Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.(tt)
Trang 1THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
——————————————–
BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC
PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG DẠNG ELLIPTIC
Mã số: TN2013-TN07-07
Chủ nhiệm đề tài: TS Đặng Thị Oanh
Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017
Trang 2DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI
và lĩnh vực chuyên mônĐơn vị công tác: Bộ môn An toàn
1 Trịnh Minh Đức thông tin - Trường ĐH Công nghệ Cài đặt thuật toán
thông tin và Truyền thôngChuyên môn: Công nghệ thông tinĐơn vị công tác: Phòng
2 Trần Ngọc Anh KH-CN&HTQT-Trường ĐH Công nghệ Thư ký hành chính
thông tin và Truyền thôngChuyên môn: Ngoại ngữ
ĐƠN VỊ PHỐI HỢP
người đại diện
1 Trường ĐH Thảo luận chuyên môn, GS Oleg Davydov
Strathclyde, UK viết chung bài báo quốc tế
2 Viện Toán học Thảo luận chuyên môn, GS Hoàng Xuân Phú
viết chung bài báo quốc tế
Trang 3Mục lục
PHẦN MỞ ĐẦU 1
Chương 1 Kiến thức cơ sở 3
1.1 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd 3
1.2 Nội suy với hàm cơ sở bán kính 3
1.2.1 Hàm cơ sở bán kính 3
1.2.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính 4
1.3 Hàm xác định dương và ma trận xác định dương 4
1.3.1 Ma trận xác định dương 4
1.3.2 Hàm xác định dương 4
1.3.3 Hàm bán kính xác định dương 4
Chương 2 Tham số hình dạng tối ưu 5
2.1 Phương pháp RBF-FD đơn điểm và đa điểm 5
2.1.1 Sự rời rạc phương trình Poisson trên các tâm phân bố không đều 5
2.1.2 Véc tơ trọng số vi phân số 5
2.1.3 Các phương pháp RBF-FD 6
2.1.4 Tính toán ổn định với c nhỏ 6
2.2 Nghiên cứu thử nghiệm số của tham số hình dạng tối ưu 7
2.3 Ước lượng tham số hình dạng tối ưu 7
2.4 Kết luận 8
Chương 3 Phương pháp thích nghi không lưới RBF-FD giải bài toán Elliptic 10
3.1 Thuật toán chọn tâm 10
3.2 Phương pháp làm mịn thích nghi và thuật toán 11
3.3 Các kết quả thử nghiệm số 12
3.4 Kết luận 12
KẾT LUẬN 15
Trang 4Danh sách bảng
2.1 Các hàm thử u1, , u9 (các nghiệm chính xác của các bài toán dùng thử nghiệm)
và các Laplace của chúng (các vế phải của các bài toán dùng thử nghiệm fi= ∆ui,
i= 1, , 8 các hàm u4và f4được cho trong tọa độ cực.) 72.2 Tham số hình dạng tối ưu đối với sai số rms của ˆuvới phương pháp đa điểm sử dụnghàm thử u3 Đối với mỗi miền, số đầu tiên trong mỗi cột là tham số hình dạng tối ưu,
số còn lại là miền giá trị của tham số hình dạng 8
Trang 5Danh sách hình vẽ
2.1 Tam giác phân ban đầuT(1) của miền đĩa với lỗ thủng vuông và miền đa giác 72.2 Sai số rms của phương pháp đơn điểm (sp, các đường cong đứt) và phương pháp đa
điểm (mp, các đường cong liền) Các nghiệm của hàm thử u3 trên năm bộ tâm như
một hàm của các bậc tự do, với các giá trị tham số hình dạng là sản phẩm của Thuật
toán 1: Alg1a và Alg1b tương ứng với Thuật toán 1a và 1b, phân biệt Sai số của
phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để so sánh 93.1 Các tâm được thêm vào tại lân cận cạnh được đánh dấu 113.2 Bài toán 1: (a) Sai số Ec của nghiệm xấp xỉ trên các tâm rời rạc được sinh ra bởi làm
mịn liên tiếp, sử dụng FEM và hai phương pháp RBF-FD, (RBF-FD old, RBF-FD)
như một hàm với đối số là nghịch đảo của số tâm trong miền (b) Sai số Eg của
nghiệm nội suy trên lưới (cd) Hàm sai số u − ˆuđối với phương pháp RBF-FD trong
bài báo này trên 3169 tâm trong miền và phương pháp trên 3009 đỉnh trong miền (ef)
Các tâm được sử dụng đối với các nghiệm phân biệt (gh) phóng to cả hai tập các tâm 133.3 Bài toán 2 với α = 1000 và x0= (0.5, 0.5): phương pháp RBF-FD với Thuật toán 2
trên các tâm được sinh ra bởi FEM (a) Nghiệm xấp xỉ với 343 tâm (b-d) Sai số của
các nghiệm xấp xỉ trên các tâm 14
Trang 6ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Đơn vị: Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1 Thông tin chung
• Tên đề tài: Phương pháp RBF-FD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic
• Mã số: TN2013-TN07-07
• Chủ nhiệm đề tài: TS Đặng Thị Oanh
• Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên
• Thời gian thực hiện: Từ tháng 11 năm 2013 đến tháng 11 năm 2015 (gia hạn đến tháng 6 năm2016)
2 Mục tiêu
• Xây dựng phương pháp không lưới mới dưới dạng công thức yếu nhờ nội suy địa phương RBF
• Đề xuất thuật toán mới chọn tâm nội suy hỗ trợ cho phương pháp này
• Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp RBF - FD
3 Tính mới và sáng tạo
• Đề xuất 3 thuật toán mới
• Thử nghiệm số trên các thuật toán mới để so sánh với các thuật toán đã công bố
4 Kết quả nghiên cứu
• Đề xuất thuật toán tìm tham số scaling tối ưu cho nội suy hàm RBF cho phương pháp RBF-FD
• Đề xuất thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới RBF-FD
• Đề xuất thuật toán sinh tâm thích nghi cho phương pháp RBF-FD
• Cải tiến thuật toán chọn tâm
5 Sản phẩm
Sản phẩm khoa học
• 01 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế ISI
• 01 bài báo đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc gia
• 01 bài báo đăng trên kỷ yếu hội thảo Quốc gia
Trang 71 Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), "Adaptive RBF-FD Method
for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied Mathematics and
Compu-tation, Volume 313, pp 474-497
2 Đặng Thị Oanh (2014), "Tham số hình dạng tối ưu cho phương pháp xấp xỉ RBF-FD giải
phương trình Poisson", Tạp chí Ứng dụng Toán học Việt Nam, Số 12, tr 1-24.
3 Đặng Thị Oanh và Nguyễn Văn Tảo (2016), "Nghiên cứu thuật toán chọn k-láng giềng gầnvới hai điều kiện dừng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson trong 2D",
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Công nghệ quốc gia (Fair 2016), tr 509-514
Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn 03 luận văn thạc sĩ bảo vệ thành công:
1 Vũ Huy Hoàng Đô, Sự ảnh hưởng của bộ tâm được chọn trong phương pháp không lưới
RBF-FD, Luận văn tốt nghiệp năm 2015, Quyết định số 49/QĐ-ĐHCNTT&TT ngày14/01/2015, tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học TháiNguyên
2 Đàm Văn Mạnh, Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số, Luận văn tốt
nghiệp năm 2014, Quyết định số 132/QĐ-ĐHTN, ngày 27/01/2014, tại Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên
3 Phạm Thị Quyên, Hàm cơ sở theo bán kính và ứng dụng giải bài toán Dirichlet với
phương trình Poisson, Luận văn tốt nghiệp năm 2014, Quyết định số 132/QĐ-ĐHTN,ngày 27/01/2014, tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu:
Các bài báo và các công trình công bố trong các hội thảo sẽ là tài liệu cho những nghiên cứu sâuhơn trong chủ đề này Kết quả nghiên cứu của đề tài cũng là nguồn tài liệu tham khảo hữu ích chocông tác giảng dạy cho sinh viên tại trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại họcThái Nguyên
Ngày 26 tháng 06 năm 2017
Trang 8INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1 General information:
• Project title: Radial Basis Function-Finite Difference Method(RBF-FD) for Solving EllipticPartial Differential Equation
• Code number: TN2013-TN07-07
• Coordinator: Dr Dang Thi Oanh
• Implementing institution: TNU - University of Information and Communication Technology
• Duration: From November 2013 to November 2015 (extended until June 2016)
2 Objective(s):
• Develop a new meshless method in weak formula by local RBF interpolation
• Propose a new interpolation stencil support selection algorithm in order to support this method
• Propose an adaptive refinement algorithm to RBF-FD method
3 Creativeness and innovativeness:
• Propose 3 new algorithms
• Numerical test on the new algorithms to compare with published algorithms
4 Research results:
• Propose an algorithm to find the optimal shape parameter for RBF interpolation
• Propose a stencil support selection algorithm in order to support RBF-FD method
• Propose an adaptive refinement algorithm to RBF-FD method
• Improve the stencil support selection algorithm
5 Products:
Scientific product
• A paper in ISI international journal
• A paper in national journal
• A paper in proceedings of national conference
1 Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), "Adaptive RBF-FD Method
for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied Mathematics and
Compu-tation, Volume 313, pp 474-497
Trang 92 D T Oanh (2014), "On the optimal shape parameter for RBF-FD approximation method
to solve the Poisson equation", Vietnam Journal of Mathematical Applications, Number
12, pp 1-24,
3 Dang Thi Oanh and Nguyen Van Tao (2016), "Research the k-neighbors close selectionalgorithm with two termination criterion for the RBF-FD method to solve the Poisson
equation in 2D", Proceedings of national conference (Fair 2016), pp 509-514.
Product training: Graduate study guide 03 Master’s theses.
1 Vu Huy Hoang Do, The influence of stencils selection to meshless RBF-FD method,
Grad-uation thesis in 2015, number 49/QĐ-ĐHCNTT&TT,14/01/2015
2 Dam Van Manh, Research on some interpolation methods and function approximation,
Graduation thesis 2014, number 132/QĐ-ĐHTN, 27/01/2014, at Thainguyen university
of Sciences
3 Pham Thi Quyen, Application of radial basis function for solving the Dirichlet problem
for poisson’s equation, Graduation thesis 2014, number 132/QĐ-ĐHTN, 27/01/2014, atThainguyen university of Sciences
6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results:
Articles and work published in seminars will be the materials for further research in the topic.The research results of the project are also useful references for teaching students at Thai NguyenUniversity of Information & Communication Technology
Trang 10PHẦN MỞ ĐẦU
1 Tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu
Phương pháp RBF – FD là phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm RBF (Radial BasisFunction) với cách tiếp cận địa phương và dựa trên sự rời rạc hóa giống như phương pháp FD (finitedifferent) Phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic đã được giải bằng các phương pháp truyền thốngnhư phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp thể tích biên Tuynhiên, các phương pháp truyền thống rất khó sử dụng trong những trường hợp lưới biến dạng trênphạm vi rộng hoặc số chiều không gian cao, hàm vế phải hoặc hàm điều kiện biên có kì dị (có độ daođộng lớn), vì các phương pháp này đòi hỏi phải rời rạc miền tính toán thành một lưới Nên khi miềntính toán phức tạp thì các phương pháp truyền thống sẽ gặp khó khăn rất lớn Khó khăn phức tạp lớnnhất là sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới Để khắc phục những nhược điểm của các phương pháplưới trên, người ta đã đưa ra phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng Phương phápkhông lưới sử dụng các tập điểm rời rạc trong miền xác định để tính nghiệm tại các điểm này Một lợithế của kỹ thuật rời rạc không lưới là chỉ cần dựa trên tập điểm độc lập phân bố bất kỳ Do đó, chi phídành cho sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới được loại trừ Phương pháp xấp xỉ không lưới có thểđược xem như một công cụ số thế hệ mới
2 Mục tiêu, đối tượng, phạm vi, cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu
• Mục tiêu
– Xây dựng phương pháp không lưới mới dưới dạng công thức yếu nhờ nội suy địa phương
RBF
– Đề xuất thuật toán mới chọn tâm nội suy hỗ trợ cho phương pháp này.
– Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp RBF - FD.
• Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp không lưới dựa vào nội suy địa phương RBF giải phương trình đạo hàmriêng dạng elliptic cấp 2 và một số thuật toán hỗ trợ cho phương pháp này như: thuật toán chọntham số hình dạng tối ưu, thuật toán chọn tâm và thuật toán làm mịn thích nghi
• Phạm vi nghiên cứu
– Đề xuất thuật toán chọn bộ tâm tối ưu cho nội suy địa phương hàm cơ sở bán kính để tìm
véc tơ trọng số giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic cấp 2
– Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi trong không gian 2D đối với những bài toán biên
có miền hình học phức tạp, hàm có độ dao động lớn
– Thử nghiệm số trên các bài toán biên với điều kiện biên Dirichlet như Poisson, elliptic và
so sánh hiệu quả của phương pháp mới với một số phương pháp truyền thống
Trang 11• Cách tiếp cận
Bài toán thực tế thường có kích thước lớn vì vậy chúng tôi tiếp cận theo phương phápđịa phương hóa tức là xấp xỉ địa phương bởi hàm RBF trong giai đoạn đầu (Điều này tránh việcgiải hệ phương trình đại số tuyến tính kích thước lớn), sau đó sử dụng những kết quả này nhưthông tin đầu vào để ghép trơn trên phạm vi toàn cục trong giai đoạn thứ hai
• Phương pháp nghiên cứu
– Nghiên cứu tài liệu và thử nghiệm,
– Thống kê toán học: Chứng minh bằng thử nghiệm và so sánh các kết quả của phương
pháp không lưới với các phương pháp truyền thống như phương pháp sai phân hữu hạn vàphương pháp phần tử hữu hạn trên các bài toán mẫu
– Sử dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình đạo hàm
riêng để nghiên cứu độ xấp xỉ, tốc độ hội tụ của phương pháp Sử dụng công cụ đại sốtuyến tính và giải tích hàm nghiên cứu hệ phương trình đại số được đưa ra khi xây dựngthuật toán
Trang 12Chương 1 Kiến thức cơ sở
1.1 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd
Cho bộ dữ liệu (xi, yi), i = 1, 2, , n, xi∈ Rd, yi∈ R, trong đó xi là các vị trí đo, yilà các kết quảtại vị trí đo Cho B1, B2, , Bnlà các hàm cơ sở của không gian tuyến tính các hàm d biến liên tục Kýhiệu
F= span {B1, B2, , Bn} =
(n
∑
k=1
CkBk, Ck∈ R
).Bài toán nội suy là tìm hàm P f ∈ F sao cho
Định lý 1.1.1 (Mairhuber Curtis) Giả sử rằng Ω ⊂ Rd, d ≥ 2, chứa một điểm trong Khi đó không
tồn tại không gian Haar của các hàm liên tục trên Ω.
Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω ⊂ Rd và F ⊂ C(Ω) là không gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ sở là
{B1, B2, , Bn} Ta nói F là không gian Haar trên Ω nếu det(A) 6= 0 với mọi bộ tâm phân biệt từng
đôi một x1, x2, , xntrong Ω, trong đó ma trận A được định nghĩa bởi (1.4).
1.2 Nội suy với hàm cơ sở bán kính
Trang 131.2.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính
Ta ký hiệu
Φk(x) = Φ(x − xk) = φ (||x − xk||)với k = 1, 2, , n, x ∈ Rd (1.5)Khi đó, nội suy hàm số dựa trên các hàm cơ sở bán kính có nghĩa là tìm hàm
1.3 Hàm xác định dương và ma trận xác định dương
Định nghĩa 1.3.1 Ma trận giá trị thực, đối xứng A = (Ajk) được gọi là xác định dương nếu dạng
toàn phương tương ứng không âm, tức là:
Định nghĩa 1.3.2 Hàm Φ : Rd → R liên tục, được gọi là xác định dương trên Rd nếu và chỉ nếu
nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x1, x2, , xn} ⊂ Rd
, với mọi véc tơ
Công thức (1.6) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ 0.
Định nghĩa 1.3.3 Hàm một biến φ : [0, ∞] → R được gọi là xác định dương trên Rd nếu hàm nhiều biến tương ứng Φ(x) = φ (||x||), x ∈ Rd, là xác định dương.
Định nghĩa 1.3.4 Một hàm được gọi là hàm bán kính xác định dương nếu nó vừa là hàm bán kính
vừa đồng thời xác định dương.
Trang 14Chương 2 Tham số hình dạng tối ưu
2.1 Phương pháp RBF-FD đơn điểm và đa điểm
Xét bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson trong miền giới nội Ω ⊂ Rd: f là hàm đã cho,được xác định trên Ω, và hàm g được xác định trên ∂ Ω Tìm u sao cho
Bài toán này có thể được rời rạc hóa như sau Cho Ξ ⊂ Ω là bộ hữu hạn các tâm rời rạc, ∂ Ξ := Ξ ∩ ∂ Ω
và Ξint:= Ξ \ ∂ Ξ Giả sử rằng với mỗi ζ ∈ Ξint, bộ Ξζ ⊂ Ξ được chọn sao cho ζ ∈ Ξζ và chọn mộtcông thức vi phân tuyến tính đối với toán tử Laplace ∆,