [2.( –3)2 – (–3) + 3]
= (∆x)2 – 13∆x =∆x(∆x – 13)
* y y 1 x( x 13) 1 x 13
y lim lim( x 13) 13 x
∆ → ∆ =∆ → ∆ − = −
∆ Vậy: y ( 3)′ − = −13 c) * Giả sử x∆ là số gia của đối số tại x0 = 1
Ta có: ∆y = f(1 +∆x) – f(1) = 3(1 x) 1 4 4 3 x 4 17 x
∆ + ∆ Vậy: y (1) 17′ =
Bài 2: Viết PTTT của các hàm số sau:
a) y = 2x2 – x + 3 tại điểm M(3; -2) b) y = 2x 1
3 4x
+
− tại điểm M(1; -3)
Giải: a) PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x )(x x ) y= ′ 0 − 0 + 0
y′= 4x – 1 ⇒ y (3) 11′ =
Vậy: PTTT là: y f (x )(x x ) y= ′ 0 − 0 + 0= 11(x – 3) – 2 = 11x – 35
b) PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x )(x x ) y= ′ − +
Trang 3y′= 10 2
(3 4x)− ⇒ y (1) 10′ = Vậy: PTTT là: y = 10(x – 1) + 3 = 10x – 7
Bài 3: Viết PTTT của các hàm số sau:
a) y = x3 – 4x2 + x – 1 tại điểm có hoành độ bằng -2 b) y = 1 2x
3x 2
− + tại điểm có tung độ bằng -1
Giải: a) Ta có: x0 = -2 ⇒y0 = (-2)3 – 4(-2)2 + (-2) – 1 = -27
PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x )(x x ) y= ′ 0 − 0 + 0
y′= 3x2 – 8x + 1 ⇒ y′(-2) = 29 Vậy: PTTT là: y = 29(x + 2) – 27 = 29x + 31
b) Ta có: 0
0
1 2x
1 3x 2
+ ⇔1 – 2x0 = –3x0 – 2 ⇔x0 = –3 PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x )(x x ) y= ′ 0 − 0 + 0
2
7
y
(3x 2)
−
′ =
+ ⇒ y ( 1)′ − = −7 Vậy: PTTT là: y = –7(x + 3) – 1 = –7x – 22
Bài 4: Viết PTTT của các hàm số sau:
a) y = 2x 1
x 2
+
− có hệ số góc bằng -5 b) y = x
3 – 2x2 + 5x – 2 song song với đt d: y = 4x – 1
c) y = 1
3x
3 – 3x + 5 vuông góc với đường thẳng d: y = 1x 2
Giải: a) Ta có: k = f (x )′ 0 = −5 PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x )(x x ) y= ′ 0 − 0 + 0
2
5
y
(x 2)
−
′ =
0
5
5 (x 2)
2 = 1 ⇔ 2
x −4x + = ⇔3 0 0
0
=
=
0 0
= −
=
Vậy: PTTT là: * y = –5(x – 1) – 3 = – 5x + 2 * y = – 5(x – 3) + 7 = – 5x + 22
b) Ta có: k = f (x ) 4′ 0 = PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x )(x x ) y= ′ 0 − 0 + 0
y′= 3x2 – 4x + 5⇒ 2
3x −4x + = ⇔5 4 2
3x −4x + = ⇔1 0 0
0
1 x 3
=
=
0
14 y
27
=
= −
Vậy: PTTT là: * y = 4(x – 1) + 2 = 4x – 2 * y = 4(x – 1
3) –
14
27 = 4x –
50 27 c) Ta có: k = 0
1
6
′ = − − ÷=
PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y f (x )(x x ) y= ′ 0 − 0 + 0 y′= x2 – 3⇒ 2
0
x − = ⇔3 6 2
0
x − = ⇔9 0 0
0
=
= −
0 0
=
=
Vậy: PTTT là: * y = 6(x – 3) + 5 = 6x – 13 * y = 6(x + 3) + 5 = 6x + 23
Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = 2x4 – 5x3 + x2 – 15 b) 2 3 1 2 3 2
4 5
Giải: a) y′= 8x3 – 15x2 + 2x b) y′= 2x2 – 2x
3 +
3
5 c) y′= 2
5
− + 3x2 – 3x4
Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y 3cos x sin x= − + x 5+ b) y x 5tan x 1cot x 5
Giải: a) y′= –3sinx – cosx + 1
2 x b) y′= 1
6 x – 2
5 cos x – 2
1 2sin x
Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
3
Trang 4a) y 2 x x= − b) y x cos x
= + c) y 2x sin x= d) y (2x 1) tan x= +
Giải: a) y′= – [x x x( x ) ]′ + ′ = – x – x
2 x =
1
2
2
−
b) y′= 2
2
( x ) x x.(x) (cos x) x cos x.( x )
=
2
.x x sin x x cos x
+
= x2 x sin x cos x
c) y′= (2x) sin x 2x.(sin x)′ + ′= 2sinx + 2xcosx
d) y′= (2x 1) tan x (2x 1)(tan x)+ ′ + + ′= 2tanx + 2x 12
cos x
+
Bài 8: Tính đạo hàm các hàm số sau:
x
b) y = (4x
3 – 2x2 – 5x)(x2 – 7x) c) y = (x – 1)(2 + x2)(3 – 2x)
b) y′= (4x3 – 2x2 – 5x)’(x2 – 7x) + (4x3 – 2x2 – 5x)’(x2 – 7x)’
= (12x2 – 4x – 5)(x2 – 7x) + (4x3 – 2x2 – 5x)(2x – 7)
= 12x4 – 84x3 – 4x3 + 28x2 – 5x2 + 35x + 8x4 – 28x3 – 4x3 + 14x2 – 10x2 + 35x
= 20x4 – 120x3 + 27x2 + 70x
Cách khác: y = 4x5 – 28x4 – 2x4 + 14x3 – 5x3 + 35x2 = 4x5 – 30x4 + 9x3 + 35x2
⇒ y′= 20x4 – 120x3 + 27x2 + 70x
c) y′= (x – 1)’(2 + x2)(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)’(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)(3 – 2x)’
= (2 + x2)(3 – 2x) + (x – 1)2x(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)(– 2)
= 6 – 4x + 3x2 – 2x3 + 6x2 – 4x3 – 6x + 4x2 – 4x – 2x3 + 4 + 2x2 = –8x3 + 15x2 – 14x + 10
Cách khác: y = (2x + x3 – 2 – x2)(3 – 2x) = 6x – 4x2 + 3x3 – 2x4 – 6 + 4x – 3x2 + 2x3
= – 2x4 + 5x3 – 7x2 + 10x ⇒ y′= – 8x3 + 15x – 14x + 10
Bài 9: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y sin x cos x
sin x cos x
+
=
− b) y =
3x 2
1 4x
−
− c)
2
y
5x 1
=
−
Giải: a) y (sin x cos x) (sin x cos x) (sin x cos x)(sin x cos x)2
(sin x cos x)
′ =
−
= (cos x sin x)(sin x cos x) (sin x cos x)(cos x sin x)2
(sin x cos x)
−
=
2
sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x
(sin x cos x)
−
=
2cos x 2sin x 2(cos x sin x) 2
(sin x cos x) (sin x cos x) (sin x cos x)
b) y (3x 2) (1 4x) (3x 2)(1 4x)2
(1 4x)
′ =
3(1 4x) (3x 2)( 4)
(1 4x)
5 (1 4x)
−
−
Cách khác: y 3.1 ( 2).( 4)2 5 2
(1 4x) (1 4x)
− − (chỉ sử dụng để viết PT tiếp tuyến) c)
2
( x 2x 3) (5x 1) ( x 2x 3)(5x 1)
y
(5x 1)
′ =
2 2
( 2x 2)(5x 1) ( x 2x 3).5
(5x 1)
−
Trang 5=
2
10x 2x 10x 2 5x 10x 15
(5x 1)
2 2
5x 2x 17 (5x 1)
−
Bài 10: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = (2x3 – 3x + 5)5 b) y= 3 5x x− − 2 c) y 2
5 3x
=
− c) 3
4 y
(2x 3)
=
−
Giải: Vận dụng công thức: ' '
u x
y′ =y u a) y′=5(2x3−3x 5) (2x+ 4 3−3x 5)+ ′=5(2x3−3x 5) (6x+ 4 2−3)
Cách khác: Đặt: u = 2x3 – 3x + 5 ⇒ y = u5 Ta có:
x
u
y 5u
Vậy: y′ =5u (6x4 2 − =3) 5(2x3−3x 5) (6x+ 4 2−3)
b)
2
y
′
Cách khác: Đặt: u = 3 – 5x – x2 ⇒y = u Ta có:
' x ' u
1 y
2 u
= − −
=
Vậy: y ( 5 2x). 1 5 2x 2
2 u 2 3 5x x
− −
c) y 2(5 3x)2 6 2
(5 3x) (5 3x)
′
−
Cách khác: Đặt: u = 5 – 3x ⇒y = 2
u Ta có:
' x '
2 y
u
= −
= −
2
u
′ = − − ÷
6 (5 3x)− d)
4[(2x 3) ] 12(2x 3) (2x 3) 24(2x 3) 24
y
Cách khác: Đặt: u = (2x – 3)3 ⇒ y = 4
u Ta có:
x '
u 6(2x 3)
4 y
u
= −
Vậy:
2
y 6(2x 3)
Bài 11: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = cos2x b) y = tan3x c) y sin x= 2 +1 d) 2 x
y cot
1 3x
=
−
Giải: a) y′ = 2cosx(cosx)’ = 2cosx(–sinx) = –2sinxcosx = –sin2x
b) y′= 3tan2x(tanx)’ = 3tan2x 12
cos x=
3sin x 1 3sin x
cos x cos x = cos x c) y′=( x2+1) cos x′ 2 +1=
2
cos x 1
′
d) y′= 2cot x
1 3x− . cot1 3xx
′
x
1 3x− . 2
x
1 3x x sin
1 3x
′
−
−
5
Trang 6= 2
2
x (1 3x) x(1 3x)
x
1 3x
−
−
−
−
x
1 3x (1 3x) sin
1 3x
−
−
Bài 12: Giải các bất phương trình sau:
a) y′ >0 với
2
y
x 1
+ +
=
+ b) y′ ≥0 với
2 2
y
+ +
=
− + c) y′ <0 với y 2 x
=
Giải: a)
2
2
y
(x 1)
′ =
+ , ĐK: x≠ −1 Khi đó: y′ >0 ⇔x2 + 2x – 3 > 0 ⇔ x < –3 hoặc x > 1 b)
2
2x 2
y
(x x 1)
′ =
− + , x∀ ∈¡ Khi đó: y′ ≥ ⇔0 – 2x2 + 2 0≥ ⇔ − ≤ ≤1 x 1
c)
2
y
(x 4x 4)
− +
′ =
− + , ĐK: x 2≠ Khi đó: y′ < ⇔0 – x2 + 4 < 0 ⇔x < –2 hoặc x > 2
Bài 13: a) f(x) = 2
3x
3 – 2x2 + 3
4 , g(x) =
1
2x
2 – 2x – 3
2 Giải bất PT: f (x) g (x)′ > ′ b) f(x) = 3x3 + 3
2x
2 – 7x + 3 , g(x) = 2x3 + 3x2 + 11x – 3 Giải bất PT: f (x) g (x)′ < ′
Giải: a) f (x)′ = 2x2 – 4x, g (x)′ = x – 2
Khi đó: f (x) g (x)′ > ′ ⇔2x2 – 4x > x – 2 ⇔2x2 – 5x + 2 > 0⇔x < 1
2 hoặc x > 2 b) f (x)′ = 9x2 + 3x – 7, g (x)′ = 6x2 + 6x + 11
Khi đó: f (x) g (x)′ < ′ ⇔9x2 + 3x – 7 < 6x2 + 6x + 11 ⇔3x2 – 3x – 18 < 0 ⇔–2 < x < 3
Bài 14: a) Tính f ( 1)′ − , biết: f(x) = 1 22 33
x+x +x
b) Tính f ( )2
g (1)
π
′
′ , biết: f(x) = 2sin2x + 3x – 5, g(x) =
2
x 4
π – cos x
2 π
Giải: a) f (x)′ = 12 43 94
− − − ⇒ f ( 1)′ − = 1 2 4 3 9 4 1 4 9 6
( 1) ( 1) ( 1)
b) f (x)′ = 4cos2x + 3 ⇒ f ( )
2
π
′ = 4.cosπ+ 3 = –1
g (x)′ = x
2
π
+ 2
π sin x 2
π ⇒g (1)′ = sin
π π+ π
= π Khi đó: f ( )2 1
g (1)
π
′
= −
Bài 15: Tìm vi phân của các hàm số sau:
a) y = 5x3 – 2x + 3 b) f (x) sin [cos(3x 2)]= 3 − c) y sin 3x2
1 x
=
−
Giải: a) y′=(5x3 −2x 3)+ ′=15x2−2 Vậy: dy = y dx′ = (15x2 – 2)dx
b) f (x)′ = 3sin [cos(3x 2)] sin[cos(3x 2)]2 − { − }′=3sin [cos(3x 2)].cos[cos(3x 2)].[cos(3x 2)]2 − − − ′
= 3sin [cos(3x 2)].cos[cos(3x 2)].[ sin(3x 2)].(3x 2)′2 − − − − −
= −9sin [cos(3x 2)].cos[cos(3x 2)].sin(3x 2)2 − − −
Vậy: df(x) = f (x)dx′ = (−9sin [cos(3x 2)].cos[cos(3x 2)].sin(3x 2)2 − − − )dx
c)
(sin 3x) (1 x ) sin 3x(1 x ) 3(1 x )cos3x 2x sin 3x
y
Trang 7Vậy: dy = y dx′ = 3(1 x )cos3x 2x sin 3x2 2 2
(1 x )
Bài 16: Tìm d(cos x)
d(sin x) Giải:
d(cos x) (cos x) dx sin x
tan x d(sin x) (sin x) dx cos x
′
Bài 17: Cho f(x) = (2x – 3)5 Tính f (3)′′ và f (3)′′′
Giải: * f (x) 5(2x 3) (2x 3)′ = − 4 − ′=10(2x 3)− 4
* f (x) 40(2x 3) (2x 3)′′ = − 3 − ′=80(2x 3)− 3 * f (x) 240(2x 3) (2x 3)′′′ = − 2 − ′=480(2x 3)− 2
Vậy: * f (3) 80(2.3 3)′′ = − 3 =2160 * f (3) 480(2.3 3)′′′ = − 2 =4320
Bài 18: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y x 1 x= + 2 b) y x sin x= 2 c) y = xcos2x
(x) 1 x x( 1 x ) 1 x
+
y′′=
2 2
2
(1 2x )x 4x 1 x
4x(1 x ) x(1 2x ) x(3 2x )
1 x
+
b) y′ =2x.sin x x cos x+ 2
y′′= 2sinx + 2xcosx + 2xcosx + x2(–sinx) = 2sinx + 4xcosx – x2sinx
c) y′= cos2x – 2xsin2x; y′′= –2sin2x – (2sin2x + 4xcos2x) = – 4sin2x – 4xcos2x
Bài 19: a) Chứng minh rằng: Với y = xsinx, ta có: xy′′−2(y sin x) xy 0′− + =
b) Chứng minh rằng: Với y x 3
x 4
−
= + , ta có: 2y′2 = −(y 1)y′′
c) Chứng minh rằng: Với y cot 2x= , ta có: y′ +2y2 + =2 0
Giải: a) Ta có: y′= sinx + xcosx; y′′= cosx + cosx – xsinx = 2cosx – xsinx
Vậy: xy′′−2(y sin x) xy x(2cos x x sin x) 2(sin x x cos x sin x) x sin x′− + = − − + − + 2
= 2xcosx – x2sinx – 2xcosx + x2sinx = 0 (đpcm)
b) Ta có: y′= x 4 x 32 7 2
+ − + =
14 y
(x 4)
′′ = −
+ Vậy: 2
−
c) Ta có: y′= 22
sin 2x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tình đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:
a) y = x2 + x tại x0 = 1 b) y = 1
x tại x0 = 2 c)
x 1 y
x 1
+
=
− tại x0 = 0 d) y = 2x2 – x + 2 tại x0 = 1 e)
2
y
x 1
+ +
=
− tại x0 = 0
Bài 2: a) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x 1
x 1
+
− tại điểm A(2; 3) ĐS: y = –2x + 7 b) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 + 4x2 – 1 tại điểm có hoành độ x0 = –1 ĐS: y = –5x – 3 c) Viết PTTT của đồ thị h/số y = x2 – 4x + 4 tại điểm có tung độ y0 = 1 ĐS: y = –2x + 3, y = 2x + 5 d) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 – 5x2 + 2 có hệ số góc bằng -7
7
Trang 8e) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = 3x 1
1 x
+
− có hệ số góc bằng
1 2 f) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 song song với đường thẳng d: y = 9x + 2
ĐS: y = 9x – 15, y = 9x + 17
g) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = 3x 2
x 1
−
− vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0
ĐS: y = 1x 17
Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = x5 – 4x3 + 2x – 3 b) 1 1 2 4
4 3
= − + − c)
d)
= − + − f) 1 5 2 4 3 3 2
Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y 5sin x 3cos x= − + 3 b) y 3 x 2cot x 3tan x 2,5
3
= + − + c) y = 2sinx + 7cosx – cotx
Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y 2x x 1= + b) y 1 x
sin x x
= − c) y x cot x= d) y (2 3x)cos x= − e) y = (1 – x2)cosx f) y = sin5xcos2x g) y = (2 – x2)sinx + 2xcosx
Bài 8: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1
x
b) y = (9 – 2x)(2x
3 – 9x2 + 1) c) 2 ( )
x
d) y = (x + 1)(1 – 2x)(3x2 + 2) e) y = (2x – 3)(x5 – 2x) f) y = x(2x – 1)(3x + 2) g) y = 3x5(8 – 3x2) h) y = (x2 + 1)(5 – 3x2) i) y = (x – 2) x2+1
Bài 9: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y sin x cos x
sin x cos x
−
=
+ b) y =
sin x x
x +sin x c) y sin x
1 cos x
= + d)
sin 2x cos 2x y
sin 2x cos 2x
+
=
− e) y 2 x sin x cos x
x
= − f) y 3cos x
2x 1
= + g)
tan x y
sin x 2
=
+
Bài 10: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = (x7 – 5x2)3 b)
3 2
n
x
c)
2
y= 2 5x x− − c) 2
2 y
(2 3x)
=
− d) y= 1 2 tan x+ e) y 12
cos 3x
= f) y 5
2 4x
=
− g)
2 x y
3 2x
−
= +
Bài 11: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = sin3x b) y = cot2x c) y cos x= 2 +1 d) y tan x cot x= 2 − 2 e) y cos x
1 x
=
+
Bài 12: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y 2x2
=
− b) 2
3 5x y
−
=
− + c)
x 1 y
5x 2
−
=
− d)
2x 3 y
7 3x
+
=
− e)
2
y
3 4x
=
− f)
2 2
y
x 3x
=
− g)
2
2
y
1 3x x
=
Bài 13: Giải các bất phương trình sau:
a) y′ <0 với
2
y
x 1
+ +
=
− b) y′ ≥0 với
2
y
x 1
+
= + c) y′ >0 với y 22x 1
−
= + +
Trang 9Bài 14: a) f(x) = x3+ −x 2, g(x) = 3x2 + +x 2 Giải bất PT: f (x) g (x)′ > ′
b) f(x) = 2x3−x2+ 3, g(x) =
2
2
+ − Giải bất PT: f (x) g (x)′ < ′ c) f(x) = x3 – 3x2 + 2 Giải các bất PT: y′ >0 và y′ <3
d) f (x) 2
x
= , g(x) =
2 − 3 Giải bất PT: f(x)≤g (x)′
Bài 15: a) Tính f ( 1)′ − , biết: f (x) 2 42 53 64
= − + −
b) Tính f (1)
(1)
′
′
ϕ , biết: f(x) = x2 , ϕ(x) = 4x +
x sin 2 π c) Tính g (1)′ , biết: 1 1 2
Bài 16: Tìm vi phân của các hàm số sau:
a) y = 3 – 2x + 4x3 b) f (x) cos(sin 3x)= c) y sin (cos 2x)= 2 d) y = sin3(2x + 1) e) y = (2 + sin22x)3 f) f (x)= sin x 2x+ g) y 2sin 4x 3cos 5x= 2 − 3
Bài 17: Tìm dy, biết:
a) y x
a b
=
+ (a, b là hằng số) b) 2
cos x y
1 x
=
− c) y = (x2 + 4x + 1)(x2 – x ) d) y = tan2x
Bài 18: Tìm d(tan x)
d(cot x)
Bài 19: a) Cho f(x) = (x + 10)6 Tính f (2)′′ và f (0)′′′
b) Cho g(x) = sin3x Tính g ( )
2
π
′′ − , g (0)′′ , g ( )
18
π
′′
c) Cho f(x) = 1 x+ Tính f(3) + (x – 3) f′(3)
Bài 20: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y 1
1 x
=
− b)
1 y
1 x
=
− c) y = tanx d) y = cos
2x
Bài 21: a) Chứng minh rằng: Với y = xtanx, ta có: x y2 ′′ −2(x2+y )(1 y) 02 + =
b) Chứng minh rằng: Với y= 2x x− 2 , ta có: y y3 ′′ + =1 0
c) Chứng minh rằng: Với y tan x= , ta có: y′ − − =y2 1 0
d) Chứng minh rằng: Với y= x2+1, ta có: y y2 ′′+xy′=y
e) Chứng minh rằng: Với
2 2
cos x
f (x)
1 sin x
= + , ta có: f ( ) 3f ( ) 34 4
π − ′ π =
9