Toán 8 Chuyên đề 1: Nhân đa thức20653

Χηυψν đề 1 : ΝΗℜΝ ĐA THỨC∗ KIẾN THỨC CƠ BẢN − Muốn νην một đơn thức với một đa thức, τα νην đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng χ〈χ τχη lại với νηαυ.. − Biến đổi cả biểu t

Χηυψν đề 1 : ΝΗℜΝ ĐA THỨC

∗ KIẾN THỨC CƠ BẢN

− Muốn νην một đơn thức với một đa thức, τα νην đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng χ〈χ τχη lại với νηαυ Α Β Χ D    ΑΒ ΑΧ ΑD  

− Muốn νην một đa thức với một đa thức, τα νην mỗi hạng tử của đa thức ν◊ψ với từng hạng

tử của đa thức κια rồi cộng χ〈χ τχη τm được với νηαυ

Α  Β Χ D Ε    ΑΧ ΑD ΑΕ    ΒΧ ΒD ΒΕ  

ΧℑΧ DẠNG ΤΟℑΝ ςℵ PHƯƠNG ΠΗℑΠ GIẢI

Dạng 1) Τνη γι〈 trị của biểu thức Α(ξ, ψ) tại ξ = ?, ψ = ?

Phương πη〈π :

− Τηαψ trực tiếp

− Ρτ gọn rồi τηαψ γι〈 trị

ς dụ : Χηο biểu thức 6 5 4 3 2

Ε  ξ  6ξ  6ξ  6ξ  6ξ  6ξ  6 Ηψ τνη γι〈 trị của biểu thức với ξ = 5

Giải Χ〈χη 1 : Τηαψ ξ = 5 ϖ◊ο Ε τα được : 6 5 4 3 2

Ε  5  6.5  6.5  6.5  6.5  6.5 6 

5 (5 1).5 (5 1).5 (5 1).5 (5 1).5 (5 1).5 6

6 6 5 5 4 4 3 3 2 2

Χ〈χη 2 : Dο ξ = 5 νν 6 = ξ + 1

Ε  ξ  (ξ 1)ξ   (ξ 1)ξ   (ξ 1)ξ   (ξ 1)ξ   (ξ 1)ξ    ξ 1

Dạng 2) Τνη γι〈 trị của biểu thức biết điều kiện đã χηο

Phương πη〈π :

− Biến đổi biểu thức để sử dụng điều kiện hoặc xuất hiện điều kiện

− Biến đổi cả biểu thức ϖ◊ điều kiện

ς dụ : Χηο biểu thức 4 2011 1 2 6033

2015 2013 2015 2013 2013.2015

Đặt α 1 ϖ◊

2015

2013



α) Ρτ gọn D τηεο α ϖ◊ β β) Τνη γι〈 trị của 1

D

Giải : Nhận ξτ 2 1 2011 ;

2013   2013 6033 3. 1 .2011

2013.2015  2015 2013

Dο đó : D  4α 3 β    α 1 β   3αβ 12α   4αβ α   αβ 3αβ 13α  

β) 1 2015 155

D  13 

Dạng 3) Chứng mινη γι〈 trị của biểu thức κηνγ phụ thuộc ϖ◊ο γι〈 trị của biến.

Phương πη〈π : ℑπ dụng χ〈χ θυψ tắc νην, χηια, cộng, trừ đa thức để biến đổi, kết quả của

biểu thức λ◊ hằng số

∗ ΒℵΙ TẬP TỰ LUYỆN

Β◊ι tập 1 : Χηο 2 ; ;

Α  ξ   ξ 3 2

Β  2ξ  3ξ 5  2

Χ  4ξ  4ξ 15  α) Τνη D = ΑΒ – Χ β) Τνη γι〈 trị của D biết ξ   2 1

Β◊ι tập 2 Χηο α + β + χ = − 6 ; αβ + βχ + χα = 11 ϖ◊ αβχ = − 6

Ηψ τνη γι〈 trị của biểu thức Ε  (ξ  α)(ξ  β)(ξ  χ) với ξ  2

Β◊ι tập 3 Τνη γι〈 trị của χ〈χ đa thức :

φ (ξ)  ξ  50ξ  50ξ  50ξ  50ξ  50ξ 50 

γ(ξ) 1969 80ξ 80ξ     80ξ  80ξ   80ξ  ξ

Β◊ι tập 4 Chứng mινη rằng γι〈 trị của χ〈χ đa thức σαυ κηνγ phụ thuộc ϖ◊ο ξ :

η(ξ)  (ξ 1)(ξ     ξ 1) (ξ 1)(ξ    ξ 1)

κ(ξ)  2ξ(4ξ 1) 8ξ (ξ 1) (2ξ)      2ξ 3 

1975 1945 1945 1975 1975 1945 1975.1945

Χηυψν đề 2 : PHƯƠNG ΠΗℑΠ GIẢI ΧℑΧ DẠNG ΤΟℑΝ ĐA THỨC

Ι Kiến thức cơ bản

Πηπ χηια đa thức:

−Χηο ηαι đa thức φ ξ γ ξ( ) ( ), ∈ ϒ   ξ γ ξ , ( )≠ 0 Κηι đĩ, tồn tại δυψ nhất một cặp đa thức

( ) ( ),

θ ξ ρ ξ φ ξ( )= γ ξ θ ξ( ) ( ) + ρ ξ( )

0 bậc r x bậc g x Nếu ρ ξ( )= 0, τα được φ ξ( )= γ ξ θ ξ( ) ( ). τη τα ν⌠ι φ ξ( ) χηια hết χηο γ ξ( ), tức λ◊:

φ ξ γ ξ Μ ⇔ ∃ θ ξ φ ξ( )= γ ξ θ ξ( ) ( ).

− Định λ Βεζουτ (Bơdu):

Dư của πηπ χηια đa thức φ ξ( ) χηο ξ − α λ◊ γι〈 trị φ α( )

-Sơ đồ Ηορνερ (Ηοοχνε): Χηο đa thức ( ) 1

−

χηια χηο dư λ◊ , thương χ⌠ bậc ν−1 với

1

ν ν

θ ξ β ξ −

−

Τρονγ đĩ được τνη bằng sơ đồ Ηοοχνε:

2

2 ν 1 0

ν

− + + + β ιι, = 0, ν − 1

α αν=βν−1 αβν−1+αν−1=βν−2 … αβ1+α1=β0 αβ0+α0=φ(α)

ΙΙ Χ〈χ dạng β◊ι tập ϖ◊ phương πη〈π giải:

1 Ξ〈χ định đa thức:

1.1 Phương πη〈π:

−Dνγ định λ Βεζουτ

−Dνγ phương πη〈π hệ số bất định: τα ξ〈χ định sự biểu diễn ηαι đa thức bằng νηαυ bằng χ〈χη giải hệ phương τρνη sơ cấp

1.2 ς dụ:

ς dụ 1: Τm đa thức φ ξ( ), biết rằng φ ξ( ) χηια χηο ξ − 1 ϖ◊ ξ − 3 đều χ⌠ dư λ◊ 2 ϖ◊ χηια χηο được thương λ◊ ϖ◊ χ∫ν dư.

( )

Giải:

Τα χ⌠: φ ξ( ) χηια ξ − 1 dư λ◊ 2 νν φ ξ( ) (= ξ − 1) ( )γ ξ + 2 Συψ ρα: φ( )1 = 2 (1)

( )

φ ξ ξ − 3 φ ξ( ) (= ξ − 3) ( )γ ξ + 2 φ( )3 = 2

Mặt κη〈χ: φ ξ( ) χηια χηο ξ 2 − 4 ξ + 3 được ξ + 1 ϖ◊ χ∫ν dư νν:

( ) ( 2 4 3) ( 1)

φ ξ = ξ − ξ + ξ + + αξ + β

Dο đó: φ( )1 = α + β ϖ◊ φ ( )3 = 3 α + β (3)

Kết hợp (1), (2) ϖ◊ (3) τα được hệ phương τρνη:

Vậy φ ξ( )= (ξ 2 − 4 ξ + 3) (ξ + 1)+ 2

ς dụ 2: Chứng mινη rằng đa thức φ ξ( ) (= ξ + 1)(ξ + 2)(ξ + 3)(ξ + 4)+ 1 χ⌠ thể biểu diễn dưới dạng βνη phương của một ταm thức bậc ηαι.

Giải:

Χ〈χη 1: (Dνγ phương πη〈π hệ số bất định).

Ξτ φ ξ( ) (= ξ + 1)(ξ + 2)(ξ + 3)(ξ + 4)+ 1 ( 2 )2

4 7 3 12 2 3 3 21 2 36 2 2 14 24 1

⇔ + + + + + + + + + = ξ 4 + αξ 2 + β 2 + 2 αξ 3 + 2 βξ 2 + 2 αβξ

4 10 3 35 2 50 24 4 2 2 2 2 3 2 2 2

10 ξ 35 ξ 50 ξ 24 1 2 αξ α 2 β ξ 2 αβξ β

Đồng nhất χ〈χ hệ số, τα được:

2

2

25

α

β

 =



 =



Vậy ( ) ( 2 )2 (χ⌠ dạng βνη phương của ταm thức)

φ ξ = ξ + ξ +

Χ〈χη 2: (biến đổi biểu thức).

Τα χ⌠: φ ξ( ) (= ξ + 1)(ξ + 2)(ξ + 3)(ξ + 4)+ 1

(ξ 1)(ξ 4) (ξ 2)(ξ 3) 1

Vậy ( ) ( 2 )2 (χ⌠ dạng βνη phương của ταm thức)

φ ξ = ξ + ξ +

ς dụ 3: α) Τm điều kiện để đa thức φ ξ( )= αξ 3 + βξ 2 + χξ + δ λ◊ lập phương của một nhị thức bậc nhất.

β) Τm một đa thức bậc bốn φ ξ( ) σαο χηο φ ξ( )− φ ξ( − 1)= ξ 3.

χ) Từ đó συψ ρα χνγ thức lập phương của ν số νγυψν tố đầu τιν.

Giải:

α) Giả sử: ( ) ( )3

φ ξ = Αξ + Β

Συψ ρα: α = Α β 3 ; = 3 Α Β χ 2 ; = 3 ΑΒ δ 2 ; = Β 3

Dο đó: 3 3 Τηαψ ϖ◊ο đẳng thức χ∫ν lại τα được:

;

Α = α Β = δ

β = α δ χ = α δ Ηαψ β 3 = 27 α δ χ 2 ; 3 = 27 αδ 2

Vậy điều kiện để đa thức φ ξ( ) λ◊ lập phương của một nhị thức bậc nhất λ◊ β 3 = 27 α δ χ 2 ; 3 = 27 αδ 2

β) Giả sử đa thức bậc bốn χ⌠ dạng:

φ ξ = αξ + βξ + χξ + δξ + ε

φ ξ − = α ξ − + β ξ − + χ ξ − + δ ξ − + ε

Dο đó: φ ξ( )− φ ξ( − 1)= 4 αξ 3 − (6 α − 3 β ξ) 2 − −( 4 α + 3 β − 2 χ ξ) − (α − β + χ − δ)

Ξτ: φ ξ( )− φ ξ( − 1)= ξ 3

4 αξ 6 α 3 β ξ 4 α 3 β 2 χ ξ α β χ δ ξ

Συψ ρα: ( )

1

1

2

0

α α

χ

δ



 =



=



Vậy đa thức cần τm ( ) 1 4 1 3 1 2

;

φ ξ = ξ + ξ + ξ + ε ε ∈ ϒ χ) Τα χ⌠: φ( )1 − φ( )0 = 1 3

( )2 ( )1 2 3

φ ν − φ ν − = ν Cộng vế τηεο vế χ〈χ đẳng thức τρν τα được:

( ) ( )0 1 3 2 3 3

φ ν − φ = + + + ν

ς ( ) 1 4 1 3 1 2 ( )

φ ν = ν + ν + ν + ε φ = ε

Συψ ρα: 3 3 3 1 4 1 3 1 2

1 2

ς dụ 4: α) Τm đa thức φ ξ( )= ξ 3 + πξ + θ σαο χηο κηι χηια χηο (ξ − 1) ϖ◊ (ξ + 1) τη lần lượt χ⌠ dư λ◊ 2 ϖ◊ 1.

β) Τm đa thức bậc βα σαο χηο κηι χηια χηο (ξ − 1), (ξ + 1) ϖ◊ ξ − 2, τα đều được dư λ◊ 7, biết rằng φ ξ( ) χηια hết χηο 2 ξ − 1.

Giải:

α) ς φ ξ( )= ξ 3 + πξ + θ χηια χηο ξ − 1 dư 2 νν τα χ⌠:

φ = + π + θ =

Tương tự: φ ξ( )= ξ 3 + πξ + θ χηια χηο ξ − 1 dư 1 νν τα χ⌠:

φ − = − − π + θ =

1

2

π

π θ

π θ

θ



 = −

Vậy ( ) 3 1 3

φ ξ = ξ − ξ +

β) Χ〈χη 1: Giả sử đa thức bậc βα χ⌠ dạng φ ξ( )= αξ 3 + βξ 2 + χξ + δ.

Τα χ⌠: φ ( )1 = 7 ⇒ α + β + χ + δ = 7

φ − = ⇒ − α + β χ − + δ =

φ = ⇒ α + β + χ + δ =

φ  = ⇒     α + β + χ + δ = ⇔ α + β + χ + δ =

Κηι đó τα χ⌠ hệ phương τρνη:

56 9 7

112 7

9

9

49 9

α

β

χ

δ



 = −





Vậy ( ) 56 3 112 2 56 49

φ ξ = − ξ + ξ + ξ −

Χ〈χη 2:

ς đa thức bậc βα κηι χηια χηο (ξ − 1), (ξ + 1) ϖ◊ ξ − 2, τα đều được dư λ◊ 7 νν τα χ⌠:

( ) ( 1)( 1)( 2) 7

φ ξ = α ξ − ξ + ξ − +

Mặt κη〈χ: 1 0 Συψ ρα:

2

φ  = 

 

 

φ  = α −  +  − + =



 

2) Τm dư τρονγ πηπ χηια:

3.1.Phương πη〈π:

− Dνγ định λ πηπ χηια χ⌠ dư

− Dνγ định λ Bơdu

− Πην τχη đa thức

3.2.ς dụ:

ς dụ 1 Ξ〈χ định đa thức dư của πηπ χηια đa thức:

  3  9  27  81

( )

Χηο đa thức Θ ξ ( )  ξ 2  1 (23 χηυψν đề giải 1001 β◊ι το〈ν sơ cấp)

Τα χ⌠

( )

Vậy đa thức dư λ◊ Ρ ξ ( )  5 ξ

ς dụ 2 Χηο φ(ξ) λ◊ đa thức bậc 3; γ(ξ) χ⌠ dạng ξ 2  αξ β  φ(ξ) ϖ◊ γ(ξ) χηια χηο ξ  1

đều dư 1, χηια χηο ξ  2 dư 2 φ(ξ) χηια χηο ( ξ  1)( ξ  2) được thương λ◊ ξ  1ϖ◊ χ∫ν dư α) Τm dư τρονγ πηπ χηια φ(ξ) χηο γ(ξ).

β) Τm φ(ξ).

Giải:

α) Τα χ⌠ φ ξ ( )  γ ξ ξ ( )(   1) χξ δ  (1)

Τηεο định λ Bơ δυ τα χ⌠:

(2)





(1) (1) 1

(2) (2) 2

Từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα

   



   



  



  



1 2

3 2

χ δ

χ δ χ

δ

Vậy dư của πηπ χηια φ(ξ) χηο γ(ξ) λ◊ Ρ ξ ( )   3 ξ  2

β)Τα χ⌠

2

(1) 1

(2) 2

0

2 2

γ

γ

α β

α β

α β

α β

α

β





   





  



    



  



  



Συψ ρα

2

3 2

( ) ( )( 1) ( )

φ ξ γ ξ ξ Ρ ξ

3) Τm điều kiện để φ(ξ) χηια hết χηο γ(ξ)

4.1.Phương πη〈π:

− Χηια trực tiếp φ(ξ) χηο γ(ξ) rồi χηο đa thức dư ρ(ξ) = 0

− Dνγ phương πη〈π hệ số bất định

4.2.ς dụ: