TONG HOP PHUONG TRINH DAO HAM RIENG

Tài liệu đưa ra các phương pháp giải cho phương trình đạo hàm riêng trong vật lý: phương trình truyền nhiệt, phương trình sóng, phương trình Helmholtz,... Một số bài tập về khai triển Bessel, khai triển Fourier,...

Trang 1

Chứng minh rằng c1u1+ c2u2 cũng là nghiệm của (1) (với c1; c2 là hằng số).

Gợi ý: Chứng minh (1) là tuyến tính

Giải G/s u1; u2 là nghiệm của (1), ta có:

Bài tập 2 (bài 2 trang 5)Tìm nghiệm của (1) có dạngxe x2 trên trục x:

Giải Nghiệm tổng quát của (1) là: u(x; t) = f (x t)

Trên trục x (t = 0); ta có: u(x; 0) = xe x2 = f (x 0) = f (x)

Vậy u(x; t) = f (x t) = (x t)e (x t)2

Bài tập 3 (bài 3 trang 5)Tìm nghiệm của (1) có dạngt trên trục t:

Giải Nghiệm tổng quát của (1) là: u(x; t) = f (x t)

Suy ra, u(x; t) = f ( ) = f (x + t) (Với f là hàm khả vi tùy ý)

Bài tập 6 (bài 6 trang 5)Lấy đạo hàm nghiệm tổng quát của phương trình 2@u@t + 3@u@x = 0

sử dụng các thay đổi giá trị của biến số như ở ví dụ 3

Giải Tương tự bài 5,với =ax+bt, = cx + dt thì

Trang 2

Suy ra, u(x; t) = f ( ) = f (2x 3t) (Với f là hàm khả vi tùy ý)

Bài tập 7 (bài 7 trang 5)Lấy đạo hàm nghiệm tổng quát của phương trình @u@t 2@u@x = 2 sửdụng các thay đổi giá trị của biến số như ở ví dụ 3

Giải với =ax+bt, = cx + dt thì

Giải phương trình vi phân này theo ; ta có u = + f ( )

Suy ra, u(x; t) = + f ( ) = x + f (x + 2t) (Với f là hàm khả vi tùy ý)

Bài tập 8 (bài 8 trang 5)Lấy đạo hàm nghiệm tổng quát của phương trình a@u@t + b@u@x =u; a 6= b sử dụng các thay đổi giá trị của biến số như ở ví dụ 3

Giải Lấy = c1x + d1t; = c2x + d2t: Khi đó,

đặc trưng và thử lại bằng cách thế nghiệm vào phương trình:

Bài tập 9 (Bài 11 trang 6) @u@x+ x2 @u

@y = 0Giải Đường cong đặc trưng thu được bằng cách giải quyết:dydx = x2 ) y = 13x3 + C )

y 13x3 = C

Đặt (x; y) = y 13x3: Đường cong đặc trưng là đường cong của : Nghiệm của nó códạng: u (x; y) = f ( (x; y)) = f y 13x3 ;trong đó f là hàm khả vi một biến

Bài tập 10 (Bài 12 trang 6) x@u@x+ y@u@y = 0

Giải Chúng ta theo dõi phương pháp đường cong đặc trưng Hãy tìm các đường cong đặctrưng Cho x 6= 0;

Trang 3

Bài tập 11 (Bài 13 trang 6) @u@x+ sin x@u@y = 0

Giải Để tìm đường cong đặc trưng, chúng ta giải quyết dydx = sin x:Vì vậy y = -cosx+C hay

y+cosx=C Như vậy nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là:u (x; y) = f (y + cos x) :

Để xác nhận nghiệm, chúng ta sử dụng công thức hàm hợp và thu được:ux= sin xf 0(y + cos x) và

uy = f 0(y + cos x) : Như vậy ux+ sin xuy = 0

Giải

Bài tập 12

Bài tập 13 (Bài 14 trang 6) ex 2 @u

@x+ x@u@y = 0Giải Đưa phương trình về dạng: @u@x+ xe x2@u@y = 0: Đường cong đặc trưng thu được bằng

cách giải quyết:dydx = xe x2 ) y = 12e x2+ C ) y +12e x2 = C

Đặt (x; y) = y +12e x2: Đường cong đặc trưng là đường cong của : Nghiệm của nó có

dạng: u (x; y) = f ( (x; y)) = f y +12e x2 ;trong đó f là hàm khả vi một biến

3 Bài tập phần 2.1(7,8,15,19,26)

Bài tập 14 (2.1 Bài 7) Tổng của những hàm tuần hoàn.CMR nếu f1; f2; :::; fn là những

hàm tuần hoàn chu kì T thìa1f1+ a2f2+ ::: + anfn cũng là hàm tuần hoàn chu kỳ T Tổng

quát CMR nếu chuỗiP1

n=1anfn(x) hội tụ với mọi x trong khoảng (0,T] thì giới hạn của nó

là hàm tuần hoàn chu kì T

Giải Giả sử rằng f1; f2; :::; fn là những hàm tuần hoàn chu kì T Điều này có nghĩa là

fi(x + T ) = fi(x) với mọi x và i=1,2 ,n

Vì vậy S(x) là hàm tuần hoàn chu kì T

Bài tập 15 (2.1 bài 8) Tổng của hàm tuần hoàn chưa chắc là hàm tuần hoàn

Cho f(x) = cosx +cos x

a) Chứng minh rằng pt f(x)= 2 có một nghiệm duy nhất

b) Kết luận từ câu a) là f không tuần hoàn Điều này có mâu thuẫn với bài 7 không?

Hàm f được gọi là hàm tuần hoàn Những hàm này đáng quan tâm vì có những ứng dụng

có ích

Giải a) Bởi vìjcos xj 1 và jcos xj 1; nên phương trình cosx +cos x =2 có nghiệm nếu

và chỉ nếu cosx = 1 và cos x = 1

cosx = 1 suy ra x = k2 ; k 2 Z; cos x = 1 suy ra x = m2 ; m 2 Z

Vì vậy, cosx +cos x = 2 suy ra 2m=2k =) m = k = 0 ( bởi vì là số vô tỷ)

Vì vậy, nghiệm duy nhất là x = 0

b) Vì f(x) = cosx+cos x = 2 chỉ tại x=0, nó không tuần hoàn

Trang 4

Bài tập 16 (2.1 Bài 15) Nguyên hàm của hàm tuần hoàn

Giả sử f tuần hoàn chu kì 2 và cho a là một số thực cố định Định nghĩa

F (x) =Rx

a f (t)dt; với mọi x

Chứng minh rằng: F tuần hoàn chu kì 2 nếu và chỉ nếu R2

0 f (t)dt = 0Giải Cho F(x)=Rx

a f (t)dtNếu F tuần hoàn chu kì 2 ; thì

R2

0 f (t)dt = 0 )Rx+2

x f (t)dt = 0)Rx

a f (t)dt =Rx

a f (t)dt +Rx+2

x f (t)dt =Rx+2

a f (t)dt) F (x) = F (x + 2 )

Vậy F là tuần hoàn chu kì 2 :

Bài tập 17 (2.1 Bài 19) f (x) = x ph

x p

i

; với p=1,2, :Chứng minh rằng f tuần hoàn chu

kì p Với x2 (0; p) thì f nhận nhận giá trị bằng bao nhiêu?

Giải Ta chứng minh f (x) = x ph

x p

i

là tuần hoàn chu kì p

f (x + p) = x + p ph

x+p p

i+ 1) = x ph

x p

i

= f (x)

Ta chứng minh f (x) = x = x với mọi x 2 (0; 1):

Thật vậy ta có [t] = 0 nếu Vì vậy, nếu 0 x < p, ta có 0 xp < 1, nên h

x p

Chứng minh rằng F liên tục với mọi a và khả vi tại a nếu f liên tục tại a

b) Chứng minh rằng F’(a)=0 với mọi a trong đó f liên tục Kết luận rằng F là hằng từngkhúc

0 f (x)dx theo T Vì thế nó liên tục và trơn từng khúc

Do đó F liên tục và trơn từng khúc Bởi vì mỗi số hạng khả vi tại những điểm liên tụccủa f, ta kết luận rằng F cũng khả vi tại những điểm liên tục của f

b) Theo bài 25, ta có : tại những điểm mà f liên tục F’(a) = f(a+T)-f(a)=0

Bởi vì f tuần hoàn với chu kì T Do đó F hằng từng khúc

c) Một hàm là hằng từng khúc liên tục là hàm hằng( chỉ cần lấy giới hạn trái và phải tạinhững điểm không liên tục) Vì thế F là hàm hằng

4 Bài tập 2.2

Bài tập 19 2.2.5 Phương trình của một hàm có chu kỳ 2 thì được cho trong một khoảng

có độ dài 2 Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số đó

Trang 5

f (x) = jxj nu xGiải Áp dụng công thức Euler đề tính các hệ số trong khai triển Fourier.

ta có f (x) = jxj là hàm số chẵn trên ( ; ) ta suy ra f (x): sin nx là hàm số lẻ Vì vậy

ta được

bn= 1

Zjxj sin nx:dx = 0

=2

2

4X1

k=0

1(2k + 1)2cos(2k + 1)x

0 nu 2 < jxj <

Giải Áp dụng công thức Euler đề tính các hệ số trong khai triển Fourier

ta có f (x) là hàm số lẻ trên ( ; ) Vì vậy ta được

Trang 6

a0= 12

khi đó ta được khai triển chuổi Fourier là

2 X1

n=1

1 cosn2

n sin nx

f (x) = jsin xj nu xGiải.f là hàm số chẵn, vì vậy b0 = 0 với mọi n Ta có

a0= 12

Z

f (x):dx = 1

Zsin x:dx = 1: cos x

Trang 7

f (x) = jcos xj nu xGiải ta có

f (x) = x2

ta có f (x) = x2 là hàm số chẵn trên ( ; ).Vì vậy ta được

Trang 8

a) f (x) = sin2xb) f (x) = cos2x

2+

1

2cos 2x

vậy khai triển Fourier của hai hàm số trên là chính nó

Bài tập 26 2.2.13 Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số sau

f (x) = x nu < x <

Trang 9

ta có f (x) = x là hàm số lẻ trên ( ; ) ta suy ra f (x): cos nx là hàm số lẻ Vì vậy tađược

Trang 10

Bài tập 28 2.2.18 Sử dụng chuỗi Fourier của bài 9, chứng minh

4 = 1

1

3 +

15

a) Xác định hàm chẵn, hàm lẻ hoặc không chẵn, không lẻ

b)Tìm chuỗi Fourier từ hàm đã cho, xác định các giá trị của nó tại những điểm giánđoạn( Hầu hết các chuỗi Fourier này có thể nhận được từ ví dụ đầu và bài tập,điển hình là

Bài tập 31 2.3.2) f(x) =x nếu -p< x < p Gợi ý:Bài 13 Phần 2.2

Giải a) f(-x)=-x =-f(x) Vậy f là hàm lẻ Sử dụng chuỗi Fourier của bài 13 , phần 2.2, tacó:

b) t=2 P1

n=1

( 1)n+1

n sin nt với - < t <

Trang 11

Giải a) f (-x)=( x)2 =x2:V y f là hàm chẵn Hàm số này liên tục với mọi x Sử dụng chuỗiFourier từ bài tập 9, phần 2.2, ta có:

2c

p x +p2 nu p x 0 = f (x):V ậy f là hàm chẵn.

b)f liên tục với mọi x.bn=08n.Hơn nữa, do tính toán vùng giữa đồ thị của f và trên trục

x, từ x=0 đến x =p, chúng ta thấy rằng a0= 0:Lấy tích phân từng phần, ta được:

Rp

0 sinnp xdx

375

Trang 12

b)f liên tục với mọi x.bn=0,8n.Hơn nữa, do tính toán vùng giữa đồ thị của f và trên trục

x, từ x=0 đến x =p, chúng ta thấy rằng a0= 2pcd:Lấy tích phân từng phần, ta được:

v 0

z }| {cosn

p n

Rd

0 sinnp xdx

375

n 2 cos npx :

Trang 13

Bài tập 38 2.3.9) f(x)=e cjxj(c 6= 0) với jxj p:

u

z }| {(x p)

v 0

z }| {cosn

= 2 n 22p(c p)

h( 1)n cosn cp

iChuỗi Fourier: f(x)=p+c2p + 2 (c p)2p

Trang 14

= 2(c p)n2p 2 h

( 1)n cosn cp iVậy chuỗi Fourier là f(x) = p+c2p + 2 (c p)2p

Bài tập 44 (b) 82 = 1 +312 + 512 +712 + ::: [gi ý : sử dụng (a)]

Giải (a) với x =0 trong chuỗi Fourier của bài 4 ta được

k=1

1 (2k)2 và 1P

k=1

1 (2k)2 = 14P1

k=1

1

k 2 = 14:62Vậy 62 = 1P

k=0

1 (2k+1)2 + 242 ) 1P

k=0

1 (2k+1)2 = 62 242 = 82:Bài tập 45 (Bài 18 trang 47) chứng minh (4) và (5) của định lí 1 [xem chứng minh định

Bài tập 46 (Bài 19 trang 47) chứng minh (ii) của định lí 2

Giải.tương tự chứng minh của định lí 2 (i)

Trang 15

6 Phần 2.4 ( 1-10; 11-16)

Bài tập 47 (1 trang 52) Tìm khai triển chuỗi sin và cos của hàmf (x) = 1 nếu 0<x<1Giải Khai triển chẵn là hàm đồng nhất 1 Vì vậy chuỗi Fourier cos đúng là hằng 1 Khaitriển lẻ là hàm trong bài tập 1, phần 2.3, với p=1 Vì vậy chuỗi sin là

Bài tập 48 (2 trang 52) Tìm khai triển chuỗi sin và cos của hàmf (x) = x nếu 0 x

Giải Khai triển lẻ của hàm là hàm tuần hoàn chu kì 2 cho bởif2(x) = x với 0 < x <

2 :Hàm này gấp 2 lần hàm răng cưa (Ví dụ 1, phần 2.2) Do đó chuỗi sin trong trường hợpnày là

f1(x) = 2 + 4 P1

k=0

cos(2k+1)x (2k+1) 2

Bài tập 49 (3 trang 52) Tìm khai triển chuỗi sin và cos của hàmf (x) = x2 nếu 0<x<1Giải Khai triển chẵn là hàm của bài tập 4, phần 2.3, với p=1 Vì vậy chuỗi Fourier cos là

2x sin(n x) (n ) 2

1 0

Bài tập 50 (4 trang 52) Tìm khai triển chuỗi sin và cos của hàmf (x) = 0 nu 0 x < 1

x 1 nu 1 x < 2Giải Dùng công thức cho hệ số của định lí 1 Ta có

Trang 16

Với hệ số cos, ta có a0= 1=4 (tính diện tích dưới đồ thị của f), với n 1

Giải Chuỗi cos:

a0= 1pRb

adx = b ap

an= 2pRb

acosn xp dx = 2pnp sinn bp sinn ap

Do đó khai triển chẵn có chuỗi cos

asinn xp dx = 2pnp cosn ap cosn bp

Do đó khai triển lẻ có chuỗi sin

f0(x) = 2 P1

n=1

1

n cosn ap cosn bp sinn xp

Bài tập 52 (6 trang 52) Tìm khai triển chuỗi sin và cos của hàmf (x) = cos x nếu 0 < x <Giải Khai triển chẵn là hàmf1(x) = cos x với mọi x Do đó khai triển chuỗi Fourier đúngbằng cosx Với khai triển lẻ, ta có, với n>1

Bài tập 53 (7 trang 52) Tìm khai triển chuỗi sin và cos của hàmf (x) = cos x nếu 0 x 2Giải Khai triển chẵn là hàmjcos xj :Dễ dàng thấy bằng cách vẽ đồ thị Chuỗi cos là (bài tập

8, phần 2.2):

jcos xj = 2 4 P1

n=1

( 1)n(2n) 2 1cos(2nx)Chuỗi sin:

cos((1+2n)2 ) 1+2n

= 84nn2 1

Do đó khai triển lẻ có chuỗi sin

Trang 17

f0(x) = 8 P1

n=1

n 4n 2 1sin 2nxTìm Khai Triển chuỗi sin, cos của hàm sau

Bài tập 54 (bài 8 trang 52) f (x) = x sin x nếu 0 < x < :

Giải.f (x) = x sin x là hàm chẵn nên áp kết quả bài 11 , bài tập 2.3 với f1(x) = x sin x trên( ; )

x (x 1) sin (ax) dx = 2 cos(ax)a3

1 0

Trang 18

( 1)n+1:n 4n 2 1 sin n x:

Bài tập 61 Bài 13 Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: sin x:cos x trên khoảng(0; 1)

Giải Ta có: sin x:cos x = 12sin2 x

Hàm này thỏa mãn khai triển chuỗi sin chu kì 2 như yêu cầu

Bài tập 62 Bài 14 Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: (1 + cos x) :sin x trênkhoảng (0; 1)

Giải Ta có: (1 + cos x) :sin x = sin x + 12sin2 x

Hàm này thỏa mãn khai triển chuỗi sin chu kì 2 như yêu cầu

Bài tập 63 Bài 15 Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: ex trên khoảng (0; 1).Giải Ta có: bn= 2R1

Bài tập 64 Bài 16 Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: 1 ex trên khoảng (0; 1).Giải Cộng chuỗi sin của 1 và chuỗi sin của ex với 0 < x < 1 và nhận được chuỗi sin:

Trang 19

X

k=0

1 (2k+1) 2 = 82Giải a) Dùng đẳng thức Parseval với p= :

1

X

k=0

1 (2k+1) 2

1

X

k=0

1 (2k+1) 2 = 82

Bài tập 67 (2.5 bài 8) Dùng khai triển chuỗi Fourier x2 = 32 + 4

Trang 20

Bài tập PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG

HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC

Giảng viên hướng dẫn: TS LÊ MINH TRIẾTNhóm thực hiện: NHÓM 3 Lớp: Cao học Toán Giải tích 14.2

Tên thành viên Công việc được phân công

1 Lưu Thị Ngọc Trâm (Nhóm trưởng) 3.6: Bài 52 + sửa lỗi + tổng hợp

2 Nguyễn Thị Tuyết 3.1: Bài 1 đến 11 3.3: Bài 26

3 Trương Thanh Hùng 3.6: Bài 45, 46, 47, 48 + sửa lỗi

4 Cao Thị Ánh Ngọc 3.3: Bài 27, 28 3.5: Bài 29 đến 35

5 Nguyễn Văn Trung 3.5: Bài 40 3.6: Bài 41, 42, 43, 44

6 Phan Nhật Tân 3.2: Bài 12, 13, 14, 15 3.3: Bài 16 đến 25

7 Đỗ Đăng Hoàng 3.5: Bài 36, 37, 38, 39

8 Võ Thị Mộng Tuyền 3.6: Bài 49, 50, 51

6/10/2015

Tóm tắt nội dung Chương III gồm 52 bài tập được nhóm 3 giải và trình bày trong tài liệu này.

Trang 21

1 Bài tập 3.1

Từ bài 1 đến bài 6 hãy xác định phương trình đạo hàm riêng, điều kiện biên và điều kiệnđầu là tuyến tính hay không tuyến tính, thuần nhất hay không thuần nhất Xác định bậccủa phương trình đạo hàm riêng

Bài tập 1 uxx+ uxy = 2u; ux(0; y) = 0:

Giải.uxx+ uxy = 2u; là phương trình tuyến tính, thuần nhất, bậc hai

ux(0; y) = 0 tuyến tính thuần nhất

Bài tập 2 uxx+ xuxy = 2; u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0:

Giải.uxx+ xuxy = 2; là phương trình tuyến tính, không thuần nhất, bậc hai

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0 tuyến tính thuần nhất

Bài tập 3 uxx ut= f (x; t); ut(x; 0) = 2:

Giải.uxx ut= f (x; t); là phương trình tuyến tính, không thuần nhất, bậc hai

ut(x; 0) = 2 tuyến tính thuần nhất

Bài tập 4 uxx = ut; u(x; 0) = 1; u(x; 1) = 0:

Giải.uxx = ut là phương trình tuyến tính, thuần nhất, bậc hai

u(x; 0) = 1; u(x; 1) = 0 tuyến tính không thuần nhất

Bài tập 5 utux+ uxt= 2u; u(0; t) + ux(0; t) = 0:

Giải.utux+ uxt= 2u; là phương trình không tuyến tính, bậc hai

u(0; t) + ux(0; t) = 0 tuyến tính thuần nhất

Bài tập 6 uxx+ etutt= u cos x; u(x; 0) + u(x; 1) = 0:

Giải.uxx+etutt= u cos x là phương trình tuyến tính, thuần nhất, bậc hai u(x; 0)+u(x; 1) = 0tuyến tính thuần nhất

Bài tập 7 Chứng minh các hàm sau là nghiệm của phương trình Laplace hai chiều

Trang 22

Ta có

ux= x

2+ y2(x2+ y2)2; uy = 2xy

(x2+ y2)2:Nên

uyy= 2y

3 6x2y(x2+ y2)3; uxx = 2y

3+ 6x2y(x2+ y2)3 :

uxx= 2(x

2 y2)(x2+ y2)2 ; uyy= 2(x

2 y2)(x2+ y2)2:

Vìln(x2+ y2); eycos x là hai nghiệm của phương trình Laplace hai chiều nên u = ln(x2+

y2) + eycos x cũng là nghiệm của phương trình Laplace hai chiều

h) u = eycos x + (x + y):

Vì u = eycos x; (x + y) là hai nghiệm của phương trình Laplace hai chiều nên u =

eycos x + (x + y) cũng là nghiệm của phương trình Laplace hai chiều

Bài tập 8 Chứng minh hàm sau

x2+ y2+ z2

là nghiệm của phương trình Laplace ba chiều

uxx+ uyy+ uzz = 0:

Trang 23

; uzz = x

2 y2+ 2z2(x2+ y2+ z2)52

Trang 24

c ) u(x; y) = e

p Ax

c ;

pA

c ) u(x; y) = e 2Bte

p Ax

c :

Bài tập 11 Phân loại phương trình tuyến tính bậc hai Một phương trình đạo hàm riêngtuyến tính bậc hai hai biến, được viết theo dạng

Auxx+ 2Buxy+ Cuyy+ Dux+ Euy+ F u = G; (5)

Trang 25

được gọi là elliptic nếu AC B2 > 0; hyperbolic nếu AC B2 < 0; parabolic nếu

AC B2= 0: Phân loại các phuơng trình sau ( nếu phương trình có t, xem t như y trong 5)

Bài tập 13 Giống bài12, nhưng với trọng lượng sợi dây được đưa thêm vào trong điều kiện

Giải Vớig là gia tốc trọng trường, ta có

utt = 105uxx g:

Trang 26

Bài tập 14 Không có lực nào khác tác động lên một sợi dây đang căng Độ chịu của dây

t = 0 và đồ thị f (x) Đồ thị sẽ trùng khớp khi ta cho đủ các yếu tố thành phần trong bàitoán

trong đóbn là hệ số của chuỗi Fouriersin của f và bn= cnL là hệ số Fourier của g

Trong bài 16 ta có bn = 0, vì g = 0; b1 = 0:05 và bn = 0 với mọi n > 1, f được cho bởichuỗi Fouriersin nên ta có u(x:t) = 0:05 sin x cos t:

Bài tập 17 f (x) = sin x cos x; g(x) = 0; c = 1:

Giải Nghiệm tổng quát là

u (x; t) =

1

X

n=1

sin n x (bncos nt + bnsin nt) ;

trong đóbn là hệ số của chuỗi Fouriersin của f và bn= 1n là hệ số Fourier của g

Trong bài ta có bn = 0, vì g = 0, ta thấy rằng f (x) = 12sin (2 x) và b2 = 12,bn = 0 vớimọin > 1 nên ta có u(x:t) = 0:5 sin 2 x cos 2t:

Bài tập 18 f (x) = sin x + 3 sin 2 x sin 5 x; g(x) = 0; c = 1:

Trang 27

trong đó bn= 0; vì g = 0, các hệ số Fourier của f là b1 = 1; b2 = 3; b5 = 1 và các bn khácbằng0 nên

u(x; t) = sin x cos t + 3 sin (2 x) cos (2 t) sin (5 x) cos (5 t) :

Bài tập 19 f (x) = sin x + 12sin 3 x + 3 sin 7 x; g(x) = sin 2 x; c = 1:

u (x; t) =

1

X

n=1

sin (n x) (bncos (n t) + bnsin (n t)) ;

trong đób2 = 21 và bn = 0, các hệ số Fourier của f là b1= 1; b3 = 12; b7 = 3 và các bn khácbằng0 nên

u(x; t) = sin x cos t + 1

sin (n x) (bncos (4n t) + bnsin (4n t)) ;

trong đóbn là hệ số thứn của chuỗi Fourier sin của f và bn= cnL là hệ số Fourier của g

MàL = 1, c = 4, bn= 0, vì g = 0, giống như các hệ số Fourier của f ta có thể tìm chúngbằng cách áp dụng bài tập mục 2.4 vớip = 1; h = 1 và a = 12: Ta có

bn= 82sin

n 2

Và đây là hình dạng lúc đầu của sợi dây

Vì chu kỳ của cos (4 (2k + 1) t) là 12, sự vận động ứng với thời điểm t với chu kỳ 1=2được minh họa bằng biểu đồ sau Chúng ta dùng2 cách để vẽ biểu đồ Đầu tiên ta sử dụngMethematica commands, cách thứ hai là xem xét và dự kiến đồ thị trong một bảng thíchhợp

Trang 28

sin (n x) (bncos (nt) + bnsin (nt)) ;

trong đóbn là hệ số thứn của chuỗi fourier sin của f và

Trang 29

Chúng ta tính hệ số fourier củaf Ta có

bn= 230

+ 115

h

4 cosn

icos nt + 4 (1 ( 1)n) sin nt :

b) Đây là hình dạng ban đầu của dây rung với kết quả xấp xỉ bằng cách sử dụng tổngcác thành phần của chuỗi tại thời điểmt = 0:

Vì chu kỳcosnt và sinnt là 2 ; sự chuyển động trong chu kỳ 2 trong thời gian t đượcbiểu diễn như sau

Trang 30

Một điều thú vị là ngay khi sợi dây được thả ra, vận tốc ban đầu ảnh hưởng đến chuyểnđộng của dây và hình dạng ban đầu của dây dường như không có tác động đáng kể đến vậntốc chuyển động Đây là ảnh chụp của sợi dây ngay khi được thả ra.

sin (n x) (bncos (4n t) + bnsin (4n t)) ;

trong đóbn là hệ số thứn của chuỗi Fourier sin của f và

Trang 31

Đây là hình dạng ban đầu của sợi dây khi ta lấy xấp xỉ bằng cách sử dụng tổng các thành

phần của chuỗi tại thời điểmt = 0:

Vì chu kỳ của chuỗicos (4n t) và sin (4n t) là 12, chuyển động trong 12 chu kỳ củat Điều

này được minh họa như sau

Trang 32

trong đóbnlà hệ số thứn của chuỗi Fourier sin của f và ta tính bntừ chuỗi ta làm trong bài

8, mục 2.4 với0 < x < như sau

Hình dạng ban đầu của dây

sin (n x) (bncos (n t) + bnsin (n t)) ;

vớib1 = 1 vàbn= 0 với mọi n Hệ số fourier của f là

Trang 33

Dùng tích phân từng phần để tính với a 6= 0, ta được

2x sin (n x)(n )2

2 (( 1)n 1)(n )3

Trang 34

u(x; 0) = sin x;@u

@t(x; t) = 0:

Giải Ta sử dụng phương pháp giải của bài toán giảm sự rung của dây Ta có

c = 1; k = :5; L = ; f (x) = sin x và g(x) = 0:

Vì vậy số thực Lkc = 5 không phải số nguyên và ta có n > kL với mọin: Do đó ta chỉ xét

duy nhất nghiệm của trường hợp3 của bài toán giảm sự rung của dây

Trang 35

kéo theobn= 0 với mọi n > 1 và nghiệm

u(x; t) = e :5tsin x(cos 1t + b1sin 1t)

u(x; t) = e :5tsin x cos

p32

!

t +p1

3sin

p32

!t

!:

Bài tập 27 Áp dụng bài tập 12, giải bài toán

Giải Từ bài tập trước, ta cók = 12; c = 1; L = ; f (x) = x sin x và g(x) = 0

Do đó kLc = 12 không là số nguyên và nhỏ hơn1, nghiệm được cho bởi công thức

p4n2 1;

Z

x1 cos 2x

x24

cos 2x8

Trang 36

Với n > 1, sử dụng công thức sin x sin nx = 12(cos ((n 1) x) cos ((n + 1) x)) và tínhtích phân từng phần, ta có

2 t +

1p

3sin

p3

2 t +16

"

cos

r4k2 1

4t

!#:

Bài tập 28 Áp dụng bài tập trước, giải bài toán

Trang 37

Nghiệm tương ứng của T là

80p

5e

1:5tsinh

p5

2 t:

Vớin > 1, ta có

n=

vu

2

n2 = 12

p4n2 9

(2k + 1)

q

4 (2k + 1)2 9

:

b) Hình vẽ bên dưới biểu diễn sợi dây nâng lên và tiến đến độ cao cực đại xấp xỉ bằng3

và sau đó hạ xuống bởi vì nó rơi xuống nên không bao giờ nâng lên lần nữa Đó là sợi dâykhông dao động, nhưng nó chỉ đơn giản là trở về vị trí ban đầu

4 Bài tập 3.5

Giải bài toán nhiệt giá trị biên với dữ liệu đã cho trong bài 29 đến bài 34

Bài tập 29

L = ; c = 1; f (x) = 78:

Trang 38

Giải Bài toán giá trị biên cần tìm là

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	1,21 MB