Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng Trường ĐH Sài Gòn

Có rất nhiều mô hình trong tự nhiên được mô tả bởi một phương trình đạo hàm riêng như: sự truyền nhiệt trong vật dẫn, sự dao động của dây, sóng âm, sóng thuỷ triều,… Hơn nữa, với sự phát

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O0O -

ThS Hoàng Đức Thắng

Tp Hồ Chí Minh, 10/2014

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O0O -

L ời nói đầu

Ngày nay, Phương trình đạo hàm riêng trở thành một lĩnh vực quan trọng của Toán

học Có rất nhiều mô hình trong tự nhiên được mô tả bởi một phương trình đạo hàm riêng như: sự truyền nhiệt trong vật dẫn, sự dao động của dây, sóng âm, sóng thuỷ triều,… Hơn

nữa, với sự phát triển của các kỹ thuật tính toán hiện đại, môn học Phương trình đạo hàm riêng đã trở nên cần thiết không chỉ cho sinh viên ngành Toán mà còn cho những sinh viên ngành Vật lý và các ngành kỹ thuật khác Vì vậy, chúng tôi biên soạn cuốn “Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng” nhằm phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của sinh viên về môn học này

Nội dung của cuốn giáo trình này được biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Phương trình đạo hàm riêng đang được dùng giảng dạy trong Khoa Toán - Ứng dụng, trường Đại học Sài Gòn

Giáo trình gồm 4 chương Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng Chương 2, 3 và 4 trình bày về phương trình truyền nhiệt, phương trình thế

vị, phương trình truyền sóng và giới thiệu một số phương pháp giải Cuối cùng, nhằm giúp sinh viên bước đầu làm quen với lĩnh vực giải số phương trình đạo hàm riêng, chúng tôi biên soạn phần đọc thêm hướng dẫn sinh viên sử dụng phần mềm Matlab để giải số các phương trình đạo hàm riêng Trong mỗi chương, chúng tôi trình bày đầy đủ, ngắn gọn các kiến thức cơ bản cùng với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể, bài tập chọn lọc nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng tính toán và vận dụng lý thuyết trong việc giải các bài toán

Mặc dù đã cố gắng nhiều trong quá trình biên soạn, nhưng giáo trình khó tránh khỏi sai sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn

Tp HCM, tháng 10 năm 2014

CÁC TÁC GI Ả

Chương 1

KHÁI QUÁT V Ề PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và đưa các phương trình này về dạng chính tắc Chương này cũng nhắc lại phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, cấp 2 và các kết quả của khai triển Fourier, biến đổi Fourier cần thiết cho nội dung các chương về sau

I Ôn t ập phương trình vi phân

Một phương trình vi phân là phương trình hàm (một biến) có chứa đạo hàm của hàm cần tìm Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình vi phân

Hàm số y  y x( ) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trên

khoảng I   nếu y và các đạo hàm của nó tồn tại trên I và thỏa mãn phương trình (1.1) tại mọi điểm thuộc I

Nghi ệm tổng quát của phương trình (1.2) là biểu thức y  f x C( , ), trong đó C là

hằng số tùy ý sao cho:

i) V ới mỗi hằng số C, hàm số y f x C( , ) là một nghiệm của (1.2)

ii) Với mọi điểm ( , )x y thu0 0 ộc miền chứa nghiệm, khi thay vào (1.2) thì có thể

giải ra được C C0 duy nhất

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) viết dưới dạng hàm ẩn ( , ) x y  C được gọi là tích phân tổng quát

Sau đây, ta nhắc lại một số loại phương trình giải được bằng phép tính tích phân

trong đó G là nguyên hàm của g, F là nguyên hàm của f , và C là hằng số tùy ý

Ví d ụ 1.1 Giải các phương trình sau

 Lấy tích phân 2 vế, ta được

Ví d ụ 1.3 Giải phương trình (1 x y)  (1 y xy)  , 0 x0

Ta thấy, y c0 ũng là một nghiệm của phương trình

1.1 2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Định lý 1.1 Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất

( ) 0

y  p x y  , trong đó p là hàm liên tục trên khoảng I  

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên khoảng I là

trong đó p, q là các hàm liên tục trên khoảng I  

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên khoảng I là

1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng

Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất trên  với hệ số hằng

 



  



Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là

3 ,

yAe Be

với A, B là các hằng số tùy ý

b) Phương trình đặc trưng là k2 4k   , suy ra 4 0 k 2

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là

2

y Ax B e , với A, B là các hằng số tùy ý

c) Phương trình đặc trưng là k2    , suy ra k 1 0 1 3

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là

1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng

Xét phương trình sau đây trên 

Bước 2: Nếu ( )f x có dạng đặc biệt thì ta có thể tìm một nghiệm đặc biệt y p

của phương trình không thuần nhất (1.6) bằng phương pháp hệ số bất định, sẽ được trình bày sau đây

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là y y0  y p

Cách tìm nghi ệm đặc biệt: xét phương trình đặc trưng ak2 bk  c 0

D ạng 1:

( ) x ( )

n

f x e P x  , trong đó  ; P x n( ) là đa thức bậc n

Trường hợp D ạng nghiệm đặc biệt

 không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng ( )

x

y e Q x 

 trùng với một nghiệm đơn

x

y xe Q x 

 trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng

i

A i n được tìm bằng cách tính y , p y  p , sau đó thay tất cả vào phương trình ban đầu (1.6), đồng nhất các hệ số tương ứng, ta được hệ phương trình để xác định chúng

Trường hợp D ạng nghiệm đặc biệt

i

  không trùng với nghiệm

của phương trình đặc trưng x ( )cos ( )sin 

Ví d ụ 1.6 Giải phương trình y4y3y e x x( 2)

Gi ải

Xét phương trình thuần nhất y4y 3y 0

Phương trình đặc trưng là k2 4k   , suy ra 3 0 1,

3

k k

Nhận xét rằng, f x( )e x x( 2) suy ra  1 trùng với một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng và P x1( )  x 2 là đa thức bậc nhất Do đó, ta tìm nghiệm đặc biệt dưới dạng

x p

5.4

A B

54

với C , 1 C là các h2 ằng số tùy ý

Ví d ụ 1.7 Tìm nghiệm của bài toán sau

3 2 2sin ,(0) 0, (0) 1

Nhận xét rằng, f x( ) 2sin x e 0x(0.cosx2sin )x , suy ra  0,   và 1

sin cos ,

p

y   A xB x

y p  Acosx Bsinx,

thay vào phương trình ban đầu ta có

(A3 )cosB x (3A B )sinx 2sinx Đồng nhất các hệ số tương ứng, ta được

y y

2,7

5

C C

Vậy, nghiệm của bài toán ban đầu là

1.3 2 Phương pháp biến thiên hệ số Lagrange

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát y c0 ủa phương trình thuần nhất (1.4) tương ứng với (1.6) Giả sử nghiệm tổng quát của (1.4) là

0 1 1 2 2

y C y C y , trong đó C , 1 C là hai h2 ằng số tùy ý; y1 y x1( ) và y2  y x2( )

Bước 2: Tìm nghiệm đặc biệt của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1.6) dưới dạng

Giải hệ trên, ta được

,1

x x x x

e C

e e C

1

y là m ột nghiệm đặc biệt của phương trình

1( )

aybycy f x , còn y là m2* ột nghiệm đặc biệt của phương trình

Xét phương trình thuần nhất y3y2y0

Phương trình đặc trưng là k2 3k  , suy ra 2 0 1,

2

k k

Ta tìm nghiệm đặc biệt của phương trình y3y2y3e2x dưới dạng

* 2

1 x

y  xe A, tương tự ví dụ 1.6, ta được A3, suy ra y1* 3xe2x

Tiếp theo, theo ví dụ 1.7, nghiệm đặc biệt của phương trình

y y y x

là

* 2

Phương trình đặc trưng là k2 4k   , suy ra 4 0 k 2.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là

2

( ln ) ,

y A x B x

với A, B là các hằng số tùy ý

II M ột số khái niệm về phương trình đạo hàm riêng

Định nghĩa 2.1 Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình có chứa

hàm nhiều biến chưa biết và một số đạo hàm riêng của nó

C ấp cao nhất của đạo hàm riêng của hàm chưa biết xuất hiện trong phương

trình được gọi là cấp của phương trình

Tổng quát, phương trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng

trong đó F là hàm nhiều biến, x( , , , )x x1 2 x n  , ( )n u x  u x( , , )1 x là hàm nphải tìm, k1 k2   k n  , m

laàn

j j j k

k

x x x k

j

u u x

Phương trình (1.9) có thể được viết lại dưới dạng

( ) 0

L u 

trong đó L là một toán tử, nghĩa là, nếu u là một hàm thì L(u) sẽ là một hàm mới Ở

đây, ( )L u là vế trái của (1.9)

Ví d ụ 2.3 Trong phương trình (1.11), toán tử L y

Định nghĩa 2.2 Phương trình đạo hàm riêng ( ) 0L u  được gọi là tuyến tính nếu L

là một toán tử tuyến tính giữa các không gian vectơ, nghĩa là với mọi hàm u, v,

   

L u v L u L v , với   Nói cách khác, phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm và các đạo hàm riêng của nó đều chỉ xuất hiện với lũy thừa một và không có tích của chúng với nhau

Ví d ụ 2.4 Trong ví dụ 2.1, các phương trình tuyến tính là (1.10), (1.11), (1.14),

(1.18) Các phương trình còn lại là phương trình không tuyến tính

Định nghĩa 2.3 Phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính được gọi là tựa

tuy ến tính nếu nó tuyến tính đối với tất cả đạo hàm riêng cấp cao nhất của hàm

phải tìm

Ví d ụ 2.5 Trong ví dụ 2.1, phương trình (1.12), (1.13), (1.15), (1.17) là phương

trình tựa tuyến tính, phương trình (1.16) không phải phương trình tựa tuyến tính

Định nghĩa 2.4 Phương trình đạo hàm riêng được gọi là thuần nhất nếu mọi số

hạng của phương trình đều có chứa hàm phải tìm hoặc đạo hàm của nó Ngược lại, nếu có số hạng không chứa hàm phải tìm và cũng không chứa đạo hàm của nó thì

ta gọi là phương trình không thuần nhất

Ví d ụ 2.6 Trong ví dụ 2.1, phương trình (1.14) là phương trình không thuần nhất,

các phương trình còn lại đều là phương trình thuần nhất

Ví d ụ 2.7 (Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu)

2

u k u : phương trình truyền nhiệt một chiều

u xx u yy  : 0 phương trình Laplace hai chiều

u xx u yy  f x y( , ): phương trình Poisson hai chiều

u xx u yy u zz  : 0 phương trình Laplace ba chiều

u tt k u2 xx: phương trình truyền sóng một chiều

III Phân lo ại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường

h ợp hai biến

Phương trình tuyến tính cấp 2 tổng quát đối với hàm u u x y ( , ) có dạng

Au Bu Cu Du Eu Fu G  (1.19) trong đó A B C D E F G, , , , , , , u là những hàm thuộc

Định nghĩa 3.1 Phương trình (1.19) thuộc loại

i) elliptic tại ( , )x y0 0   nếu ( , ) 0x y0 0  ,

ii) parabolic tại ( , )x y0 0   nếu ( , ) 0x y0 0  ,

iii) hyperbolic tại ( , )x y0 0   nếu ( , ) 0x y0 0 

Phương trình được gọi là thuộc loại elliptic (parabolic, hyperbolic) trên  nếu tương ứng  0 ( 0,  0) tại mọi điểm ( , )x y 

Ví d ụ 3.1 Các phương trình sau đây thuộc loại nào?

Mệnh đề 3.2 Qua phép đổi biến

( , ),( , ),

thì lo ại của phương trình (1.19) sẽ không thay đổi

Ch ứng minh Thật vậy, với phép đổi biến ở trên, ta có

u yy u ( ) y 2 2u    y y u ( ) y 2 u   yy u   yy, (1.23)

u xy u    x y u (  x y   y x)u    x y u   xy u   xy (1.24) Thay (1.20) đến (1.24) vào (1.19), ta được

A u*  B u*  C u*  D u*  E u*  F u G*  * 0, (1.25) trong đó

A*  A*( , )  A  x2 B   x y C  y2, (1.26)

Ta thấy, (1.25) cùng dạng với (1.19) Hơn nữa, (1.26), (1.27) và (1.28) được

viết lại dưới dạng ma trận như sau

Vì J0 nên dấu của  cùng dấu với  Như vậy, phép đổi biến ở trên không *

IV Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai

Bằng cách chọn hai hàm ( , ) x y , ( , ) x y thích hợp trong phép đổi biến thì

phương trình tuyến tính cấp hai (1.35) luôn đưa được về một trong các dạng chính

t ắc (dạng đơn giản hơn) sau đây

a) Loại hyperbolic: dạng chính tắc thứ nhất là u   ( , , , , )  u u u   và dạng chính tắc thứ hai là u  u   *( , , , , )  u u u  

B y

A B y

y dx dy

y dx

y y

Bây giờ, nếu ta đặt ,

Phương trình đường đặc trưng 2 2 2

 

Giải phương trình vi phân trên, ta được

B i y

A

B i y

Nhận xét A* C* Thật vậy, nếu 0 A* C*  thì từ (1.34), suy ra 0 J0, trái

y x

Bây giờ, từ 2

2

2 ,2

y

y x

V Nghi ệm của một phương trình đạo hàm riêng

Định nghĩa 5.1 Một hàm u u x x ( , , , )1 2 x n được gọi là một nghiệm của phương

trình đạo hàm riêng (1.9) trên miền    nếu u và các đạo hàm riêng của nó tồn n

tại trên  và thỏa mãn phương trình (1.9) tại mọi điểm thuộc 

Ví d ụ 5.1 Các hàm 2 2

ux y , u e xcosy đều là nghiệm của phương trình Laplace hai chiều u xx u yy  trên 0 2



Định nghĩa 5.2 Một biểu thức biểu diễn tất cả nghiệm của phương trình (1.9)

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.9)

Ví d ụ 5.2 Tìm nghiệm tổng quát ( , )u x y của phương trình

với ( )C y là hàm tùy ý theo bi ến y

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là

( , ) ( ) x

u x y C y e , với ( )C y là hàm tùy ý theo bi ến y

Ví d ụ 5.3 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau

với ( )F   C( )  d , ( )G  là hàm tùy ý theo biến 

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là

( ) ( ) e

u C  e D  e 

( , )u    F( ) G( ) ee  ,

với ( )F  C( ), ( )G  D( ) là những hàm tùy ý theo biến 

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là

( , ) (ln ln ) (ln ln ) y

Mệnh đề 5.3 (Nguyên lý tuyến tính) Nếu u , 1 u ,…, 2 u là n nghi n ệm của phương

trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất ( ) 0 L u  thì

1

n

i i i



 , trong đó , ,…, là các h ằng số tùy ý cũng là nghiệm của phương trình này

cũng là nghiệm của phương trình trên

Chú ý rằng, nguyên lý tuyến tính không áp dụng được cho phương trình tuyến tính không thuần nhất Thật vậy, giả sử u và 1 u là nghi2 ệm của phương trình

1

xx yy

u u  , khi đó u1 là nghiu2 ệm của phương trình u xx u yy  2

Mệnh đề 5.4 Giả sử u và 1 u là nghi2 ệm của phương trình tuyến tính không thuần

nh ất ( ) L u  , f trong đó f là một hàm khác 0 và chỉ phụ thuộc vào biến độc lập x Khi đó, v   là m u1 u2 ột nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất ( ) 0 L u 

Ch ứng minh Ta có L v( )L u( 1u2) L u( )1 L u( )2    f f 0 ■

Ví d ụ 5.5 Nếu u và 1 u là nghi2 ệm của phương trình u xx u yy  thì 1 u1  là u2

nghiệm của phương trình u xx u yy  0

1

c

2

c c n

Mệnh đề 5.5 Giả sử u là m p ột nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần

nh ất ( ) L u  (5.1), f u là nghi0 ệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần

nh ất ( ) 0 L u  tương ứng với (5.1) Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình (5.1) là u u p u0

( , ) p( , ) ( , ) ( ) ( )

u x y u x y u x y x xC y D y ,

với ( )C y và ( ) D y là các hàm tùy ý theo bi ến y

VI Các điều kiện biên và điều kiện đầu

Điều kiện biên là điều kiện trên u khi x, trong đó là biên của miền  Một số điều kiện biên:

▪ Điều kiện Dirichlet: u g

▪ Điều kiện Neumann:

trong đó g là hàm cho trước; u u n

n

  

 ; n là vectơ pháp tuyến ngoài và | | 1n  ; 

và  là các hằng số khác 0

Nếu g thì 0 điều kiện biên được gọi là điều kiện biên thuần nhất, ngược lại

gọi là điều kiện biên không thuần nhất

Bài toán tìm nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng chỉ có điều kiện biên

được gọi là bài toán biên

Điều kiện đầu là điều kiện trên u khi biến thời gian t = 0 Số điều kiện đầu bằng

số bậc cao nhất của đạo hàm theo t trong phương trình

Bài toán tìm nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng chỉ cùng với điều

kiện đầu được gọi là bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng có điều kiện biên và

điều kiện đầu được gọi là bài toán biên-giá trị ban đầu hay bài toán hỗn hợp

Ví d ụ 6.1 Bài toán biên Dirichlet

1 2 1 2

0, ( , ) (0, ) (0, ),( ,0) ( ), [0, ],

( , ) ( ), [0, ],(0, ) ( ), [0, ],( , ) ( ), [0, ]

Ví d ụ 6.3 Bài toán hỗn hợp với điều kiện biên Dirichlet

t xx x

tt xx

x x

VII Các phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng

Phương pháp tích phân: biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, hàm Green (xem [18])

Phương pháp biến phân: tách biến, Galerkin, cực tiểu hóa phiếm hàm (xem [13])

Phương pháp số: sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn (xem [18])

Trong nội dung giáo trình này, chúng tôi trình bày ba phương pháp là: tách biến, biến đổi Fourier và sai phân hữu hạn

VIII Bài toán Sturm – Liouville

Định nghĩa 8.1 Tích vô hướng của hai hàm f và g đối với hàm trọng ( ) 0 r x  trên [ , ]a b là

, b ( ) ( ) ( )

a

f g f x g x r x dx Nếu trong thuật ngữ không có “đối với hàm trọng ( )r x ” thì ta hiểu ( ) 1r x 

( ) ( )

b a

0 0

L L

Ví d ụ 8.4 Chứng minh rằng ( ) sinf x  x và ( )g x cosx trực giao trên [0, ]

nhưng không trực giao trên 0,

Suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa 8.4 Bài toán Sturm – Liouville là bài toán biên trên [a,b] có dạng