Sự ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân cấp 1

KHOA TOÁNLÊ THỊ NGÂN SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội, 2016... KHOA TOÁNLÊ THỊ NGÂN SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ PH

KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGÂN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội, 2016

KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGÂN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Chuyên ngành: Toán giải tích

Khóa luận tốt nghiệp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Trần Văn Bằng

Hà Nội, 2016

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Văn Bằng- Người

đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luậncủa mình Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong

tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thànhtốt bài khóa luận này

Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện đề tài này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Lê Thị Ngân

Khóa luận này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của TS Trần Văn Bằng và

sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng em

Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Sự ổn định nghiệm tuầnhoàn của hệ phương trình vi phân cấp một" là kết quả của việcnghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp vớikết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Lê Thị Ngân

1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân cấp một 7

1.3.1 Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov 7

1.3.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến

tính cấp một 8

1.3.3 Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính 10

1.3.4 Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp

tuyến tính hóa 11

2 Tính ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình

2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn 14

2.2 Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn 24

2.3 Tính ổn định của nghiệm tuần hoàn 26

Lời mở đầu

Phương trình vi phân là một chuyên ngành thiết yếu của toán học

và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học-kĩ thuật và công

nghệ, nó được coi như cầu nối giữa lí thuyết và ứng dụng Do vậy,

việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa vô cùng quan trọng

Trong đó, nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân

là một trong những bài toán cơ bản của lí thuyết định tính các phương

trình vi phân

Vì vậy dưới sự hướng dẫn của T.S Trần Văn Bằng, em xin chọn

đề tài “Sự ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình

vi phân cấp một” Nội dung khóa luận được trình bày trong hai

chương:

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả về

nghiệm cũng như một số kết quả về tính ổn định nghiệm của hệ

phương trình vi phân cấp một

Chương 2 trình bày về tính ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ

phương trình vi phân cấp một

Em xin chân thành cảm ơn T.S Trần Văn Bằng đã tận tình hướng

dẫn em đọc tài liệu và tập dượt nghiên cứu

Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản

thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi

những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý

thầy cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn

Hệ n hàm khả vi x1 = ϕ1(t), x2 = ϕ2(t), , xn = ϕn(t) xác địnhtrên khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.1) nếu với mọi t ∈ (a, b)

điểm (t, ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t)) ∈ I và khi thay chúng vào hệ (1.1) tađược hệ đồng nhất thức trên (a, b)

Tập hợp điểm Γ = {(t, ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t))} với t ∈ (a, b) được

gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t).Hiển nhiên Γ ⊂ Rn+1.

Bây giờ ta coi (x1, x2, , xn) như tọa độ của mỗi điểm trong khônggian n chiều Rn mà ta gọi là không gian pha Khi đó tập hợp điểm

γ = {(ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t)) , t ∈ (a, b)}

được gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha Hiển nhiên đường cong

pha chứa trong không gian pha Không gian Rn+1 được gọi là khônggian pha suy rộng Đường cong tích phân chứa trong không gian pha

suy rộng

Bài toán Côsi : Cho điểm (to, xo1, xo2, , xon) ∈ I

Tìm nghiệm x1(t), x2(t), , xn(t) của hệ (1.1) thỏa mãn điềukiện ban đầu:

x1(to) = xo1, x2(to) = xo2, , xn(to) = xon

Sau này ta sẽ xét với những điều kiện nào thì bài toán Côsi có

nghiệm và có nghiệm duy nhất

Nếu ta coi t là biến độc lập, x1, x2, , xn là tọa độ của một điểmtrong không gian pha Rn Khi đó hệ (1.1) còn được gọi là hệ phươngtrình chuyển động của một điểm trong không gian pha Rn mà



là vectơ vận tốc của điểm đó Tại mỗi điểm M trong không gian pha

vectơ vận tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.1) xác định một

trường vận tốc không dừng Nếu kí hiệu x là vectơ (x1, x2, , xn), f

là vectơ (f1, f2, , fn) thì hệ (1.1) viết được dưới dạng vectơ sau

dxn

dt = fn(x1, x2, , xn) hay được viết dưới dạng vectơ

Đối với hệ (1.2), vectơ vận tốc tại mỗi điểm M không thay đổi theo

thời gian Ta nói rằng hệ (1.2) xác định một trường vận tốc dừng và

ta gọi là hệ ôtônôm hay hệ dừng

1.2 Một số kết quả về nghiệm của hệ phương

trình vi phân cấp một

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét bài toán giá trị ban đầu

Dễ thấy x(t) là một nghiệm của bài toán (1.3) khi và chỉ khi nó là

nghiệm liên tục của phương trình tích phân

x(t) = xo +

Z t

to

f (s, x(s)) ds

Trong mục này, ta sẽ đề cập tới một số kết quả cơ bản về sự tồn tại

nghiệm của bài toán (1.3)

Dưới đây ta kí hiệu ¯B (xo, b) là hình cầu đóng tâm xo bán kính btrong Rn

Định lý 1.1 (Picard-Lindel¨of) Giả sử f : [to−a, to+a]× ¯B (xo, b) −→

Rn là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với x đều theo

t, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho

kf (t, x)−f (t, y) k ≤ Lkx−yk, ∀ (t, x) , (t, y) ∈ [to−a, to+a]× ¯B (xo, b) ,

và giả sử

kf (t, x)k ≤ M, ∀(t, x) ∈ [to− a, to + a] × ¯B (xo, b)

Khi đó bài toán giá trị ban đầu (1.3) có duy nhất nghiệm x(t) xác định

trên đoạn [to− α, to+ α], với α = min a, Mb

1.2.2 Sự thác triển nghiệm

Giả sử f : D −→ Rn là hàm liên tục trên tập mở D ⊂ R × Rn và

x = x(t) là một nghiệm của phương trình

trên khoảng J = (α, β) ⊂ R Khoảng mở J được gọi là khoảng tồntại cực đại về bên phải của x(t) nếu không tồn tại một khoảng mở

J0 = (α0, β0) với α0 ≤ α và β < β0 sao cho x(t) có thể thác triển trên

J0, tức là tồn tại hàm ˆx(t) xác định trên J0 sao cho ˆx(t) = x(t) vớimọi t ∈ J và ˆx(t) là một nghiệm của (1.4) trên J0 Tương tự ta địnhnghĩa khoảng tồn tại cực đại về bên trái Khoảng tồn tại được gọi là

cực đại nếu nó là cực đại đồng thời về cả 2 phía

Định lý 1.2 Giả sử f : D −→ Rn là hàm liên tục trên tập mở

D ⊂ R × Rn và x = x(t) là một nghiệm của phương trình (1.4) Khi

đó x(t) có thể thác triển lên khoảng tồn tại cực đại (w−, w+) Hơn

nữa, nếu khoảng hữu hạn (w−, w+) là khoảng tồn tại cực đại của x(t)thì x(t) sẽ tiến tới biên ∂D của D khi t tiến tới w− hoặc w+.

Thác triển của x(t) không nhất thiết duy nhất và do đó w±phụ thuộc vào cách chọn thác triển Khẳng định ”x(t) sẽ tiến tới ∂D

a) Nghiệm x(t) gọi là ổn định trên khoảng [to, +∞) nếu với mỗi

số ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của (1.5) trên khoảng

đó với ky(to) − x(to)k < δ ta đều có

ky(t) − x(t)k < ε, ∀t ≥ to

b) Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận trên khoảng [to, +∞) nếu

nó ổn định và tồn tại β > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với ky(to) −x(to)k < β sẽ thỏa mãn

lim

x→+∞ky(t) − x(t)k = 0

Nếu các số δ, β trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời

điểm ban đầu to thì ta có các khái niệm ổn định đều và ổn định tiệmcận đều Nhận xét rằng bằng cách đặt z(t) = y(t) − x(t), ta chuyển

việc xét tính ổn định của nghiệm x(t) bất kì của hệ (1.5) về xét tính

ổn định của nghiệm 0 của hệ

a) Nghiệm bất kì của (1.6) ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận)

khi và chỉ khi nghiệm 0 ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận)

b) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản X(t)

bất kì đều bị chặn trên khoảng [to, +∞)

c) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với ma

trận cơ bản X(t) bất kì thì

lim

t→+∞X(t) = 0

Chú ý: Đối với hệ vi phân tuyến tính, như ta đã thấy, sự ổn định

của nghiệm bất kì tương đương với sự ổn định của nghiệm 0 Do đó

đối với hệ tuyến tính, đôi khi ta nói hệ ổn định (tương ứng ổn định

tiệm cận) thay vì nói đến ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) của

kí hiệu là eA hoặc exp(A) Ma trận etA :=

∞

P

k=0

(tA)kk! được gọi là ma trận

cơ bản của hệ (1.6)

Ta có đặc trưng đại số sau đây về tính ổn định, thông qua tập phổ

σ(A) gồm tất cả các giá trị riêng của ma trận A

Định lý 1.4 Giả sử

Re(A) := max{Reλ : λ là giá trị riêng của A} Khi đó

a) Nếu Reσ(A) < 0 thì hệ (1.7) là ổn định tiệm cận;

b) Nếu Reσ(A) > 0 thì hệ (1.7) là không ổn định;

c) Nếu Reσ(A) = 0 thì hệ (1.7) không ổn định tiệm cận và nó là

ổn định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng có phần thực bằng 0 là

nửa đơn, tức là các ô Jordan tương ứng có cỡ 1 × 1

1.3.3 Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính

Hệ tựa tuyến tính là hệ phương trình vi phân với phần chính là

tuyến tính

nghĩa là g(t, x) là "nhỏ" đối với x khi x "nhỏ" Khi đó tính ổn định

của nghiệm 0 của hệ (1.8) được suy ra từ tính ổn định của phần tuyến

đều với 0 ≤ t < +∞ Chẳng hạn g(t, 0) ≡ 0 thỏa mãn Giả sử A là

ma trận hằng và giả thiết rằng Reσ(A) < 0 Khi đó nghiệm 0 của hệ

(1.8) là ổn định tiệm cận

Định lý 1.6 (Định lí về tính không ổn định) Giả sử g(t, z) thỏa mãn

các giả thiết của của Định lí 1.5 Hơn nữa giả sử A là ma trận hằng

và

Reσ(A) > 0

Khi đó nghiệm 0 của hệ (1.8) là không ổn định

1.3.4 Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến

tính hóa

Bây giờ xét phương trình Ôtônôm

Giả sử f ∈ C1(D), ở đó D ⊂ Rn là một tập mở chứa gốc tọa độ 0 và

0 là một điểm tới hạn của f , tức là f (0) = 0 Phương trình ˙x = Ax,

ở đó A là ma trận Jacobi Df (0), gọi là phương trình tuyến tính hóa

tại điểm 0, và quá trình chuyển phương trình phi tuyến (1.9) thành

phương trình ˙x = Df (0)x gọi là quá trình tuyến tính hóa Nếu phương

trình (1.9) được viết lại dưới dạng

kết quả sau

Định lý 1.7 (Nguyên lí tuyến tính hóa) Điểm cân bằng x = 0 của

phương trình phi tuyến (2.14) là ổn định tiệm cận nếu Reσ(Df (0)) < 0

và nó là không ổn định nếu Reσ(Df (0)) > 0

Chú ý Trong trường hợp

Reσ(Df (0)) ≤ 0 và σ(Df (0)) ∩ iR 6= 0,

ta không thể dùng Nguyên lí tuyến tính hóa trên để khảo sát tính ổn

định của nghiệm dừng 0 Trong trường hợp này dáng điệu ổn định

quyết định bởi bậc cao hơn

Bây giờ, ta mô tả dáng điệu của nghiệm gần điểm cân bằng không

ổn định một cách chi tiết hơn Không giảm tính tổng quát, ta có thể

coi điểm cân bằng ¯x là gốc tọa độ vì nếu không ta chỉ cần đặt z = x− ¯x

và xét hệ mới ˙z = f (z + ¯x) = F (z)

Điểm gốc tọa độ 0 được gọi là điểm tới hạn hyperbolic của f nếu

f (0) = 0 và σ(Df (0)) ∩ iR = ∅ tức là Df (0) chỉ có các giá trị riêng

λ với Reλ 6= 0 Điểm cân bằng hyperbolic 0 gọi là điểm hút nếu tất

cả các giá trị riêng của ma trận Df (0) có phần thực âm (tương ứng

dương) Trong trường hợp còn lại, điểm cân bằng 0 gọi là điểm yên

Định lý 1.8 (Định lí Harman-Grobman) Giả sử D là một lân cận của

gốc tọa độ và f ∈ C1(D) Nếu 0 là điểm tới hạn hyperbolic của f thìtồn tại các lân cận U, V của gốc tọa độ và một đồng phôi h : U → V

biến các quỹ đạo của phương trình tuyến tính hóa ˙x = Df (0)x (khi

chúng thuộc U) thành các quỹ đạo của phương trình phi tuyến (1.10),

bảo toàn hướng.

Định lý 1.9 (Định lí đa tạp ổn định) Giả sử f ∈ Cr(D) và giả sử

A = Df (0) có k giá trị riêng với phần thực âm λ1, , λk, và n − k giátrị riêng với phần thực dương λk+1, , λn Khi đó tồn tại các Cr− đatạp Ws = Ws(0) và Wu = Wu(0) có số chiều lần lượt là k và n − k,với Ws ∩ Wu = 0, xác định trong một lân cận của điểm x = 0, lầnlượt tiếp xúc với các không gian con Es = Es(0) = span{e1, , ek}

và Eu = Eu(0) = span{ek+1, , en}, ở đó {ei}n

i=1 là cơ sở gồm cácvectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng {λi}n

i=1 sao cho:

i, Ws và Wu là bất biến, tức là nếu p ∈ Ws (tương ứng với p ∈ Wu)thì x(t, p) ∈ Ws (tương ứng với x(t, p) ∈ Ws)

ii, p ∈ Ws khi và chỉ khi lim

Tính ổn định nghiệm tuần hoàn

của hệ phương trình vi phân cấp một

2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số

tuần hoàn

Giả sử D là một tập mở trong Rn và f : R × D −→ Rn là hàmliên tục theo cả hai biến và Lipschitz đối với biến thứ hai, và giả sử

u(., τ, ξ) là nghiệm tồn tại cực đại của bài toán Cauchy

Định lí đơn giản nhưng quan trọng sau đây quy bài toán tồn tại

nghiệm T - tuần hoàn của hệ phương trình vi phân ˙x = f (t, x) về bài

toán tồn tại điểm bất động của toán tử dịch chuyển

Định lý 2.1 Giả sử f (t, x) là hàm liên tục theo cả hai biến, Lipschitz

đối với biến thứ hai và T - tuần hoàn theo t, tức là

f (t + T, x) = f (t, x), ∀t ∈ R, x ∈ D

Khi đó hệ phương trình vi phân ˙x = f (t, x) có nghiệm T tuần hoàn

khi và chỉ khi toán tử dịch chuyển u(t) có điểm bất động

Chứng minh Điều kiện cần

Giả sử u(., τ, ξ) là một nghiệm T tuần hoàn của phương trình ˙x =

f (t, x) Bởi tính tuần hoàn ta có

(t−(0, ξ)), (t+(0, ξ)
= J(τ, ξ) = R

Do đó không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử τ ≤ 0 Bây giờ đặt

ξo = u(0, τ, ξ) và chú ý rằng

u(t, 0, ξo) = u(t, τ, ξ),

từ tính T - tuần hoàn của u(., τ, ξ) suy ra

uT(ξo) = u(T, 0, ξo) = u(T, τ, ξ) = u(0, τ, ξ) = ξo

Điều kiện đủ

Nếu ξ ∈ D là một điểm bất động của uT thì đặt

x(t) = u(t + T, 0, ξ) với t ∈ J (0, ξ) − T Khi đó ta có x(0) =

u(T, 0, ξ) = uT(ξ) = ξ và

˙x(t) = u(t + T, 0, ξ) = f (t + T, x(t)) = f (t, x(t)) Do đó x là nghiệm

của bài toán giá trị ban đầu

˙x = f (t, x), x(0) = ξ, và do tính duy nhất nghiệm ta suy ra

x(t) = u(t + T, 0, ξ) = u(t, 0, ξ), ∀t ∈ J (0, ξ) − T

Bằng quy nạp ta nhận được u(., 0, ξ) xác định trên cả R và là mộtnghiệm T - tuần hoàn của ˙x = f (t, x)

Chú ý a) Từ chứng minh trên ta suy ra ξ ∈ D là một điểm bất

động của uT khi và chỉ khi u(., 0, ξ) là một nghiệm T - tuần hoàn của

˙x = f (t, x)

b) Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính

˙x = A(t)x + a(t),

toán tử dịch chuyển uT cho bởi dom(uT) = Rn và

uT(ξ) = U (t, 0)ξ +

Z T 0

A(t + T ) = A(t), a(t + T ) = a(t), ∀t ∈ R, T > 0

Định lý 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính T - tuần hoàn (2.1)

có một nghiệm T - tuần hoàn khi và chỉ khi nó có nghiệm bị chặn

Chứng minh Điều kiện cần Hiển nhiên

Điều kiện đủ Từ Định lí 2.1 suy ra (2.1) có nghiệm T - tuần hoàn

khi và chỉ khi tồn tại ξ ∈ Rn sao cho

ở đó

η =

Z T 0

U (T, τ )a(τ )dτ

và U (T ) = U (T, 0) Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng khi (2.2) không giải

được thì (2.1) chỉ có nghiệm không bị chặn Từ kết quả của Đại số

tuyến tính ta biết rằng (2.2) không có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại

U (T, τ )a(τ )dτ, ξ ∈ Rn, t ∈ R,với ξ ∈ Rn nào đó Do đó suy ra

và

˙x(t + kT ) = A(t + kT )x(t + kT ) + a(t + kT ) = A(t)x(t + kT ) + a(t),

với mọi k ∈ N và t ∈ R Từ đây do tính duy nhất nghiệm, xk(t) =x(t + kT ) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

˙

y = A(t)y + a(t), y(0) = x(kT )

Từ (2.4) suy ra

xk(T ) = x((k + 1)T ) = u(T )x(kT ) + η,

Định lí dưới đây đưa ra điều kiện cần và đủ để (2.1) có duy nhất

một nghiệm bị chặn và do đó một nghiệm T - tuần hoàn duy nhất khi

A là ma trận hằng

Định lý 2.3 (Perron) Giả sử A là ma trận hằng và g : R −→ R làhàm liên tục bị chặn Khi đó phương trình

có duy nhất một nghiệm liên tục bị chặn u : R −→ R khi và chỉ khi

etA là hyberbolic Khi đó nghiệm u cho bởi