A. MUẽC TIEÂU
• HS nắm vững hệ thức Vi-ét
• HS vận dụng được những ứng dụng của hệ thứcc Vi-ét như:
- Biết nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c = 0 ; a – b + c = 0 hoặc trường hợp hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn.
- Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS
• GV: - Bảng phụ hoặc giấy trong (đèn chiếu) ghi cácc bài tập, định lý Vi-ét và các kết luận trong bài.
- Bút viết bảng, máy tính bỏ túi.
• HS: - Ôn tập công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai.
- Bảng phụ nhóm, bút viết bảng, máy tính bỏ túi.
C. TIẾN TRÌNH DẠY – HỌC
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hoạt động 1
1. HỆ THỨC VI-ÉT (22 phút).
GV đặt vấn đề: Chúng ta đã biết công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Bây giờ ta hãy tìm hiểu sâu hơn nữa mối liên hệ giữa hai nghiệm này với các hệ số của phương trình.
Cho phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0)
Nếu ∆ > 0, hãy nêu công thức nghiệm tổng quát của phương trình.
Nếu ∆ = 0, các công thức này có đúng khoâng?
HS neâu:
a x b
a x b
; 2
2 2
1
∆
−
=−
∆ +
= −
Nếu ∆ = 0 ⇒ ∆ = 0 khi đó x1 = x2 = −2ab
Vậy các công thức trên vẫn đúng khi
∆ = 0 - GV yêu cầu HS làm ? 1
Hãy tính x1 + x2 ; x1.x2
Nửa lớp tính x1 + x2
Nửa lớp tính x1.x2
Hai HS lên bảng trình bày.
HS1 : Tính x1 + x2
x1 + x2 = −b2+a ∆ + −b2−a ∆
= −22ab
= −ab
HS2: Tính x1.x2
x1.x2 =−b2+a ∆ .−b2−a ∆
= ( ) ( )
2 2 2
4a b − ∆
−
= ( )
2 2 2
4 4 a
ac b
b − −
= 44aac2 =ac . GV nhận xét bài làm của HS rồi nêu :
Vậy nếu x1 và x2 là hai nghịêm cua phửụng trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Thì
=
−=
+ a x c x
a x b x
2 1
2 1
.
GV nhấn mạnh: Hệ thức Vi-ét thể hiện mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ soỏ cuỷa phửụng trỡnh.
- GV nêu vài nét về tiểu sử nhà toán học Pháp Phzăngxoa Vi-ét (1540 - 1603)
- GV nêu bài tập sau:
Biết rằng các phương trình sau có nghiệm , không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm của chuùng.
Vài HS đọc lại định lí Vi-ét Tr 51 SGK
a) 2x2 – 9x + 2 = 0 a) x1 +x2 =−ab=29 x1.x2 =ac =22 =1. b) -3x2 +6x – 1 = 0 b) ) x1 +x2 =−ab=−−63=2
x1.x2 =ac =−−31 =31. Aùp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu đã biết
một nghiệm của phương trình bậc hai, ta có thể suy nghiệm kia.
Ta xét hai trường hợp đặc biệt sau.
- GV yêu cầu HS hoạt động nhóm làm ? 2 và ?3 .
Nửa lớp làm ? 2 Nửa lớp làm ? 3
HS hoạt động theo nhóm
? 2 Cho phửụng trỡnh 2x2 – 5x +3 = 0
a) a = 2 ; b = -5 ; c = 3.
A + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
b) Thay x1 = 1 vào phương trình 2.12 – 5.1 + 3 = 0.
⇒ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c) Theo hệ thức Vi-ét x1.x2 = ac, có x1 = 1
⇒ x2 = ac =23 .
? 2 Cho phửụng trỡnh 3x2 + 7x + 4 = 0
a) a = 3 ; b = 7 ; c = 4 A – b + c = 3 – 7 + 4 = 0
b) Thay x1 = -1 vào phương trình 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0
⇒ x1 = -1 là một nghiệm của phương trình:
c) Theo hệ thức Vi-ét - GV cho các nhóm hoạt động khoảng
3 phút thì yêu cầu đại diện hai nhóm trên trình bày, GV nêu các kết luận tổng quát.
x1.x2 = ac, có x1 = -1
⇒ x2 = −ac =−34. (Đưa các kết luận tổng quát lên màn
hình)
Đại diện nhóm 1 lên trình bày, sau đó GV nêu tổng quát.
Đại diện nhóm 2 lên trình bày, sau đó GV nêu tổng quát.
- GV yêu cầu HS làm ? 4 Đề bài đưa lên màn hình.
HS trả lời miệng a) – 5x2 + 3x + 2 = 0 x1 = 1 , x2 = ac =−52. b) 2004x2 + 2005x + 1 = 0
Có a – b + c = 2004 – 2005 + 1 = 0
⇒ x1 = -1; x2 = −ac =2004−1 - GV yêu cầu HS giải bài tập 26 Tr 53
SGK
Nửa lớp làm câu a, c Nửa lớp làm câu b, d
Hai HS lên bảng trình bày:
a) Có a + b + c = 0
⇒ x1 = 1; x2 = ac =352 b) Có a + b + c = 0
⇒ x1 = 1; x2 = ac =−5077 c) Có a – b + c = 0
⇒ x1 = - 1; x2 = −ac =49 d) Có a – b + c = 0
⇒ x1 = - 1; x2 = −ac =43214300.
Hoạt động 2
2. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG (15 phút).
GV: Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai. Ngược lại nếu biết tổng của hai số nào đó bằng S và tích của
chúng bằng P thì hai số đó có thể là nghiệm của một phương trình nào chaêng?
Xét bài toán: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P.
- Hãy chọn ẩn số và lập phương trình bài toán.
HS: Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là (S – x )
Tích hai số bằng P, ta có phương trình:
x. (S - x) = P
⇔ x2 = Sx + P = 0
- Phương trình này có nghiệm khi nào? - Phương trình này có nghiệm nếu
∆ = S2 – 4P ≥ 0 - GV: Nghiệm của phương trình chính là
hai số cần t ìm. Vậy:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình:
x2 = Sx + P = 0 .
Điều kiện để có hai số đó là
∆ = S2 – 4P ≥ 0
GV yêu cầu HS tự đọc ví dụ 1 SGK và bài giải.
Một HS đọc lại kết lụân Tr 52 SGK.
GV yêu cầu làm ? 5 HS trả lời miệng :
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – x + 5 = 0
∆ = (-1)2 – 4.1.5 = -19 < 0 Phửụng trỡnh voõ nghũeõm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1 và tích bằng 5.
- GV yêu cầu HS hoạt động nhóm cùng đọc ví dụ 2 rồi áp dụng làm bài tập 27 SGK.
Nửa lớp làm câu a.
Nửa lớp làm câu b.
GV nhận xét, chữa bài cho các nhóm.
HS hoạt động nhóm:
- Đọc, trao đổi ví ụ 2.
- Giải bài 27 SGK.
a) x2 – 7x + 12 = 0
vì 3 + 4 = 7 và 3. 4 = 12 nên phương trình có hai nghiệm là:
x1 = 3 ; x2 = 4.
b) x2 + 7x + 12 = 0
Vì (-3) + (-4) = -7 và (-3) . (-4) = 12 Nên phương trình có hai nghiệm là:
x1 = -3 ; x2 = -4
Đại diện hai nhóm HS trình bày bài HS lớp nhận xét, chữa bài
Hoạt động 3
CỦNG CỐ – LUYỆN TẬP (6phút).
GV nêu câu hỏi.
- Phát biểu hệ thức Vi-ét
- Viết công thức của hệ thức Vi-ét. - HS phát biểu hệ thức Vi-ét.
- Một HS lên viết các công thức của hệ thức Vi-ét. Các HS khác viết ra giấy nháp.
- Làm bài tập 25 Tr 52 SGK (Đề bài đưa lên bảng phụ)
GV yêu cầu HS giải nhanh rồi lần lượt lên bảng điền vào các chỗ trống.
- HS lần lượt lên bảng điền
a) ∆ = 281 ; x1 + x2 = 172 ; x1.x2 = 21 b) ∆ = 701; x1 + x2 = 51 ; x1.x2 = -7
c) ∆ = -31; không đìen được vào ô x1 + x2 và x1.x2 vì x1, x2 không tồn tại.
d) ∆ = 0; x1 + x2 = -25; x1.x2 = 251 - Nếu cách tìm hai số biết tổng của
chúng bằng S và tích của chúng bằng P.
- HS nêu kết luận Tr 52 SGK
- HS làm bài tập 28 (a) SGK. Tìm hai
số u và v biết u + v = 52, u.v = 231. - HS làm bài
Hai số u và v là nghiệm của phương trình x2 – 32x + 231 = 25
∆’ = (16)2 – 231 = 25
⇒ ∆' = 5 x1 = 16 + 5 = 21 x2 = 16 – 5 = 11
Vậy hai số cần tìm là 21 và 11.
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ (2 phút) - Học thuộc hệ thức Viet và cách tìm hai số biết tổng và tích.
- Nắm vững các cách nhẩm nghiệm: a + b + c = 0 a – b + c = 0
hoặc trường hợp tổng và tích của hai nghiệm (S và P) là những số nguyên có giá trị tuyệt đối không quá lớn.
- Bài tập về nhà số 28 (b, c) Tr 53, bài 29 Tr 54 SGK, bài số 35, 36, 37, 38, 41 Tr 43, 44 SBT.
Tiết 58 LUYỆN TẬP
A. MUẽC TIEÂU
* Củng cố hệ thức Vi-ét.
* Rèn luyện kỹ năng vận dụng hệ thức Vi-ét để:
- Tính tổng, tích các nghiệm của phương trình.
- Nhẩm nghiệm của phương trình trong các trường hợp có a + b + c = 0, a – b + c = 0 hoặc qua tổng, tích của hai nghiệm (nếu hai nghiệm là những số nguyên có giá trị tuyệt đối không quá lớn).
- Tìm hai số biết tổng và tích của nó.
- Lập phương trình biết hai nghiệm của nó.
- Phân tích đa thức thành nhân tử nhờ nghiệm của đa thức.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS
* GV: Bảng phụ hoặc giấy trong (đèn chiếu) ghi bài tập, vài bài giải mẫu, bút viết bảng.
* HS: Bảng phụ nhóm, bút viết bảng.
Học thuộc bài và làm đủ bài tập.
C. TIẾN TRÌNH DẠY – HỌC
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hoạt động 1
KIỂM TRA, CHỮA BÀI TẬP GV neõu yeõu caàu kieồm tra
HS1:
- Phát biểu hệ thức Vi-et.
- Chữa bài tập 36 (a, b, e) Tr 43 SBT.
HS2: Nêu cách tính nhẩm nghiệm trường hợp a + b + c = 0
Và a – b + c = 0
- Chữa bài tập 37 (a, b) Tr 43, 44 SBT
Hai HS leõn kieồm tra HS1:
- Phát biểu hệ thức Vi-ét - Chữa bài tập 36 SBT a. 2x2 – 7x + 2 = 0
∆ = (-7)2 – 4.2.2 = 33 > 0 x1 + x2 = 72; x1.x2 = 2 12 = b. 2x2 + 9x + 7 = 0
Có a – b + c = 2 – 9 + 7 = 0
⇒ phương trình có nghiệm x1 + x2 = −29; x1.x2 = 72 c. 5x2 + x + 2 = 0
∆ = 1 – 4.5.2 = -39 < 0
⇒ phửụng trỡnh voõ nghieọm.
HS2: phát biểu
- Neỏu phửụng trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và x2 = ca
- Neỏu phửụng trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và x2 = −ca.
- Chữa bài tập a. 7x2 – 9x + 2 = 0
GV nhận xét, cho điểm.
có a + b + c = 7 – 9 + 2 = 0
⇒ x1 = 1; x2 = a 7c 2= b. 23x2 – 9x – 32 = 0
Có a – b + c = 23 + 9 – 32 = 0
⇒ x1 = -1; x2 = − =c 32a 23 HS lớp nhận xét, chữa bài.
Hoạt động 2 LUYỆN TẬP Bài 30 Tr 54 SGK
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a. x2 – 2x + m = 0
GV: phương trình có nghiệm khi nào?
- Tính ∆’
Từ đó tìm m để phương trình có nghiệm.
- Tính tổng và tích các nghiệm theo m.
b. x2 + 2(m – 1)x + m2 = 0
GV yêu cầu HS tự giải, một HS lên bảng trình bày.
Bài 32 Tr 54 SGK
HS hoạt động theo nhóm
- HS: Phương trình có nghiệm nếu ∆ hoặc ∆’ lớn hơn hoặc bằng 0.
∆’ = (-1)2 – m
∆’ = 1 – m
Phương trình có nghiệm
⇔ ∆’ ≥ 0
⇔ 1 – m ≥ 0
⇔ m ≤ 1
- Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 = − =b 2a x1.x2 = c ma= HS làm bài tập
∆’ = (m – 1)2 – m2
= -2m + 1
Phương trình có nghiệm.
⇔ ∆’ ≥ 0
⇔ -2m + 1 ≥ 0
⇔ m ≤ 12
Theo hệ thức Vi-ét:
x1 + x2 = -ba = -2(m – 1) x1.x2 = ca = m2
HS hoạt động nhóm giải bài tập.
a. 1,5x2 – 1,6x + 0,1 = 0
Nửa lớp làm câu a, c.
Nửa lớp làm câu b, d.
GV lưu ý HS nhận xét xem với mỗi bài áp dụng đượng trường hợp a+ b + c = 0 hay a – b + c = 0
GV cho các nhóm hoạt động khoảng 3 phút thì yêu cầu dừng lại để kiểm tra bài.
GV nên hỏi thêm ở câu d.
Vỡ sao caàn ủieàu kieọn m ≠ 1 Bài 38 Tr 44 SBT
Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm nghieọm cuỷa phửụng trỡnh.
a. x2 – 6x + 8 = 0
GV gợi ý: Hai số nào có tổng bằng 6 và tích baèng 8?
c. x2 + 6x + 8 = 0
Hai số nào có tổng bằng (-6) và tích baèng 8?
d. x2 – 3x – 10 = 0
Hai số nào có tổng bằng 3 và có tích baèng (-10)
Bài 40 (a, b) Tr 44, SBT
Dùng hệ thức Viét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong
Có a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0
⇒ x1 = 1; x2 = a 1,5 15c 0,1 1= = b. 3x2− −(1 3 x 1 0) − =
Có a – b + c = 3 + 1 - 3 - 1 = 0
⇒ x1 = -1; x2 = ca 1 33
− = 3 =
c. (2 – 3)x2 + 2 3x – (2 + 3) = 0 có a + b + c
= 2 - 3 + 2 3 - 2 - 3 = 0
⇒ x1 = 1; x2 = c (2 3)
a 2 3
=− +
− X2 = -(2 + 3)2
d. (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m ≠ 1
Có a + b + c
= m – 1 – 2m – 3 + 4 = 0
⇒ x1 = 1; x2 = a m 1c m 4= +−
HS: Cần điều kiện m ≠ 1 để a = m -1 ≠ 0 thì mới tồn tại phương trình bậc hai.
HS: Có 2 + 4 = 6 và 2.4 = 8 Nên phương trình có nghiệm:
x1 = 4; x2 = 2
HS: Có (-2) + (-4) = -6 Và (-2).(-4) = 8
Nên phương trình có nghiệm:
x1 = -2; x2 = -4
HS: Có (-2) + 5 = 3 và (-2).5 = -10 Nên phương trình có nghiệm x1 = 5; x2 = -2
mỗi trường hợp sau:
a. Phửụng trỡnh:
x2 + mx – 35 = 0, bieát x1 = 7
GV gợi ý: căn cứ vào phương trình đã cho ta tính được tổng hay tích hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh?
- Tính giá trị của m?
- b. Phửụng trỡnh
x2 – 13x + m = 0, bieát x1 = 12,5
HS: a. Bieát a= 1; c = -35
⇒ tính được x1.x2 = ac = −35 Có x1 = 7 ⇒ x2 = -5
Theo hệ thức Viét:
x1 + x2 = −ba 7 + (-5) = -m
⇒ m = -2
b. Bieát a = 1; b = -13
⇒ tính được x1 + x2 = −ba = 13
Bài 32 Tr 54 SGK
Tìm 2 số u và v trong mỗi trường hợp sau :
b/ u+v= -42 ; u.v=-400
Nêu cách tìm hai số biết tổng và tích cuûa chuùng
Aùp dụng giải bài tập
c/ u-v=5 ; U.V= 24 GV gợi ý :
u - v = u + (-v)= 5 u.v=24 ⇒u.(-v)=-24
vậy u và –v là nghiệm của phương trình
Có x1=12,5 ⇒ x2=0,5 Theo hệ thức Vi et x1.x2= c/a
12.5x0.5= m Hay m = 6.25
- HS hãy nêu kết luận Tr 52 SGK Giải bài 32 (b)
S=u+v=-42 P=u.v=-400
⇒ u,v là nghiệm của phương trình x2+42x-400=0
∆’ =212 –(-400) =841
⇒ ∆'=29 x1= 8 và x2=-50 vậy u= 8 u=-50 hoặc u=-50 v=8
có S = u+ (-v); P = u.(-v)= -24
⇒uvà v là nghiệm của phương trình x2 – 5x – 24 = 0
nào?
Bài 42 tr 44SBT
Lập phương trình có hai nghiệm là a/ 3 và 5
GV hướng dẫn:
Có S= 3+5= 8 P= 3.5= 15
Vậy 3 và 5 là hai nghiệm của phương trình x2 -8x + 15 =0
b/ -4 và 7
GV yêu cầu HS tự giải tương tự
Bài 33 tr 54 sgk
(đề bài đưa lên màn hình) Chứng tỏ nếu phương trình
ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
GV đưa bài chứng minh lên màn hình.
+ +
= +
+ a
x c a x b a c bx
ax2 2
+
−
−
= a
x c a x b
a 2
( )
[x2 x1 x2 x x1x2]
a − + +
= a[ (x2 −x1x)−x2x−x1x2)]
=a(x−x1)(x−x2)
=
Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. 2x2 – 5x + 3
GV: Phửụng trỡnh: 2x2 – 5x + 3 = 0 Có nghiệm là gì?
∆ = 25+96=121 ⇒ ∆= 11
2 8 11 5
1= + =
x ; x2 =5−211=−3
Vậy u = 8; -v = -3
⇒ u =8 v=3 Hoặc u=-3; -v=8
⇒ u=-3; v=-8
HS giải bài tập Có S=-4 +7=3 P=(-4).7=-28
Vậy -4 và 7 là nghiệm của phương trình x2 -3x – 28 = 0
HS đọc đề bài.
HS theo dõi GV hướng dẫn chứng minh đẳng thức.
HS: Phửụng trỡnh: 2x2 – 5x + 3 = 0 Có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
2 3 a x c
; 1
x1 = 2 = =
Vậy áp dụng kết luận trên hãy phân tích
đa thức 2x2 – 5x + 3 thành nhân tử ( )
(x 1)(2x 3)2
x 3 1 x 2 3 x 5 x 2 2
−
−
=
−
−
= +
−
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Bài tập về nhà số 39, 40 (c,d), 41, 42, 43, 44 Tr 44 SBT.
- Oân tập cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình tích (Toán lớp 8) để tiết sau học t7. Phương trình quy về phương trình bậc hai.