a) Kênh dốc thuận: i > 0
Theo (8-5) ta cã: Q = K0 i (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
−
× =
−
= 2o2 22o K 1 K K i
i i K
A (4)
Căn cứ vào (2) và (4), ta phân tích cho ba trường hợp cụ thể sau:
Trường hợp 1.
Lúc i < ik (nghĩa là h0 > hk), ta có vị trí các đường (N – N), (K – K) như hình (9-20). Lần lượt xét các dạng đường mặt nước trong các khu a, b, c.
Trong khu a: h > h0 > hk Vì h > h0 nên A > 0,
h > hk nên B > 0.
VËy:
B 0 A dl
dh = >
i<
K
K N
N (a)
(b) (c)
ik i
cI bI
aI
H×nh 9-20
Ta có đường nước dâng gọi là đường ar.
Đường ar có bề lõm quay lên trên (h. 9-20).
Xét giới hạn của đường ar khi h → ∞ và h → h0
Lúc h → ∞ thì K → ∞ nên A → i, còn Fr → 0 nên B → 1.
VËy i dl dh→
Đường mặt nước tiến tới đường nằm ngang.
Lúc h → h0 (h0 > hk) thì K → K0 nên A → 0, còn Fr vẫn bé hơn 1 nên B > 0.
VËy:
0
dl dh→ ,
đường mặt nước tiến tới đường mặt nước dòng chảy đều, hay nói một cách khác dòng chảy không đều nhận đường mặt nước của dòng chảy đều (N – N) làm tiệm cận.
Đường ar thường thấy khi trong kênh có dòng chảy êm (h0> hk) mà trên đó có vật chắn như đập tràn chẳng hạn (h. 9-21).
K N
ii k
i<
K
N
Đường nước dâng aI
H×nh 9-21
Trong khu b: h0 > h > hk Vì h < h0 nên A < 0, h > hk nên B > 0.
VËy:
0
B A dl dh= <
Trong trường hợp này sẽ xuất hiện đường nước hạ và gọi là đường bI có bề lõm quay xuống dưới (h. 9-20).
Lúc h → h0 ta có A → 0, trong khi đó B > 0 (vì h = h0 > hk).
VËy: 0 dl dh→ ,
đường mặt nước tiến tới đường mặt nước dòng chảy đều,
Lúc h → hk < h0 ta có A < 0, còn Fr → 1 nhưng vẫn bé hơn 1, nên B → 0 vẫn lớn hơn 0, ký hiệu B = 0 + c > 0.
VËy: →∞
dl
dh ,
nghĩa là đường mặt nước gặp đường (K – K) sẽ có tiếp tuyến thẳng góc với
®êng Êy.
Đường bI thường thấy khi trong kênh có dòng chảy êm mà ở phía cuối có bậc thẳng đúng hay dốc nước (h. 9- 22). Gần chố trúc có độ sâu hk.
K N
iik
i<
bI
K N
Đường nước hạ
H×nh9-22 Trong khu c: h0 > hk > h
Vì h0 > h nên A < 0, hk > h nên B < 0.
VËy:
B 0 A dl
dh = >
ở đây sẽ có đường nước dâng và gọi là đường cI. Đường cI có bề lõm quay lên trên (h. 9-20).
Lúc h → hk < h0 ta có A < 0, còn Fr → 1 nhưng lớn hơn 1, nên B → 0 và bé hơn 0, ký hiệu B = 0 - ε < 0.
VËy: →+∞
dl
dh ,
Đường mặt nước có tiếp tuyến thẳng góc với đường (K – K) tại chỗ gặp đường ấy; trong thực tế đường mặt nước không tới đường (K – K) được, mà chỉ gần tới đó th×
i< ii k
K
Đường nước dâng cI nước nhảy K
H×nh (9-23)
mất liên tục bởi hiện tượng nước nhảy (sẽ nói kỹ ở chương XIII). Do đó, trong hình (9-20) đoạn gần đường (K – K) vẽ bằng đường đứt đoạn.
Đường cI thường thấy khi một dòng chảy xiết đi vào một
đoạn kênh có i < ik, như dòng chảy sau đập tràn (h. 9-23).
Trường hợp 2:
Lúc i > ik (nghĩa là h0 < hk)
Vị trí đường (N – N) và (K – K) như trên hình (9-24). Ta lần lượt xét cho các khu a, b, c.
Trong khu a: h > hk > h0 Theo cách phân tích như phần trên ta được: 0
dl dh> .
Đây là đường nước dâng và gọi là đường aII. Đường aII có bề lõm quay xuống dưới (h. 9-24)
Lóc h → ∞, ®êng aII tiÕn tíi
đường nằm ngang.
Lóc h → hk, ®êng aII cã tiÕp tuyến thẳng góc với đường (K – K).
N
II
K
b
i >
II
ii k
c
K aII
N
H×nh (9-24)
Thực tế đường aII không cắt đường (K – K) vì lúc tới gần đường (K – K) thì
mất liên tục bởi hiện tượng nước nhảy (xem chương XIII).
Đường aII có thể xảy ra trước một vật chắn, ví dụ trước đập tràn ở trong kênh có i
> ik (h. 9-25).
Trong khu b: hk > h > h0
Phân tích như trên ta được: 0 dl dh< .
Trong kênh sẽ có đường nước hạ và gọi là đường bII. Đường bII có bề lõm quay lên trên (h. 9-24). Lúc h → hk, đường bII gặp đường (K – K), tại đó có tiếp tuyến thẳng góc với đường (K – K).
Lúc h → h0, đường bII tiến tới dòng chảy đều.
Đường bII thường gặp lúc kênh thay đổi độ dốc từ i1 < ik (h. 9-26).
Trong khu c: hk > h0 > h.
Phân tích như trước đây được: 0 dl dh> .
Đó là đường nước dâng có bề lõm quay xuống dưới và gọi là
®êng cII. (h. 9-24).
Lóc h → h0, ®êng cII tiÕn tíi
®êng (N – N).
Đường nước dâng a K
N
i >iik nước nhảy
N
II
K
H×nh 9-25
Đường cII thường gặp lúc kênh thay đổi độ dốc từ i1 sang i2 với i1>i2 >ik (h. 9- 27).
ii i< k N
K
i> ii k
Đường nước hạbII
1
N1
N2
N2
H×nh 9-26
Trường hợp 3.
Lúc i = ik (nghĩa là h0 = hk) đường (N – N) và đường (K – K) trùng nhau nên chỉ còn hai khu là a và c (h. 9-28).
Trong khu a: h > h0 = hk.
Phân tích như trên ta được: 0 dl dh> ,
1
K
N
N
i
2
iik
N2 N1
K
K
ii2>
Đường nước dângcII
H×nh 9-27
aIII (a)
(c)
cIII
i =ii k
N K
N K
H×nh 9-28
Ta có đường nước dâng aIII (h. 9-28).
Lóc h → ∞ th× i dl
dh→ đường aIII tiến tới đường nằm ngang.
Lúc h → hk = 0 thì A và B đều tiến dần tới 0.
VËy 0
0 dl
dh
0 k b h h
=
=
→
là dạng vô định.
Cần khử dạng vô định này để tìm giá trị của dl dh Phương trình (9-31) được viết lại dưới dạng:
3 2
2 2
2
B g 1 Q
R C i Q dl dh
ω αω
×
−
− ×
= (9-32)
Khi i = ik, thay giá trị Q ở tử số bằng biểu thức Q = ωkCk Rkìik và giá trị g
Q2
α ở mẫu số bằng
k 3k
B
ω , ta cã:
k 3 3k k 3 3k
k B
1 B 1 dl i dh
ω ω
ω χ χ ω
×
−
×
−
= (9-33)
Hệ số Sêsi đối với lòng dẫn có độ nhám đồng nhất thay đổi rất ít khi tăng hay giảm độ sâu h, do đó trong phương trình (9-33) đã lấy gần đúng Ck ≈ C.
Kênh rộng, χ ≈ B. Vì vậy, khi h → hk= h0 thì ik dl
dh → . Đường aIII tiến tới vị trí nằm ngang.
Cách tìm giới hạn trên là có điều kiện như đã trình bày trong khi chứng minh.
Trong kênh dẫn có mặt cắt bất kỳ, giới hạn của dl
dh khi h → h0 = hk, bằng những tính toán chính xác hơn, nằm trong khoảng (0,7 ữ 1,097) ik khi mái dốc m ≤ 4. Điều đó có nghĩa là, khi h → h0 = hk, đường tiệm cận không hoàn toàn nằm ngang.
Đương aIII có giới hạn đầu và cuối là các đường nằm ngang, và chính bản thân
đường aIII có độ cong rất bé nên trong thực tế đường aIII được xem là một đường nằm ngang (h. 9-28).
Có thể quan sát thấy đường aIII ở đoạn cuối kênh có i = ik khi trên kênh có vật chắn hoặc khi kênh nối vào một hồ chứa (h. 9-29).
Trong khu c: h < hk = h0. Phân tích như trên ta được:
0
dl dh>
Đó là đường nước dâng cIII (h. 9- 28).
Lóc h → hk ta cã i dl
dh→ (xem cách lập luận cho đường aIII) nên cũng nh
K N
N K
Đường nước dâng aIII
ii i = k
H×nh9-29
đường aIII, thực tế có thể xem đường cIII là một đường nằm ngang.
Đường cIII thường gặp lúc kênh thay đổi độ dốc từ i1> ik sang i2 = ik, (h. 9-30).
Trên đây là 8 loại đường mặt nước lúc i > 0 và cũng là 8 loại đường quan trọng nhất, cần phải nhớ kỹ.
b) Kênh đáy bằng: i = 0.
Lúc i = 0, vì không có chảy đều nên không có h0, chỉ còn lại hai khu b và c (h. 9- 31). Nhớ rằng chảy đều chỉ có thể có được lúc dòng nước chảy chảy dưới tác dụng của trọng lực, nghĩa là cần có i > 0. Do đó, lúc i = 0 hay i < 0 thì dòng chảy chảy được là do một nguyên nhân khác; chứ không phải do tác dụng của trọng lực.
N1
N1
iik 2>
ii
Đường nước dâng N2
K
cIII
K N2
ii1= ii k
H×nh9-30
V× 2
2
K i Q
A= − mà i = 0 nên A luôn luôn là âm (A < 0). Vậy biến thiên của h chỉ còn phụ thuộc vào dấu của B = 1 – Fr. Ta có hai trường hợp sau:
Trong khu b: h > hk nên B > 0.
VËy 0
B A dl
dh = < .
Đường mặt nước là đường nước hạ b0. Lóc h → ∞ th× 0
dl
dh → , đường b0 tiến tới đường nằm ngang.
Còn lúc h → hkthì →−∞
dl
dh , đường mặt nước có tiếp tuyến tại (K–K) thẳng góc với đường (K–K). Đường b0 có dạng giống đường b1 (h. 9-31).
Trong khu c: h < hk nên B < 0
VËy 0
B A dl
dh = >
đường mặt nước là đường nước dâng c0.
c0
b0
i = 0 i < 0
c' b'
H×nh 9-31 H×nh 9-32
Lóc h → hk th× →+∞
dl
dh , nhưng cũng như đường cI, đường c0 mất liên tục khi tới gần đường (K–K) do nước chảy.
§êng c0 gièng ®êng cI (h. 9-31).
c) Kênh dốc nghịch: i < 0
Cũng như lúc i = 0, ở đây không có độ sâu chảy đều, do đó cũng chỉ có hai khu b và c (h. 9-32).
V× 22 K i Q
A = − luôn luôn âm nên
B A dl
dh = luôn luôn ngược dấu với dấu của mẫu số B.
Ta có hai trường hợp:
Trong khu b: h > hk nên B > 0
VËy 0
B A dl
dh = < . Đường mặt nước là đường nước hạ b’.
Đườg b’ có dạng giống như đường b0 và bI (h. 9-32).
Trong khu c: h < hknên B < 0.
VËy 0
B A dl
dh = > , đường mặt nước là đường nước dâng c’.
Trên đây là tất cả các loại đường mặt nước có thể có trong kênh lăng trụ lúc chảy không đều.
Có thể tóm tắt trong bảng sau (bảng 9-2)
Bảng 9-2 Bảng tóm tắt các loại đường mặt nước trong kênh lăng trụ i
Loại đường mặt nước
ở khu a ở khu b ở khu c i
> 0
i < ik aI bI cI
i > ik aII bII cII
i = ik aIII không có cIII
i = 0 không có b0 c0
i < 0 không có b’ c’
Trong12 loại đường này, 6 đường a1, bI , cI, aII, bII, cII là cơ bản nhất, 6 đường còn lại cã thÓ suy tõ 6 ®êng kia.
Đường aIII và cIII là trung gian của đường aI, aII, và cI, cII. Đường b0 và b’ giống như
®êng bI.
Đường c0 và c’ giống như đường cI..
Hình (9-20), (9-24), (9-28), (9-31) và (9-32) cho ta hình dạng tất cả các loại đường mặt nước có thể có trong kênh lăng trụ.
Qua 5 hình đó, ta có thể rút ra mấy nhận xét sau:
1. ở khu a và c chỉ có thể là đường nước dâng.
2. ở khu b chỉ có thể là đường nước hạ.
b
c b
a xP
(I) (I) (III) (II)
(0) b'
c'
h
B>0
0
A>0
J b0
hk
c0
cI cIII cII
bII
aI
aIII
aII
h0
=f(l) bI
H×nh 9-33:
Đồ thị tóm tắt các loại đường mặt nước trong kênh lăng trụ.
3. Đường mặt nước chỉ tiến tới (tiệm cận với) đường (N–N) hoặc đường nằm ngang chứ không bao giờ tiệm cận với
®êng (K–K).
4. Đường mặt nước có xu thế cắt đường cắt đường (K–K) chứ không bao giờ có xu thế cắt
®êng (N–N).
Khi qua ®êng (K–K) th×
đường mặt nước mất liên tục hoặc
đổ trúc.
Ta có thể tóm tắt việc nghiên cứu 12 loại đường mặt nước nói trên bằng cách nghiên cứu trên đồ thị (h. 9-33):
a) Ta dùng lại đồ thị h.9-15, trên đó ta chú ý đến hai đường: đường cong h0 = f(J) và đường h = hkđều vẽ cho kênh lăng trụ có mặt cắt ngang cho trước và ứng với một lưu lượng Q cho trước.
Tóm tắt việc phân tích dấu của tử số A = i – J và mẫu số B = 1 – Fr, viết trong công thức:
B A Fr 1
J i dl
dh =
−
= −
mà ta đã làm ở điểm 1trong tiết Đ 9-7 này, ta có thể nói (h. 9-33):
– Với h ở cao hơn đường h0 = f(J) thì tử số A dương và ngược lại với h ở thấp hơn
đường h0 = f(J) thì tử số A âm.
– Với h ở cao hơn đường h = hk thì mẫu số B dương và ngược lại với h ở thấp hơn
®êng h = hk th× mÉu sè b ©m.
Do đó: hai đường h0 = f(J) và h = hk đã chia đồ thị làm ba khu khu a: nước dâng chảy êm
>0 B
A , ở trên đường
=hk h
khu c: nước dâng chảy xiết
>0 B
A , ở trên đường
=hk h
khu b: nước hạ chảy êm
<0 B
A , ở trên đường
=hk
h và nước hạ chảy xiết
<0 B
A , ở trên đường
=hk h
b) Kẻ đường thẳng đứng i = ik; hai đường thẳng đứng i = 0 và i = ik chia mặt phẳng
đồ thị thành năm miền là: i < 0; i = 0; 0 < i < ik; i = ik; i > ik mà ta ký hiệu một cách tương ứng như đã làm ở trên, bởi:, ; 0; I; III; II.
c) Kết hợp các khu a, b, c với các ký hiệu vừa nói trên, ta có đue 12 đường mặt nước trên đồ thị này.
d) Nếu biết toạ độ của một điểm (h, i) trên đồ thị này, sẽ xác định được tên đường mặt nước tương ứng. Ví dụ bết điểm P(i > ik, h > hk > h0), ta biết ngay được đường mặt nước tương ứng là đường nước dâng aII.
Chú thích: Đồ thị này có thể dùng để nghiên cứu hình dạng nối tiếp đường mặt nước khi độ dốc kênh thay đổi.
ở trên ta đã phân tích tỷ mỉ các dạng đường mặt nước bằng phương trình (9-31). Tức là nghiên cứu quy luật thay đổi của độ sâu h dọc theo dòng chảy. Tuy vậy, một vấn đề
được đặt ra là cao trình đường mặt nước thay đổi như thế nào, và các dạng đường mặt nước đã được phân tích đúng trong trường hợp nào của dạng đường mặt nước lý thuyết.
Có thể thấy rằng cao trình mặt nước z và độ sâu dòng chảy h liên hệ với nhau theo biểu thức:
dh = dz + idl. (1)
Thay biểu thức trên vào phương trình (9-31), ta có
1 Fr
i Fr J dl i dz
−
= − (2)
Rõ ràng là đường mặt nước có tiếp tuyến nằm ngang khi
i
Fr = J,
hay
B C g Fr
i J χ2
α⋅
=
= (3)
Độ sâu h thoả mãn biểu thức (3) gọi là độ sâu tới hạn ht tương ứng với nó sẽ có độ dốc tới hạn it tính theo (3). Độ sâu tới hạn ht là một hàm số của độ dốc i, độ nhám n và
hình dạng mặt cắt ngang λhd và không phụ thuộc lưu lượng Q. Tuỳ thuộc vào hình dạng mặt cắt ngang λhd mà quan hệ
B C g
2
χ
α⋅ h có dạng hypebôn hay parabôn.
Phân tích phương trình (2), có thể thấy rằng trong kênh đáy bằng (i = 0) hay dốc nghịch (i < 0) không tồn tại độ sâu tới hạn ht, các dạng đường mặt nước phân tích theo (2) còng gièng nh ph©n tÝch theo (9-31).
Trường hợp kênh dốc thuận (i > 0) đường mặt nước có những điểm khác nhau với các phân tích trên đây.
Đặt F(h) = Fr i
−J
Khi F(h) vô nghiệm, độ sâu ht không tồn tại và i < it. Lúc đó sự thay đổi cao trình
đường mặt nước phụ thuộc vào quan hệ giữa h và hK. Ví dụ, khi i < ik với dòng chảy êm, h>hK, cao trình đường aI,bI luôn luôn thấp dần theo chiều dòng chảy. Với dòng chảy xiết, cao trình đường cI luôn luôn tăng theo dòng chảy. Điều đó giống hoàn toàn các phân tích trên đây.
Khi i ≥ it, hàm F(h) có một nghiệm kép hay hai nghiệm riêng biệt. Trong những điều kiện đó, dáng điệu đường mặt nước không phải lúc nào cũng giống như các trường hợp đã
có, trừ các dạng đường mặt nước ở khu b (bI, bII). Độc giả có thể tìm hiểu sâu thêm báo cáo của Nguyễn Cảnh Cầm ở Hội nghị Khoa học lần thứ 6 của trường Đại học Thuỷ lợi, Hà Nội (5 - 1982).
Đ 9-8. Cách tính và vẽ đường mặt nước trong kênh
Trên đây ta mới xác định đường mặt nước về mặt định tính, nghĩa là chỉ xác định
được tính chất và dạng của các loại đường, còn chưa tính toán cụ thể. ở tiết này sẽ giải quyết vấn đề đó.
Muốn thế phải giải các phương trình vi phân cơ bản (9-28) hoặc (9-31). Đó là phương trình vi phân cấp một, một ẩn. Ta có thể giải và tìm được nghiệm dưới dạng h = h(l) nếu biết một điều kiện biên, chẳng hạn biết độ sâu tại một mặt cắt nào đó. Nhưng về phương diện toán học, tìm nghiệm đúng của các phương trình vi phân trên rất khó và nói chung là không giải được. Do đó người ta thường phải giải được bằng cách gần đúng hoặc bằng phương pháp cộng trực tiếp hoặc bằng cáh biến đổi cho đơn giản rồi mới tích phân các phương trình trên.
Có rất nhiều các phương pháp giải các phương trình trên do nhiều nhà kho học đề ra, ở đây chỉ giới thiệu một vài phương pháp tương đối giản đơn nhất.