Thư viện Đề thi Trắc nghiệm Tài liệu học tập miễn phí Trang chủ https //vndoc com/ | Email hỗ trợ hotro@vndoc com | Hotline 024 2242 6188 Tóm tắt lí thuyết và công thức đại số 11 CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁ[.]
Trang 1Tóm tắt lí thuyết và công thức đại số 11
CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Bản quyền thuộc về VnDoc
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC
I Quy tắc đếm
1 Quy tắc cộng
a Định nghĩa: Xét một công việc A
Giả sử A có k phương ánA i i, = 1,k thực hiện công việc A
Nếu có a1cách thực hiện phương án A1
Nếu có a2 cách thực hiện phương án A2
Nếu có a3cách thực hiện phương án A3
…
Nếu có a kcách thực hiện phương án A k
Mỗi cách thực hiện phương án A ikhông trùng với cách thực hiện A j,
(i j i j, , 1,k)
Thì khi đó có a1 +a2 + +a kcách thực hiện công việc A
b Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập A A1 , 2 , ,A n đôi một rời nhau, khi đó A1 A2 A n = A1 +A2 + + A n
2 Quy tắc nhân
a Định nghĩa: Xét công việc A
- Giả sử A có k công đoạnA i i, = 1,k thực hiện công việc A Công đoạnA1 có a1 cách thực hiện, công đoạnA2có a2cách thực hiện,…, công đoạnA k có a k cách thực
hiện Khi đó công việc có a a1 2 a kcách thực hiện công việc
b Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập A A1 , 2 , ,A n đôi một rời nhau, khi đó A1 A2 A n = A A1 2 A n
Trang 23 Phương pháp đếm bài toán tổ hợp theo quy tắc cộng
- Để đếm số cách thực hiện một công việc A theo quy tắc cộng ta cần phân tích
xem công việc A đó có bao nhiêu phương án thực hiện, mỗi phương án có bao
nhiêu cách lựa chọn
4 Phương pháp đếm bài toán tổ hợp theo quy tắc nhân
- Để đếm số cách thực hiện công việc A theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công
việc A được chia làm bao nhiêu giai đoạnA A1 , 2 , ,A n và đếm số cách thực hiện
mỗi giai đoạn A i
5 Các dạng bài toán đếm thường gặp
Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên:
• a i0,1, 2, 3, , 9 , a1 0
• X là số chẵn a n là số chẵn
• X là số lẻ a n là số lẻ
• X chia hết cho 3 +a1 a2 + + +a3 a n chia hết cho 3
• X chia hết cho 5 a n 0, 5
• X chia hết cho 6 x là số chẵn và chia hết cho 3
• X chia hết cho 8 a n−2a n−1a nchia hết cho 8
• X chia hết cho 9 +a1 a2 + + +a3 a n chia hết cho 9
• X chia hết cho 11 Tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở
hàng chẵn là một số chia hết cho 11
Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
II Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
1 Giai thừa là gì?
a Định nghĩa: Với mọi số tự nhiên dương n, tích 1.2.3.4…n được gọi là n giai
thừa và kí hiệu là n!
Hay nói cách khác: n! = 1.2.3.4…n
b Tính chất:
• n! = n.(n-1)!
Trang 3• n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k-1).k!
2 Hoán vị là gì?
a Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách sắp xếp thứ tự của n
phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một
hoán vị của n phần tử
b Số hoán vị của tập n phần tử
Định lí: Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n 1) được kí hiệu là P n
và:
! 1.2.3
n
P =n = n
Ví dụ: Cho tập A = {1,2,3,4} Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số
phân biệt
Note: Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nên chữ số đầu tiên có 4 cách chọn, chữ
số thứ 2 có 3 cách chọn, chữ số thứ 3 có 2 cách chọn, chữ số cuối cùng có 1 cách
chọn Vậy số các số được tạo thành là: P =4 4! = 24số
c Hoán vị lặp: Cho n phần tử, trong đó có k giá trị khác nhau Giá trị thứ nhất
xuất hiện n1 lần, giá trị thứ 2 xuất hiện n2 lần,…, giá trị thứ k xuất hiện n k lần sao cho n1 +n2 + + +n3 n k =n n
Khi đó, số lượng các hoán vị lặp của n phần tử này là: ( 1 2 )
1 2
!
k
n
P n n n
n n n
=
d Hoán vị vòng quanh: Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A tạo thành một vòng
khép kín theo một thứ tự nào đó được gọi là hoán vị vòng quanh của n phần tử
Ở đây ta phân biệt thứ tự theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ
và không phân biệt điểm bắt đầu của vòng
Kí hiệu của hoán vị vòng quanh: Q n
Công thức tính: n ( 1 !)
n
P
n
3 Chỉnh hợp là gì?
a Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n Khi lấy k
phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k
của n phần tử của A
Trang 4b Số chỉnh hợp:
Định lí: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là k
n A
!
k n
n
A n n n n k
n k
− ,(1 k n)
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn An, Minh, Tâm, Chi, Liên, Đạt vào 8 chiếc
ghế trong lớp?
Note: Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi vào 8 chiếc ghế đã có sự sắp xếp Có hoán vị
là chỉnh hợp chập 5 của 8 Ta có số cách chọn là:
5 7
8!
6720
8 5 !
A = =
c Chỉnh hợp lặp: Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể
được lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh
hợp lặp chập k của n phần tử Mỗi phần tử trong số k phần tử của chỉnh hợp lặp
đều có thể nhận n giá trị khác nhau Vậy số lượng các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử sẽ là: k k
n
F =n
Ví dụ: Chỉnh hợp lặp chập 2 của tập A = {1, 2,4} là
1,1 , 1.2 , 1, 4 , 2,1 , 2, 2 , 2, 3 , 4,1 , 4, 2 , 4, 3
4 Tổ hợp là gì?
a Định nghĩa: Cho n phần tử khác nhau (n 1) Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau của tập hợp n phần tử đã cho 0 k nđược gọi là tổ hợp chập k của n phần
tử đã cho
b Số tổ hợp
Định lí: Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho kí hiệu là và k
n C
bằng:
k n
n C
k n k
=
− , 0 k n
III Xác suất của biến cố
1 Định nghĩa cổ điển của xác suất
- Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu là một tập hữu hạn
Giả sử A là một biến cố được mô tả bằng Xác suất của biến cố A, kí hiệu A bởi P(A), được cho bởi công thức:
Trang 5( ) A
Số kết quả thuận lợi cho A / Số kết quả có thể xảy ra
Chú ý: Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên
ta đồng nhất với A nên ta có: A P A( ) ( )n A( )
n
=
2 Định nghĩa thống kê của xác suất
Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó Nếu tiến
hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A Khi đó
xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:
P(A) = Số lần xuất hiện của biến cố A : N
3 Phương pháp xác định không gian mẫu và biến cố
- Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau:
Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm
Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và
biến cố
4 Các quy tắc tính xác suất:
a Tính xác suất theo định nghĩa xác suất cổ điển:
( ) ( )n A( )
P A
n
=
b Quy tắc cộng xác suất
- Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì P A( B) ( ) ( )=P A +P B
+ Mở rộng quy tắc cộng xác suất
Cho m biến cố A A1, 2, A đôi một xung khắc Khi đó: m
Trang 6+ P A( )= −1 P A( )
+ Giả sử A và B là hai biến cố tùy ý cũng liên quan đến một phép thử Khi đó:
3 Quy tắc nhân xác suất
- Hai biến cố A và B độc lập nếu xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh
hưởng đến xác suất của B
III Nhị thức Newton
1 Tổ hợp là gì?
• Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử Mỗi tập con gồm k phần tử của A
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
• Kí hiệu: k
n
các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
( ! ) ( 1)( 2)( ! 3 ) ( 1)
k n
n C
k
k n k
−
- Tính chất chập k của n phần tử: C n k
✓ Tính chất 1: C n k =C n n k− , 0( k n)
✓ Tính chất 2: Công thức pascal 11 1
C −− +C − =C
2 Nhị thức Newton
- Định lí: Với n *và với mọi cặp số ( )a b ta có: ,
0
n
k
=
3 Hệ quả
1+x n =C n +xC n+x C n + + x C n n n
- Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:
2n =C n +C n +C n + + C n n
Trang 7( )
1 n n 0
C −C +C −C + + − C =
4 Nhận xét
Trong khai triển Newton ( )n
a b+ có tính chất sau:
- Gồm n + 1 phần tử
- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
- Các hệ số có tính đối xứng C n k =C n n k− , 0( k n)
- Số hạng tổng quát: T k+1 =C a b n k b k k−
Chú ý:
✓ Số hạng thứ nhất 0
n n
1 1
k n k k
T =T− + =C a− − + b −
B Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Từ các số tự nhiên 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên chẵn
có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà hai chữ số đều lẻ?
Câu 3: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn gồm 4 chữ
số khác nhau?
Trang 8Câu 4: Một hộp bút gồm 12 chiếc bút, trong đó có 3 chiếc bút chì, 5 chiếc bút bi, 4
chiếc bút màu Có bao nhiêu cách khác nhau để chọn được 5 chiếc bút có ít nhất
1 chiếc bút bi
Câu 5: Trong một chiếc hộp có chứa 6 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 6 và 3
viên bi đen đánh số từ 7 đến 9 Có bao nhiêu cách chọn một trong các viên bi ấy?
Câu 6: Khối 11 có 325 học sinh nữ, 280 học sinh nam Nhà trường chọn một học
sinh trong khối đọc diễn văn trước toàn trường Hỏi nhà trường có tất cả bao
nhiêu cách chọn?
Câu 7: Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 bạn, 7 bạn khối 12, 6 bạn khối
11 và 5 bạn khối 10 Số cách chọn 8 bạn trong đội dự trại hè sao cho mỗi khối có
ít nhất 1 bạn được chọn
Câu 8: Một cuộc họp gồm 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác
một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay 3 người Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
Trang 9Câu 9: Một nhóm gồm 5 nam 3 nữ Có bao nhiêu cách để chọn ra 3 người sao cho
có ít nhất 1 nữ?
Câu 10: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cơ 3 chữ số
đôi một khác nhau?
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số biết chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số
3 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?
Câu 12: Trong file tài liệu đề thi của thầy giáo có 30 câu hỏi, 5 câu hỏi khó, 10 câu
hỏi khá, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề thi, biết
mỗi đề thi có 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3
câu và số câu dễ không ít hơn 2
Câu 13: Trong lớp có 20 học sinh nữ, 15 học sinh nam Hỏi giáo viên có bao nhiêu
cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp?
Câu 14: Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau Trên d có 10 điểm
phân biệt, trên d’ có n điểm phân biệt lớn hơn 2 Tìm n biết có 2800 tam giác có
đỉnh là các điểm nói trên
Trang 10A 20 B 5 C 10 D 35
Câu 15: Có bao nhiêu cách xếp n người vào một bàn tròn?
Câu 16: Công thức đúng của tổ hợp là:
A = !( ! )!
−
k n
n A
k n k B =( ! )!
−
k n
n A
n k C = !( ! )!
−
k n
n C
k n k D =( ! )!
−
k n
n C
n k
Câu 17: Cho 3
1140
− =
n n
C Tính giá trị biểu thức:
6 5 4
+
n
A A T
A
Câu 18: Nghiệm của phương trình: P x = 120
Câu 19: Tìm các số nguyên dương n sao cho: 1 8
8 0
n n
A A
Câu 20: Tìm n biết: 1 1 2 2 3 3
3n− + 2 3n− + 3 3n− + + n = 256
Câu 21: Nghiệm của phương trình: 2 2
1 2
3C n+ +nP = 4A n
Trang 11Câu 22: Cho dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có chẵn, mỗi số
có 5 chữ số trong đó có đúng hai số lẻ, 2 số lẻ đó đứng cạnh nhau
Câu 23: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3
chữ số đôi một khác nhau
Câu 24: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ
số 3 có mặt 3 lần, chữ số còn lại có mặt nhiều nhất 1 lần
Câu 25: Đội học sinh giỏi toán 10 có tất cả 18 học sinh, trong đó có 7 học sinh giỏi
môn Toán, 6 học sinh giỏi môn Văn và 5 học sinh giỏi môn Hóa Hỏi có bao
nhiêu cách chọn 8 học sinh đi dự thi chính thức, biết rằng mỗi môn có ít nhất 1
học sinh
Câu 26: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6
chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5
Trang 12Câu 27: Một lớp có 20 học sinh nữ, 26 học sinh nam Giáo viên cần chọn ban cán
sụ lớp gồm 3 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết trong ban cán sự có ít
nhất một nữ
Câu 28: Trong lớp có 20 học sinh nữ, 15 học sinh nam Hỏi giáo viên có bao nhiêu
cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp?
Câu 29: Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau Trên d có 10 điểm
phân biệt, trên d’ có n điểm phân biệt lớn hơn 2 Tìm n biết có 2800 tam giác có
đỉnh là các điểm nói trên
Câu 30: Có bao nhiêu cách xếp n người vào một bàn tròn?
Câu 31: Tìm hệ số của 5
x trong khai triển đa thức sau: ( )5 2( )10
1 2 − + 1 3 +
Câu 32: Tìm hệ số của 8
x trong khai triển đa thức: 2( ) 8
Câu 33: Biết rằng: 1 2
76
− + − =
n n
n n
C C Tìm hệ số không chứa x trong khai triển đa
thức 3−2
n x x
Trang 13A ( )9 9
12
2
12
2
C 9 9
12
12
2 C
Câu 34: Tìm hệ số chứa 7
x trong khai triển sau: ( )9
2 3 +
x x
A 6 3 5
9
7
2 3 C
9
2 3 C
Câu 35: Tìm n biết: 1 1 2 2 3 3
3n− + 2 3n− + 3 3n− + + n = 256
Câu 36: Cho khai triển
20
1 2
x x Số k + 1 trong khai triển
A 20 20 20 2
1 2 − . −
k k
1 2 − . −
k k
C 20 20 2
1 −
k k
1 4 −. −
Câu 37: Xét khai triển
20
1 2
x x , số hạng không chứa x trong khai triển là:
A 12 8
20 2
20 2
C
C 8 12
20 2
20 2
C
Câu 38: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển
12
2
A 4 8
12 2
12 2
C
C 5 7
12 2
12 2
C
Câu 39: Tìm số nguyên dương n biết 1 3 5 2 1
2 +1 + 2 +1 + 2 +1 + + 2n++1 = 1024
Câu 40: Tìm số nguyên dương n biết 0 1 2
Trang 14A n= 2 B n= 4 C n= 5 D n= 6
Câu 41: Công thức tổng quát của biểu thức: 0 1 1 2 2 0
. −− . −− −
n n n n n n n n k
C C C C C C C C là:
1
1
2k+.C n k−
Câu 42: Tình tổng: 1 1 2 2
.3n− + 2 .3n− + + n
A 1
.2n−
n B ( − 1 2) n
.4n−
1 2 −
n
Câu 43: Tính tổng: 1 2 3
S C C C nC
A 1
.4n−
.4n−
n
.2n−
n
Câu 44: Đưa biểu thức ( ) ( ) ( )0 2 1 2 2 2 2
( )
A 2
n n
C B ( + 1) 2n
n
n n
2n C n n−
Câu 45: Có bao nhiêu cách xếp n người vào một bàn tròn?
Câu 46: Gieo một đồng xu và một con xúc xắc Số phần tử của không gian mẫu
là:
Câu 47: Gieo một đồng xu hai lần Số phần tử của biến cố để mặt ngửa đúng một
lần là:
Câu 48: Gieo ngẫu nhiên 4 đồng tiền xu thì phần tử của không gian mẫu là:
Trang 15A 16 B 8
Câu 49: Tung một con xúc xắc 6 mặt hai lần Xác định số phần tử của không gian
mẫu:
Trong một hộp bút đựng 3 chiếc bút bi, 4 chiếc bút chì, 6 chiếc bút màu Lấy
ngẫu nhiên 3 chiếc bút Trả lời các câu hỏi dưới đây:
Câu 50: Xác định số phần tử của không gian mẫu:
A ( ) 3
13
=
n A B ( ) 3
13
=
n C C n( ) = 3! D ( ) 3
12
=
Câu 51: Số phần tử của biến cố: A: “Lấy được 4 chiếc bút mà không có chiếc bút
màu nào”
A ( ) 4
13
=
7
=
n A C
C ( ) 4
9
=
10
=
n A C
Câu 52: Số phần tử của biến cố; B: “Lấy được 4 chiếc bút mà có đúng hai chiếc
bút chì”
A ( ) 2 2
4 6
=
4 9
=
n B C C
C ( ) 2 2
4 3
=
4 7
=
n B C C
Câu 53: Số phần tử của biến cố: C: “Lấy được 4 chiếc bút có đủ ba màu”
A n C( )= 343 B n C( )= 329
C n C( )= 344 D n C( )= 328
Trang 16Câu 54: Số phần tử của biến cố D: “Số chấm xuất hiện ở hai lần là giống nhau”
A n D( )= 6 B n D( )= 4 C n D( )= 3 D n D( )= 5
Câu 55: Số phần tử của biến cố E: ”Tổng số chấm ở hai lần tung chia hết cho 3”
A n E( )= 9 B n E( )= 10 C n E( ) = 11 D n E( )= 12
Trong một chiếc hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh, 6 viên bi vàng Chọn
ngẫu nhiên 3 viên bi Tính:
Câu 56: Số phần tử của không gian mẫu:
A ( ) 3
15
=
15
=
C ( ) 3
11
=
10
=
Câu 57: Số phần tử của biến cố A: “Lấy được 3 viên bi trong đó có đúng 1 viên bi
đỏ”
Câu 58: Số phần tử của biến cố B: “Lấy được 3 viên bi mà không có viên bi xanh
nào”
Câu 59: Trong một lớp học có 35 học sinh nam, 15 học sinh nữ Giáo viên chủ
nhiệm muốn chọn ra 3 học sinh tham gia đại hội trường Số cách chọn 3 học sinh
có cả nam và nữ