Tập giới hạn, tập bất biến và tập hút toàn cục của hệ phương trình vi phân cấp 1

KHOA TOÁNVũ Thị Luyến TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016... KHOA TOÁNVũ Thị Luyến TẬP GIỚI HẠ

KHOA TOÁN

Vũ Thị Luyến

TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN

VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

KHOA TOÁN

Vũ Thị Luyến

TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN

VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Văn Bằng

Hà Nội – Năm 2016

Em xin chân thành cảm ơn TS Trần Văn Bằng đã tận tình hướngdẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.

Em xin chân thành cảm ơn các Thầy, các Cô trong tổ giải tích - khoaToán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ emhoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Luyến

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng, khóaluận "Tập giới hạn, tập bất biến và tập hút toàn cục của hệ phươngtrình vi phân cấp 1" được hoàn thành không trùng với bất kỳ đề tàinào khác.

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thành tựucủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Luyến

Lời mở đầu iii

1.1 Tập hợp trong Rn 1

1.2 Hệ phương trình vi phân cấp 1 2

1.3 Nửa nhóm liên tục Hệ động lực 5

1.4 Lí thuyết ổn định 5

1.4.1 Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov 5

1.4.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính 7

1.4.3 Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến tính hóa 9

1.4.4 Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp hàm Lyapunov 10

2 TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 13 2.1 Tập giới hạn, tập bất biến 13

2.1.1 Một số khái niệm 13

2.1.2 Nguyên lí bất biến LaSalle 18

2.2 Tập hút toàn cục 22

2.2.1 Các khái niệm cơ bản 22

2.2.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục 23

2.2.3 Cấu trúc của tập hút toàn cục 28

2.2.4 Xác định dáng điệu tiệm cận của tập hút toàn cục 29 2.3 Ví dụ áp dụng 34

Lời mở đầu

Các phương trình đạo hàm riêng và phương trình vi phân phi tuyếnxuất hiện rất nhiều trong các quá trình của vật lí, hóa học và sinh học.Việc nghiên cứu những phương trình này có ý nghĩa rất quan trọng trongkhoa học và công nghệ Chính vì vậy, nó đang thu hút sự quan tâm củanhiều nhà khoa học trên thế giới Các vấn đề lí thuyết đặt ra là nghiêncứu tính đặt đúng của bài toán và các tính chất định tính của nghiệm,chẳng hạn dáng điệu tiệm cận của nghiệm

Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dángđiệu nghiệm khi thời gian t → ∞ rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu

và dự đoán xu thế phát triển của hệ trong tương lai Về mặt toán học,điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới được phát triển mạnh

mẽ trong hai thập kỉ gần đây là lí thuyết các hệ động lực vô hạn chiều.Một trong những khái niệm được xây dựng là tập giới hạn, tập bất biến

và tập hút toàn cục Dưới sự định hướng của thầy hướng dẫn, tôi chọn

đề tài "Tập giới hạn, tập bất biến và tập hút toàn cục của hệphương trình vi phân cấp 1" để làm khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số khái niệm và kếtquả cần thiết cho nghiên cứu trong chương 2

Chương 2 "Tập giới hạn, tập bất biến và tập hút toàn cục của hệphương trình vi phân cấp 1" thảo luận nội dung của khóa luận

Hà Nội, tháng 05 năm 2016Sinh viên

Vũ Thị Luyến

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1 Cho không gian metric M = (X, d), tập A ⊂ X Tập

A được gọi là tập mở trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều làđiểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại mộtlân cận của x bao hàm trong A

Định nghĩa 1.2 Tập A được gọi là tập đóng trong không gian M, nếumọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác,nếu điểm x /∈ A thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nàothuộc tập A

Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X, d) Tập K ⊂ X gọi

là tập compact trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tửthuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K

Định nghĩa 1.4 Không gian M được gọi là không gian compact, nếutập X là tập compact trong M

Định nghĩa 1.5 Cho hàm f : Rn −→ Rn

i) Hàm f được gọi là liên tục Lipschitz trên tập U ⊂ Rn nếu tồn tại

k > 0 sao cho với mọi x, y ∈ U ta có kf(x) − f(y)k ≤ k kx − yk.ii) Hàm f được gọi là liên tục Lipschitz địa phương nếu với mọi x0 ∈

Rn, tồn tại lân cận U = U(x0) của x0 sao cho f liên tục Lipschitztrên U

t ∈ (a, b), điểm (t, ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t)) ∈ G và khi thay chúng vào hệ(1.1) thì ta được n đồng nhất thức theo t trên (a, b).

Cho hệ phương trình vi phân (1.1)

Bài toán Cauchy

Yêu cầu tìm nghiệm x1 = x1(t), x2 = x2(t), , xn = xn(t) thỏa mãnđiều kiện ban đầu x1(t0) = x0

n là các giá trị cho trước tùy ý

Định lý 1.1 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm )

và do đó giới nội : |fi(t, x1, x2, , xn)| ≤ M(i = 1, 2, , n);

2 Các hàm f1, f2, , fn thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x1, x2, , xn

trong miền G với cùng hằng số Lipschitz L > 0

Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm

x(t) = (x1(t), x2(t), , xn(t))của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu

x1(t0) = x0

1, x2(t0) = x0

2, , xn(t0) = x0

n.Nghiệm này xác định trong khoảng đóng

[t0 − h, t0 + h] với h = min



a, bM



hệ (1.1) có thể được viết dưới dạng vectơ: ˙x(t) = f(t, x(t)).

Đặc biệt f(t, x(t)) = A(t)x(t)+g(t), ta có hệ phương trình vi phân tuyếntính không thuần nhất

(I, Kn), ở đó v là mộtnghiệm bất kì của (1.2) và V là không gian nghiệm của hệ thuần nhấttương ứng (1.3) Nói cách khác, nghiệm tổng quát của hệ không thuần

nhất (1.2) bằng nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng (1.3) cộngvới một nghiệm riêng của hệ (1.2).

4 Với mọi u ∈ X, t 7→ S(t)u thuộc C((0, +∞), X)

Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0 gọi là một nửa nhóm liên tục trên X Khi

đó, X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái) Nếu t ∈ R thìS(t)t ∈R được gọi là nhóm các toán tử

nghiệm của hệ (1.4) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 ≥ 0, luôn tồntại.

Giả sử x(t) là một nghiệm của (1.4) xác định trên khoảng [t0, +∞).Định nghĩa 1.9 Nghiệm x(t) gọi là ổn định trên khoảng [t0, +∞)nếu với mỗi số ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) vớiky(t0)− x(t0)k < δ sẽ tồn tại trên cả khoảng [t0, +∞) và thỏa mãn:

ky(t) − x(t)k < ε, với mọi t ≥ t0.Định nghĩa 1.10 Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận trên khoảng[t0, +∞) nếu nó ổn định và tồn tại β ≥ 0 sao cho mọi nghiệm y(t) vớiky(t0)− x(t0)k < β sẽ thỏa mãn:

1, Trên nửa khoảng [t0, +∞), t0 > 0, nghiệm x = 0 ổn định

Thật vậy, mọi nghiệm của (1.5) là y = C.e−3t, với C là hằng số

Ta có

C.e−3t < C.e−3t0

< ε

Thật vậy ∀ε > 0, ∃δ = ε sao cho với mọi nghiệm y thỏa mãn

|y(t0)− 0| = C.e−3t0

< δ = ε thì

|y(t) − 0| = C.e−3t < C.e−3t0

< ε,∀t > t0.Suy ra x = 0 là ổn định

• Nghiệm bất kì của (1.6) ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) khi

và chỉ khi nghiệm 0 ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận)

• Nghiệm 0 của (1.6) ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản X(t) bất

kì đều bị chặn trên khoảng [t , +∞)

• Nghiệm 0 của (1.6) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với ma trận

• Nếu Re σ(A) < 0 thì hệ (1.6) là ổn định tiệm cận;

• Nếu Re σ(A) > 0 thì hệ (1.6) là không ổn định;

• Nếu Re σ(A) = 0 thì hệ (1.6) là không ổn định tiệm cận và nó là

ổn định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng có phần thực bằng 0

là nửa đơn, tức là các ô Jordan tương ứng có cỡ 1 × 1

Dưới đây ta xét ví dụ xét tính ổn định của hệ tuyến tính thông qua

ma trận cơ bản

Ví dụ 1.4.2

, x2 =



0

Vậy nghiệm x = 0 không là nghiệm ổn định của hệ đã cho

1.4.3 Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến tính

0 là một điểm tới hạn của f , tức là f (0) = 0

Phương trình ˙x = Ax, ở đó A là ma trận Jacobi Df(0), gọi là phươngtrình tuyến tính hóa tại điểm 0 Và quá trình chuyển phương trình phituyến (1.9) thành phương trình tuyến tính ˙x = Df(0)x gọi là quá trình

tuyến tính hóa Ta có nguyên lí sau.

Định lý 1.6 (Nguyên lí tuyến tính hóa) Điểm cân bằng x = 0 củaphương trình phi tuyến (1.9) là ổn định tiệm cận nếu Reσ(Df (0)) < 0

và nó là không ổn định nếu

Reσ(Df (0)) > 0

Như vậy, bằng phương pháp tuyến tính hóa, việc xác định tính ổnđịnh của một điểm cân bằng là khá dễ dàng Tuy nhiên, trong nhiềutrường hợp, chẳng hạn khi Reσ(Df(0)) > 0, việc xét này khá là phứctạp Trong mục tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu một phương pháp khác cótên phương pháp Lyapunov, để xét tính ổn định của một điểm cân bằng

1.4.4 Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp hàm

Lya-punov

Ta xét hệ vi phân ôtônôm

trong đó f là hàm liên tục trên tập mở D ⊂ Rn chứa 0 và f(0) = 0

Ta có thêm khái niệm ổn định

Định nghĩa 1.12 Nghiệm 0 của hệ (1.10) gọi là ổn định mũ nếu tồntại các hằng số dương β, γ, c sao cho với mọi nghiệm x(t) của (1.10):

kx(0)k < β kéo theo kx(t)k < ce−γt với t > 0,

Ta có mệnh đề

Mệnh đề 1.1 Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz địa phương Khi đó,nếu nghiệm x = 0 của (1.10) là ổn định mũ thì ổn định tiệm cận trên[t0, +∞), ∀t0 > 0.

Định nghĩa 1.13 Cho hàm giá trị thực V ∈ C1

do đó ˙V thường được gọi là đạo hàm của V dọc theo quỹ đạo

Từ đó có thể dùng công thức này để nhận thông tin về dáng điệu của

V dọc theo quỹ đạo mà không cần biết trước nghiệm

Định nghĩa 1.14 Một hàm Lyapunov đối với hệ (1.9) là hàm V ∈

C1

(D) thỏa mãn

V (0) = 0, V (x) > 0 với x 6= 0, và ˙V ≤ 0 trong D

Định lý 1.7 (Định lí ổn định Lyapunov) Giả sử f ∈ C(D) với f(0) = 0

và tồn tại một hàm V đối với hệ (1.10) Khi đó

a, Nếu ˙V ≤ 0 trong D thì nghiệm 0 của hệ (1.10) ổn định;

b, Nếu ˙V < 0 trong D\{0} thì nghiệm 0 của hệ (1.10) ổn định tiệm cận;

c, Nếu ˙V ≤ −αV và V (x) ≥ bkxkβ

trong D với α, β, b > 0 thì nghiệm 0của hệ (1.10) ổn định mũ

Định lý 1.8 (Định lí về tính không ổn định) Giả sử V ∈ C1

(D), V (0) =0và V (xk) > 0 với một dãy {xk} trong D\{0} mà xk → 0 Nếu ˙V > 0với x 6= 0 hoặc ˙V ≥ λV trong D với λ > 0, thì nghiệm 0 của hệ (1.10)

TẬP GIỚI HẠN, TẬP BẤT BIẾN

VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

2.1 Tập giới hạn, tập bất biến

2.1.1 Một số khái niệm

Xét phương trình vi phân ôtônôm

trong đó f là hàm Lipschitz địa phương liên tục trên tập mở D ⊂ Rn

Nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 kí hiệu là x(t, x0).Nghiệm này tồn tại trên khoảng cực đại J = (t−, t+

), với −∞ ≤ t− <

0 < t+

≤ +∞ và nảy sinh ra một quỹ đạo γ = x(J) Các tập hợp

k →∞x(tk) = a Tập hợp L− gồm tất cả các điểm α-giới hạn củanghiệm x(t) gọi là tập α-giới hạn của nghiệm đó.

Do x(0) = (0, 1), suy ra nghiệm của bài toán đã cho là

Nửa quỹ đạo dương γ+ bằng nửa quỹ đạo âm γ− và cùng bằng quỹ đạo

γ hay γ+

= γ− = γ

Ta có điểm a = (0, 1) là điểm ω-giới hạn Thật vậy, tồn tại

tk = 0 + k2π → +∞(k → ∞)x(tk) = (sin tk, cos tk) = (0, 1)→ (0, 1) = a

Suy ra a = (0, 1) là điểm ω-giới hạn

Tương tự ta chỉ ra được mọi điểm thuộc γ đều là điểm ω-giới hạn vàcũng là điểm α-giới hạn nên L+

Do đó quỹ đạo γ là đường tròn tâm 0(0, 0), bán kính kx0k.

Từ đây suy ra γ(M) = R2 nếu kMk = S

a ∈Mkak = [0, +∞) và γ(M) = Rnếu M là đường tròn tâm 0

Kí hiệu: dist (x, A) = inf {kx − ak : a ∈ A} là khoảng cách giữa điểm

t →+∞dist(x(t), L+

) = 0

Chứng minh.

• Chứng minh L+ là tập khác rỗng:

Trước tiên dễ thấy x(t) tồn tại với mọi t > 0 do x(t) nằm trong

K trên khoảng tồn tại cực đại về bên phải Do đó, theo định líBolzano-Weierstrass, mọi dãy dạng x(tk) đều có một dãy con hội

tụ Vì vậy, L+ là một tập con khác rỗng của K

2 +

ε

2 = ε Vì vậy, L

+ là tập compact

• Chứng minh L+ là tập liên thông:

Giả sử phản chứng L+ không liên thông, tức là tồn tại hai tậpcompact khác rỗng rời nhau K1, K2 sao cho

Dãy {x(tk)} nằm trong tập compact K và nó có điểm tụ a trong

K Mặt khác, dist(a, Ki) ≥ ρ, i = 1, 2, do đó dẫn đến mâu thuẫn.Vậy L+ là tập liên thông

• Chứng minh L+ là bất biến:

Giả sử a ∈ L+ và lim

k →∞x(tk) = a, ở đó tk → +∞ Nghiệm x(t, a)tồn tại trên khoảng cực đại J1 Ta cố định t ∈ J1 và chọn khoảngcompact I ⊂ J1 chứa 0 và t Nghiệm với giá trị ban đầu x(tk) sẽtồn tại ít nhất trên I với k lớn Từ đó, ta có

ε thìdãy {x(tk)} có một điểm tụ bên ngoài L+.(Mâu thuẫn giả sử)Vậy dist(x(t), L+

) → 0 khi t → +∞

Định nghĩa 2.4 Tập M ⊂ Rn gọi là một tập cực tiểu của phương trình(2.1) nếu M là khác rỗng, đóng, bất biến và M không có tập con thực

sự nào có ba tính chất này

2.1.2 Nguyên lí bất biến LaSalle

Xét phương trình vi phân ôtônôm

˙x = f (x),trong đó, f là hàm Lipschitz địa phương trên tập mở D ⊂ Rn chứa 0.Định nghĩa 2.5 Nếu f(0) = 0 và điểm cân bằng x = 0 là ổn định tiệmcận thì tập hợp các η ∈ D sao cho nghiệm tương ứng x(t, η) → 0 khi

t→ +∞ là một lân cận của gốc tọa độ Tập này gọi là miền hút của 0.Định lý 2.2 (Nguyên lí bất biến LaSalle) Giả sử Ω ⊂ D là một tậpcompact, bất biến dương đối với phương trình ˙x = f (x) Giả sử V : D →

R là hàm khả vi liên tục sao cho ˙V (x) ≤ 0 trong Ω Giả sử E là tập hợpcác điểm của Ω mà ˙V (x) = 0 và M là tập bất biến lớn nhất trong E.Khi đó Ω chứa trong miền hút của M, tức là, với mọi x0 ∈ Ω

lim

t →+∞dist(x(t, x0), M) = 0

Chứng minh

Giả sử x(t) là một nghiệm của phương trình ˙x = f(x) xuất phát trong

Ω Do V (x) liên tục trên tập compact Ω nên nó bị chặn dưới trên Ω Vìvậy, V (x(t)) có giới hạn a khi t → +∞

Do Ω đóng nên tập ω-giới hạn L+ của x nằm trong Ω Do đó, với bất kì

p ∈ L+, tồn tại dãy {tn}, tn → +∞ sao cho x(tn) → p khi n → ∞ Vì

V (x) liên tục nên V (x) = a trên L+

Do L+ bất biến , ˙V (x) = 0 trên L+ nên

L+ ⊂ M ⊂ E ⊂ Ω

Do x(t) bị chặn, x(t) dần tới L+ khi t → +∞ theo Định lí 2.2

Suy ra x(t) dần đến M khi t → +∞ hay

t →+∞dist(x(t, x0), M) = 0

Định lý 2.3 (Định lí không ổn định Ceteaev-Krasovsky) Giả sử f thỏamãn các giả thiết của định lí ổn định LaSalle và giả sử G là tập con mởcủa D với 0 ∈ ∂D Giả sử V ∈ C1

(G) ∩ C( ¯G) thỏa mãn các điều kiệnsau:

Chọn r > 0 sao cho ¯B(0, r) nằm trong D Giả sử x0 là điểm bất kì trong

G∩ B(0, r) và x(t) = x(t, x0) Giả sử x(t) nằm trong hình cầu B(0, r)với mọi t > 0 Đặt

φ(t) = V (x(t)), φ(0) = V (x0) = α > 0và

Gα = {x ∈ ¯G∩ ¯B(0, r) : V (x) ≥ α}

Do V triệt tiêu trên ∂G ∩ ¯B(0, r), Gα là tập compact của G Vì x(t) nằmtrong G, ˙φ(t) ≥ 0, điều này kéo theo φ(t) ≥ α, do đó x(t) ∈ Gα với mọi

t > 0

Suy ra quỹ đạo γ+

(x0) nằm trong tập compact Gα và L+

= L+

(x0) làkhác rỗng, bất biến và φ(t) bị chặn

Theo giả thiết x0 ∈ L+ và ˙V (x0) > 0 nên ta có lim

t →+∞φ(t) = +∞ Do đó,

˙

V (x0) = 0, suy ra L+

∈ N ( mâu thuẫn, do L+ bất biến )

Vậy mọi nghiệm xuất phát trong G sẽ rời hình cầu B(0, r) và vì 0 ∈ ∂Gnên 0 là không ổn định

Ví dụ 2.1.3 Xét phương trình Líenard suy rộng mô tả dao động

Đạo hàm dọc theo quỹ đạo của V là

x 6= 0, và là không ổn định nếu g(x) < 0

2.2 Tập hút toàn cục

2.2.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 2.6 Tập con khác rỗng A ⊂ Rn gọi là tập hút toàn cụccủa nửa nhóm S(t) nếu

dist(S(t)B, A) → 0 khi t → +∞,trong đó dist(X, Y ) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập X, Y ⊂

2.2.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục

Định nghĩa 2.7 Tập bị chặn B0 ⊂ Rn gọi là một tập hấp thụ củanửa nhóm S(t) nếu với bất kì tập bị chặn B ⊂ Rn, tồn tại thời điểm

T = T (B) sao cho S(t)B ⊂ B0 với mọi t ≥ T(B)

Nửa nhóm S(t) gọi là tiêu hao nếu nó có một tập hấp thụ bị chặn.Định lý 2.4 Giả sử nửa nhóm S(t) trong Rn liên tục và có một tập hấpthụ compact B0 Khi đó nửa nhóm S(t) có một tập hấp thụ toàn cục A

và A = ω(B0), tập ω-giới hạn của B0 Hơn nữa, A là tập liên thông.Chứng minh

Ta sẽ chứng minh ω(B0) thỏa mãn định nghĩa của tập hút toàn cục.a) Chứng minh ω(B0) 6= ∅ Thật vậy, giả sử yn ⊂ B0 và tn → +∞