Chúng ta xét biểu thức ứng suất tiếp (4-46), viết cho ống tròn có bán kính r0: τ = ρl2
2
dy u d
,
trong đó:
y = r0 – r.
y là khoảng cách từ thành rắn đến lớp chất lỏng ở cách tâm một đoạn r.
Biểu thức (4-50) có thể viết thành:
ρ τ = l
dy u
d , (4-56)
ở đây l là độ dài đường xáo lộn. Về độ dài l, có nhiều giả thuyết.
ThÝ dô:
– theo đề nghị của Cácman:
l = ổ dy
u d
2 2
dy u
d . (4-57)
– theo đề nghị của Xátkêvít:
l = ổy r0
1− y , (4-58)
– theo thí nghiệm của Nicurátsơ (1930) làm ở ống trơn, ở những nơi gần thành rắn: (y < 0,1r):
l = 0,4y, (4-59)
– Pơrantơ đề nghị:
l = ổy. (4-60)
Hệ số ổ (kapa) ở những công thức trên được gọi là hằng số thông dụng. Theo Pơrantơ, hằng số ổ là một trị số cố định. Ngày nay ta đã biết rõ rằng trong những dòng khác nhau, ổ có khác ít nhiều mà không hoàn toàn cố định trong phạm vi mặt cắt.
Nếu sử dụng công thức (4-60) của Pơrantơ, công thức (4-56) viết lại thành:
ρ τ = ổy
dy u
d . (4-61)
Theo Pơrantơ, ở lân cận thành rắn có thể coi rằng τ = τ0 do đó:
ρ τ ≈
ρ
τ0 = u٭ , (4-62)
trong đó như đã biết theo (4-49), u٭ gọi là lưu tốc động lực. Chú ý rằng u٭ không biểu thị một lưu tốc có ý nhĩa vật lý nào.
Đem kết quả (4-62) đưa vào đẳng thước (4-61), ta có:
ρ τ0 = ổy
dy u d
hay là:
u٭ = ổy dy
u
d . (4-63)
Từ nay về sau ta viết u thay cho u tức là lưu tốc trung bình thời gian. Tích phân phương trình (4-63), ta được:
u = χ u*
lny + C, (4-64)
tức là tốc độ trung bình thời gian của dòng chảy rối phân bố theo quy luật lôgarít của khoảng cách y kể từ thành rắn.
Thí nghiệm của Nicurátsơ chứng minh rằng có thể suy rộng biểu thức (4-64) cho toàn dòng chảy, Pơrantơ đã viết ra biểu thức phân bố lưu tốc trên toàn mặt cắt như sau.
Trên trục ống, tức là ở chỗ y = r0, lưu tốc sẽ cực đại:
umax = χ*
u lnr0 + C. (4-65)
Trừ vế đối vế, hai đẳng thức (4-64) và (4-65) được biểu thị về độ thiếu hụt lưu tốc:
umax – u = χ*
u (lnr0 – lny). (4-66)
Từ đó biểu thức về độ thiếu hụt tương đối lưu tốc viết thành:
* max
u u
u −
= χ 1ln
y r0
. (4-67)
Độ thiếu hụt lưu tốc umax – u tương ứng với đoạn BC trên đồ phân bố vận tốc (h. 4-21). Công thức (4-66) và (4-67) được nhiều thí nghiệm xác nhận, những công thức đó chỉ rõ rằng hinhg dạng của phần FK trên
đường cong phân bố vận tốc là không đổi với một
đường kính ống cho trước, không phụ thuộc lưu lượng và độ nhám của thành rắn. Như vậy định luật phân bố sự thiếu hụt tương đối của vận tốc điểm là giống nhau
đối với tất cả các dòng chảy rối trong ống. Đó là định luật logarít của độ thiếu hụt lưu tốc tương đối (4-67).
C B u
k
A O D E
F
umax
y
u1
δ
H×nh 4-21 Thay χ= 0,4 vào công thức (4-67), ta có:
* max
u u
u −
= 5,57 lg y r0
. (4-68)
Đồ phân bố lưu tốc trên mặt cắt của dòng chảy rối được biểu thị trên hình (4-13).
Trong khu vực cảu lớp mỏng chảy tầng lưu tốc tăng lên rất nhanh gần như theo quy luật
đường thẳng (nói chặt chẽ thì ở đây lưu tốc phải phân bố theo parabôn, phù hợp với trạng thái chảy tầng). ở phần chính của dòng chảy rối (đường cong 2), lưu tốc phân bố đều hơn là ở trạng thái chảy tầng (đường cong 1): nếu với trạng thái chảy tầng có:
v umax
= 2, th× víi trạng thái chảy rối, tỉ số đó nhở hơn rất nhiều và khi trị số Re càng lớn thì tỉ số
v umax
giảm càng nhiều.
Số Râynôn 2700 106 108
Tỉ số V umax
1,33 1,66 1,11
Bằng những số liệu trên chúng ta chứng minh được rằng: trong dòng chảy rối, nếu độ rối càng lớn thì sự phân bố lưu tốc trên mặt cắt càng có khuynh hướng bình quân hoá. Như
đã nói ở trên, điều đó có thể cắt nghĩa bằng hiện tượng xáo lộn phần tử chất lỏng : các phần tử có tốc độ lớn khi lẫn vào lớp chảy chậm hơn sẽ có khuynh hướng làm lớp chảy chậm tăng độ lên và ngược lại. Với Re → ∞, sự phân bố lưu tốc tiến tới phân bố đều, mà sự phân bố đều của lưu tốc là đặc tính có thể có được ở dòng chất lỏng không nhớt, đồng thời cũng là đặc tính của chuyển động thế; như vậy khi độ rối cực lớn, có thể coi sự phân bố lưu tốc như trong chuyển động của chất lỏng lý tưởng hoặc trong chuyển động thế.
Vấn đề phân bố lưu tốc trên mặt cắt ngang của dòng chảy rối tuy đã được nghiên cứu nhiều trên cơ sở kết hợp lý luận và thực nghiệm và đã đạt được một số kết quả quan trọng, nhưng còn tồn tại rất nhiều câu hỏi chưa được sáng tỏ, thí dụ như về sự xác định độ dài xáo lộn l, về sự quy định khoảng cách y để quy luật phân bố lưu tốc theo lôgarít bắt đầu có hiệu lực, về ảnh hưởng của độ nhám đến quy luật phân bố đó …
Ngoài quy luật phân bố lưu tốc theo hàm số lôgarít như đã nói ở trên cũng còn nhiều
đề nghị khác, thí dụ quy luật số mũ. Cácman (năm 1921), trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết
đã đề nghị đối với ống trơn:
u = umax m
1
r0
1 r
− ,
trong đó: r0 – bán kính ống;
r – khoảng cách từ tâm mặt cắt ướt đến điểm xét vận tốc u;
m – mẫu số của số mũ, phụ thuộc số Râynôn Red. Có thể xác định m theo bảng sau:
Red 104 105 3.105 106
m 7 8 9 10
Theo A. D. Ansun (1956), quy luật này còn dùng được cho ống nhám, nếu số mũ được tÝnh theo:
m
1 = 0,9 λ Hệ số λ sẽ được nói đến ở Đ 4-7.
Phương hướng hiện đại của sự xác định quy luật phân bố lưu tốc là nghiên cứu cấu tạo rối của dòng chảy.