Trong nhiều trường hợp thường gặp ở thực tế, lực khối →Flà lực có thế và ở trường hợp này ta xét lực đó là trọng lực.
Nh vËy ta cã:
→F = –grad(gz) (3-109)
trục z đặt thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên. Những phương trình Naviê-Stốc, trong trường hợp này, có thể viết dưới dạng véctơ như sau:
dt U d→
= –grad(gz) –1gradp−→f
ρ (3-
110) hoặc:
dt U d→
= –grad −→
+p f
gz ρ (3-111)
3 véctơ này đều cùng nằm trong một mặt phẳng, →f là sức ma sát đối với một đơn vị khối lượng chất lỏng.
Chiếu đẳng thức véctơ này lên tiếp tuyến Mt và lên pháp tuyến Mn của quỹ đạo, những thành phần của
dt U d→
lần lượt là
dt du và
R u2
(R là bán kính cong MC của quỹ đạo tại M) (h. 3- 39).
Chúng ta có được (đối với chuyển động ổn định):
H×nh 3-39 ft
ρ−
+
∂
− ∂
∂ =
∂ p
s gz s
u u , (3-112)
fn
ρ−
+
∂
− ∂
= p
s gz R
u2
. (3-113)
trong đó ft và fn là những hình chiếu của lực ma sát →f .
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất cho một vi phân dài trên quỹ đạo ds = udt, ta
được đẳng thức sau đây, viết theo đường quỹ đạo (cũng là theo đường dòng):
p ds gz d
udu ft
ρ−
+
−
= (3-114)
hoặc:
p ds gz 2 d
d u
2
ft
ρ−
+
−
=
(3-115)
Đặt ftds = dτ là công nguyên tố sinh ra trên quỹ đạo bởi những lực ma sát đối với một
đơn vị khối lượng. Chia cho g, ta được:
' w 2
d dh g
2 u z p
d =− =
+ +
g τ
γ (3-116)
hoặc:
0 g h
2 u z p
d 'w
2 =
+ + +
γ (3-117)
dh'w là công nguyên tố sinh ra bởi lực ma sát đối với một đơn vị trọng lượng của chất lỏng tức là tổn thất cột nước.
Tích phân dọc theo quĩ đạo, ta được:
= + +
+ 2 h'w g 2 u z p
γ const = H . (3-118)
Đó là phương trình Bécnuiy viết cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng thực, mà ta đã
gặp ở (3-13') (Đ 3-8); ý nghĩa thuỷ lực hoặc hình học của đẳng thức (3-118) được thấy rõ trên hình 3-12 (Đ3-10).
Chương IV
Tổn thất cột nước trong dòng chảy
Đ 4-1. Những dạng tổn thất cột nước
Trong phương trình Bécnuiy viết cho toàn dòng chảy thực (3-25), số hạng hw là năng lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng bị tổn thất để khắc phục sức cản của dòng chaỷ trong đoạn dòng đang xét. Ta còn gọi hw là tổn thất cột nước.
Để tiện việc nghiên cứu, ta chia tổn thất cột nước làm hai dạng:
– Tổn thất dọc đường sinh ra trên toàn bộ bề dài dòng chảy đều hoặc không đều đổi dần, ta ký hiệu tổn thất này bằng hd; thí dụ: tổn thất trong ống thẳng dẫn nước.
– Tổn thất cục bộ sinh ra tại những nơi cá biệt, ở đó dòng chảy bị biến dạng đột ngột;
ta ký hiệu tổn thất này bằng hc; thí dụ: tổn thất tại nơi ống uốn cong, ống mở rộng, nơi có
đặt khoá nước v.v...
Nguyên nhân của tổn thất cột nước, dù dưới dạng nào, cũng do sự ma sát giữa các phần tử chất lỏng tức do ma sát trong sinh ra. Công tạo nên bởi lực ma sát này biến thành nhiệt năng mất đi không thể lấy lại cho dòng chảy.
Với giả thiết là các dạng tổn thất trên xảy ra độc lập đối với nhau, thì tổn thất năng lượng hw của dòng chảy có thể viết như sau:
Hw = ∑hd + ∑hc. (4-1)
trong đó:
∑hd – tổng cộng các tổn thất dọc đường của dòng chảy, ∑hc – tổng cộng các tổn thất cục bộ của dòng chảy.
Trong những tiết sắp tới, ta nghiên cứu kỹ sự tổn thất dọc đường của dòng chảy đều.
Trước hết, ta cần tìm phương trình cơ bản của dòng chảy đều.
Đ 4-2. Phương trình cơ bản của dòng chất lỏng chảy đều
Ta cần tìm mối quan hệ giữa tổn thất cột nước dọc đường với ma sát trong dòng chảy
đều.
Trong dòng chảy đều có áp hợc không có áp (dòng chảy đầy ống hoặc ở kênh hở), ta lấy một đoạn dòng dài l giới hạn bởi những mặt cắt ướt 1-1 và 2-2 (h. 4-1a và 4-1b, phương chảy lập với phương thẳng đứng một góc θ.
Gọi ω là diện tích mặt cắt, trong dòng chảy đều ω = const dọc theo dòng chảy. Độ cao của những trọng tâm của các mặt cắt 1-1 và 2-2 đối với mặt chuẩn nằm ngang 0-0 là z1 và z2 áp suất thuỷ động tại những tâm ấy là p1 và p2. Trong dòng chảy đều áp suất thuỷ động
trên mặt cắt ướt phân bố theo quy luật thuỷ tĩnh (xem Đ 3-22). Trong ống (tức là dòng chảy có áp) thì áp suất tại trọng tâm có thể biểu thị qua cột nước áp suất
γ p1
và γ p2
kể từ trọng tâm mặt cắt, còn trong kênh hở (tức là dòng chảy không áp) thì áp suất tại trọng tâm đo bởi
độ ngập sâu của trọng tâm. Ta gọi τ0 là ứng suất tiếp tuyến biểu thị sự ma sát trên đơn vị diện tích, trên mặt thành ống hoặc kênh.
Các ngoại lực tác dụng lên đoạn dòng chất lỏng chảy đều, chiếu theo phương của trục dòng là:
1. Lực khối lượng: ở đây lực khối lượng duy nhất là trọng lực G = ϒωl, có điểm đặt tại trọng tâm đoạn dòng; hình chiếu của nó lên trục dòng chảy là Gcosθ = ϒωlcosθ. Trong dòng chảy đều không có gia tốc, do đó, lực quán tính bằng không.
2. Lực mặt: a) có động áp lực p1 = p1ω và p2
= p2ω tác dụng thẳng góc với mặt cắt ướt;
những lực này song song với phương của trục dòng và hướng vào nội bộ đoạn dòng, còn các áp lực thuỷ động tác dụng lên mặt bên của đoạn dòng đều thẳng góc với trục dòng, do đó hình chiếu lên trục dòng bằng không.
b) Ngoài ra, ở mặt bên của đoạn dòng đang xét còn sức ma sát đặt ngược chiều chảy, bằng tích số của ứng suất tiếp tuyến τ0 với diện tích mặt bên: τ0χl,
trong đó χ là chu vi ướt.
Vì là chảy đều, tức chuyển động không có gia tốc, nên tổng số hình chiếu các lực trên phương trục dòng bằng không:
θ
α α
p2
γ pγ1
το το 1 L
2
α
α
p2
γ
1
L
H×nh 4-1
p1ω - p2ω - τ0χl + ϒωlcosθ = 0. (4-2) Trên hình vẽ ta thấy:
cosθ = l
2
1 z
z −
(4-3) Sau khi thay cosθ bằng các trị số ở (4-3), và chia các số hạng của phương trình (4-2) cho trọng lượng G = ϒωl sẽ được:
R 1 γ τ ω χ γ τ l
γ
γ = ⋅ = ⋅
+
−
+
0 0
2 2
1 1 p
p z z
(4-4)
Mặt khác ta viết phương trình Bécnuiy cho hai mặt cắt 1-1 và 2-2 z1 +
γ1 p +
2g α1v12
= z2 + γ p2
+ 2g α2v22
+ hd
Trong trường hợp dòng chảy đều là có áp, ta có v1 = v2 và α1 = α2, do đó:
+ γ1
1 p
z —
+ γ2
2 p
z = hd (4-5)
Trong trường hợp dòng chảy đều là không áp, ngoài v1 = v2 và α1 = α2: ta còn có p1 = p2 vì độ sâu của hai trọng tâm của hai mặt cắt đều bằng nhau, do đó:
+ γ1
1 p
z —
+ γ2
2 p
z = z1 - z2 = hd (4-6) Mang những kết quả (4-5) và (4-6) thay vào (4-4) ta được:
l h γR
τ0 = d
Trong dòng chảy đều, tổn thất cột nước chỉ là tổn thất dọc đường hd; vì tỷ số...là độ dốc thuỷ J nên:
Đó là phương trình cơ bản của dòng chảy đều, dùng cho cả dòng chảy có áp lẫn dòng chảy không áp. Phương trình này đặt mối liên hệ giữa tổn thất cột nước dọc đường (qua J) với sức ma sát, cụ thể là với ứng suất tiếp (qua τ0 ). Sự tổn thất cột nước đó phụ thuộc vào trạng thái chảy của chất lỏng mà ta sẽ nghiên cứu kỹ ở tiết tiếp sau.
τ τ
τ
0
0
τ
0
H×nh 4-2
Chú ý rằng tổn thất cột nước của dòng không ổn định hoặc của dòng ổn định không
đều rất khó tính ra, nên thường phải giả thiết là có thể mượn công thức tổn thất cột nước của dòng chảy đều để tính.
Nhận xét. Theo cách lập luận trên, đối với dòng chảy đều có áp, phương trình (4-7) còn đúng cho phần của dòng chảy đều có bán kính r < r0 (h. 4-2, phần gạch chéo). ở phần này, ta gọi τ là ứng suất tiếp, bán kính thuỷ lực được
tính bằng R = 2
r và theo (4-7) ta viết:
0 =RJ γ
τ (4-7)
γ τ = J
2
r (4-8)
Đối với toàn ống bán kính r0, ứng suất tiếp là τ0, ta viết:
2 r γ τ0 =J 0
Như vậy, chia hai đẳng thức trên vế đối vế, ta có:
0
0 r
τ = r τ hoặc:
0 0r τ r
τ = (4-9)
Vậy: ứng suất tiếp biển thiên theo quy luật bậc nhất trên mặt cắt ống; tại tâm (r = 0), ứng suất tiếp bằng 0; tại thành ống (r = r0), ứng suất tiếp có trị số cực đại τ0 (h. 4-2).
Quy luật bậc nhất này cũng đúng cho dòng chảy không áp.
Đ 4-3. Hai trạng thái chuyển động của chất lỏng
1. Thí nghiệm Râynôn: Trong thực tế tồn tại hai trạng thái chảy khác nhau của chất lỏng nhớt. Tuỳ theo trạng thái chảy mà cấu tạo của dòng chảy, sự phân bố lưu tốc, sự phân bố ứng suất tiếp, tổn thất năng lượng v.v...có những quy luật khác nhau. Từ đầu thế kỷ thứ 19 người ta đã sơ bộ biết có những trạng thái chảy khác nhau này (Haghen, năm 1839 và 1840; Menđêlép năm 1880); nhưng tới năm 1883, nhà vật lý học Anh O. Râynôn mới chứng minh bằng thí nghiệm rằng trong thực tế tồn tại hai trạng thái chảy khác biệt nhau một cách sâu sắc. Đó là một sự khám phá lớn về quy luật chuyển động của chất lỏng thực;
làm cho môn thuỷ lực có cơ sở để phát triển mạnh mẽ lên một bước quan trọng.
Thí nghiệm Râynôn trình bày một cách sơ lược như dưới đây (h. 4-3)
Một thùng A khá lớn chứa nước, gắn vào nó có một ống thuỷ tinh dài T, có đường kính không đổi: một đầu ống này cắm sâu vào trong thùng A có miệng vào hình loa L
để cho nước đi vào ống được thuận. ở đầu kia của ống có kháo B để điều chỉnh lưu lượng đi qua ống; phía dưới chỗ ra của ống T đặt một thùng đo lưu lượng. Phía trên thùng A đặt bình D đựng nước màu có tỷ trọng của nước; gắn vào gình D một ống nhỏ, ở đầu kia của ống nhỏ này lắp một cái kim để dẫn nước màu từ bình vào ống, trên ống nhỏ cúng có khoá K để điều chỉnh lưu lượng nước màu.
D
L
Q T B A
k
Chảy rối Qúa độ từ tầng sang rối
Chảy tầng a)
b)
c)
H×nh 4-3
Trình tự thí nghiệm như sau:
Trước hết, giữ mực nước trong thùng A cố định, không dao động. Bắt đầu thí nghiệm, mở khoá B rất ít cho nước chảy từ thùng A vào ống T. Đợi sau vài phút để dòng chảy trong ống ổn định, mở khoá K cho nước màu chảy vào ống. Lúc này quan sát ống thuỷ tinh T, ta thấy hiện lên một vệt màu nhỏ căng như sợi chỉ, điều này chứng tỏ rằng dòng mầu và dòng nước trong ống chảy riêng rẽ không xáo lộn lẫn vào nhau. Nếu mở khoá từ từ thì hiện tượng trên có thể tiếp tục trong một đơn vị thời gian nào đó. Khi đã mở đến một mức nhất định (lưu tốc trong ống đạt tới một trị số nào đó) thì vệt màu bị dao động thành hình sóng. Tiếp tục mở khoá nữa, vệt màu bị đứt đoạn, sau cùng hoàn toàn hoà lẫn trong dòng nước; lúc này dòng màu xáo lộn vào dòng nước trong ống (hình 4-3a, b, c).
Trạng thái chảy trong đó các phần tử chất lỏng chuyển động theo những tầng lớp không xáo lộn vào nhau gọi là trạng thái chảy tầng.
Trạng thái chảy trong đó các phần tử chất lỏng chuyển động vô trật tự, hỗn loạn gọi là trạng thái chất rối.
Thí nghiệm mô tả ở trên là thí nghiệm về sự chuyển biến của dòng chảy từ trạng thái chảy tầng sang trạng thái chảy rối.
Nếu ta làm thí nghiệm ngược lại, tức là vặn khoá nhỏ lại cho lưu tốc trong ống từ lớn
đến nhỏ thì thấy đến một lúc nào đó, vệt màu đang không rõ lại dần dần xuất hiện và cuối cùng hiện rõ thành sợi chỉ màu, tức là dòng chảy đang từ trạng thái chảy rối chuyển sang trạng thái chảy tầng.
Trạng thái chảy quá độ từ tầng sang rối hoặc từ rối sang tầng gọi là trạng thái chảy ph©n giíi.
Lưu tốc ứng với dòng chảy chuyển từ trạng thái chảy tầng sang trạng thái chảy rối gọi là lưu tốc phân giới trên, ký hiệu vKtrên. Lưu tốc, ứng với lúc dòng chảy chuyển từ trạng thái chảy rối sang trạng thái chảy tầng gọi là lưu tốc phân giới dưới, ký hiệu vKdưới.
Qua thực nghiệm thấy: vKtrên > vKdưới.
Thí nghiệm chứng tỏ: lưu tốc phân giới không những phụ thuộc vào loại chất lỏng mà còn phụ thuộc vào đường kính ống làm thí nghiệm. Vì vậy, không thể dùng một vận tốc giới hạn nào để làm tiêu chuẩn chung phân biệt trạng thái chảy cho moị loại chất lỏng hoặc với mọi loại đường ống được. Sau đây là cách xác định tiêu chuẩn phân biệt đó.
2. Tiêu chuẩn phân biệt hai trạng thái chảy.
Dựa vào kết quả nhiều thí nghiệm, Râynôn đã sùng một đại lượng không thứ nguyên
để đặc trưng cho trạng thái chảy, đó là Râynôn, ký hiệu Re:
trong đó: v — lưu tốc trung bình mặt cắt d — ®êng kÝnh èng
ν — hệ số động lực nhớt.
Trong biểu thức (4-10), đại lượng chiều dài có thể khác nhau: hoặc là đường kính d, hoặc là đường kính thuỷ lực R v.v... Nếu cần phân biệt để tránh nhầm lẫn, thì khi dùng
đường kinhd d trong (4-10), ta ký hiệu Red, khi dùng bán kính thuye lực R ta ký hiệu ReR. Số Râynôn có thể coi là tỷ số giữa lực quán tính và lực ma sát nhớt. Thực vậy, vì lực quán tính là:
F1 = dt τduW và lực nhớt là:
F2 = dn àduS
(trong đó W là thể tích, S là diện tích) nên tỷ số giữa chúng:
ν μ ν
ρ F F
2
1 vl
S dt W dn
dnS du dt W du
=
=
=
rõ ràng biểu thị số Râynôn.
Trị số Râynôn tương ứng với trị số phân giới từ chảy tầng sang chảy rối, hoặc ngược lại từ chảy rối sang chảy tầng, gọi là trị số Râynôn phân giới, ký hiệu bằng ReK.
ứng với vKtrên, ta có Râynôn phân giới trên:
ReKtrên = ν
d vKtrên⋅
Re =
ν
vd (4-10)
ứng với vKdưới, ta có Râynôn phân giới dưới:
ReKdưới = ν
d vKdưới⋅
Trạng thái chảy ứng với số Râynôn Re < ReKdưới bao giờ cũng là chảy tầng Trạng thái chảy Re > ReKtrên bao giờ cũng là chảy rối. Trạng thái chảy có
ReKdưới < Re < ReKtrên = ReKtrên có thể là chảy tầng hoạc chảy rối, nhưng thường là chảy rối, vì lúc này trạng thái chảy tầng không bền, chỉ cần một xáo động nhỏ cũng đủ làm cho nó biến thành chảy rối.
Qua nhiều thí nghiệm ta thấy rằng ReKtrên không có một trị số xác định, thường dao
động từ 12.000 đến 50.000. Trái lại, ReKdưới đối với mọi loại chất lỏng và đối với đường kính khác nhau đều có một trị số không đổi và bằng 2.320. Do đó, ReKdưới được dùng làm tiêu chuẩn để phân biệt trạng thái chảy. Ta coi rằng khi Re < 2.320 sẽ có trạng thái chảy tầng; khi Re > 2.320 sẽ có trạng thái chảy rối.
Đối với kênh dẫn, ta dùng bán kính thuỷ lực R thay cho đường kính d trong công thức (4-10): ReR = ...Thí nghiệm cho biết: khi ReR < 580, trạng thái chảy là chảy tầng; khi ReR
> 580, trạng thái chảy là chảy rối. Trong thực tế công trình thuỷ lợi, trừ dòng thấm dưới
đất, tuyệt đại đa số dòng chảy trong ống, trong kênh, trong sông thiên nhiên là chảy rối.
Chỉ trong phòng thí nghiệm, khi làm các thí nghiệm vô hình, có thể gặp dòng chảy tầng.
Cần chú ý rằng những trị số Râynôn phân giới nêu trên là ứng với những dòng chảy
đều trong ống và kênh.
3. ảnh hưởng của trạng thái chảy đối với quy luật tổn thất cột nước.
Trạng thái chảy rất quan trọng đối với quy luật tổn thất cột nước. Khi tốc,độ chảy càng tăng, sự xáo lộn của các phần tử chất lỏng càng mạnh, do đó, chuyển động của chất lỏng càng gặp nhiều trở lực hơn. Vì vậy, trong dòng chảy rối, tổn thất năng lượng lớn hơn trong dòng chảy tầng, và càng tăng khi tốc độ càng lớn. Ta nghiên cứu quan hệ giữa tổn thất cột nước dọc đường hd và tốc độ trung bình v ứng với một loại chất lỏng nhất định, với một ống tròn nhất định. Trên ống tròn dùng để thí nghiệm (h. 4-4), lấy một đoạn dài l đặt giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2, ở đó có gắn ống đo áp; ứng với mỗi lưu tốc v ta đo được một độ chênh mực nước hđ trong hai ống đo áp. áp dụng phương trình Bécnuiy cho những mặt cắt 1-1 và 2-2, ta viết được:
z1 + γ1 p +
2g α1v12
= z2 + γ2 p +
2g α2v22
+ hd
Vì đường kính ống d = const , nên dòng chảy là chảy đều: v1 = v2. α1 = α1; vì ống đặt nằm ngang, nên z1 = z2. Vậy phương trình trên viết lại thành
hd =
γ 2
1 p
p −
Tức là tổn thất cột nước bằng độ chênh mực nước ở hai ống đo áp (h. 4-4).
Trên đồ thị với trục tung độ biểu thị hd và trục hoành độ biểu thị v, ta vẽ đường quan hệ giữa hd và v trên cơ sở những
điểm thí nghiệm.
Qua hình vẽ (h. 4-4a) ta thÊy:
a) b)
45°
0
1
v
pγ hd pγ2
B A
C D
V Vk dưới
Vk trên
hd
0
lg hd
lg k
C
1 lg k lg υkdưới
lg υk trên E
F
L M
N S θ°
tg θ =2
lg v
2
H×nh 4-4
– ứng với trạng thái chảy tầng (v < vKdưới), đường biểu diễn OB là đường thẳng đi qua gèc:
hd = k1v, (4-11)
trong đó k1 là hằng số tỷ lệ.
Như vậy: trong dòng chảy tầng tổn thất cột nước dọc đường hd tỷ lệ bậc nhất với lưu tốc trung bình mặt cắt ν.
– ứng với trạng thái chảy rối (v >vKtrên), đường biểu diễn AD là một đường cong có dạng:
hd = k2vm, (4-12)
trong đó k2 là hằng số tỷ lệ; m là số mũ, m =1,7 ữ 2,0 trong đoạn AC, m = 2 trong đoạn CD Như vậy: trong dòng chảy rối tổn thất cột nước dọc đường hd tỷ lệ với bậc m của lưu tốc trung bình mặt cắt ν, trị số m biến đổi từ 1,7 đến 2.
– Trong khu vực vKdưới < v < vKtrên tồn tại 2 đoạn AB và AC: đoạn AB ứng với trường hợp quá độ từ chảy tầng sang chảy rối, đoạn AC ứng với trường hợp quá độ từ chảy rối sang chảy tầng.
Nếu lấy lô-ga-rít hai vế của (4-11) ta được:
Lghd = lgk1 + lgv. (4-13)
Trên hình 4-4b, phương trình (4-13) biểu thị bằng đường thẳng EL, lập với trục hoành
độ một góc bằng 45o.
Nếu lấy lôgarít hai vế (4-12) ta được:
Lgh® = lgk2 + mlgv. (4-14)