Phương pháp quy nạp toán học

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCI. LÝ THUYẾTĐể chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n∈N∗bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k≥1(giả thiết quy nạp).Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1Chú ý: Trong trường hợp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n≥p(p là số tự nhiên) thì thuật toán là:Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=pBước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k≥1(giả thiết quy nạp)Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1II. BÀI TẬP MINH HỌA

CHƯƠNG III

DÃY SỐ CẤP SỐ

CỘNG VÀ CẤP SỐ

NHÂN

BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Câu hỏi kiểm tra

Cho các mệnh đề chứa biến:

P(n):,

Q(n): chia hết cho 3,

R(n):

Hãy kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề đó khi n = 1, 2, 3, 4, 5?

Tổ 1: P(n)

Tổ 2: Q(n)

Tổ 3: R(n)

•  

Kết quả

R(n):

•  

n So sánh n

n

n

Q(n): chia hết cho 3

n

- Muốn chứng minh mệnh đề A(n) với đúng ta cần chứng minh A(n) đúng với tất cả các giá

trị của .

- Muốn chỉ ra mệnh đề A(n) sai ta chỉ cần chỉ

ra 1 giá trị của n mà A(n) sai.

•  

Cho mệnh đề A(n) với

Để chứng minh A(n) đúng với với ta cần chứng minh điều gì?

P(n) đúng?

Q(n) đúng?

R(n) đúng?

I Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề A(n) với ta thực hiện hai bước sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = 1

Bước 2: Giả thiết A(n) đúng với n bất kỳ n = k tức là

A(k) đúng (Giả thiết quy nạp)

ta phải chứng minh A(n) đúng với , tức là cần chứng

minh A(k+1) đúng.

Vậy A(n) với

•  

n=1: A(1) đúng

n=2: A(2) đúng

… A(n) đúng với mọi

A(2) đúng A(3) đúng A(4) đúng …

I Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề A(n) với ta thực hiện hai bước sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = 1

Bước 2: Giả thiết A(n) đúng với n bất kỳ n = k tức là

A(k) đúng (Giả thiết quy nạp)

ta phải chứng minh A(n) đúng với , tức là cần chứng minh

A(k+1) đúng.

Vậy A(n) với

•  

II Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi thì

(1)

•  

+) Với n=1, ta có 1) đúng

+) Ta giả thiết (1) đúng với , tức là

ta phải chứng minh (1) đúng với ,

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta suy ra

Lời giải:

nghĩa là phải chứng minh

Vậy với mọi

II Ví dụ áp dụng

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi thì

(2)

•  

+) Với n=1, ta có 2) đúng

+) Ta giả thiết (2) đúng với , tức là

ta phải chứng minh (2) đúng với , nghĩa là phải chứng minh Thật vậy, theo giả thiết quy nạp (**) ta suy ra

Lời giải:

Vậy với mọi

II Ví dụ áp dụng

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi thì

chia hết cho 3 (3)

•  

n So sánh P(n)

Sai Sai Đúng Đúng Đúng

Sai Sai Đúng Đúng Đúng

Với điều kiện nào của n thì

mệnh đề P(n) đúng? Hãy

phát biểu mệnh đề đúng

đó?

R’(n):

II Ví dụ áp dụng

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi thì

chia hết cho 3 (3)

•  

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi thì

(4)

Chú ý

Để chứng minh mệnh đề A(n) với ta thực hiện hai bước sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p

Bước 2: Giả thiết A(n) đúng với n bất kỳ n = k tức là

A(k) đúng (Giả thiết quy nạp)

ta phải chứng minh A(n) đúng với , tức là cần chứng

minh A(k+1) đúng.

Vậy A(n) với

•  

Củng cố

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Để chứng minh mệnh đề A(n) với ta thực hiện hai bước sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = 1.

Bước 2: Giả thiết A(n) đúng với n = k tức làA(k) đúng (Giả thiết quy nạp)

ta phải chứng minh A(n) đúng với , tức là cần chứng minh A(k+1) đúng Kết luận: Vậy A(n) với

•  

Hướng dẫn học ở nhà

- Xem lại các ví dụ.

- Làm các ví dụ trong SGK.

- Bài tập: 1,2, 3,4 – SGK trang 82, 83