Bài tập Đại số 11 Chương 4: Giới hạn31616

Định nghĩa: lim n 0 n nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.. Một số định lý:... Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.. CMR dãy số có giới hạn v

Trang 1

§1: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

A LÝ THUYẾT:

1 Định nghĩa: lim n 0 n nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó

trở đi

2 Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp:

n 

3

1

n 

 Định lí 1 (về giới hạn kẹp): Cho hai dãy số (u n), ( )v n Nếu u n v n,n và

limv n  0 limu n 0

 Định lí 2: nếu q  1 limq n 0

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

CM dãy số có giới hạn 0 dựa vào ĐL kẹp và dãy số có giới hạn 0 đặc biệt

Bài 1: CMR các dãy số sau có giới hạn 0:

2

n

u

n



2

n

n u n





2 2

2

n

u

n

 



sin(2 1) 2

n

n u

n







n

u

4.3 2

n n



1

( 1) 3

n n

u

n









1 1

n

u n





1

n

n u

n





1 1

n

u n





n n



4

( 1) 1

n n

n u

n







1 2

n

u

n

 



Bài 5: Cho dãy số (u n)với limu n 0 CMR:

limu n 0

Bài 6: Cho hai dãy số (u n) và ( )v n thỏa mãn limu n 0 và ( )v n bị chặn CMR: limu v n n 0

§2: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

A LÝ THUYẾT:

1 Định nghĩa: lim u n  L lim(u nL)0

2 Một số định lý:

Trang 2

 Định lí 1: Giả sử limu n L, khi đó:

limu n  L, lim u n  L

 Nếu u n    0, n L 0 và lim u n  L

 Định lí 2: Giả sử limu n L, limv n M c, const

 lim(u nv n) L M

 lim(u nv n) L M

 lim( )u v n n L M , lim c u n c L

n

M

 Định lí 3: Cho 3 dãy số (u n), ( ), (v n w n) Nếu u n v n w n,n và limu n limw n  L limv n L

 Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1

1

u q

 q 1

Dạng 1: CM dãy số có giới hạn là L

Phương pháp: cm dãy (u n) có giới hạn L ta CM lim(u nL)0

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

n n







2 2

lim



 

Dạng 2: Tìm giới hạn của dãy số

Ví dụ 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

n n



 

2 2

lim

3

 

 

2.3 3.5

n n



2

lim

n

 



Ví dụ 2: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) u n  n2 2 n b) u n  n 2 n

Ví dụ 3: Tính giới hạn của các dãy số cho bởi các công thức sau:

1

n

n u

n





1 2 2 2

1 3 3 3

n

u





   

Dạng 3: CM dãy số có giới hạn dựa vào tính đơn điệu và bị chặn của dãy số

Ví dụ 1: Cho dãy số (u n)xác định bởi: CMR dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

1

3

n n

u

u 











Trang 3

Ví dụ 2: Cho dãy số (u n)xác định bởi 1 1 , 1, 2, 3 CMR: dãy số có giới hạn

n n

n

   

Dạng 4: Tính giới hạn dãy số dựa vào định lí kẹp

Ví dụ 1: Tính giới hạn của các dãy số sau:

a) limsin(3 )n b)

n

Ví dụ 2: Tính các giới hạn

a) lim 2 2 2 2 22

b) lim 2 1 2 2 2

n

Dạng 5: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ 1: Tính các tổng sau đây:

a) 1 1 1

S    

( 1)n n

S x x x x     x  x 1

C BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1: Cho dãy số (u n)với Hãy tìm số nguyên dương N nhỏ nhất sao cho với mọi

2

n

n u n



trong mỗi trường hợp sau đây đối với

a)  0, 001 b)  0, 00001

Bài 2: CMR:

1

n n







2 2

1

 



 

2

4

n n



5

n

n n 



Bài 3: CMR:

n

cos 3

n

   

c) lim ( 1) 1 1 d)

1

n

   

2

3

n

    

  

 

Bài 4: Tính các giới hạn sau:

2

lim

( 3)(5 4 )

 

4 lim

 

c)

2

2007 3 lim

n



a) lim( n2 n n21) b) 2 2

lim (n n  1 n 3)

Trang 4

c) lim 2 1 d)

n

 



2

lim( n 2n n 1)

Bài 6: Tính các giới hạn sau:

3

lim



lim

n



3 3

lim

1

n



lim

1

n

lim(n 1n )

2

lim

 

1

lim

5.3 4.2



1

lim 5.5 3.2 3



n n





10 1 lim

n

n n



n



2

( 1) 2 lim

n



.sin( ) lim

n

lim cot

n





n

   

 

1.2 2.3 n n.( 1)

c) lim 1 1 ( 1) 1 1 d)

n n



Bài 11: Tính giới hạn của các dãy số sau:

n

u

n







2

2 ( 1) cos 3

n n

n u



 





sin cos sin 2

n

u





Bài 12: Tính các giới hạn sau đây

n

b) lim 1 2 2 2 2

(1 1) (2 1) ( 1)

n n

c)

d) lim 1 2

n n

        

Trang 5

Bài 13: CM rằng các dãy số cho bởi các công thức sau đây có giới hạn:

n

u

b)

n

u

c)

2

n n

u       

Bài 14: CMR các dãy số sau có giới hạn và tìm các giới hạn đó

4

n n

a

3

n n

a

Bài 15: Cho dãy số được cho bởi

1

1 4 3

n

a











a) Chứng minh rằng dãy (a n)tăng và bị chặn trên

b) Tính lima n

Bài 16: Cho dãy số được cho bởi 1

1

0

u









a) CM dãy số tăng và bị chặn trên

b) Tính giới hạn của dãy số

Bài 17: CMR

2

n

n   

 

Bài 18: Tính các tổng sau đây

a) 1 1 12 1 b)

n n

c) 7 292 5 22

n n

Bài 19: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn biết

26 45 3

5

S

   





 



1 2 3

1 27 3

4

u u u S





 



Bài 20:

2 k



1 sin sin sin

1 sin

n





b) Cho 0 CMR:

4





1 tan tan tan ( 1) tan

2 sin( )

4





§3: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

A LÝ THUYẾT:

Trang 6

1 Dãy số có giới hạn + ¥ : limu n    mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi

2 Dãy số có giới hạn - ¥ : limu n    mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi

Chú ý: limu n= + ¥ ® lim(- u n)= - ¥

3 Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực:

o Qui tắc 1:

limu n limv n limu v n n

o Qui tắc 2:

limu n Dấu của limv n L limu v n n

o Qui tắc 3:

limu n  L 0 Dấu của L

limv n 0,v n 0 Dấu của limv n

lim n n

u v

Dạng 1: Chứng minh dãy số dần tới vô cực

Ví dụ 1: CMR các dãy số sau có giới hạn + ¥

2

2 +1

=

n

n u

n

Dạng 2: Tính giới hạn vô cực của dãy số

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

2

lim

n

+ +

-3

lim

n

+

lim

n

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh rằng:

a) lim(n +1)= + ¥ b) lim n - 1= + ¥ c) 2

lim n + = + ¥1

a) lim( 2- n3+12n+5) b) 4

lim 2n +7n- 6

Trang 7

n +

lim

n

lim

n

+

2 3

lim

n

+ + +

2 2

lim

- +

a) lim (n n+ -3 n+ 2) b) lim( 3n+ 2- 3n- 2)

c) lim( 2n2+ -1 2n2- 1) d)

2

lim

1

n

-+

lim

n

+

lim

1

2

lim

n

-2

2

lim

+

-Bài 6: Tính các giới hạn sau:

a) lim( n2+3n+2- n+1) b) lim 1

c) lim( n2+3n- 1- n+1) d)

2

lim

n

ç

2

lim

n

lim

n

+

2

lim

n

-1

-§4: ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT:

1) Giới hạn của hàm số tại một điểm:

a) Giới hạn hữu hạn: Giả sử (a;b) chứa x0, f(x) xác định trên (a;b), có thể không xác định tại x0 ĐN:

0

lim ( ) ( n) ( ; ) \ { }, lim n lim ( n)

b) Giới hạn vô cực:

0

lim ( ) ( n) ( ; ) \ { }, lim n lim ( n)

2) Giới hạn của hàm số tại vô cực:

a) Giả sử hàm số f(x) xác định trên ( ;a ) ĐN:

0

lim ( ) ( n) ( ; ) \ { }, lim n lim ( n)

b) Tương tự cho các định nghĩa: lim ( ) , ,…

x f x

3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn:

a) Định lí 1: Giả sử

lim ( ) , lim ( )

x x f x L x x g x M

Trang 8

0

lim[ ( ) ( )]

x x f x g x L M

0

lim[ ( ) ( )]

0

lim[ ( )]

x x c f x c L



0

( )

x x

M

Nhận xét:

0

x x ax ax

b) Định lí 2: Giả sử Khi đó:

0

lim ( )

x x f x L



0

lim ( )

x x f x L



0

3 3

x x f x L

 Nếu

0 0

x x



c) Định lí 3: Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên (a;b) chứa x0, có thể không xác định tại x0

0

( ) ( ) ( ), ( ; ) \ { }

lim ( )



Dạng 1: Tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa

Ví dụ 1: Bằng định nghĩa, chứng minh rằng:

2

lim(2 1) 5

1

x

®

=

Ví dụ 2: Bằng định nghĩa, hãy tính các giới hạn sau:

2

lim (4 3)

3

lim

x

®

2 2

lim

x

® + ¥

1 lim ( 1)

x

x x

®

+

-Dạng 2: Tính một số giới hạn đơn giản của hàm số thường gặp

Ví dụ 1: Tính giới hạn của các hàm số sau:

3

lim

x

x x

®

-+ +

2 1

1

1 3

1 lim

1 3

1

x

x x

®

-+

lim(3sin 2 tan )

x

p

®

+

Dạng 3: Tính các giới hạn của hàm số khi x ® ¥

Ví dụ 1: tính các giới hạn sau:

2 2

lim

2

x

® + ¥

lim

x

® + ¥

2

lim

x

® - ¥

2

lim

x

x x

® + ¥

+

Trang 9

Dạng 4: Tính các giới hạn của hàm số khi bằng cách dùng định lí kẹp

0

2 lim cos

x x

x

®

ç

sin 3 lim

x

x x

® + ¥

0

lim (sin cos )

0

lim 1- sin(cos )

®

C BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1: Bằng định nghĩa, chứng minh rằng:

1

lim (2 3) 1

2

3

x

x x

-Bài 2: Áp dụng định nghĩa tính các giới hạn sau:

2

2 lim

2

x

®

-+ +

2

1

lim

1

x

®

-2 2

3 2 lim

x

® + ¥

d)

1

lim

1

x

x x

®

-+

Bài 3: Cho hàm số f x( ) sin2 và hai dãy số dần về 0

x

2 2

p

a) Tính giới hạn của các dãy số ( ), ( )f u n f v n

b) Tồn tại hay không

0

2 lim sin

x® x

Bài 4: Bằng cách chọn hai dãy số thích hợp, hãy chứng minh các hàm số sau đây không có giới hạn khi x dần

về 0

x

3

1

x

Tính giới hạn hàm số:

1

lim(2 4 7)

2

1

lim ( 1)(2 5)

x

®

2 1

lim 3 2

-d)

2

1

lim

x

®

2

lim

1

x

x x

®

-+

1 2 lim

1 2

x

x x

®

+

-2 2

3

x x

x

®

-æ ö÷

ç - ÷

ç

1

lim

4

x

x x

®

2 2

lim

x

® - ¥

3

lim

x

® + ¥

2

3 11 lim

(4 2 )

x

x x

®

+

2

lim (2 1)

x

x x

®

0

3 lim sin

x x

x

®

cos 3 lim

1

x

x x

Trang 10

c) lim sin(2 ) d)

3

® p

p

-4

lim(4 )(sin cos )

x

p

®

§5: GIỚI HẠN MỘT BÊN

A LÝ THUYẾT:

1) Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên ( ; )x b0 ,

0

lim ( ) ( n) ( ; ), lim n lim ( n)

2) Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định trên ( ;a x0),

0

lim ( ) ( n) ( ; ), lim n lim ( n)

0

lim ( ), lim ( ) lim ( )

x x x x

x x











Dạng 1: Tính giới hạn một bên của hàm số

Ví dụ 1: Bằng định nghĩa, hãy tính giới hạn một bên của các hàm số sau:

( 3)

lim

3

x

x x



 



2

1

lim 1

x





 



Ví dụ 2: Tính các giới hạn một bên sau:

1

3 lim

1

lim

3

x

x x







lim

3

x

x x







2

0

3 lim

x







Ví dụ 3: Tính các giới hạn một bên:

0

3 lim

x







1 lim

x







Ví dụ 4: Cho hàm số ( ) 2 2 1, 0



0

lim ( )

x  f x

x  f x



b) Tồn tại hay không giới hạn

0

lim ( )

x f x



Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn tại một điểm

Ví dụ 1: Tìm giá trị của tham số a để:

a) ( ) 3 1, 0 có giới hạn khi

f x



   

b) ( ) 3 2 , 1 có giới hạn khi

f x

Trang 11

Ví dụ 2: Tìm giá trị của a và b để hàm số có giới hạn tại x=-1 và x=1

2





C BÀI TẬP ÔN LUYỆN

Tính giới hạn một bên

Bài 1: Áp dụng định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau:

1

lim

1

x

x x







3 lim 2

1 lim 1

x   x ( 2)

2 lim

2

x   x

Bài 2:

a) Cho hàm số ( ) 3 Tính ,

2

x

f x

x





 lim( 2) ( )

x  f x

x  f x

 

2

1 ( )

2

x

f x

x





 xlim f x( )

x f x



Bài 3: Tính các giới hạn sau đây

2

1 lim

1

x

x x







lim

4

x

x x







2 lim

4

x

x x







2

2 3

lim ( 3)

x







Bài 4: Tính các giới hạn sau

2 2

lim

4

x



 

 

3 3

lim

x



2

lim

x





 

2

lim

x



 



2

( )

f x

 

x  f x

 lim ( )1

x  f x

 lim ( )1

x f x



2

( ) 3

x x

f x

x x





3

lim ( )

x f x

 lim ( )1

x f x



Bài 7: Cho hàm sô ( ) 1 sin 2 Tính ,

cos 2

x

f x

x





( ) 2

lim ( )

x

f x

 

4

lim ( )

x

f x

 



Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn bằng cách tìm giới hạn một bên

Bài 8: Xác định giá trị của a để

a) Hàm số ( ) 5 2 , 1 có giới hạn tại x=1

f x

 



2

1, 2

x







Bài 9: Tìm a, b sao cho:

2

1, 2



     



giới hạn tại x=-1 và x=2

b) Hàm số

2

x

ax b x





có giới hạn tại x=-1 và x=1

§6: MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH

Trang 12

A LÝ THUYẾT:

1 Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực:

 Quy tắc 1: Giả sử ,

0

lim ( )

x x f x

0

x x g x L

0

lim ( )

x x f x

0

lim[ ( ) ( )]

x x f x g x



0

x x f x L

0

lim ( ) 0; ( ) 0,

Dấu của L Dấu của g(x)

0

( ) lim ( )

x x

f x

g x



2 Các dạng vô định: 0; ; 0 ;

-0

    



Chú ý: Để khử dạng vô định ta thường sử dụng PP:

 Phân tích đa thức thành nhân tử hoặc áp dụng HĐT

 Nhân liên hợp

Dạng 1: Tìm giới hạn hàm số có dạng 0

0

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

2

2 1

lim

x





2 2 4

lim 16

x





2 1

lim

x



1 lim

1

n x

x x





0

lim

x



1

lim

1

x

x x



 



3

lim

3

x



lim

x

x x



  

Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số có dạng 



2 2

lim

x



 

 

3 2

lim

x



 

3

lim

4

x





2 3

lim

x



Trang 13

2

lim

3 11

x



2 3

lim

x



2

5

lim

x



 

 

3 lim

x



Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số có dạng 0 *

( 1)

2 lim ( 1)

1

x



2 lim (3 1)

x

x x

x









Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số có dạng   

2

lim

x





lim

1 1

C BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1: Tính các giới hạn sau:

2 2

2

4

lim

x





3 2 3

27 lim

x





2

lim

x



4 3 2

4 lim

2

x





1

lim

x



3 1

4 lim

x





200

100

1

lim

x



5

2 2

( 32) 80( 2) lim

( 2)

x





4

81

3

lim

9

x

x x





lim

7 10

x



 

3

lim

x

x x



lim

x



0

lim

x



0

lim

x



0

lim

x



1

n m x

x





Trang 14

a) b)

2 1

1 1 lim

1

x







3

5

lim

x



  

1

lim

x  x x

lim

x



lim ( 4 3 2 )

3

0

lim

x



0

lim

x



§7: HÀM SỐ LIÊN TỤC

A LÝ THUYẾT:

1) Hàm số liên tục tại một điểm

 Hàm số liên tục: Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và x0( ; )a b Hàm số f(x) liên tục tại x0

0

lim ( ) ( )

x x f x f x



 Hàm số không liên tục tại x0được gọi là gián đoạn tại x0

2) Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn:

 Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) f(x) liên tục trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b)

 Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng [a;b] f(x) liên tục trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a f x f a x b f x f b

Chú ý:

 +,-,*,/ các hàm liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó

 Hàm sơ cấp: đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

3) Tính chất của hàm số liên tục

 Định lí: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và f a( ) f b( ) M nằm giữa f(a), f(b),

( ; ) : ( )

 Hệ quả: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và ( ) ( ) 0 f a f b   c ( ; ) : ( )a b f c 0

Nhận xét:

 Dùng hệ quả để cm phương trình f(x)=0 có ít nhất nghiệm trên (a;b)

 Đồ thị hàm số liên tục là đường liền nét

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn

Ví dụ 1: CMR các hàm số sau đây liên tục tại điểm x0bất kì

1

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra

a) y f x( ) 4x2 ,x0 0

Trang 15

x

 c)

2

0



d)

2 2

0

x





Ví dụ 3: Tìm các khoảng, đoạn liên tục của các hàm số sau:

a) y f x( )3x32x21 b) ( ) 3

1

x

 c) y f x( ) 3x1 d)

2

1 ( )



Ví dụ 4: Xác định giá trị của a để các hàm số sau đây liên tục tại điểm chỉ ra

a) ( ) 4 2 1, 2 tại điểm x0=-2





2

0

3

x









Ví dụ 5: Xác định giá trị của tham số để các hàm số sau đây liên tục trên R





b)

sin 2 ,

2 ( )

3cos( ),







Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: CMR:

a) Phương trình 3 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1;0)

2x   x 1 0 b) Phương trình 3 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2)

2x 6x 1 0

Ví dụ 2: CMR:

a) Phương trình 2 với luôn có ít nhất một nghiệm x0thỏa mãn

0,

ax bx c  a0, 2a2b6c0

0

2

0

3

x

b) phương trình 3 có nghiệm x0thuộc (0;1) thỏa mãn

0

4 9

x 

C BÀI TẬP ÔN LUYỆN

Xét tính liên tục của hàm số

Bài 1: Tìm điểm gián đoạn của các hàm số sau:

2

x

f x







( )

2 cos 1

x

f x

x

 





Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,42 MB