Toán học Bài tập bất đẳng thức25348

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC A Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1... Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz... Chứng minh

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC A) Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

1 Cho a, b > 0 chứng minh:     

3

3 3

2 Chứng minh: a b  a2b2

3 Cho a + b  0 chứng minh: a b 3a3b3

4 Cho a, b > 0 Chứng minh: a  b  a b

5 Chứng minh: Với a  b  1:  



1 ab

6 Chứng minh: a2b2c2 3 2 a b c    ; a , b , c  R

7 Chứng minh: a2b2c2d2e2a b c d e    

8 Chứng minh: x2y2z2xy yz zx 

9. Chứng minh: a b c   ab bc ca  ; a,b,c0

10. Chứng minh:       

2

11 Chứng minh: a2 2 2  

4

12 Chứng minh: a2b2 1 ab a b 

13 Chứng minh: x2y2z22xy 2xz 2yz 

14 Chứng minh: x4y4z2 1 2xy(xy2  x z 1)

15. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì: 3 3 1

4

16. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh:

a. ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

B) Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

17. Chứng minh: (a b)(b c)(c a)  8abc ; a,b,c0

18. Chứng minh:  (a b c)(a2b2c )2 9abc ; a,b,c0

19. Chứng minh: 1 a 1 b 1 c      1 3abc3 với a , b , c  0

20. Cho a, b > 0 Chứng minh:         , với m  Z+

m 1

21. Chứng minh: bccaab  a b c ; a,b,c0

22. Chứng minh: x6y9  2 3 

3x y 16 ; x,y 0 4



2

1

1 a

24. Chứng minh: a2016 2016 a 1   , a > 0

9. Chứng minh: a 1 b2  2b 1 c2  2c 1 a2  26abc

10. Cho a , b, c > 0 Chứng minh:       

11. Cho a , b  1 , chứng minh: aba b 1 b a 1  

12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4 Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

13. Cho a > b > c, Chứng minh: a33a b b c c   

14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh:

a) b + c  16abc

b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc

c)       

15. Cho x > y > 0 Chứng minh:    

1

x y y

16. Chứng minh:



2

2

2



x 8

6

x 1



2

2

4

; a, b, c 0

18. Chứng minh:   , x , y  R

4

19. Chứng minh:    ; a , b , c > 0

20. Cho a , b , c > 0 C/m:

abc

21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a. a b c d   4 abcd4 với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số)

b. a b c  3 abc3 với a , b , c  0 , (Côsi 3 số )

22. Chứng minh: a3b3c3a2 bcb2 acc2 ab ; a , b , c > 0

23. Chứng minh: 2 a3 b3 4 c4 9 abc9

24. Cho y x 18 , x > 0 Định x để y đạt GTNN

25. Cho    Định x để y đạt GTNN



26. Cho     Định x để y đạt GTNN



27. Cho    Định x để y đạt GTNN



28. Cho   , 0 < x < 1 Định x để y đạt GTNN



y

1 x x

29. Cho y x321 , x > 0 Định x để y đạt GTNN

x

30. Tìm GTNN của  x24x 4 , x > 0

f(x)

x

31. Tìm GTNN của  2 , x > 0

3

2 f(x) x

x

32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

33. Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 Định x để y đạt GTLN

34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  5 Định x để y đạt GTLN

2

35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   5 x 5 Định x để y đạt GTLN

2

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 1  x  Định x để y đạt GTLN

2

5 2

37. Cho  Định x để y đạt GTLN

 2

x y

38. Cho Định x để y đạt GTLN





2 3 2

x y

C) Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2)

BĐT Bunhiacopxki

2. Chứng minh: sinx cos x  2

3. Cho 3a – 4b = 7 Chứng minh: 3a2 + 4b2  7.

4. Cho 2a – 3b = 7 Chứng minh: 3a2 + 5b2  725

47

5. Cho 3a – 5b = 8 Chứng minh: 7a2 + 11b2  2464

137

6. Cho a + b = 2 Chứng minh: a4 + b4  2

7. Cho a + b  1 Chứng minh: 2 2 1

2

D) ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1. (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho 3 số bất kì x, y, z CMR: x2xy y 2 x2xz+z2  y2yz+z2

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1

Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + z

3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)

Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A = x + y + z + 1 1 1

4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

5

4

A = 4 1

x 4y

5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)

Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:

< 2

6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2 12  2 1 16

x x

7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Cho 3 số dương a, b, c Ch minh rằng: a b c  a b c  a b c  9

8. (CĐKTYTế1 2006)

Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y  0; x2 + x = y + 12

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

10. (Học viện BCVT 2001)

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 thì:

3

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh:

2

12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)

Cho các số a, b, c thoả:    



ab bc ca 1 Chứng minh:   4 a 4;  4 b 4;  4 c 4

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)

Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi Chứng minh rằng:

2

14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Cho 3 số x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

2 y

15. (ĐH PCCC khối A 2001)

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c a log c a b log a b c1

16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1 ≥ x

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

Cho a ≥ 1, b ≥ 1 Chứng minh rằng:a b 1 b a 1 ab    (*)

18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì:

3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13

19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Cho a, b, c là những số dương và a + b = c Ch minh rằng:  

20. (ĐHQG HN khối A 2000)

Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0 Chứng minh rằng: 8a +

8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)

Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:

  

3

22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0 Ch minh rằng:     

3

3 3

23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)

Cho 3 số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a b a c b c b a c a c b

25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:

(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 13abc3

26. (ĐH Y HN 2000)

Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện 2 3 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x

x y + y

27. (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >



18xyz

2 xyz

29. (ĐH An Ninh khối A 2000)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n

30. (CĐSP Nha Trang 2000)

Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = a 1  b 1

31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác

BĐT cuối cùng luôn đúng  BĐT cần chứng minh đúng

32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)

Cho 3 số a, b, c khác 0 Chứng minh: 2 2 2   

33. (ĐH Hàng hải 1999)

Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3 Chứng minh rằng:

34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)

Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng:

2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*)

35. (Đại học 2002 dự bị 1)

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

(a, b, c là các cạnh của ABC, R là bán kính

   a2 b2 c2

2R

đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy ra khi nào?

36. (Đại học 2002 dự bị 3)

Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ 5

4 nhất của biểu thức: S = 4 1

x 4y

37. (Đại học 2002 dự bị 5)

Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50

Chứng minh bất đẳng thức: a c b2 b 50 và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: S = ac

38. (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, 3

2

CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

3

39 (Đại học khối A 2003)

Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z  1 Chứng minh rằng:

40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3cosx

41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)

Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:

 









trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = a b c 

2

42. (Đại học khối A 2005)

Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1  1 1 4

1 2x+y+z x 2y z x y 2z

43. (Đại học khối B 2005)

Chứng minh rằng với mọi x  R, ta có:

Khi nào đẳng thức xảy ra?

44 (Đại học khối D 2005)

Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:

3 3

Khi nào đẳng thức xảy ra?

45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1)

Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0 CMR: 3 4 x  3 4 y  3 4 z  6

46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:         256

2

Đẳng thức xảy ra khi nào?

47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng:3

4

3a 3b 3b 3c 3c 3a 3

Khi nào đẳng thức xảy ra?

48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng nếu 0  y  x  1 thì x yy x 1

4 Đẳng thức xảy ra khi nào?

49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1 CMR:   

50 (Đại học khối A 2006)

Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:

(x + y)xy = x2 + y2 – xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 

3 3

51 (Đại học khối B 2006)

Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x 1 2y2  x 1 2y2 y 2