DE CUONG ON TAP HKI TOAN 9

Tính chất về tiếp tuyến của một đường tròn : 5.1 Tính chất về tiếp tuyến của một đường tròn : Định lý : Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính[r]

I ĐẠI SỐ 1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai

a) Với số dương a, có hai căn bậc hai là a và  a , số a được gọi là căn bậc hai số học của a.

b) Với a  0 ta có x = a    













a a x

x

0

2 2

c) So sánh hai căn bậc hai Với a>0 và b>0 thì nếu a > b  >

d) Sự xác định của biểu thức dưới căn: xác định khi A  0

e)

2 A neu A 0

A neu A 0





 



2) Các công thức biến đổi căn thức

3

B  B (A  0, B > 0) 4 A B2 A B (B  0)

5 A B A B2 (A  0, B  0) A B A B2 (A < 0, B  0)

6

A 1

AB

B B (AB  0, B  0) 7

2

C

A B

A B  

 (A  0, A  B2)

8

A A B

B

C

A B



(A, B  0, A  B)

3) Định nghĩa, tính chất hàm số bậc nhất

a) Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b (a, b  R và a  0)

có: a: hệ số góc, b: tung độ gốc

b) Tính chất: Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị x R.

Hàm số đồng biến (ĐB) trên R khi a > 0, Nghịch biến (NB) trên R khi a < 0.

4) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

5)Vị trí tương đối của 2 đường thằng.

Cho (d): y = ax + b và (d'): y = a'x + b' (a, a’ ≠ 0) Ta có:

(d)  (d') 









'

'

b b

a a

(d)  (d') 









'

'

b b

a a

(d)  (d')  a  a' (d)  (d')  a.a '   1

6) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trực hoành Ox.

Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b(a 0) và trục Ox thì:

Khi a > 0 ta có tan = a Khi a < 0 ta có tan(180o )  a

7) Phương trình bậc nhất hai ẩn

GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt

Khái niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn x; y có dạng ax + by = c trong đó ( a2b2 0 tức là a và b không đồng thời bằng 0)

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: PT bậc nhất 2 ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm

Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d) : ax +by = c

Nghiệm tổng quát: ax by c 

TH1: a 0 và b 0

x R

 ; / ; a c





TH2: a 0 và b 0

x R

c y b



 ; / ; c

b





TH3: a 0 và b 0

c x a



y R

 ; / c;

a





8) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Dạng:

a)

Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp thế :

Quy tắc thế :

+ B ước 1 : Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn)

+ Bư ớc 2 : Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1)

Ví dụ: xét hệ phương trình:

+ Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có:

Thay vào phương trình (2) ta được:

+ Bước 2: Thế phương trình vào phương trình hai của hệ ta có:

b) Giải hệ :

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0)

b)

Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp cộng đại số :

Quy tắc cộng đại số :

+ B ước 1 : Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ

Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ

GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt















) 2 (

) 1 (

, ,

a

c by ax















) 2 (

3

2

3

) 1

.(

1

2

y

x

y

x

.(*) 2

x  (*)

2

(**)

















3 2

)

2

1

(

3

2

1

y y

y

x





























































0

1 0

2 1 3

2 6 3

2 1 3

2

)

2

1

(

3

2

1

y

x y

y x

y y

y x

y y

y

x

Khi hệ số của cùng một ẩn khơng bằng nhau cũng khơng đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)

B HÌNH HỌC I)Hệ thức lượng trong tam giác vuơng.

1) b2 = a.b’ 2) h2 = b’ c’

c2 = a.c’ 3) a.h = b.c

h b c 5) a2 = b2 + c2 (Định lí Pythagore) Với tam giác đều cạnh là a, ta cĩ:

2

II) Tỉ số lượng giác của gĩc nhọn

1 Định nghĩa: Cho tam giác vuơng cĩ gĩc nhọn .

cạnh đối cạnh huyền

sin a

;

cạnh kề cạnh huyền

cos a

;

cạnh đối cạnh kề

tan a

;

cạnh kề cạnh đối

cot a

Chú ý:

 Cho gĩc nhọn  Ta cĩ: 0 sin  1; 0 cos  1

 tan và cotg  là hai giá trị nghịch đảo của nhau Ta cĩ tg.cotg = 1

 Cho 2 gĩc nhọn ,  Nếu sina sinb (hoặc cos cos , hoặc tana tanb , hoặc

cota cotb ) thì a b

2 Tỉ số lượng giác của hai gĩc phụ nhau: Nếu hai gĩc nhọn phụ nhau thì sin gĩc này bằng cosin gĩc kia, tang gĩc này bằng cotg gĩc kia

 +  = 90o thì sin  = cos ; cos  = sin ; tan  = cot ; cot  = tan 

3 Tỉ số lượng giác của các gĩc đặc biệt:

4 Một số hệ thức lượng giác

GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt



2

2 2

1 2

3

sin tan

cos









;

cos cot

sin









; tan cota a 1;

sin cos  1;

2

2

1

1 tan

cos





;

2

2

1

1 cot

sin

a

+ Nhận xét : Khi góc  tăng từ 00 đến 900 thì sin và tg tăng còn cos và cotg giảm

Với hai góc nhọn ,  thì : {∝<β thì sinαα <sinαβ ∝<β thìtgαα <tgαβ

{∝<β thì cotgαα >cotgαβ ∝< β thì cosα >cosβ

III) ĐƯỜNG TRÒN

1 Đường tròn :

+ Định nghĩa : Đường tròn tâm O bán kính R ( với R > 0 ) là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R

Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là ( O; R), ta cũng có thể kí hiệu là (O) khi không cần chú ý đến bán kính

+Lưu ý : Hình tròn tâm O bán kính R ( với R > 0 ) là hình gồm các điểm có khoảng cách đến O nhỏ hơn hoặc bằng R

+ Cách xác định một đường tròn

- Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó

- Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó

- Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

Chú ý : Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng

+ Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn :

Xét đường tròn (O;R) và điểm M , OM = d

M thuộc đường tròn (O;R) M nằm trong đường tròn (O;R) M nằm ngoài đường tròn (O;R)

d = R d < R d > R

+ Tâm đối, trục đối xứng của một đường tròn :

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó

- Đường tròn là hình có trục đối xứng Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó

2 Đường kính và dây của đường tròn

+ So sánh độ dài của đường kính và dây:

Định lý1 : Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

+ Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:

Định lý2 : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

Định lý3 : Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

3 Liên hệ giữa dây và khoảng cánh từ tâm đến dây

Định lý1 : Trong một đường tròn : a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt

M

M

M

Định lý2 : Trong một đường tròn : a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

4 Ba vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn :

Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a OH  a tại H và OH = d ( OH là khỏang cách từ tâm đường

tròn đến đường thẳng )

4.1 Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 4.2 Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

(Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung ) ( Đường thẳng và đường tròn có 1 điểm chung )

R > d R = d

Đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn H là tiếp điểm 4.3 Đường thẳng và đường tròn giao nhau ( Đường thẳng và đường tròn có 2 điểm chung )

R < d

Đường thẳng a là cát tuyến của đường tròn

5 Tính chất về tiếp tuyến của một đường tròn :

5.1 Tính chất về tiếp tuyến của một đường tròn :

Định lý : Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

5.2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của một đường tròn :

.a) Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

.b) Nếu khỏang cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

Định lý : Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông

góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến

của đường tròn

5.3 Tính chất về 2 tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn :

Định lý : Nếu 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì :

- Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc

tạo bởi 2 tiếp tuyến

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi 2 bán kính đi qua

các tiếp điểm

6 Đường tròn ngoại tiếp tam giác :

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua 3 đỉnh của một tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác

GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt

H

O

a

H

O

a

N

M H

O

a

B

O

O

C B

A

O

C

B

A

O

C B

A

ABC là tam giác nhọn nên tâm O ABC là tam giác tù nên tâm O ABC vuông tại A nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác của đường tròn ngoại tiếp tam giác của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trong tam giác nằm ngoài tam giác là trung điểm của cạnh huyền

7 Đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc ba cạnh của một tam giác

( Ba cạnh của tam giác là ba tiếp tuyến của đường tròn )

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác luôn nằm trong tam giác

8 Đường tròn bàng tiếp tam giác :

- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các

phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác

- Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm

của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C hoặc là giao điểm của đường phân giác

góc A và đường phân giác góc ngoài tại B ( hoặc C )

- Với một tam giác, có 3 đường tròn bàng tiếp

9 Ba vị trí tương đối của hai đường tròn :

Xét đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; r), giả sử R > r và OO’ = d

9.1 Hai đường tròn không giao nhau ( 2 đường tròn không có điểm chung )

Hai đường tròn ở ngoài Đường tròn (O) đựng (O’) Hai đường tròn đồng tâm

d > R + r d < R – r d = 0

9.2 Hai đường tròn tiếp xúc nhau ( 2 đường tròn có 1 điểm chung )

Hai đường tròn tiếp xúc trong

d = R – r > 0

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài d = R + r

9.3 Hai đường tròn giao nhau ( 2 đường tròn có 2 điểm chung )

Hai đường tròn giao nhau có 2 điểm chung, có một dây chung

R – r < d < R + r

Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn cắt nhau GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt

O

C B

A

O

C

B

A

O O' O'

O

O

O'

A

O

O

B

A

O

O'

Định lý : ( Tính chất đường nối tâm )

Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung

Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

10 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn :

- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn

Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn không cắt đoạn nối tâm

Tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn cắt đoạn nối tâm

- Hai đường tròn không giao nhau có 2 tiếp tuyến chung trong, 2 tiếp tuyến chung ngoài

- Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có 1 tiếp tuyến

chung trong, 2 tiếp tuyến chung ngoài

Hai đường tròn tiếp xúc trong có 1 tiếp tuyến chung ngoài

- Hai đường tròn cắt nhau có 2 tiếp tuyến chung ngoài

 Vẽ tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn không giao nhau ( trường hợp 2 đường tròn ở ngoài nhau)

Vẽ tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (O ; R) và ( O’; r) với R > r

- Vẽ tam giác OO’I vuông tại I có cạnh huyền OO’ = d

OI = R – r

O’I = √d2−( R−r )2

- OI cắt đường tròn (O;R) tại B

- Vẽ bán kính O’C song song với OI ( B và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ OO’ )

- Vẽ đường thẳng BC, BC là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (O ; R) và ( O’; r)

GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt

O O'

OO' = d

OI = R - r O'I = d 2 - R-r 2

B

O' O

 Vẽ tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn không giao nhau ( trường hợp 2 đường tròn ở ngoài nhau)

Vẽ tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (O ; R) và ( O’; r) với R > r

- Vẽ tam giác OO’I vuông tại I có cạnh huyền OO’ = d

OI = R + r

O’I = √d2−( R+r )2

- OI cắt đường tròn (O;R) tại B

- Vẽ bán kính O’C song song với OI ( B và C cùng thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ OO’ )

- Vẽ đường thẳng BC, BC là tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn (O ; R) và ( O’; r)

BÀI TẬP

A.ĐẠI SỐ

Bài 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức:

a) b) \f(-3,2+x c) d)

e) f) \f(-4,m+2 g) \f(1,4 h) \f(3,

Bài 2: So sánh:

a) 2 và b) -3 và - 5 c) 21, 2 , 15 , - (sắp xếp theo thứ tự tăng dần)

d) 2 và e) 2 - 1 và 2 f) 6 và

g) và - h) - 7 và 4 i) - 27, 4, 16 , 21 (sắp xếp theo thứ tự giảm dần )

Bài 3: Tính:

C = 2 + 5 - 3 D = + - 4 F = 3 - 7 + 12

G = 2 - 2 + 2 H = - 4 + 7 I = - + 2

L = 5 - 3 + 2 - \f(1,3 M = - 2 + N=

K = X = E= Q =

A = \f(1,5+2 - \f(1,5-2 B = \f(1,+2 - \f(1,-2 P = \f(3, + \f(2,+1

Bài 4: Bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn

1) Cho biểu thức A x 2 x1 x (x 0 )

GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt

OO' = d

OI = R + r O'I = d 2 - R+r 2

I

C

B

O' O

a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với 4

1 2



x

2) Cho biểu thức B3 2x 14x4x2

1 2









x x

x x

x E

(x > 0, x ≠ 1)

4) Cho biểu thức

 1

1

2 1

1





















x

x x

x

x G

(x > 0, x ≠ 1) a) Rút gọn biểu thức G b) Tìm x để G  2

Bài 5: Giải phương trình:

a) x  5 3 b) 4 5 x 12

1 5 20

Bài 6: Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau:

d1: y=x d2: y=2 x d3: y=−x+3

Bài 7: Cho hàm số y = f(x) = (m + 1)x + 5

a) Tìm m để hàm số trên là hàm số bậc nhất

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến, nghịch biến

Bài 8: Cho hàm số y = f(x) =

3

4x .Tính:

c) f(-5) ; f(-4); f(1); f(0) ; f(

1

2 ) ; f(a) ; f(a + 1)

Bài 9: Cho hàm số : y = f(x )=

2

3 x+5 với x ¿ R Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên R

Bài 10: Xác định đường thẳng đi qua A và B biết rằng:

a) A(-2;0) và B(0;1) b) A(1;4) và B(3;0)

b) A (-2;2) và B (1;5) b) A(2;-33) và B (-1;18)

Bài 11: a) Cho bốn điểm : A(0;-5) , B(1;-2) , C (2;1), D (2,5;2,5) Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C ,D thẳng hàng

b)Tìm x sao cho ba điểm A (x;14) ,B(-5; 20) ,C(7;-16 ) thẳng hàng

Bài 12: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m:

a) y = (m - 2)x + 3 b) y = mx + (m + 2)

c) y = (m-1)x + (2m -1) d) y = mx + m-1

Bài 13: Cho đường thẳng : y = (m - 2)x + 2 (d)

a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d bằng 1

c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất

Bài 14: Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng: y = 2x + 3 và y = (m- 1)x + 2

Baì 15: Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng: y = mx + 1 và y = (3m- 4)x – 2

GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt

Bài 16: Xác định các hệ số a,b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và

song song với đường thẳng OA trong đó O là gốc tọa độ và A( √ 2;1 ).

Bài 17: Cho hàm số y = (a - 1)x + a.

a) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

b) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3

c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm được ở các câu a,b trên cùng hệ trục tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng

Bài 18: Cho hai đường thẳng (d): y = 4 – 2x và (d’): y = 3x + 1

a) Vẽ (d) và (d’) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’) Tìm tọa độ của điểm N

c) Tính số đo góc  tạo bởi đường thẳng (d’) với trục Ox

Bài 19: Cho hai đường thẳng  d : 2x y 3 0   và  d ' : x y 0 

a) Vẽ (d) và (d’) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’) Tìm tọa độ của điểm E

c) Tính số đo góc  tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox

Bài 20: Cho hàm số ym 1xmm 1

a) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến?

b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm

1

2

 



  Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được

c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với đường thẳng x 2 y 0

Bài 21: Cho hàm số ym1x 2m1 (d)

a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ

b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua A(3; 4).Vẽ đồ thị với m vừa tìm được

c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với đường thẳng (d’):y2 x 4

d) Tính số đo góc  tạo bởi đường thẳng (d’) với trục Ox

Bài 22: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

a)3x y 5 b)x2y2018 c)0x 9y3 d)2x 7y2 e)5y x 0

Bài 23: Giải hệ phương trình:

  

  

  

B.HÌNH HỌC

Bài 1 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH

a) Biết AH = 12cm, CH = 5cm Tính AC, AB, BC, BH

b) Biết AB = 30cm, AH = 24cm Tính AC, CH, BC, BH

GV: Vũ Thị Hồng Trường PT Hermann Gmeiner Đà Lạt















5 3

8

2 4

y

x

y

x















4

2x y

m y x













 2

6 2 3

y x

y x

















2 6

4

1 3

2

y x

y







x y













2

x y







2x 3y 2 4x 6y 2





