Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phân cấp 1

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚYMỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội - 2016... NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚYMỘT SỐ TÍ

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội - 2016

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2016

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo em trong suốt thời gian theohọc tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS TrầnVăn Bằng - Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho

em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngàyhôm nay

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếusót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinhviên và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Phương Thúy

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Một số tính chất định tínhcủa hệ phương trình vi phân cấp một" là kết quả của việc nghiêncứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quảcủa các đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Phương Thúy

2 Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phân

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 182.2 Sự kéo dài nghiệm 332.3 Sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số và điều kiện ban đầu 36Tài liệu tham khảo 49

Lời mở đầu

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốcthực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thànhhai lĩnh vực đó là: Toán học lí thuyết và toán học ứng dụng Trong lĩnhvực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đếnviệc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân cóvai trò rất quan trọng trong lí thuyết toán học

Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễnmối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàmcủa nó (có cấp khác nhau) Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sởphát triển của khoa học kĩ thuật và những nhu cầu thực tiễn Trên thực

tế, số phương trình vi phân nói chung, số hệ phương trình vi phân cấpmột nói riêng giải được là không nhiều Do vậy chúng ta phải có mộthướng mới để nghiên cứu phương trình vi phân, hệ phương trình vi phâncấp một, đó là hướng nghiên cứu các tính chất định tính Nghiên cứuđịnh tính là tìm cách suy ra những đặc trưng quan trọng của các nghiệmcủa phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân mà không cần giảichúng

Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê môn học với sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo TS Trần Văn Bằng, em mạnh dạn chọn

đề tài: “Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phâncấp một” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình

Khóa luận được trình bày trong hai chương:

Trong chương này trình bày một số kiến thức về hệ phương trình

vi phân Bao gồm một số khái niệm cơ bản và cách giải hệ phươngtrình vi cấp một

• Chương 2: Một số tính chất định tính của hệ vi phân cấp mộtTrong chương này trình bày một số kiến thức về sự tồn tại, tínhduy nhất nghiệm của bài toán Cauchy, sự kéo dài nghiệm, sự phụthuộc của nghiệm vào tham số và dữ kiện ban đầu

Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lựcbản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏinhững thiếu sót Em rất mong nhận được những đóng góp, ý kiến củacác thầy cô và bạn đọc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kết quảcao hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Phương Thúy

hệ (1.1) có thể được viết dưới dạng véc tơ:

dY

dx = F (x, Y ).

Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp n hàm khả vi

y1 = y1(x), y2 = y2(x), , yn = yn(x) trên một khoảng nào đó sao chochúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1) hay nói cách kháckhi thay chúng vào hệ (1.1) ta được các đồng nhất thức

1.2 Quan hệ giữa phương trình vi phân cấp n và hệ

Khi đó ta có hệ phương trình vi phân cấp một sau:

Ngược lại, nếu y1(x), y2(x), , yn(x) là nghiệm của hệ (1.3) thì hàm

y = y1(x) cho ta nghiệm của phương trình (1.2)

Tương tự, ta cũng có thể đưa hệ n phương trình vi phân cấp một vềmột phương trình cấp n như sau

Định lý 1.1 Với một số điều kiện nào đó thì từ hệ phương trình:

Và từ mọi nghiệm của phương trình vi phân (1.5) cho ta một nghiệm

y1, y2, , yn của hệ phương trình vi phân (1.4).

Chứng minh Giả sử fi (i = 1, , n) là các hàm liên tục và có các đạohàm riêng liên tục theo tất cả các biến đến cấp (n − 1)

Giả sử y1 = y1(x), y2 = y2(x), , yn = yn(x) là một nghiệm của hệ(1.4), ta thay vào phương trình thứ j của hệ (1.4) ta được:

dxn = Fn(x, y1, y2, , yn) (1.11)Giả sử

D(fj, F2, F3, , Fn−1)D(y1, y2, , yj−1, yj+1, , yn) 6= 0 (1.12)Xét hệ

Đây là phương trình vi phân cấp n đối với yj

Giả sử yj = yj(x) là một nghiệm bất kì của (1.14), thay vào (1.13)

ta tìm được y1, y2, , yj−1, yj+1, , yn và y1, y2, , yn sẽ là nghiệm của

Hệ (1.18) là một hệ đại số tuyến tính thuần nhất.

Do (1.12) nên hệ (1.18) chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thườngsuy ra

dyi

dx = fi;

dyj

dx = fj; (i 6= j)

Vậy y1, y2, , yn là nghiệm của hệ (1.4).

Dựa trên mối quan hệ này, trong một số trường hợp, chúng ta có thểđưa hệ phương trình vi phân cấp một về phương trình vi phân cấp cao

Từ lời giải của phương trình vi phân cấp cao đó, chúng ta có lời giải của

dx = y (2)Lấy đạo hàm phương trình (1), ta có

d2y

dx2 = dz

dx.Thay (2) vào (1) ta được

Từ (1) ta suy ra

z = −c1e−x + c2ex.Vậy nghiệm của hệ là

hệ Nếu như các tích phân đầu đó, ta rút ra được k ẩn hàm theo biếnđộc lập và các ẩn hàm còn lại thì ta sẽ giảm được k phương trình từ hệban đầu Trước hết ta xét qua ví dụ sau:

Ví dụ 1.2 Giải hệ phương trình sau

dx = y (2)Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được

dx = fi(x, y1, y2, , yn), (i = 1, 2, , n) (1.19)trong một số trường hợp ta có thể lập các tổ hợp khả tích, tức là lậpnên những phương trình vi phân mới là hệ quả của hệ (1.19) có thể tíchphân để đi đến những hệ thức dạng

Φi(x, y1, y2, , yn) = ci, (1.20)

gọi là các tích phân đầu của hệ (1.19)

Nếu tìm được k tổ hợp khả tích thì sẽ có k tích phân đầu

Nếu k = n và các tích phân đầu là độc lập thì các hàm chưa biếtđều xác định được từ hệ (1.21) Khi đó ta coi như đã tích phân xong hệ

Tích phân phương trình

dy2xy =

dz2xz

ta được

y

z = c1.

Bây giờ lần lượt nhân tử số và mẫu số của hệ phương trình đối xứng với

x, y và z rồi áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có

xdx + ydy + zdzx(x2 + y2 + z2) =

dz2xy

Vậy nghiệm của hệ xác định bởi hệ hai tích phân đầu độc lập

1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng

Định lý 1.3 Nếu Y1, Y2 là hai nghiệm của hệ (1.24) thì Y1 + Y2 cũng

là nghiệm của hệ (1.24)

Hệ quả 1.1 Nếu Y1, Y2 là các nghiệm của (1.24) thì c1Y1 + c2Y2 cũng

là một nghiệm của hệ (1.24), trong đó c1, c2 là các hằng số tùy ý

Nếu Y1, Y2, , Yn là các nghiệm của (1.24) thì

n

P

j=1

cjYj cũng là nghiệmcủa hệ (1.24)

Định nghĩa 1.1 Các nghiệm Y1, Y2, , Yn của hệ (1.24) được gọi là độc

Các nghiệm Y1, Y2, , Yn của hệ (1.24) được gọi là phụ thuộc tuyến tínhnếu tồn tại các hằng số c1, c2, , cn không đồng thời bằng không, saocho

được gọi là định thức Wronski của họ Y1, Y2, , Yn với

Định lý 1.6 Nếu Y = U + iV, (i2 = −1) là một nghiệm của (1.24) thì

dY

dx = A(x)Y + F (x). (1.26)Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cómột số tính chất được thể hiện thông qua các định lý sau

Định lý 1.8 Nếu Y∗(x) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyếntính không thuần nhất, Y1(x), Y2(x), , Yn(x) là hệ nghiệm cơ bản của

hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng thì nghiệmtổng quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất códạng

Y = c1Y1(x) + c2Y2(x) + + cnYn(x) + Y∗(x),trong đó c1, c2, , cn là các hằng số bất kì

Định lý 1.9 Nếu Y1(x), Y2(x) là hai nghiệm tương ứng của các hệphương trình

L[Y ] = f1(x); L[Y ] = f2(x)thì Y (x) = Y1(x) + Y2(x) là nghiệm của hệ phương trình

L[Y ] = f1(x) + f2(x)

Định lý 1.10 Nếu hệ phương trình tuyến tính

L[Y ] = U (x) + iV (x),trong đó

Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phân cấp một

Chương này trình bày một số tính chất định tính của hệ phươngtrình vi phân cấp một như: sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toánCauchy, sự kéo dài nghiệm, sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số và dữkiện ban đầu

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

dyn

dx = fn(x, y1, y2, , yn)

(2.1)

được hiểu như sau

Tìm nghiệm y1 = y1(x), y2 = y2(x), , yn = yn(x) thỏa mãn cácđiều kiện cho trước y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, , yn(x0) = yn0 Trong đó

x0, y01, y20, , yn0 là các giá trị cho trước tùy ý mà ta gọi là các giá trị banđầu

Dưới dạng véc tơ ta có bài toán

dy2dx

dyndx

Ta lưu ý rằng bài toán Cauchy không phải lúc nào cũng có nghiệm

và khi có nghiệm thì không nhất thiết nghiệm đó là nghiệm duy nhất.Trong mục dưới đây chúng ta sẽ đi phát biểu và chứng minh một định

lí giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấpmột

Định lý 2.1 (Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm)

Xét hệ phương trình vi phân (2.1)

Giả sử

1 Các hàm f1, f2, , fn liên tục trong miền

G = |x − x | ≤ a; |y − y0| ≤ b; |y − y0| ≤ b; ; |y − y0| ≤ b và

y1(x0) = y01, y2(x0) = y20, , yn(x0) = yn0 (2.2)Nghiệm này xác định trong khoảng đóng

[x0 − h; x0 + h]; h = min



a, bM



Chứng minh Để dễ nhớ, ta chia phần chứng minh định lí thành các bướcsau đây:

Bước 1 : Lập dãy xấp xỉ Picar Đặt

y0(x) = (y10(x), y20(x), , yn0(x)),

trong đó

y10(x) ≡ y10, y20(x) ≡ y02, , yn0(x) ≡ y0n.Tiếp đến ta xây dựng nghiệm xấp xỉ

y1(x) = (y11(x), y21(x), , yn1(x))

yk−1(x) = (y1k−1(x)), y2k−1(x)), , ynk−1(x))với

Ta chứng minh nhận xét này bằng phương pháp qui nạp.

Hiển nhiên y0(x) không vượt ra khỏi miền G

Giả sử khi x biến thiên trên I, yk(x) không vượt ra khỏi miền G

Khi đó từ (2.3) và giả thiết 1 của định lý ta suy ra

x ∈ I

c) Nghiệm xấp xỉ yk(x) liên tục trên I với mọi k = 0, 1, 2, Điềunày suy ra từ (2.3), giả thiết 1 và tính chất b) vừa chứng minh

Bước 2: Ta chứng minh rằng dãy nghiệm xấp xỉ {yk(x)} hội tụ trên

I, tức là các hàm yk(x) hội tụ đều trên I khi k → +∞

Ta xét chuỗi hàm sau đây

k hội tụ Do đó theo tiêuchuẩn Weierstrass và từ (2.7) ta suy ra chuỗi hàm (2.5) hội tụ đều trên

I với mọi i = 1, 2, , n

Đặt

yi(x) = lim

k→∞yik(x), i = 1, 2, , n,y(x) = (y1(x), y2(x), , yn(x))

Vì theo c) các hàm yik liên tục trên I nên hàm giới hạn yi(x) của dãyhội tụ đều {yik(x)} cũng liên tục trên I(i = 1, 2, , n)

Bước 3: Bây giờ ta chứng minh rằng

fi[x, y1(x), y2(x), , yn(x)] được xác định

Chuyển qua giới hạn khi k → ∞ các đẳng thức (2.3) ta được

Bước 4 : Ta chứng minh rằng y(x) là nghiệm duy nhất thỏa mãn điềukiện ban đầu (2.8)

Giả sử ngược lại, tồn tại nghiệm z(x) = (z1(x), z2(x), , zn(x)) của

hệ (2.1) xác định trên I thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.8) Khi đó tíchphân hai vế các đồng nhất thức

X

k=0

M (nL)k+1(k + 1)! h

Định lí hoàn toàn được chứng minh

Nhận xét 2.1 Nếu các hàm fi(i = 1, 2, , n) là các hàm liên tục trênmiền G và có các đạo hàm riêng theo các biến yj, ∂fi

∂yj, (j = 1, 2, , n)liên tục và bị chặn trên G thì các giả tiết của định lí 2.1 được thỏa mãn

Ví dụ 2.1 Xét hệ phương trình tuyến tính

dY

dx = A(x)Y + B(x)trong đó A(x) = [aij(x)]n×n, aij là các hàm số liên tục trên I = [a, b].B(x) =

Trong trường hợp này, ta có F (x, Y ) = A(x)Y + B(x) Có các thành

∂yj = aij(x) liên tục trên G.

Do đó theo Nhận xét 2.1 bài toán Cauchy đối với hệ phương trình viphân tuyến tính luôn có nghiệm duy nhất

Hệ quả 2.1 Giả sử các hàm f1, f2, , fn liên tục trong miền mở G ⊂

Rn+1 và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y1, y2, , yn trong G Khi đótồn tại duy nhất một đường cong tích phân của hệ (2.1) đi qua mỗi điểmtrong (x0, y01, , yn(n−1)) ∈ G cho trước

Hệ quả 2.2 Giả sử hàm f (x, y, y0, , y(n−1)) liên tục trong miền G ⊂

Rn+1 và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y, y0, , y(n−1) trong G Khi

đó với mỗi điểm trong (x0, y0, y00, , y0(n−1)) ∈ G cho trước, tồn tại duynhất nghiệm y(x) của phương trình vi phân

y(n) = f (x, y, y0, , y(n−1)) (2.14)thỏa mãn điều kiện ban đầu

y(x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y0(n−1)

Giả sử G là miền mà tại đó nghiệm của bài toán Cauchy đối với hệphương trình (2.1) tồn tại và duy nhất Khi đó ta có các khái niệm sauđối với hệ phương trình vi phân

• Nghiệm tổng quát Hệ n hàm khả vi liên tục theo x, phụ thuộc nhằng số tùy ý C1, C2, , Cn

yn = ϕn(x, C1, C2, , Cn)

(2.15)

được gọi là nghiệm tổng quát của hệ (2.1) ở trong miền G nếu:

1 Ứng với mỗi (x0, y01, y20, , y0n) ∈ G từ hệ (2.15) ta có thể xácđịnh được các hằng số

xác định nghiệm tổng quát của hệ (2.1) trong G.

• Nghiệm riêng Nghiệm của hệ (2.1) mà tại mỗi điểm của nó tínhduy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi lànghiệm riêng Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với các hằng

số C1, C2, , Cn xác định từ (2.16) là nghiệm riêng

• Nghiệm kì dị Nghiệm của hệ (2.1) mà tại mỗi điểm của nó tính duynhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kìdị

dx = 2

√z

là nghiệm tổng quát của hệ đang xét trong miền

G = {x 6= 0; −∞ < y < ∞; 0 < z < ∞}

Phương trình thứ hai của hệ có nghiệm kì dị z = 0

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

Chọn γ1 = 1 ta được γ2 = −1 Bởi vậy nghiệm ứng với λ1 = 1 là

y1 = ex, y2 = −ex.Hoàn toàn tương tự ta tìm được nghiệm ứng với λ2 = 2 là

y2 = 2e2x, z2 = −3e2x

Do đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là

y = C1ex+ 2C2x2x,

z = −C1ex− 3C2e2x

2.2 Sự kéo dài nghiệm

Giả sử trong miền G thỏa mãn các điều kiện của định lí tồn tại vàduy nhất nghiệm Khi đó qua mỗi điểm trong (x0, y01, y20, , yn0) ∈ G tồntại duy nhất nghiệm y(x) = (y1(x), y2(x), , yn(x)) thỏa mãn điều kiệnban đầu y1(x0) = y10, , yn(x0) = yn0 Nghiệm này xác định tại lân cận[x0 − h0, x0 + h0] của điểm x0

Đặt x1 = x0 + h0, y1(x1) = y11, y2(x1) = y21, , yn(x1) = yn1 Nếu điểm(x1, y11, y12, , yn1) là điểm trong của miền G thì áp dụng định lí tồn tại

và duy nhất nghiệm ta có nghiệm z(x) = (z1(x), z2(x), , zn(x)) của hệ(2.1) xác định trên khoảng [x1− h1, x1 + h1] và thỏa mãn điều kiện banđầu z1(x1) = y11, z2(x1) = y12, , zn(x1) = y1n

Theo tính duy nhất nghiệm ta suy ra z(x) = y(x) ở trên giao của các

khoảng [x0− h0, x0+ h0], [x1− h1, x1+ h1] Nhưng khi đó ta được nghiệmcủa hệ (2.1) đi qua điểm (x0, y10, y20, , yn0) xác định trên khoảng lớn hơn[x0 − h0, x0 + h0 + h1].

Đặt x2 = x0 + h0 + h1; z1(x2) = y12, z2(x2) = y22, , zn(x2) = yn2 Nếuđiểm (x2, y12, y22, , yn2) là điểm trong của G thì tiếp tục quá trình trên ta

có thể kéo dài nghiệm y(x) lên khoảng lớn hơn [x0− h0, x0+ h0+ h1+ h2].Hoàn toàn tương tự ta kéo dài nghiệm y(x) về bên trái của nghiệm x0.Người ra chứng minh được rằng quá trình kéo dài nghiệm như trên cóthể thực hiện cho đến tận biên của miền G

Giả sử miền G có dạng

G = {a < x < b; −∞ < y1 < ∞, , −∞ < yn < ∞}

và trong G các hàm f1, f2, , fn liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitztheo y1, y2, , yn cùng một hằng số Lipschitz L > 0

Áp dụng quá trình kéo dài nghiệm trên ta suy ra rằng:

Với mỗi x0 ∈ (a, b); −∞ < y0

i < ∞ (i = 1, 2, , n) tồn tại duynhất nghiệm y(x) = (y1(x), y2(x), , yn(x)) của hệ (2.1) xác định trênkhoảng (a, b) và thỏa mãn điều kiện ban đầu