Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic. (NCKH)

Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic.

THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

——————————————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG DẠNG ELLIPTIC

Mã số: TN2013-TN07-07

Chủ nhiệm đề tài: TS Đặng Thị Oanh

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG DẠNG ELLIPTIC

Mã số: TN2013-TN07-07

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017

DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI

và lĩnh vực chuyên mônĐơn vị công tác: Bộ môn An toàn

1 Trịnh Minh Đức thông tin - Trường ĐH Công nghệ Cài đặt thuật toán

thông tin và Truyền thôngChuyên môn: Công nghệ thông tinĐơn vị công tác: Phòng

2 Trần Ngọc Anh KH-CN&HTQT-Trường ĐH Công nghệ Thư ký hành chính

thông tin và Truyền thôngChuyên môn: Ngoại ngữ

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP

người đại diện

1 Trường ĐH Thảo luận chuyên môn, GS Oleg Davydov

Strathclyde, UK viết chung bài báo quốc tế

2 Viện Toán học Thảo luận chuyên môn, GS Hoàng Xuân Phú

viết chung bài báo quốc tế

Mục lục

PHẦN MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Kiến thức cơ sở 3

1.1 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd 3

1.2 Nội suy với hàm cơ sở bán kính 4

1.2.1 Hàm cơ sở bán kính 4

1.2.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính 5

1.3 Hàm xác định dương và ma trận xác định dương 5

1.3.1 Ma trận xác định dương 5

1.3.2 Hàm xác định dương 6

1.3.3 Hàm bán kính xác định dương 6

Chương 2 Tham số hình dạng tối ưu 7

2.1 Phương pháp RBF-FD đơn điểm và đa điểm 7

2.1.1 Sự rời rạc phương trình Poisson trên các tâm phân bố không đều 7

2.1.2 Véc tơ trọng số vi phân số 9

2.1.3 Các phương pháp RBF-FD 10

2.1.4 Tính toán ổn định với c nhỏ 13

2.2 Nghiên cứu thử nghiệm số của tham số hình dạng tối ưu 13

2.3 Ước lượng tham số hình dạng tối ưu 21

2.4 Kết luận 27

Chương 3 Phương pháp thích nghi không lưới RBF-FD giải bài toán Elliptic 28

3.1 Thuật toán chọn tâm 28

3.2 Phương pháp làm mịn thích nghi và thuật toán 31

3.3 Các kết quả thử nghiệm số 33

3.4 Kết luận 49

KẾT LUẬN 50

Tài liệu tham khảo 51

Danh sách bảng

1.1 Một số hàm cơ sở bán kính, trong đó r = ||x − xk|| 41.2 Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng δ > 0 52.1 Các hàm thử u1, , u9 (các nghiệm chính xác của các bài toán dùng thử

nghiệm) và các Laplace của chúng (các vế phải của các bài toán dùng thử

nghiệm fi= ∆ui, i = 1, , 8 các hàm u4và f4được cho trong tọa độ cực.) 142.2 Số các tâm trong miền và tham số hình dạng ‘an toàn’ cdmincủa mỗi rời rạc 142.3 Tham số hình dạng tối ưu đối với sai số rms của ˆuvới phương pháp đa điểm

sử dụng hàm thử u3 Đối với mỗi miền, số đầu tiên trong mỗi cột là tham số

hình dạng tối ưu, số còn lại là miền giá trị của tham số hình dạng 162.4 Tham số hình dạng tối ưu đới với sai số vi phân rms của phương pháp đa

điểm sử dụng hàm thử u3 162.5 Tham số hình dạng gần tối ưu copt đối với phương pháp đa điểm và số vòng

lặp nIter trong Bước II của Thuật toán 1 khi Ξ = Ξ(2)và Ξref= Ξ(3)đối với

hàm thử u3 242.6 Tham số hình dạng gần tối ưu copt và số lần lặp nIter đối với phương pháp

đa điểm như trong Bảng 2.5 đối với các hàm thử và các miền như trong

Hình 2.4 và 2.7 242.7 Tham số hình dạng gần tối ưu copt và số lần lặp nIter đối với phương pháp

đa điểm như trong Bảng 2.5 f đối với các hàm thử và các miền như trong các

Hình 2.5 and 2.8 253.1 h0 và pow đối với TP1 343.2 h0 và pow cho TP5a 363.3 Độ đo đồng dạng umax, uaver, cmax, caver(được định nghĩa như trong phần 3.1)

thu được cho mỗi bài toán 49

Danh sách hình vẽ

2.1 Tam giác phân ban đầuT (1)của miền đĩa với lỗ thủng vuông và miền đa giác 152.2 Trái: Sai số rms của nghiệm sử dụng véc tơ trọng số đa điểm với hàm thử

u3trên năm bộ tâm, như một hàm của tham số hình dạng c (các đường liền)

được so sánh với sai số rms của nghiệm FEM (các nét đứt) Phải: sai số vi

phân số (numerical differentiation error) của các véc tơ trọng số đa điểm Từ

trên xuống dưới: miền hình vuông, đĩa, đĩa với lỗ thủng vuông và đa giác

Trong mỗi hình con, năm nét liền là sai số của phương pháp đa điểm trên

năm bộ tâm, ngoài ra đường thẳng đứt là sai số của phương pháp phần tử hữu

hạn trên năm tam giác phân để so sánh với phương pháp đa điểm Vị trí ngôi

sao là sai số của phương pháp đa điểm với c = cdmin 172.3 Sai số rms của phương pháp đa điểm với hàm thử u3 trên năm bộ tâm, như

một hàm của của bậc tự do đối với ba giá trị của tham số hình dạng : An

toàn c = cdmin, như trình bày trong Bảng 2.2, QR0 tham chiếu đến trường

hợp c = 0, và Opt tham chiếu đến giá trị tối ưu của c được trình bày trong

Bảng 2.3 182.4 Sai số rms của nghiệm đa điểm (trái) và sai số vi phân số rms (phải) như

trong Hình 2.2 Từ trên xuống: u5trên miền đa giác, u7, u8 và u1trên miền

hình đĩa 192.5 Sai số rms của nghiệm đa điểm sử dụng hàm thử u2, u4, u5, u6 Các hình được

bố trí như trong Hình 2.2 (trái) 202.6 Sai số rms của phương pháp đơn điểm (sp, các đường cong đứt) và phương

pháp đa điểm (mp, các đường cong liền) Các nghiệm của hàm thử u3 trên

năm bộ tâm như một hàm của các bậc tự do, với các giá trị tham số hình

dạng là sản phẩm của Thuật toán 1: Alg1a và Alg1b tương ứng với Thuật

toán 1a và 1b, phân biệt Sai số của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để

so sánh 242.7 Sai số rms của các nghiệm của phương pháp đơn điểm và đa điểm đối với các

hàm thử và các miền như trong Hình 2.4 trên năm bộ tâm, với giá trị tham số

hình dạng là sản phẩm của Thuật toán 1 Các ký hiệu giống như trong Hình 2.6 25

2.8 Sai số rms các nghiệm của phương pháp đơn điểm và đa điểm đối với các

hàm thử và các miền như trong Hình 2.5 trên năm bộ tâm, với giá trị tham số

hình dạng là sản phẩm của Thuật toán 1 Các ký hiệu giống như trong Hình 2.6 263.1 Cấu trúc Ξζ thu được bởi Thuật toán 2 303.2 Các tâm được thêm vào tại lân cận cạnh được đánh dấu 323.3 Nghiệm giải tích của các Bài toán 1 (trái) và 2 (phải) 343.4 Bài toán 1: (a) Sai số Eccủa nghiệm xấp xỉ trên các tâm rời rạc được sinh ra

bởi làm mịn liên tiếp, sử dụng FEM và hai phương pháp RBF-FD, (RBF-FD

old: trong bài báo [4], RBF-FD: trong bài báo này) như một hàm với đối số

là nghịch đảo của số tâm trong miền (b) Sai số Egcủa nghiệm nội suy trên

lưới (cd) Hàm sai số u − ˆuđối với phương pháp RBF-FD trong bài báo này

trên 3169 tâm trong miền và phương pháp trên 3009 đỉnh trong miền (ef)

Các tâm được sử dụng đối với các nghiệm phân biệt (gh) phóng to cả hai tập

các tâm 353.5 Bài toán 1 với các tâm repulsion 363.6 Bài toán 2: Các sai số và các tâm như trong Hình 3.4 Các đồ thị trong (c,

d) dựa trên nghiệm RBF-FD trên1938tâm trong miền biểu diễn trong (e) và

nghiệm của FEM trên 1811 đỉnh trong biểu diễn trong (f) 373.7 Bài toán 3: Các sai số đối với các giá trị khác nhau của ω, sai số trên tâm

(trái) và sai số trên lưới (phải) RBF-FD: phương pháp chúng tôi mới đề xuất,

FEM: Phương pháp Phần tử hữu hạn được tính bởi MATLAB PDE Toolbox

với các tham số ngầm định 383.8 Bài toán 3: Các hàm sai số của các phương pháp RBF-FD (trái) và FEM

(phải) Số các tâm/đỉnh nằm trong miền: (a) 2786, (b) 2768, (c) 3592, (d)

3478, (e)1721, (f) 1427, (g)2553, (h) 2521 Các tâm và các đỉnh được biểu

diễn trong các Hình 3.9 393.9 Bài toán 3: Các tâm được sinh ra bởi phương pháp RBF-FD (trái) và các

đỉnh của các tam giác được sinh ra bởi phương pháp FEM (phải) đối với các

nghiệm xấp xỉ, các đồ thị sai số được biểu diễn trong các Hình 3.8 40

3.10 Bài toán 3: (a) Sai số Ec của nghiệm xấp xỉ trên các tâm (RBF-FD old:

phương pháp cũ trong bài báo [4], RBF-FD: phương pháp chúng tôi mới đề

xuất) (b) Sai số Egnội suy nghiệm xấp xỉ trên lưới (cd) hàm sai số u − ˆucủa

nghiệm xấp xỉ RBF-FD của phương pháp mới tên 2204 tâm trong miềnvà

trên 2236 đỉnh trong miền của phương pháp FEM (ef) Các tâm sử dụng 413.11 Bài toán 4: Nghiệm chính xác đối với α =10π1 và 50π1 423.12 Bài toán 4 với α = 10π1 : (a) Nghiệm chính xác trong miền con được sử dụng

trong Hình 3.13(e-h) và trong (bd) của hình này (b-d) Các tâm và sai số

đối với nghiệm xấp xỉ với 3679 tâm trong miền thu được từ phương pháp

RBF-FD với độ lệch ε0(ζ , ξ ) = | ˆuζ− ˆuξ| 423.13 Bài toán 4 with α =10π1 : Sai số và các tâm/đỉnh Các đồ thị trong (ceg) được

dựa trên nghiệm xấp xỉ với RBF-FD với 4029 tâm trong miền, các đồ thị

(dfh) còn lại dựa trên nghiệm xấp xỉ của FEM với 3806 đỉnh trong miền 433.14 Bài toán 4 with α =50π1 : Các sai số và các tâm/đỉnh Các đồ thị trong (ceg)

dựa trên nghiệm số của phương pháp RBF-FD với13964tâm trong miền, các

đồ thì (dfh) còn lại dựa trên nghiệm xấp xỉ của FEM với 14942 đỉnh trong

miền 443.15 Các nghiệm giải tích của Bài toán 5 453.16 Bài toán 5: Các sai số với α = 1000, x0= (0.5, 0.5) (trên) và α = 100000,

x0= (0.51, 0.117) (dưới) RBF-FD: phương pháp mới đề xuất, FEM: phương

pháp Phần tử hữu hạn, FD trên các tâm của FEM: phương pháp

RBF-FD với Thuật toán 2 trên các tâm được sinh ra bởi phương pháp FEM 453.17 Bài toán 5 với α = 1000 và x0= (0.5, 0.5): (ab) Nghiệm số của phương pháp

RBF-FD với 350 và FEM với 343 tâm trong miền, (c-h) các đồ thị sai số của

các nghiệm số trên các cấp khác nhau của làm mịn thích nghi 463.18 Bài toán 5 với α = 1000 và x0= (0.5, 0.5): Các tâm của phương phápRBF-

FD và FEM 473.19 Bài toán 5 với α = 1000 và x0= (0.5, 0.5): phương pháp RBF-FD với Thuật

toán 2 trên các tâm được sinh ra bởi FEM (a) Nghiệm xấp xỉ với 343 tâm

(b-d) Sai số của các nghiệm xấp xỉ trên các tâm 48

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Đơn vị: Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung

• Tên đề tài: Phương pháp RBF-FD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic

• Mã số: TN2013-TN07-07

• Chủ nhiệm đề tài: TS Đặng Thị Oanh

• Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học TháiNguyên

• Thời gian thực hiện: Từ tháng 11 năm 2013 đến tháng 11 năm 2015 (gia hạn đến tháng

6 năm 2016)

2 Mục tiêu

• Xây dựng phương pháp không lưới mới dưới dạng công thức yếu nhờ nội suy địaphương RBF

• Đề xuất thuật toán mới chọn tâm nội suy hỗ trợ cho phương pháp này

• Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp RBF - FD

3 Tính mới và sáng tạo

• Đề xuất 3 thuật toán mới

• Thử nghiệm số trên các thuật toán mới để so sánh với các thuật toán đã công bố

4 Kết quả nghiên cứu

• Đề xuất thuật toán tìm tham số scaling tối ưu cho nội suy hàm RBF cho phương phápRBF-FD

• Đề xuất thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới RBF-FD

• Đề xuất thuật toán sinh tâm thích nghi cho phương pháp RBF-FD.

• Cải tiến thuật toán chọn tâm

5 Sản phẩm

Sản phẩm khoa học

• 01 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế ISI

• 01 bài báo đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc gia

• 01 bài báo đăng trên kỷ yếu hội thảo Quốc gia

1 Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), "Adaptive RBF-FD

Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied

2 Đặng Thị Oanh (2014), "Tham số hình dạng tối ưu cho phương pháp xấp xỉ

RBF-FD giải phương trình Poisson", Tạp chí Ứng dụng Toán học Việt Nam, Số 12, tr.

Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn 03 luận văn thạc sĩ bảo vệ thành công:

1 Vũ Huy Hoàng Đô, Sự ảnh hưởng của bộ tâm được chọn trong phương pháp

49/QĐ-ĐHCNTT&TT ngày 14/01/2015, tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin vàTruyền thông - Đại học Thái Nguyên

2 Đàm Văn Mạnh, Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số, Luận

văn tốt nghiệp năm 2014, Quyết định số 132/QĐ-ĐHTN, ngày 27/01/2014, tạiTrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

3 Phạm Thị Quyên, Hàm cơ sở theo bán kính và ứng dụng giải bài toán Dirichlet

132/QĐ-ĐHTN, ngày 27/01/2014, tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu:

Các bài báo và các công trình công bố trong các hội thảo sẽ là tài liệu cho những nghiêncứu sâu hơn trong chủ đề này Kết quả nghiên cứu của đề tài cũng là nguồn tài liệu thamkhảo hữu ích cho công tác giảng dạy cho sinh viên tại trường Đại học Công nghệ thông tin

và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên

Ngày 26 tháng 06 năm 2017

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

• Project title: Radial Basis Function-Finite Difference Method(RBF-FD) for SolvingElliptic Partial Differential Equation

• Code number: TN2013-TN07-07

• Coordinator: Dr Dang Thi Oanh

• Implementing institution: TNU - University of Information and Communication nology

Tech-• Duration: From November 2013 to November 2015 (extended until June 2016)

2 Objective(s):

• Develop a new meshless method in weak formula by local RBF interpolation

• Propose a new interpolation stencil support selection algorithm in order to support thismethod

• Propose an adaptive refinement algorithm to RBF-FD method

3 Creativeness and innovativeness:

• Propose 3 new algorithms

• Numerical test on the new algorithms to compare with published algorithms

4 Research results:

• Propose an algorithm to find the optimal shape parameter for RBF interpolation

• Propose a stencil support selection algorithm in order to support RBF-FD method

• Propose an adaptive refinement algorithm to RBF-FD method

• Improve the stencil support selection algorithm

5 Products:

Scientific product

• A paper in ISI international journal.

• A paper in national journal

• A paper in proceedings of national conference

1 Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), "Adaptive RBF-FD

Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied

2 D T Oanh (2014), "On the optimal shape parameter for RBF-FD

approxima-tion method to solve the Poisson equaapproxima-tion", Vietnam Journal of Mathematical

Product training: Graduate study guide 03 Master’s theses.

1 Vu Huy Hoang Do, The influence of stencils selection to meshless RBF-FD

2 Dam Van Manh, Research on some interpolation methods and function

Thain-guyen university of Sciences

3 Pham Thi Quyen, Application of radial basis function for solving the Dirichlet

27/01/2014, at Thainguyen university of Sciences

6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research sults:

re-Articles and work published in seminars will be the materials for further research in thetopic The research results of the project are also useful references for teaching students atThai Nguyen University of Information & Communication Technology

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu

Phương pháp RBF – FD là phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm RBF (RadialBasis Function) với cách tiếp cận địa phương và dựa trên sự rời rạc hóa giống như phươngpháp FD (finite different) Phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic đã được giải bằng cácphương pháp truyền thống như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử biên,phương pháp thể tích biên Tuy nhiên, các phương pháp truyền thống rất khó sử dụng trongnhững trường hợp lưới biến dạng trên phạm vi rộng hoặc số chiều không gian cao, hàm vếphải hoặc hàm điều kiện biên có kì dị (có độ dao động lớn), vì các phương pháp này đòi hỏiphải rời rạc miền tính toán thành một lưới Nên khi miền tính toán phức tạp thì các phươngpháp truyền thống sẽ gặp khó khăn rất lớn Khó khăn phức tạp lớn nhất là sinh lưới, duy trìlưới và cập nhật lưới Để khắc phục những nhược điểm của các phương pháp lưới trên, người

ta đã đưa ra phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp khônglưới sử dụng các tập điểm rời rạc trong miền xác định để tính nghiệm tại các điểm này Mộtlợi thế của kỹ thuật rời rạc không lưới là chỉ cần dựa trên tập điểm độc lập phân bố bất kỳ

Do đó, chi phí dành cho sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới được loại trừ Phương phápxấp xỉ không lưới có thể được xem như một công cụ số thế hệ mới

2 Mục tiêu, đối tượng, phạm vi, cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu

• Mục tiêu

– Xây dựng phương pháp không lưới mới dưới dạng công thức yếu nhờ nội suy địa

phương RBF

– Đề xuất thuật toán mới chọn tâm nội suy hỗ trợ cho phương pháp này.

– Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp RBF - FD.

• Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp không lưới dựa vào nội suy địa phương RBF giải phương trình đạohàm riêng dạng elliptic cấp 2 và một số thuật toán hỗ trợ cho phương pháp này như:thuật toán chọn tham số hình dạng tối ưu, thuật toán chọn tâm và thuật toán làm mịnthích nghi

• Phạm vi nghiên cứu

– Đề xuất thuật toán chọn bộ tâm tối ưu cho nội suy địa phương hàm cơ sở bán kính

để tìm véc tơ trọng số giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic cấp 2

– Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi trong không gian 2D đối với những bài

toán biên có miền hình học phức tạp, hàm có độ dao động lớn

– Thử nghiệm số trên các bài toán biên với điều kiện biên Dirichlet như Poisson,

elliptic và so sánh hiệu quả của phương pháp mới với một số phương pháp truyềnthống

• Cách tiếp cận

Bài toán thực tế thường có kích thước lớn vì vậy chúng tôi tiếp cận theo phươngpháp địa phương hóa tức là xấp xỉ địa phương bởi hàm RBF trong giai đoạn đầu (Điềunày tránh việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính kích thước lớn), sau đó sử dụngnhững kết quả này như thông tin đầu vào để ghép trơn trên phạm vi toàn cục trong giaiđoạn thứ hai

• Phương pháp nghiên cứu

– Nghiên cứu tài liệu và thử nghiệm,

– Thống kê toán học: Chứng minh bằng thử nghiệm và so sánh các kết quả của

phương pháp không lưới với các phương pháp truyền thống như phương pháp saiphân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn trên các bài toán mẫu

– Sử dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình đạo

hàm riêng để nghiên cứu độ xấp xỉ, tốc độ hội tụ của phương pháp Sử dụng công

cụ đại số tuyến tính và giải tích hàm nghiên cứu hệ phương trình đại số được đưa

ra khi xây dựng thuật toán

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở liên quan đến đề tài, bao gồm:Khái niệm bài toán nội suy; Nội suy dữ liệu phân tán; Nội suy với hàm cơ sở bán kính; Kháiniệm hàm xác định dương, ma trận xác định dương và cuối cùng là sự ổn định của ma trận

hệ số

Cho bộ dữ liệu (xi, yi), i = 1, 2, , n, xi∈ Rd, yi∈ R, trong đó xilà các vị trí đo, yi là cáckết quả tại vị trí đo Cho B1, B2, , Bnlà các hàm cơ sở của không gian tuyến tính các hàm dbiến liên tục [10] Ký hiệu

B1(xn) Bn(xn)



C= (c1, , cn)T, y = (y1, , yn)T

Hệ phương trình (1.3) và (1.4) có nghiệm duy nhất nếu det(A) 6= 0, câu hỏi đặt ra là chọn cơ

sở {B1, B2, , Bn} như thế nào để điều kiện trên được thỏa mãn? Trong trường hợp d = 1 thì

ta có thể chọn cơ sở là

{B1, B2, , Bn} =1, x, x2, , xn−1

Định lý 1.1.1 (Mairhuber Curtis) Giả sử rằng Ω ⊂ Rd, d ≥ 2, chứa một điểm trong Khi đó

không tồn tại không gian Haar của các hàm liên tục trên Ω [10].

Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω ⊂ Rd và F ⊂ C(Ω) là không gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ

[10].

Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy, nghĩa là tồntại duy nhất nghiệm của Bài toán nội suy (1.1) Không gian các đa thức một biến bậc n − 1chính là không gian Haar n chiều với tập dữ liệu (xj; yj), j = 1, , n; xj, yj∈ R

Định lý Mairhuber Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán nội suy dữ liệu phântán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu Để thu được các không gian xấp

xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét các hàm xác định dương và ma trận xác định dương

Định nghĩa 1.2.1 Một hàm φ : Rd→ R được gọi là hàm cơ sở bán kính (RBF) nếu ở đó tồn

tại một hàm ϕ : [0, +∞) → R sao cho

Bảng 1.2: Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng δ > 0.

- Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần chọn hàm φ phù hợp sao cho det(A) 6= 0.

Định nghĩa 1.3.1 Ma trận giá trị thực, đối xứng A = (Ajk) được gọi là xác định dương nếu

dạng toàn phương tương ứng không âm, tức là:

Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là các véctơ riêng của nó dương và matrận xác định dương là không suy biến.

Với cơ sở Bk, nếu Bài toán nội suy (1.1) tạo ra ma trận nội suy A xác định dương thì hệ(1.3) có nghiệm duy nhất

Định nghĩa 1.3.2 Hàm Φ : Rd→ R liên tục, được gọi là xác định dương trên Rd nếu và chỉ

Định nghĩa 1.3.3 Hàm một biến φ : [0, ∞] → R được gọi là xác định dương trên Rdnếu hàm

Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy có thể sử dụng cáchàm xác định dương Bn= Φ(x − xk) là hàm cơ sở và khi đó ta có:

Định nghĩa 1.3.4 Một hàm được gọi là hàm bán kính xác định dương nếu nó vừa là hàm

bán kính vừa đồng thời xác định dương [10, 6].

Giả sử Φ(x) là hàm xác định dương và được xác định theo công thức (1.5) Khi đó matrận của bài toán nội suy theo hàm Φ(x) có dạng

Chương 2

Tham số hình dạng tối ưu

Trong chương này chúng tôi trình bày như sau: Mục 2.1 trình bày phương pháp RBF-FDđơn điểm và đa điểm; Mục 2.2 nghiên cứu thử nghiệm số của tham số hình dạng tối ưu; Mục2.3 trình bày ước lượng tham số hình dạng tối ưu và cuối cùng trình bày kết luận của Chương

2 Các kết quả trong chương này được chủ nhiệm đề tài công bố trong [1]

2.1.1 Sự rời rạc phương trình Poisson trên các tâm phân bố không đều

Cho D là toán tử vi phân tuyến tính và X = {xi}n

i=0 là bộ tâm phân bố không đều, xácđịnh trong Rd Công thức vi phân số tuyến tính đối với toán tử D,

Trong phương pháp sai phân hữu hạn, stencil được sử dụng để rời rạc phương trình đạo

hàm riêng Xét bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson trong miền giới nội Ω ⊂ Rd:

f là hàm đã cho, được xác định trên Ω, và hàm g được xác định trên ∂ Ω Tìm u sao cho

Bài toán này có thể được rời rạc hóa nhờ công thức vi phân (2.1) như sau

Cho Ξ ⊂ Ω là bộ hữu hạn các tâm rời rạc, ∂ Ξ := Ξ ∩ ∂ Ω và Ξint:= Ξ \ ∂ Ξ Giả sử rằngvới mỗi ζ ∈ Ξint, bộ Ξζ ⊂ Ξ được chọn sao cho ζ ∈ Ξζ và

Ξ =[

Nếu hệ phương trình (2.6)–(2.7) không suy biến thì véc tơ nghiệm của nó ˆu: Ξ → R có thể

so sánh được với véc tơ của nghiệm đúng trong (2.2)–(2.3)được rời rạc hóa u|Ξ= [u(ξ )]ξ ∈Ξ.Nếu chúng ta thực hiện trên miền hình vuông Ω ⊂ R2, thì phương pháp được trình bàyphía trên là phương pháp sai phân hữu hạn chuẩn, Ξ là lưới đều, và (2.5) là công thức saiphân 5 - điểm kinh điển đối với toán tử Laplace

Có thể được một lược đồ tổng quát hơn nếu ta đưa vào bộ Θ ⊂ Ω các tâm trùng khớp

khác để thay thế Ξint trong (2.6):

Khi đó, hệ phương trình (2.8)–(2.7) là một rời rạc khác của bài toán (2.2)–(2.3)

Nếu Θ chứa nhiều tâm hơn Ξ, thì nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình tuyến tính (2.8)–(2.7)có thể tìm được bằng phương pháp bình phương tối thiểu Ví dụ: Số phương trình có thểgiảm bằng cách sử dụng trung bình địa phương của các phương trình trong (2.8), dẫn đếnphương pháp sai phân hữu hạn tổng quát như sau

Với mỗi ζ ∈ Ξint chọn một bộ Θζ ⊂ Θ và các trọng số σζ ,θ ∈ R, θ ∈ Θζ, xác định sự kếthợp tuyến tính của Laplace thay đổi trên Θζ, và chọn công thức vi phân số

với sự trợ giúp của Ξζ và các trọng số wζ ,ξ, ξ ∈ Ξζ

Khi đó, sự rời rạc của (2.2)–(2.3) được cho bởi hệ phương trình tuyến tính

Cho thấy rằng sự rời rạc phương pháp phần tử hữu hạn trong công thức (2.2)–(2.3) có thểviết lại trong dạng (2.11), nếu véc tơ trọng số được đánh giá bằng chuẩn cầu phương Thậtvậy, ví dụ xét các phần tử hữu hạn tam giác tuyến tính Cho tam giác phân phù hợp trongmiền đa giác Ω, chúng tôi ký hiệu Ξ là bộ các đỉnh của các tam giác, và ϕξ, ξ ∈ Ξ, là cáchàm nón Xấp xỉ của phần tử hữu hạn được trình bày trong dạng ˆu(x) ≈ ∑ξ ∈Ξu(ξ )ϕˆ ξ(x),

x∈ Ω, trong đó, các giá trị ˆu(ξ ) thỏa mãn ˆu(ξ ) = g(ξ ) với ξ ∈ ∂ Ξ, và

ξ ∈Ξζ

ˆ

u(ξ )Z

đó Nói cách khác, véc tơ trọng số có thể có được với sự trợ giúp của phương pháp trùng

Cho s là một xấp xỉ của u từ bộ dữ liệu các tâm phân bố phân tán X = {x0, , xn} ⊂ Rd

và các giá trị hàm tương ứng u|X = [u(x0), , u(xn)]T, trong dạng

hoặc, trong dạng ma trận a = B · u|X, trong đó B = [bi j]m,ni=0, j=0 Khi đó,

Cụ thể, xét trường hợp m = n và các hệ số aj thu được bằng cách giải bài toán nội suy

không suy biến

Cho ϕ : R+→ R là hàm xác định dương Cho trước một bộ các tâm bất kỳ X = {x0, , xn} ⊂

Rdvà một hàm u : Rd→ R, nội suy RBF với giới hạn hằng số [3, 6, 10] được trình bày trong



= u|X0

, ΦX := [Φ(xi− xj)]ni, j=0, 1 := [1 · · · 1]T

Ma trận ΦX đối xứng và xác định dương đối với bộ X bất kỳ

Tham khảo đến cách thiết lập chung của Phần 2.1.2, chúng ta thấy rằng ở đây m = n + 1,

 wv



ΦX 1

1T 0

  wv

cvà điều kiện ∑nj=0aj= 0 có thể bỏ đi trong công thức (2.17)–(2.18) bởi vì ΦX không suy

biến Trong trường hợp này của nội suy RBF gốc, hệ số v và phương trình cuối sẽ triệt tiêu

trong(2.19), dẫn đến hệ phương trình tuyến tính đơn giản hơn ΦXw= [Dϕi(x0)]ni=0 để tínhstencil, như trong (2.16) Tuy nhiên, nói chung, các stencil thu được bằng cách này có tổngkhông bằng 0

Trong thử nghiệm chúng tôi dùng hàm RBF Gauss ϕ(r) = e−(cr)2, đây là hàm xác định

dương đối với mọi giá trị tham số hình dạng c > 0 Với hàm này, ma trận ΦX có dạng

Véc tơ trọng số đơn điểm RBF

Giống như véc tơ trọng số sai phân hữu hạn, công thức vi phân số đối với giá trị Laplacecủa u tại điểm ζ Vì vậy, sự rời rạc của bài toán Dirichlet được cho bởi (2.6)–(2.7) với

w= [wζ ,ξ]ξ ∈Ξ

ζ được tính theo (2.19) với D = ∆ Cụ thể, cho Ξζ = X = {x0, , xn}, ζ = x0,

là bộ các tâm rời rạc địa phương Khi đó w tìm được bằng cách giải hệ phương trình tuyếntính



ΦX 1

1T 0

  wv

Véc tơ trọng số đa điểm

Ý tưởng bởi véc tơ trọng số từ sự rời rạc phần tử hữu hạn, hơn nữa, chúng tôi xét phươngpháp trong [4] dựa trên vi phân số của toán tử D được xác định bằng sự kết hợp tuyến tínhcủa các Laplace

ζ = [σ1, , σ`] được chọnriêng biệt Khi đó Du(x0) = ∑`k=1σk∆u(yk), và (2.19) dẫn đến hệ phương trình tuyến tính đểtính w như sau,



ΦX 1

1T 0

  wv



= [∑`

k=1σk∆ϕi(yk)]ni=10



Trong [4], chúng tôi sử dụng Ξζ = X = {x0, , xn} là sản phẩm của [4, Thuật toán 1] baogồm ζ = x0 trong bao lồi của nó hX i, và chọn ` = n các tâm trùng khớp địa phương trongcác kết quả số của chúng tôi trong 2D như sau: Tách hX i thành n các tam giác T1, , Tnbằng cách liên thông x0với các điểm khác x1, , xn∈ Ξζ bởi các đoạn thẳng, và xác định

Θζ = {y1, , yn} là bộ các trọng tâm của các tam giác T1, , Tn Rõ ràng, điều này giốngnhư Θζ sinh ra từ sự rời rạc phần tử hữu hạn như miêu tả trong Phần 2.1.1 Bài báo này đượcthúc đẩy bởi (2.12), chúng tôi sử dụng σk= area(Tk)/3, k = 1, , n Vì vậy, Du(x0) có thểđược giải thích như sự rời rạc của tích phânR

hXi∆u(x) dx.

2.1.4 Tính toán ổn định với c nhỏ

Vì ma trận (2.20) có số điều kiện cực kỳ xấu với giá trị tham số hình dạng c nhỏ, mộtcách tiếp cận khác để giải hệ (2.19) là cần thiết trong trường hợp này Một vài phương phápkhác được sử dụng, xem [7] và các tài liệu tham khảo của nó Chúng tôi sửa lại phương phápRBF-QR trong [7] phù hợp với nội suy RBF với thành phần giới hạn hằng số như trong [5].Không miêu tả chi tiết thêm nữa vì có trong [7, 5], chúng tôi đề cập rằng các véc tơ trọng

số w của phương pháp đơn điểm được tính bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính chuẩn[5, Eq (25)], trong khi trong các trường hợp đa điểm, vế phải ∆ ˜ψi(x0) của hệ phương trìnhnày được thay thế bởi ∑`k=1σk∆ ˜ψi(yk), trong đó ˜ψi là sự kết hợp tuyến tính phù hợp của cáchàm đa thức Chebyshev, xem [5] Chú ý rằng phương pháp này hơn nữa cho phép tính trongtrường hợp c = 0

ưu

Trong [5, Phần 4] chúng tôi đã nghiên cứu sự thực hiện phương pháp RBF-FD với véc tơtrọng số đơn điểm sử dụng hàm Gauss phụ thuộc vào việc chọn tham số hình dạng c Bâygiờ, chúng tôi vẫn sử dụng các bài toán mẫu tương tự để thử nghiệm Chúng tôi nghiên cứuvéc tơ trọng số đa điểm, và thu được các kết luận tương tự Chúng ta sẽ thấy các sai số thuđược khi sử dụng véc tơ trọng số đa điểm thường xuyên nhỏ đi đáng kể so với véc tơ trọng sốđơn điểm

Như trong [5], chúng tôi xét bài toán Dirichlet (2.2)-(2.3) trên bốn miền trong danh sáchđược trình bày phía sau, với vế phải được cho bởi các hàm f1– f8và các điều kiện biên đượcxác định bởi các nghiệm chính xác tương ứng u1–u8, xem Bảng 2.1 Đối với mỗi miền Ω,

chúng tôi xét năm bộ tâm rời rạc Ξ = Ξ(1), , Ξ(5)được sinh ra như sau Đầu tiên, sử dụngToolbox PDE trong MATLAB [11] để sinh ra tam giác phân ban đầuT (1) với các tham sốsinh lưới ngầm định Tiếp theo, các tam giác phân này được làm mịn liên tiếp bốn lần mà sảnphẩm của nó là các tam giác phânT(2), ,T(5) Các bộ tâm rời rạc Ξ(1), , Ξ(5), bao gồmtất cả các đỉnh của các tam giác phân tương ứng Số các điểm trong của mỗi bộ Ξ(i) đượctrình bày trong Bảng 2.2.

Các miền: (a) hình vuông (−1, 1)2, (b) hình đĩa r < 1, (c) hình đĩa với một lỗ thủng vuông(−0.4, 0.4)2, xem Hình 2.1 (trái), và (d) miền đa giác được trình bày trong Hình 2.1 (phải)

Bảng 2.1: Các hàm thử u1, , u9(các nghiệm chính xác của các bài toán dùng thử nghiệm) vàcác Laplace của chúng (các vế phải của các bài toán dùng thử nghiệm fi= ∆ui, i = 1, , 8.các hàm u4và f4được cho trong tọa độ cực.)

u2(x, y) = e−x2−y2 f2(x, y) = 4(x2+ y2− 1)e−x 2 −y 2

u3(x, y) = sin(πx) sin(πy) f3(x, y) = −2π2sin(πx) sin(πy)

u4(r, φ ) = r2(r − 1) sin(2φ ) f4(r, φ ) = 5r sin(2φ )

u5(x, y) = e−(x−0.1)2−0.5y2 f5(x, y) = e−(x−0.1)2−0.5y2(y2+ (−2x + 0.2)2− 3)

u7(x, y) = sin(x3y) + ex− x/(1 + y2) f7(x, y) = −9 sin(x3y)x4y2+ 6 cos(x3y)xy + ex

− sin(x3y)x6− 8xy2

(1+y 2 ) 3 +(1+y2x2)2

Bảng 2.2: Số các tâm trong miền và tham số hình dạng ‘an toàn’ cdmincủa mỗi rời rạc

#Ξint cdmin #Ξint cdmin #Ξint cdmin #Ξint cdmin

Hình 2.1: Tam giác phân ban đầuT(1) của miền đĩa với lỗ thủng vuông và miền đa giác.Chất lượng nghiệm rời rạc ˆu của bài toán Dirichlet xác định trên các bộ tâm rời rạc

Ξ = Ξ(i), được đo bởi sai số rms(root mean square) với các giá trị của nghiệm chính xác trên

vi phân số (2.10), được cho bởi

ở đó, trong các trường hợp véc tơ trọng số đơn điểm, biểu thức rζ được biểu diễn đơn giản

rζ = ∆u(ζ ) − ∑ξ ∈Ξ

ζwζ ,ξu(ξ )

Như trong[5], chúng tôi lựa chọn các hỗ trợ cho tính véc tơ trọng số Ξζ bằng thuật toánkhông lưới được miêu tả trong [4, Thuật toán 1] Trên bộ các tâm bán đều (quasi-uniform)được sử dụng trong bài báo này, trong hầu hết các trường hợp thuật toán cung cấp các bộ Ξζkhông khác so với các hỗ trợ véc tơ trọng số được sử bởi phương pháp phần tử hữu hạn Vìvậy, mật độ (density/bandwidth) các phần tử của ma trân [wζ ,ξ] giống với mật độ của ma trậncứng trong phương pháp phần tử hữu hạn

Đối với mỗi Ξ(i), chúng tôi tính một giá trị tham số hình dạng cdmin ‘an toàn’ mà đảmbảo rằng số điều kiện của ma trận (2.19) không vượt quá 1012 đối với bộ địa phươngbất kỳ Ξζ nếu c ≥ cdmin Chúng tôi giải trực tiếp hệ (2.22) hoặc (2.23) nếu c ≥ cdmin,

và sử dụng phương pháp RBF-QR nếu c < cdmin Các tính toán RBF-QR được thực hiệnbằng cách làm thích ứng mã lệnh MATLAB được cung cấp trong [7] và có thể tải từ

Các kết quả số được trình bày trong Hình 2.2–2.5 và Bảng 2.3 và 2.4 Cụ thể, Hình 2.2 và2.3 và cả các bảng được dành cho các kết quả sử dụng véc tơ trọng số đa điểm đối với hàmthử u3trên tất cả các miền và các bộ tâm

Bảng 2.3: Tham số hình dạng tối ưu đối với sai số rms của ˆuvới phương pháp đa điểm sửdụng hàm thử u3 Đối với mỗi miền, số đầu tiên trong mỗi cột là tham số hình dạng tối ưu,

số còn lại là miền giá trị của tham số hình dạng

Các kết luận từ các thử nghiệm số giống như được trình bày trong [5, Phần 4] đối với véc

tơ trọng số đơn điểm Các quan sát chính:

• Các kết quả thử nghiệm trên nhiều bài toán mẫu cho thấy tham số hình dạng tối ưu đãcải tiến đáng kể sai số của nghiệm RBF

• So sánh với các kết quả trong [5, Phần 4], chúng tôi thấy các véc tơ trọng số đa điểmthực hiện tốt hơn các véc tơ trọng số đơn điểm, và trong hầu hết các thử nghiệm, sai sốcủa nghiệm RBF đa điểm nhỏ hơn sai số của phương pháp phần tử hữu hạn

đa điểm với c = cdmin.

(d) Polygonal domain.

Hình 2.3: Sai số rms của phương pháp đa điểm với hàm thử u3 trên năm bộ tâm, như mộthàm của của bậc tự do đối với ba giá trị của tham số hình dạng : An toàn c = cdmin, nhưtrình bày trong Bảng 2.2, QR0 tham chiếu đến trường hợp c = 0, và Opt tham chiếu đến giátrị tối ưu của c được trình bày trong Bảng 2.3