Sự phân bố lưu tốc trong lớp mỏng chảy tầng có thể suy diễn dex dàng bằng cách thay trong công thức (4-50) ut bằng u và thay δt bằng y. Ta được:
u = ν
2*
u y. (4-69)
Tại ranh giới của lớp mỏng chảy tầng và phần còn lại của dòng chảy, nghĩa là tại nơi y
=δ, (bề dầy của lớp mỏng chảy tầng), vận tốc u có trị số đặc biệt u1 = EF (h. 4-21); ở đó u1 bị chi phối bởi hai quy luật:
– quy luật (4-69) về sự phân bố vận tốc trong lớp mỏng chảy tầng có độ dày δ:
u = ν
*2
u y. (4-70)
– quy luật lôgarít về độ thiếu hụt lưu tốc (4-68) đúng cho phần còn lại của dòng chảy:
* max
u u
u −
= 5,75lg y r0
. (4-71)
Cho y = δ vào hai công thức này thì ta được:
u1 = ν
2*
u δ
và:
* max
u u
u −
= 5,75lg δ0 r .
Loại δ ở hai biểu thức vờa mới đạt được ta có:
umax = u1 + 5,75u٭lg
1ν
20
*
u r
u . (4-72)
Mặt khác, từ (4-68), ta rút ra trị số umax:
umax = u + 5,75u٭lg y r0
. (4-73)
Từ (4-73) và (4-72), ta viết:
u + 5,75u٭lg y r0
= u1 + 5,75u٭lg
1ν
2 0
*
u r u , hoặc:
u*
u =
* 1
u
u - 5,75lg y r0
+ 5,75lg ν
y u*
.
1 0
*
yu r u . hoặc:
u*
u =
* 1
u
u + 5,75lg
1
*
u
u + 5,75lg ν
y u*
. (4-74)
Với những trị số Râynôn lớn hơn 105, ta có thể coi là:
* 1
u
u + 5,75lg
1
*
u
u = const = 5,5.
khi đó quy luật lôgarít về sự thiếu hụt lưu tốc có dạng sau đây:
u*
u = 5,5 + 5,75lg ν
y u*
. (4-75)
Như vậy tuỳ theo độ lớn của biểu thức không thứ nguyên ν
y u*
, ta phân biệt ba khu từ thành ống đến trung tâm (h. 4-21):
a) ν y u*
< 10; khu lớp mỏng chảy tầng; ở đây tính nhớt có tác dụng ưu thế so với tính rối. ở đây quy luật phân bố vận tốc cho bởi công thức (4-70):
u = ν
*2
u y (4-70)
hoặc:
u*
u = ν
y u*
biểu thị bởi đường cong (A) ở đồ thị trên hình 4-22. Đồ phân bố lưu tốc biểu diễn bởi
đường thẳng DF trên hình 4-21.
b) 10 <
ν y u*
< 30; khu quá độ. ở đây tính nhớt và tính rối tác động đồng thời, những ứng suất tiếp ma sát nhớt à =
dy
du và ma sát rối ρu'xu'y có cùng một độ lớn (lân cận điểm F
ở hình 4-21). Ta có u*
u = f
ν
y u*
. Knútsen và Kátdơ (1958) đề nghị công thức cho khu này là:
u*
u = 11,5lg ν
y u*
- 3,05, (4-76)
biểu diễn bằng đường thẳng â ở đồ thị trên hình 4-22
1 10 5 15 20
2.5 5 10 30
C B
A
u y100
*υ u*
u
H×nh 4-22 c) ν
y u*
> 30 ứng với phần chủ yếu của dòng chảy (phần (FK trên hình 4-21). ở đây
ảnh hưởng của tính nhớt không đáng kể so với ảnh hưởng của độ rối. Sự phân bố vận tốc ở
đây tuân theo quy luật lôgarít về sự thiếu hụt lưu tốc
* max
u u
u −
= 5,75lg y r0
. hoặc:
u*
u = 5,5 + 5,75lg ν
y u*
. biểu thị bởi đường thẳng (B) (hình 4-22).
Trong thực tiến kỹ thuật, thường phải xác định tổn thất năng lượng của dòng chảy. Đối với dòng chảy tầng, có thể dùng lý luận đi từ quy luật phân bố lưu tốc trên mặt cắt ngang mà tính ra hệ số λ, rồi suy ra tổn thất cột nước theo công thức Đácxy. Đối với dòng chảy rối, chưa có khả năng làm được như đối với dòng chảy tầng, mà chủ yếu phải dựa vào thí nghiệm để xác định hệ số λ trong công thức Đácxy. Quy luật biến thiên của λ trong dòng chảy rối được Nicu rátsơ phát hiện ra (1932 – 1933), đã đưa việc nghiên cứu sự tổn thất năng lượng trong dòng chảy rối phát triển lên một bước mới.
Đ 4-7. Công thức tổng quát Đácxy tính tổn thất cột nước hd trong dòng chảy
đều. Hệ số tổn thất dọc đường λ. Thí nghiệm Nicurátsơ
a) Phân tích những yếu tố ảnh hưởng đến ứng suất tiếp tại thành rắn trong dòng chảy rối và suy diễn công thức tổng quát Đácxy.
Nghiên cứu bằng thí nghiệm dòng chảy rối trong ống tròn có đường kính d, độ nhám tuyệt đối của thành rắn ∆, lưu tốc trung bình v, với chất lỏng có khối lượng đơn vị ρ và hệ số nhớt à, ta thấy rõ rằng là ứng suất tiếp tại thành rắn τ0 phụ thuộc tất cả những yếu tố trên, tức là τ0 là hàm số của những biến số độc lập nói trên:
τ0 = f(v, d, ∆, ρ, à).
Xuất phát từ nguyên tắc đồng nhất về thứ nguyên của Fuariê (1882) phát biểu rằng một phương trình biểu thị một mối quan hệ vật lý nào đó giữa một số đại lượng phải đồng nhất về thứ nguyên, tức là thứ nguyên của mỗi vế của phương trình phải như nhau, ta thấy rõ ràng vế phải không thể là tổng số những đại lượng khác nhau đó được mà bắt buộc phải là tích số, tức là:
τ0 = Cvadbρcàd∆e (4-77) trong đó C là hằng số không thứ nguyên ; a, b, c, d, e là những số mũ chưa biết.
Viêt thứ nguyên của từng đại lượng rồi thay vào phương trình (4-77), ta được:
L T
M
2 =
a
T L
(L)b
c
L3
M
d
LT M
(L)e;
số mũ ứng với các thứ nguyên cơ bản M, L, T ở hai vế phải bằng nhau, do đó:
ứng với M: 1 = c + d,
ứng với L: - 1 = a + b – 3c – d + e, ứng với T: - 2 = - a – d.
Giải a, b, c theo d và e, ta được:
τ0 = Cv2 - dd- d - eρ1 - dàd∆e, hoặc:
τ0 = C
d
vdρ
μ e
d Δ
ρv2,
hoặc:
τ0 = f1
d , Δ vd
μ
ρ ρ
2 v2
, (4-78)
víi Re = μ
ρ
vd , ta cã:
τ0 = f1
Re, Δd ρ 2 v2
. (4-79)
Gọi:
ψ = f1
Re, Δd , (4-80)
công thức (4-79) được viết lại như sau:
τ0 = ψρ 2 v2
. (4-81)
Trong dòng chảy đều, theo (4-7):
τ0 = γRJ.
Ta có thể thay trị số đó của τ0 vào (4-81) và được:
γRJ = ψρ 2 v2
. (4-82)
Biết rằng J = l hd
, sau khi thay trị số đó của J vào (4-82), ta có:
hd = ψ R
l .
ρ 2 γ
v2 = ψ
R l
g 2 v2
. (4-83)
Đối với ống tròn, R = 4
d, ta cã:
hd = 4ψ d
l g 2 v2
. (4-84)
Gọi λ = 4ψ, ta được:
hd = λ d
l g 2 v2
. (4-85)
trong đó λ là hệ số ma sát không thứ nguyên, xác định chủ yếu bằng thí nghiệm. Công thức (4-85) gọi là công thức Đácxy, tìm ra năm 1856.
Để tiện dùng công thức Đácxy cho những dòng chảy đều trong những tiết diện không tròn, ta thay đường kính d trong công thức ấy bằng bán kính thuỷ lực R theo d = 4R; ta có:
hd = λ R 4
l g 2 v2
. (4-86)
Công thức Đácxy dưới dạng (4-85) và (4-86) là công thức tổng quát tính tổn thất cột nước dọc đường cho dòng chảy đều, dùng cho cả dòng chảy tầng lẫn dòng chảy rối. Nên nhớ lại rằng trong trường hợp chảy tầng, ta cũng đã suy diễn ra công thức Đácxy (4-24), trong đó hệ số λ được tính bằng lý thuyết theo (4-25).
b) Hệ số tổn thất dọc đường λ.
Khi suy diễn công thức (4-85), ta đã gọi λ = 4χ mà χ được xác định theo (4-80).
VËy:
λ = f1
Re, Δd (4-87)
tức là hệ số ma sát dọc đường Đácxy của dòng chảy rối phụ thuộc số Râynôn và độ nhám tương đối. Ta đã biết trong trường hợp chảy tầng thì:
λtÇng = Re
64, (4-25)
Còn λrối được xác định bằng thí nghiệm.
c) Thí nghiệm của Nicurátsơ
Mục đích của thí nghiệm Nicurátsơ là xác định cụ thể quy luật biến thiên của λ mà biểu thức chung đã được nêu ra dưới dạng (4-87).
Nicurátsơ đã cho các ống có đường kính khác nhau một độ nhám xác định bằng cách bôi vào phía trong các thành ống moọt thứ sơn không thấm nước và đổ cho đầy ống một loại cát đã được lựa chọn có độ thô xác định. Cát dính vào thành; đợi sau khi sơn cứng lại, thì đổ cát thừa ra. Gọi ∆ là đường kính trung bình của các hạt cát, r0 là bán kính của ống, Nicurátsơ đã có được những ống có độ nhám tương đối
r0
Δ, và độ nhám tuyệt đối ∆. Những ống này dùng để thí nghiệm về tổn thất cột nước dọc đường. Muốn thế ta cho nước chảy qua ống với các lưu lượng khác nhau tức là với các lưu tốc trung bình v khác nhau và ứng với mỗi trường hợp v. Đo mực giảm sút của cột nước đo áp hd trên một đoạn dài xác định l,
đoạn dài này không lấy ở phạm vi đoạn đầu lđ . đ = (25 ữ 50)d (xem công thức (4-57)), rồi tính những trị số tương ứng của hệ số ma sát λ tự công thức Đácxy (4-14):
hd = λ d
l g 2 v2
,
từ đó rút ra:
λ = l hd
. 2 v
g 2 d⋅
.
Nicurátsơ đã ghi lại những kết quả thí nghiệm trên một biểu đồ có trục hoành độ là lgRe, trục tung độ là lg100λ (h. 4-23).
Trên biểu đồ này, những kết quả thí nghiệm làm với những ống có cùng một độ nhám tương đối được ghi lại bằng cùng một loại ký hiệu (chú ý rằng những ống đó có thể có
đường kính d khác nhau và độ nhám tuyệt đôí ∆ khác nhau).
252 507
r0=16 A
C
B
M P
L D K
N F E
2.5 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 lg Red 0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 lg(100 )λ
30.6 60 126
H×nh 4-23
Phân tích biểu đồ này, ta có thể chia làm năm khu vực:
1. Đường thẳng AB: khu chảy tầng. Những điểm thí nghiệm trong trạng thái chảy tầng
đều nằm trên đường thẳng này. Chúng ta nhận thấy rằng ở đây gặp tất cả các dạng dấu hiệu, điều đó có nghĩa là trong trạng thái chảy tầng, hệ số ma sát λ không phụ thuộc vào
độ nhám của ống, tức là λ = f(Re). Theo đường AB, ta thấy λ giảm đi khi Re tăng lên. Mối quan hệ giữa λ và Re được biểu diễn bằng công thức (4-25) đã tìm được bằng lý luận khi nghiên cứu dòng chảy tầng: λ =
Re 64.
Như vậy thí nghiệm Nicurátsơ xác minh được sự đúng đắn của định luật ma sát nhớt Niutơn và của sự phân tích lý thuyết về trangj thái chảy tầng trong ống.
2. Một số lớn điểm nằm lộn xộn giữa đường thẳng AB và điểm C: khu quá độ từ chảy tầng sang chảy rối. Những điểm này ứng với thí nghiệm khi dòng chảy quá độ từ trạng thái chảy tầng sang trạng thái chảy rối. Đối với vùng ngắn này chưa xác định được một quy luật nào cả.
3. Đường thẳng CD: khu chảy rối, ống trơn thuỷ lực. Đường thẳng này ứng với những thí nghiệm làm cho những thành ống trơn thuỷ lực. Chúng ta nhận thấy rằng vì những điểm tương ứng với những ống có độ nhám tương đối
r0
Δ khác nhau đều nằm trên đường thẳng
đó, nên rõ rằng trong những ống trơn thuỷ lực, hệ số ma sát λ chỉ phụ thuộc vào số Râynôn và không phụ thuộc vào độ nhám tức λ = f(Re). Ta có thể giải thích điều này từ khái niệm ống trơn thuỷ lực: thực vậy, vì lớp mỏng chảy tầng có độ dày δt lớn hơn độ nhám tuyệt đối
∆ trong ống trơn thuỷ lực, nên những lớp chất lỏng chảy gần thành rắn đều trượt trên lớp mỏng chảy tầng mà không chịu ảnh hưởng cuả độ nhám. Tuy nhiên khu vực của các số Râynôn ứng với thành trơn thuỷ lực càng hẹp khi độ nhám tương đối của thành càng lớn.
Theo biểu đồ, với những ống có độ nhám tương đối là r0
Δ= 1/500, khu vực này sẽ là CD.
Còn đối với những độ nhám tương đối lớn hơn thí dụ đối với r0
Δ = 60
1 thì khu vực này lại hẹp hơn, chỉ còn lại CP. Đường thẳng CD được gọi là đường thẳng Bơlađiut, biểu thị công thức Bơlađiut mà ta sẽ nói ở tiết sau.
4. Khu vực giữa đường thẳng CD và đường chấm chấm EF: khu chảy rối, ống nhám thuỷ lực. Trong khu vực này λ phụ thuộc vào số Re và vào độ nhám: λ = f
r0
Re, Δ .Trong trường hợp thành nhám thuỷ lực lớp mỏng chảy tầng không bao phủ được các mấu nhám, nên các lớp chất lỏng phải chảy bao quanh những mấu, tạo nên những xoáy nước, do đó tăng thêm sức cản: vì vậy độ nhám có ảnh hưởng đến sức cản. Thực vậy sự phụ thuộc của λ vào ∆ được biểu hiện ở chỗ ứng với mỗi loại
r0
Δ có một đường riêng; thí dụ đối với r0
Δ= 30
1
có đường MK, và đối với r0
Δ = 250
1 có đường LN, còn sự phụ thuộc vào Re được biểu diễn bằng độ cong và tính chất không nằm ngang của các đường này.
5. Những điểm tương ứng với thành hoàn toàn nhám thuỷ lực đều nằm sang bên phải
đường EF: khu sức cản bình phương lưu tốc. Trong khu vực này tất cả các đường λ = f
r0
Re, Δ đều nằm ngang, nghĩa là khi thành hoàn toàn nhám, λ không phụ thuộc vào Re mà chỉ phụ thuộc vào độ nhám tương đối
r0
Δ: λ = f
r0
Δ . Với Re lớn như vậy, độ dày của lớp mỏng chảy tầng rất nhỏ so với độ nhám, nên ở khu vực gần thành ống sức cản tạo nên bởi sự ma sát nhớt giữa các lớp chất lỏng nhỏ hơn rất nhiều so với sức cản tạo nên bởi sự sinh ra các xoáy nước khi bao quanh các mấu nhám; vì thế ảnh hưởng của Re đối với λ có
thể bỏ qua so với ảnh hưởng của r0
Δ đối với λ. Liên hệ đến công thức Đácxy, do λ không phụ thuộc Re, ta thấy hw tỉ lệ với v2, cho nên khu vực này thường được gọi là khu vực sức cản bình phương tức là sức cản tỉ lệ với bình phương lưu tốc. Khu vực này còn gọi là khu mô hình tự động (sẽ nghiên cứu trong phần lý luận mô hình).
Sự biểu thị các quy luật này là công trình khoa học quan trọng của Nicurátsơ. Các quy luật này có thể ứng dụng cho sự chuyển động của các loại chất lỏng khác nhau, như dầu hoả chẳng hạn. Tuy nhiên nhưngc thí nghiệm của Nicurátsơ mới chỉ được tiến hành với độ nhám nhân tạo (cát), nên khi áp dụng những kết quả của thí nghiệm này vào các ống thường dùng trong thực tế, cần phải thận trọng: độ nhám của các ống do Nicurátsơ làm thí nghiệm đều cùng một loại (cát đều hạt), trong khi đó thực tế các loại độ nhám có thể là khác nhau (độ nhám trên mặt bêtông, mặt gỗ, đá, mặt gạch v. vΔ). Năm 1938 nhà nghiên cứu Liênxô Degiơđa đã công bố những kết quả tương tự như kết quả của Nicurátsơ làm đối với những kênh hở có độ nhám nhân tạo.
Trong nhiều năm từ 1940 đến nay nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu các quy luật tổn thất cột nước trong các ốngả dụng trong thực tế, có độ nhám tự nhiên (ống thép, gang và các ống khác). Về mặt định tính, kết quả của các tác giả này nói chung là tương tự với những kết quả của Nicurátsơ. Tuy nhiên, cũng thấy được sự khác nhau căn bản: ở các ống có độ nhám tự nhiên, các đường λ = f(Re) trong khu vực thành nhám (ở biểu đồ Nicurátsơ,
đó là khu vực giữa đường thẳng CD và đường chấm EF) không nâng cao lên mà đều đi xuèng.
Trên hình (4-24) biểu diễn đồ thị Côbơrúc và Oaitơ, ghi lại những kết quả thí nghiệm làm với những ống có độ nhám tự nhiên. Trên đồ thị đó, có những đường chấm chấm giới
2 0.080λ
0.070 0.060 0.050 0.040
0.030 0.023
0.020
0.015 0.012 0.010 0.009 0.008
3 4 5 6 8 104 2 3 4 5 6 8 105 2 3 4 5 6 8 106 2 3 4 5 6 8 107 2 3 4 5 6 8 108
§êng Re = vgh 560
=0.050 0.040 0.030 0.020 0.015 0.010 0.008 0.006
0.004 0.002 0.001 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0001 0.00005
0.00001
Re = d Vd
ν
H×nh 4-24
hạn khu sức cản bình phương; vị trí của đường đó được xác định theo Regiớih'' ạn = Δ 560; víi
Re > Regiớih'' ạn. Thì sức cản là ở khu bình phương, Δ = d
Δ là độ nhám tương đối. ở Liên xô
G. A. Murin, F. A. Sêvêlép cũng đạt được những đồ thị tương tự.
Từ những sự khảo sát trình bày tóm tắt ở trên, ta thấy khi giải quyết những vấn đề thực tế, cần lựa chọn đùng hệ số λ (hay C) mà hệ số này lại đồng thời phụ thuộc vào trạng thái chảy và trạng thái trơn, nhám thuỷ lực của thành rắn như đã nêu ở công thức (4-73). Dưới
đây là những công thức xác định hệ số λ và hệ số C dùng để tính tổn thất cột nước dọc
®êng.
Đ 4-8. Công thức Sedi. Công thức xác định những hệ số λ và C để tính tổn thất cột nước dọc đường của dòng chảy đều trong các ống và kênh hở