Toán 8 Chuyên đề: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức7998

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨCA... Tìm GTNN ấy... Tìm GTNN của biểu thức:... Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương... gt đạt GTNN khi bi

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

A Các kiến thức thường sử dụng là:

+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:

;

2

a b

ab

 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”

+ Bất đẳng thức:  2  2 2 2 2(BĐT: Bunhiacopxki);

ac bd  a b c d

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

c d

+ a   b a b ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0.

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Nếu  2 thì min y = a khi f(x) = 0

( )

y a f x

Nếu  2 thì max y = a khi f(x) = 0

( )

y a f x

+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2)

C CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

A x  x

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

Cx  xy  y

Giải:

A x  x  x  x   x  

Min A = 10 khi

2

x 

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)

= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36

Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5



Cx  xy  y

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 2

Min C = 2 khi x = 1; y = 2



Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:

a) A = 5 – 8x – x2

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

Giải:

a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21

Max A = 21 khi x = -4



b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7

= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 7

Max B = 7 khi x = 1,

2

y 

Bài toán 3: Tìm GTNN của:

a) M        x 1 x 2 x 3 x 4

N  x  x 

Giải:

a) M        x 1 x 2 x 3 x 4

Ta có: x            1 x 4 x 1 4 x x 1 4 x 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) 0 hay  1  x 4

x           x x x x x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) 0 hay  2  x 3

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2  x 3

N  x  x   x  x 

Đặt t 2x 1 thì t 0

Do đó N = t2 – 3t + 2 = 3 2

2

1 ( )

4

4

N

  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 3

0

t   t

Do đó 1 khi

4

N  

2 1

2 1

2 1

      

4

x 

Bài toán 4: Cho x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3

Giải:

M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2

2

2 2

1

2 2

1

2

Ngoài ra: x + y = 1  x2 + y2 + 2xy = 1  2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1

=> 2(x2 + y2) ≥ 1

Do đó 2 2 1 và

2

x y    x y

Ta có: 1 2 2 và

2

x y  M  

Do đó 1 và dấu “=” xảy ra

4

2

x y

  

M    x y

Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:

(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2

Giải:

(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0



x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0



x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0



x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2



(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2



Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2

Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0

2

2

t

t

      

Vì t = x2 + y2 nên :

GTLN của x2 + y2 = 3 5

2



GTNN của x2 + y2 = 3 5

2



Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

P = a + b + c – ab – bc – ca

Giải:

Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca

= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)

= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 a b c, ,  1) Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0 Vậy GTNN của P = 0

Theo giả thiết ta có: 1 – a 0; 1 – b 0; 1 – c 0;  

(1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc 0

P = a + b + c – ab – bc – ac

Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý  0;1

Vậy GTLN của P = 1

Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1

Tìm GTLN và GTNN của x + y

Giải:

Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y) 2

2(x2 + y2) (x + y)2

Mà x2 + y2 = 1  (x + y)2  2

- Xét x y 2

2 2

x y

x y

x y





 



- Xét x  y 2

2 2

x y

x y

x y





  



Vậy x + y đạt GTNN là  2 2

2

x y 

  

Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27.

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx

Giải:

Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 0   2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx 0 

(x + y + z)2 = x 2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) 81

x + y + z 9 (1)

Mà xy + yz + zx x 2 + y2 + z2 27 (2)

Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36.

Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3

Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2

Vì B 27   1 -14 P -14

2

B

Vậy min P = -14 khi 2 2 2 1

27

x y z

x y z

   







Hay x  13;y 13;z  1

Bài toán 9:

Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị của x và y

để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN ấy

Giải:

Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1

Đặt t = xy thì:

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t

x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100

Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101

= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45

và dấu “=” xảy ra x + y = và xy = 2

45

P

Vậy GTNN của P = 45 x + y =  10 và xy = 2

Bài toán 10:

Cho x + y = 2 Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2

Ta có: x + y = 2  y = 2 – x

Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2

= x2 + 4 – 4x + x2

= 2x2 – 4x + 4

= 2( x2 – 2x) + 4

= 2(x – 1)2 + 2 2

Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1

Bài toán 1:

Tìm GTLN và GTNN của: 42 3

1

x y x







Giải:

* Cách 1:

2

Ta cần tìm a để 2 là bình phương của nhị thức

ax 4x 3 a

Ta phải có: ' 4 (3 ) 0 1

4

a

a

 



       



- Với a = -1 ta có:

y

Dấu “=” xảy ra khi x = -2

1.

y

  

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

- Với a = 4 ta có:

y

Dấu “=” xảy ra khi x = 1

2

Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1

2

* Cách 2:

2

4 3

1

x

x





y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm

- Nếu y = 0 thì (1) 3

4

x

  

- Nếu y 0 thì (1) có nghiệm   ' 4   y y(   3) 0  (y 1)(y  4) 0

hoặc

1 0

4 0

y y

 



   



1 0

4 0

y y

 



  



1 y 4

   

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1

2

Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của:

2 2

1 1

x x A

x x

 



 

Giải:

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:

(1) 2

2

1

1

x x

a

x x

 



 

Do x2 + x + 1 = x2 + 2 .x + 1

2

2

0

     

Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)

 Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

 Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là    0, tức là:

2

( 1) 4( 1)( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 0

1

3

Với 1 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là

3

2( 1) 2(1 )

x

Với 1 thì x = 1

3

a

Với a = 3 thì x = -1

Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:

GTNN của 1 khi và chỉ khi x = 1

3

A

GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1

Bài toán 3:

a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

a b



b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 1 1 Tìm GTLN của B = mn.

2m n 3

Giải:

a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2

(vì ab = 1)

2 2 2 2

a b  a b  ab

Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4

a b

Ta có: (a + b) + 4 2 (a b). 4 4

a b  a b 

Mặt khác: a b  2 ab  2

Suy ra: A 2 (a b 4 ) (a b) 2 4 2 8

a b



Với a = b = 1 thì A = 8

Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1

b) Vì 1 1 1 nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương Nếu có một trong

2m n 3

hai số là âm thì B < 0 Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số

m, n cùng dương

2m  n 3 m n  mn m n 

Vì m, n N * nên n – 3 -2 và 2m – 3 -1. 

Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:

+ 2 3 1 2 và B = mn = 2.12 = 24



+ 2 3 1 3 và B = mn = 3.6 = 18



+ 2 3 9 6 và B = mn = 6.4 = 24



Vậy GTLN của B = 24 khi 2 hay

12

m n





 



6 4

m n





 



Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1 Tìm GTNN của biểu

2 2

x y

A

x y







Giải:

Ta có thể viết: x2 y2 x2 2xy y2 2xy (x y)2 2xy

A

Do x > y và xy = 1 nên:

2

Vì x > y  x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có:

2

A

x y



2

x y

x y





2

A  

1

x y xy

 



  



hay Thỏa điều kiện xy = 1

x y

  



 

  



x y

  





  



Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: 2 1

1

y

x x



 

Giải:

y

x x

x

2

x

    

4 3

2

x

  

Vậy: GTLN của 4 tại

3

2

x 

Bài toán 6: Cho t > 0 Tìm GTNN của biểu thức: ( ) 1

4

f t t

t

 

Giải:

Ta có thể viết: 1 4 2 1 (2 1)2 4 (2 1)2

f t t

Vì t > 0 nên ta có: f t( ) 1 

2 1 0

2

Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại 1

2

t

Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức:

2 2

1 ( )

1

t

g t t







Giải:

Ta có thể viết: 22 2

t

g t



g(t) đạt GTNN khi biểu thức 2 đạt GTLN Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN

2 1

t 

Ta có: t2 + 1 1   min (t2 + 1) = 1 tại t = 0 min g(t) = 1 – 2 = -1

Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0

Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1 Tìm GTNN của

E

x y z y z x z x y

Giải:

Do đó: 1 1

a b x y a b xy x y c a b

Tương tự: y + z = a(b + c)

z + x = b(c + a)

E

x y z y z x z x y

a b c b c a c a b b c c a a b

Ta có: 3 (1)

2

b cc aa b 

Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z

2

x y z

a b c

y z x z x y x y z

 

   

Khi đó,

VT

1 1 1

              

Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0 Ta có:

2

a a b c b a b c c a b c

a b c

E

b c c a a b

 

GTNN của E là khi a = b = c = 1

2

Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1 (*).

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 2 3

x y a

x y





 

Giải:

x y

a

x y





2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0



2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)



Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)

Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]

=> 2 2 2 (vì 4x2+y2 = 1)

4a  (a 1)   (a 3)

4a  (a 1)   (a 3) a  2a  1 a  6a 9

2a 8a 10 0 a 4a 5 0

(Vì a + 5 > a – 1)

5 0 ( 1)( 5) 0

1 0

a

a

 



* Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2 y = 1

Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0  (x; y) = (0;1)

* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)

6 5

4

x

Thay vào (*) ta được: 2 6 5 2

4

x

x   

100 60 9 0

10 5

x y   

   

Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1

GTNN của a là -5 khi 3 ; 4

x  y 

Bài toán 10:

Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1

Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:

M =

2 2

    

Giải:

Ta có: M =

2 2

    

= 4 + x2 + y2 + 2 2  

2 2

1

x y

x y

Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:

x y    x y xy

Mà x + y = 1 nên 1 2 xy 1 2 21 2 16 (1)

x y xy

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1

2

x y

Ngoài ra ta cũng có:

(xy)   0 x y  2xy 2(x y )  2xyx y

(vì x + y = 1)

2(x y ) (x y) 2(x y ) 1

(2)

2 2 1

2

x y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1

2

x y

Từ (1) và (2) cho ta:

2 2

2 2

x y

Do đó: 25

2

M 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi

1

2

x y

Vậy GTNN của 25 khi và chỉ khi

2

2

x y

Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: y x  2 4 x

Giải:

* Cách 1:

Điều kiện: 2 0 2 4(*)

x

x x

 



  

  



Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a 2 + b2)(c2 + d2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

c d

Chọn a x 2;c 1;b 4 x d;  1 với 2  x 4

Ta có:

2

2

      

Vì y > 0 nên ta có: 0  y 2

Dấu “=” xảy ra  x  2 4       x x 2 4 x x 3 (Thỏa mãn (*))

Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3

* Cách 2:

Ta có: y x  2 4 x

x

x x

 

  



Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2đạt GTLN

y     x x x x  y   x x

Do 2 4 2 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm

x x

x

 



     



cho ta: 2 (x 2)(4 x)  (x   2) (4 x)  2

Do đó 2

2 2 4

y   

Dấu “=” xảy ra      x 2 4 x x 3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3

Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 3 x  1 4 5 x(1  x 5)

Giải:

a) GTLN:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:

(3; 4) và (( x 1; 5 x) ta có:

  2 2

y  x  x    x  x 

<=> 2

100

y 

=> y  10

Dấu “=” xảy ra <= 1 5 hay

x x

x x



=> x = 61 (thỏa mãn điều kiện)

25

Vậy GTLN của y là10 khi x = 61

25

* b) Gía trị nhỏ nhất:

Ta có: y = 3 x  1 4 5  x 3 x  1 3 5  x 5 x

= 3 x  1 5 x 5 x

Đặt: A = x  1 5 x thì t2 = 4 + 2 x 1 5 x 4

=> A 2 và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5

Vậy y 3 2 + 0 = 6

Dấu “=” xảy ra khi x = 5

Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5

Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5

1994 ( 1995)

x  x

Giải:

1994 ( 1995)

x  x x 1994  x 1995

Áp dụng bất đẳng thức: a   b a b ta có:

M = x 1994  x 1995  x 1994  1995 x

=> M  x 1994 1995   x 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) (1995 – x) 0

<=> 1994  x 1995

Vậy GTNN của M = 1  1994  x 1995

Bài toán 4:

Tìm GTNN của B = 3a + 4 2 với -1

1 a  a 1

Giải:

       

Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta

2

2

1

 

 

=> B

9 25 41 25

2 25



=> Do đó B và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. 5

<=> a =

2

3

5

16

1

25

a

a

 





  



3 5

Vậy GTNN của B = 5 <=> a = 3

5

Bài toán 5:

Tìm GTNN của biểu thức:

A =

2

3

2  2xx  7

Giải:

2xx     7 0 x  2x   1 8 0

<=> -(x-1)2 + 8 0  2

x

2 2 x 1 2 2

    

1 2 2 x 2 2 1

Với điều kiện này ta viết:

 2

2xx     7 x 1    8 8 2xx   7 8  2 2

2xx    7 2 2 2  2 2 1 

Do đó:

2

2

2 2 1

2 2x x 7





Vậy A 2 1 và dấu “=” xảy ra <=> x -1 = 0

3

2



 

<=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTNN của A = 3 

2   x

Bài toán 6:

Tìm GTNN của biểu thức: A = 5 3 2

1

x x





Giải:

Điều kiện: 1 – x2 > 0 <=> x2 < 1 <=> - 1 < x < 1

=> A > 0 => GTNN của A  A2đạt GTNN

Ta có: A2 =  

2

16 16

1

x



Vậy GTNN của A = 4 khi 3

5

x

Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y  1

Tìm GTNN của biểu thức: A = 2

1

x x

Giải:

Điều kiện: 1 – x2      0 1 x 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2  0 và 1 – x2  0

2 x 1 x 1 2 x 1 x

<=> 1 2 1

2

   

Vậy GTLN của A = khi x = 1 hay x =

2

2 2

2



Bài toán 8:

Tìm GTLN của biểu thức: y = x 1996  1998 x

Giải:

Biểu thức có nghĩa khi 1996  x 1998

Vì y  0với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996  x 1998

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

2 x 1996 1998 x (x 1996) (1998  x)  2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x

<=> x = 1997

Do đó y2    4 y 2

Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997

Bài toán 9:

Cho 0  x 1 Tìm GTLN của biểu thức y = x + 2 1 x  

Giải:

Ta có: y x 2 1 x= x + 2 1 

1

Vì 0 x 1 nên 1 – x  0

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số: và (1 – x) cho ta:1

2

y  x x    x x 

Dấu “=” xảy ra <=> 1 1

1

2    x x 2

Vậy GTLN của y là tại x = 3

2

1 2

Bài toán 10:

Cho M = a  3 4 a  1 a  15 8 a 1

Tìm TGNN của M

Giải:

M = a  3 4 a  1 a  15 8 a 1

= a  1 4 a   1 4 a  1 8 a  1 16

a   a 

Điều kiện để M xác định là a – 1    0 a 1

Ta có: M  a   1 2 a  1 4

Đặt x = a 1 điều kiện x  0

Do đó: M = x   2 x 4

Ta xét ba trường hợp sau:

1) Khi x  2 thì x    2 x 2  2 x

Và x    4 x 4  4 x

=> M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x   6 2.2  2

Vậy x < 2 thì M  2

2) Khi x 4 thì x   2 x 2 và x-4 =x-4

=> M = x    2 x 4 2x     6 2 4 6 2

Vậy x > 4 thì M  2

3) Khi 2 < x < 4 thì x   2 x 2 và x   4 4 x

=> M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x)

Trong trường hợp này thì: 2 a  1 4

<=> 4  a 1 16

<=> 5 a 17

Cả ba trường hợp cho ta kết luận:

GTNN của M = 2 tương ứng với: 5  a 17