BÀI tập HÌNH ON THI vào 10

Chứng minh rằng điểm S di động trên tia đối của tia AB thì F luôn thuộc một đường tròn cố định và tính bán trình của đường tròn này theo R.. Chứng minh rằng điểm S di động trên tia đối c

Trang 1

Câu 1 Cho đường tròn O R;  và một điểm M nằm ngoài đường tròn Từ M kẻ hai tiếp tuyến

MA, MB (A, B là các tiếp tuyến) N là điểm di động trên đoạn AO Đường thẳng MN cắt  O

tại C và D (C nằm giữa M và N ), cắt đường thẳng OB tại P Gọi I là trung điểm AB

1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có

Trang 2

BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

Tứ giác MAOB là hình vuông có cạnh R

RS

4

  khi OE AEIE là đường trung bình của tam giác ABP

Trang 3

Câu 2 Cho đường tròn O R; và điểm S cố định nằm ngoài đường tròn  O Kẻ hai tiếp tuyến SA và

SB của đường tròn O R; (A B, là tiếp điểm) Đường thẳng bất kỳ qua S cắt đường tròn  O tại C và

D(SCSDvà C O D, , không thẳng hàng) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng CD

1) Chứng minh bốn điểm S A O B, , , cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minhAOB 2 SEB.

3) Tia BEcắt đường tròn  O tại F Chứng minh tứ giác ACDF là hình thang cân và xác định vị trí của cát tuyến SCD để diện tích tam giác SDF đạt giá trị lớn nhất

SBO90 nên S B O; ; thuộc đường tròn đường kính SO

Vậy bốn điểm S A O B, , , cùng thuộc một đường tròn

2) Vì Gọi Elà trung điểm của đoạn thẳng CD nên OE CD(tính chất đường kính và dây cung)

SEO 90 nên S E O; ; thuộc đường tròn đường kính SO

Vậy 4 điểm S E O B; ; ; thuộc đường tròn đường kính SO SOB SEB

Trang 4

Mà AOB 2 SOB.(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Từ (1) và (2) nên tứ giác ACDF là hình thang cân

Ta có SSAD SSFD (cùng đáy SD và cùng chiều cao)

Trang 5

Câu 3 Cho O R;  và điểm A cố định bên ngoài O Qua A , kẻ đường thẳng dcắt  O tại M N,

AMAN Gọi I là trung điểm củaMN Kẻ tiếp tuyến AB AC, tới  O , ( B C, là 2 tiếp điểm và

 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn BC )   2

Từ  1 và  2 suy ra: AOBBNC

Trang 6

Suy ra  AMC∽ACN g g 

Suy ra AMH ∽  AON c g c AHM ANO  (hai góc tương ứng)

 Tứ giác ONMH nội tiếp (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối)  * c) Ta có: OHNOMN (góc nội tiếp chắn ON )   5

Xét  OMN ta có: OM  ON(bán kính của  O )

OMN

  cân tại O OMN ONM  6

ONMONAAHM  7

Từ      5 , 6 , 7 suy ra: OHN AHM  8

Lại có: OHN NHC90 và  AHM MHC 90 9

Từ    8 , 9 suy ra: NHC MHC

HC

 là tia phân giác của MHN 

* Xét tứ giác SMON ta có: SMO SNO90 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

 

SMO SNO 180

     Tứ giác SMON nội tiếp  **

Từ    * , ** ta có 5 điểm S M H O N, , , , cùng thuộc đường tròn đường kính SO

SH OH

   10

Lại có: BC  OH (OAlà đường trung trực của BC, H  OA) CH  OH  11

Trang 7

Câu 4 Cho đường tròn  O bán kính R , đường thẳng dkhông qua Ovà cắt đường tròn tại hai điểm A B, Từ một điểm Ctrên d ( A nằm giữa B và C), vẽ tiếp tuyến CNvới đường tròn (Nlà tiếp điểm; Nthuộc cung ABlớn) Gọi E là trung điểm đoạn AB

a) Chứng minh bốn điểm C E O N, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh 2

CN  CA CB c) Gọi H là hình chiếu của điểm Ntrên OC Chứng minh OABCHA Tia

CO cắt đường tròn O( )tại hai điểm D và I ( I nằm giữa C D, ) Chứng minh IC DH  DC IH

Lời giải

a) Vì E là TĐ của ABnên OE  AB  OE  CE  E đường tròn đường kính OC

Vì CNlà tiếp tuyến của đường tròn,Nlà tiếp điểm nên CN  ON  N đường tròn đường kính OC

Do đó E N, thuộc đường tròn đường kính OC hay bốn điểm C E O N, , , cùng nằm trên đường tròn đường kính OC(ĐPCM) , suy ra tứ giác OECNnội tiếp

( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung); BCN 

chung nên NBC∽ANC g g   CA CN

CN CB

CN  CA CB c) +)  CNO vuông tại O, đường cao NH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có

Suy ra CAH∽COB c g c CHA CBO (1)

Vì OA  OB( bán kính) nên  OABcân tại OOAB ABO (2)

Trang 8

Từ (1) và (2) ta suy ra OABCHA

(đpcm)

+) Chứng minh tương tự ta có CAI∽CDB c g c  CAICDB (3)

Mà  1

BDI BOI2

 ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn BI ); IOBCAH

Trang 9

Câu 5 Cho đường tròn O R; , đường kính AB Lấy C bất kì trên đường tròn  O sao cho

AC  CB, kẻ dây cung CD vuông góc với đường kính AB tại E Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏAC Tia AM cắt tia BCtại S

1) Chứng minh SM SA  SC SB và tam giác ABScân

2) Qua A kẻ tiếp tuyến với đường tròn  O cắt tia BM tạiN Chứng minh tứ giác ANSB

C

Trang 10

  ABS cân tại B

2) Xét  O có MAN là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung   1 

3) Xét tứ giác AHKM có AMKAHK90 AMK AHK  90 90 180

 tứ giác AHKM nội tiếp  

 TiaMH & MD trùng nhau  M , H , D thẳng hàng

4) Ta có: tứ giác AHKM nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp AMH là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHKM có đường kính là AK

Xét AMB có  AM R 1 

AB 2R 2sin      MAC30

Trang 11

Bài 6 Từ điêm A nằm ngoài đường tròn  O vẽ hai tiếp tuyến AD AE D E, ( , là các tiếp điểm).Vẽ cát tuyến ABC của đường tròn  O sao cho B nằm giữa A và C.Tia AC nằm giữa hai tia AD AO, Từ O

kẻ OI  AC tại I

a) Chứng minh 5 điểm A D E I O, , , , cùng nằm trên đường tròn

b) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE và 2

AB AC  AD

c) Gọi K và F lần lượt là giao điểm của ED với ACvà OI.Qua D vẽ đường thẳng song song với EI cắt OF và AClần lượt tại H và P.Chứng minh D là trung điểm của HP

Lời giải a) Ta có IB  IC  OI  BC  I(tính chất đường kính dây cung)

OIAODAOCA90

Mà các góc OIA ODA OCA  , , cùng nhìn cạnh

Trang 12

BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 7 Cho đường tròn O R; , vẽ dây AB cố định không đi qua tâm O Lấy điểm S bất kì thuộc tia đối của tia AB Kẻ hai tiếp tuyến SM SN, với  O , ( M N, là các tiếp điểm, M thuộc cung nhỏ AB) Gọi H là trung điểm của AB

1) Chứng minh 5 điểm O H N S M, , , , cùng thuộc một đường tròn

2) Phân giác của góc AMB cắt AB tại K Chứng minh  SMK cân và NA MA

NB  MB 3) Gọi I là trung điểm của NB Kẻ IFAN F AN   Giả sử góc AOB bằng 0

120 Chứng minh rằng điểm S di động trên tia đối của tia AB thì F luôn thuộc một đường tròn cố định

và tính bán trình của đường tròn này theo R

Lời giải

1) Chứng minh 5 điểm O H N S M, , , , cùng thuộc một đường tròn

Do H là trung điểm của AB nên OH  AB (tính chất đường kính và dây cung)

Mặt khác, SMOSNO90 (Tính chất tiếp tuyến)

Do vậy SMO SNOSHO90 suy ra M H N, , cùng nhìn

SO dưới 1 góc bằng 90 nên

5 điểm O H N S M, , , , cùng thuộc một đường tròn đường kính SO

2) Phân giác của góc AMB cắt AB tại K Chứng minh  SMK cân và NA MA

M M M; ; chưa tương ứng với hình vẽ)

Vậy tam giác SMK cân tại S

Trang 13

SNASBN(Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung AN)

Ta được  SAN∽  SNB (g – g) suy ra NA SN

Mặt khác, vì SN và SMlà tiếp tuyến với đường tròn  O nên SM  SN (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra NA MA

NB  MB 3) Gọi I là trung điểm của NB Kẻ IFAN F AN   Giả sử góc AOB bằng 0

120 Chứng minh rằng điểm S di động trên tia đối của tia AB thì F luôn thuộc một đường tròn cố định

và tính bán kính của đường tròn này theo R

Gọi AT là bán kính của đường tròn tâm O Vì A O, cố định nên T cố định

Gọi J là trung điểm của BT Vì B T, cố định nên J cố định

Ta có ANT90 ANNT

Mặt khác, IF  AN nên IF/ /NT

Ta lại có IJ/ /NT suy ra F I J, , thẳng hàng

ABJ90 ABJAFJ90 nên A B J F, , , nội tiếp đường tròn đường kính AJ

Vì AJ cố định nên trung điểm L của AJ cố định hay đường tròn tâm L bán kính LA cố định

Vậy điểm S di động trên tia đối của tia AB thì F luôn thuộc một đường tròn cố định tâm

Trang 14

Bài 8 Cho Cho đường tròn O R; từ điểm A nằm ngoài đường tròn  O vẽ hai tiếp tuyến AB AC,với đường tròn  O ( B C, lần lượt là các tiếp điểm)

1) Chứng minh tứ giác ABCOnội tiếp đường tròn

2) Gọi D là trung điểm của AC, BDcắt đường tròn tại E , đường thẳng AE cắt đường tròn

 O tại điểm thứ hai F Chứng minh 2

BOICOIIBICABIIBC Nên BI cũng là phân giác của tam giác ABC

Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Xét đường tròn  O có DCEDBC(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

  Mà DBAAFBDAEAFB

Lại có hai góc này ở vị trí so le trong AC BF// CBF BCA (so le trong)

D

O A

B

C

F

Trang 15

Bài 9 Cho đường tròn  O , AB là đường kính C là điểm bất kì thuộc đường tròn sao ch

CBCA ( C khác với A và B) Trên tia đối tia BA lấy điểm S ( S khác B), qua S kẻ đường thẳng  d vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại C ở I AI cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là

2) Chứng minh: AC AH AE AI

HSBC là tứ giác nội tiếp nên SHC SBC  180

Trang 16

3) Chứng minh: I là trung điểm của HK và  d là trung trực BM

Vì CI là tiếp tuyến của đường tròn  O nên  

Suy ra I là trung điểm của HK(Đpcm)

Gọi D là giao điểm của AK và  O

Xét  AHK có:

AB  HK ( gt)

KB  AH ( 

ACB  90 ) Suy ra Blà trực tâm của  AHK

Trang 17

HB AK

  ( đường cao thứ 3 của  AHK)  3

Lại có: BD  AK ( BDA là góc nội tiếp đường tròn đường kính  AB)  4

Trang 18

BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 10 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn  O vàAB  AC Các đường cao

BMvà CN cắt nhau tại H Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MN và CB Đường thẳng APcắt đường tròn  O tại K (K khácA)

1 Chứng minh tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh PB PC  PN PM và tam giác PKN đồng dạng với tam giác PMA

3 Gọi I là trung điểm củaBC Chứng minh ba điểm K H I, , thẳng hàng

Lời giải

1 Chứng minh tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp

Vì CN  AB gt  suy ra  0

BNC  90

 Điểm N nhìn cạnh BC dưới một góc không đổi bằng 90 0

 Điểm N thuộc đường tròn đường kính BC ( bài toán quỹ tích ) (1)

Vì BM  AC gt  suy ra  0

BMC  90

 Điểm M nhìn cạnh BC dưới một góc không đổi bằng 90 0

 Điểm M thuộc đường tròn đường kính BC ( bài toán quỹ tích ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC ( dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

2 Chứng minh PB PC  PN PM và tam giác PKN đồng dạng với tam giácPMA Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNMC có

E I

K

P

H N

M O A

Trang 19

3 Gọi Ilà trung điểm củaBC Chứng minh ba điểm K H I, , thẳng hàng

Gọi E là giao điểm của AO với đường tròn  O

Suy ra BM/ /EC ( quan hệ từ vuông góc đến song song ) hay BH/ /EC

Vì ABE là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   O

ABE 90

  ( hệ quả góc nội tiếp )

Trang 20

Suy ra tứ giác BNCE là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành )

Mà I là trung điểm của đường chéo BC ( gt )

  ( định nghĩa hai tam giác đồng dạng )

 Tứ giác AKNM nội tiếp ( dấu hiệu góc trong bằng góc ngoài ở vị trí đối ) (6)

Từ (6) và (7) suy ra 5 điểm A K N H M, , , , cùng thuộc đường tròn đường kính AH

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

Trang 21

Bài 11 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  2R Trên nửa đường tròn  O lấy điểm M sao

cho MB  R Vẽ các tiếp tuyến Ax By , (Ax và By cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB

có chứa điểm M) Tiếp tuyến tại M của đường tròn  O cắt Ax By , lần lượt tại C và D 1) Chứng minh tứ giác OBDM là nội tiếp

2) BC cắt đường tròn tại F (F khác B) Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt By

tại E Chứng minh : EF là tiếp tuyến của đường tròn  O

3) Gọi K là giao điểm của OE và BC Chứng minh KO KE KF KB và đường trung trực của đoạn thẳng MK đi qua điểm D

Lời giải

1) BD là tiếp tuyến của  O tại B 

 Tứ giác OBDM là nội tiếp

2) Ta có OBOF OBF cân tại O  

Trang 22

Trang 23

Bài 12 Cho tam giác nhọn ABC( AB  AC ) có các đường cao AD , BE ,CF cắt nhau tại H

1) Chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này 2) Trên cung nhỏ EC của O , lấy điểm I sao cho IC  IE, DIcắt CE tại N Chứng minh

NI ND  NE NC

3) Gọi M là giao điểm của EFvớiIC Chứng minh MN song songAB

4) Đường thẳng HMcắt  O tại K, KN cắt  O tại G (khác K ), MN cắt BC tại T Chứng minh H ,T, G thẳng hàng

Lời giải

1) Chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này Xét tứ giác DHEC có  

HEC  HDC  90 

 tứ giác DHEC là tứ giác nội tiếp (vì có tổng 2 góc đối bằng 180 )

Gọi O là trung điểm của HC Xét hai tam giác vuông HEC và HDC có HC là cạnh huyền

Áp dụng định lý đường trung tuyến  OCOEOHOD

Vây O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHEC

Trang 24

MIN  DIC  180   MIN  MEN  180 

 Tứ giác MENI nội tiếp   

Trang 26

BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 13 Cho đường tròn O R ;  và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA2R Từ

A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn  O (B, C là hai tiếp điểm) Một đường thẳng d thay đổi đi qua A luôn cắt đường tròn tại hai điểm D và E (D thuộc cung nhỏ

BC và cung BD lớn hơn cung CD ) Gọi I là trung điểm của DE, H là giao điểm của

AO và BC

1) Chứng minh năm điểm A, B, C , O , I cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh AH AO AD AE 3R2

3) Chứng minh HC là tia phân giác của DHE 

4) Gọi G là trọng tâm  BDE Chứng minh khi đường thẳng d thay đổi thì G luôn chạy trên một đường tròn cố định

Lời giải

1) Chứng minh năm điểm A, B, C , O , I cùng thuộc một đường tròn

Ta có: AB là tiếp tuyến tại B của đường tròn ( ) O nên: 

ABO  90  Suy ra: điểm B thuộc đường tròn đường kính OA

Tương tự, ta có: ACO 90 nên điểm C thuộc đường tròn đường kính OA

Vi I là trung điểm của dây cung DE nên OIDE (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm

 OIA 90

    điểm I thuộc đường tròn đường kính OA

Vậy, năm điểm A, B, C , O , I cùng thuộc đường tròn đường kính OA (đpcm) 2) Chứng minh AH AO AD AE 3R2

Ta có: AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của đường tròn  O nên:

ABAC và OAOB (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC

B

A

O

D

Trang 27

3) Chứng minh HC là tia phân giác của DHE 

Ta có: AH AO AD AE (chứng minh trên) nên: AH AE

ADAO Suy ra:  AHD ∽  AEO (cạnh – góc – cạnh)

DHC  EHC

Do đó, HC là tia phân giác của DHE (đpcm) 

4) Gọi G là trọng tâm  BDE Chứng minh khi đường thẳng d thay đổi thì G luôn chạy trên một đường tròn cố định

Trang 28

Ta có: G là trọng tâm  BDE nên: BG 2BI

3

 Gọi M là giao điểm của đoạn OA với đường tròn  O OMR

Do OA2R nên M là trung điểm của đoạn thẳng OA

IM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông AIO nên: IM 1OA R

Suy ra: điểm G luôn cách điểm N cố định một khoảng bằng 2R

3 không đổi, nên điểm

G thuộc đường tròn tâm N bán kính 2R

B

A

O

D

Trang 29

Bài 14 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC Gọi M , N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC

a) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh  

Mà AMH ANH , là hai gốc đối diện trong tứ giác AMHN

Vậy tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH

b) Tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH

Trang 30

Trang 31

Bài 15 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (MA B,) Trên nửa đường tròn bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác IAM cắt nửa đường tròn tại  E, cắt tia BM tại F, tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K

a Chứng minh rằng EFMK là tứ giác nội tiếp

b Chứng minh rằng BAF là tam giác cân

c Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi

d Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp một đường tròn

Lời giải

a Ta có AEB AMB , là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

 

AEB AMB 90

Xét tứ giác EFMK có hai góc FEK FMK , là hai góc đối nhau

và hai góc đều vuông nên  

FEK  FMK  180  Vậy tứ giác EFMK là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b Ta có AE là phân giác   

HAM  HAE  EAM

mà HAEABE ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và

  nên E là điểm chính giữa cung AB

Ta có:  EOM MOB AOE MOB 

Vậy tam giác ABF cân tại B

c Xét tam giác AKH có AE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên  AKH cân tại A

EK EH

Trang 32

Xét tam giác cân ABF có BE  AF nên E là trung điểm của AF

Xét tứ giác AKFH có E là trung điểm của AF HK , nên AKFH là hình bình hành mà

AF  HK nên AKFH là hình thoi

Có  MOB MOA 180 MOA MOB90

Vậy M là điểm chính giữa cung AB

Trang 33

Bài 16 Cho đường tròn  O Điểm A ở ngoài đường tròn  O Qua A kẻ một cát tuyến d

cắt đường tròn  O tại hai điểm B và C(B nằm giữa AvàC) Kẻ đường kính EFvuông góc với BCtại D(E thuộc cung nhỏBC) Tia AFcắt đường tròn  O tại điểm thứ haiI, các dây

EIvà BCcắt nhau tạiK

1) Chứng minh tứ giác DKIFnội tiếp

EB EK EI 

3) Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp  KBI

4) Cho 3 điểm A B C, , cố định Chứng minh rằng khi đường tròn  O thay đổi nhưng vẫn

đi qua B C, thì đường thẳng EIluôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

1) Xét tứ giác DKIFcó:   0

FDK  FIK  90 mà chúng nằm ở vị trí đối nhau FIKD

 là tứ giác nội tiếp (dhnb)

2) Xét tam giác  EBKvà  EIBcó:

3) Theo ý 2 ta có: BIKEBK 1  

Giả sử từ B kẻ 1 tiếp tuyến Bx của đường tròn ngoại tiếp  KBI KBxBIK 2  

Từ    1 ; 2 EB trùng với đường Bx

Trang 34

EB

 là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm I B K; ;

4) Ta có: Tứ giác IBCF nội tiếp AB AC AI AF

Lại có: Tứ giác FIKD nội tiếp AK AD AI AF

AB AC AK AD

Vì A B C D; ; ; cố định nên Kcố định

Mà K  IE nên IE luôn đi qua điểm Kcố định

Bài 17 Cho đường tròn tâm ( ) O và điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến AB AC, với đường tròn ( ) O (B C, là các tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M , từ M lần lượt kẻ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống BC, CA, AB (IBC,KAB,HAC) Gọi P Q , lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng BM và IK , CM và IH

1) Hãy chứng minh tứ giác BIMK là tứ giác nội tiếp

Khi đó tứ giác BIMKcó hai góc đối bù nhau

Do đó tứ giác BIMK là tứ giác nội tiếp

2) Trong tứ giác nội tiếp BIMK có hai góc MKI và  MBI cùng nhìn cạnh 

MI Suy ra MKIMBI (1)

Tương tự câu 1) ta chứng minh được tứ giác CIMH nội tiếp

Vì MCH MIH , cùng nhìn cạnh MH suy raMCHMIH (2)

Xét (O): ta có MBI là góc nội tiếp chắn cung MC,



MCH là góc tạo bởi tiếp tuyến CH

và dây cung MCnên   1 

MBI MCH sdMC

2

Từ (1), (2) và (3) suy ra MKIMIH (*)

Mặt khác, vì BIMK và CIMH là các tứ giác nội tiếp

nên ta có KMI KBIHMI HCI180 (4)

Do AB AC, là hai tiếp tuyến của đường tròn ( ) O kẻ

từ điểm A nên ABAC hay ABC cân tại A

ABC  ACB hay  

KBI  HCI (5)

Trang 35

Từ (*) và (**) ta có  MHI ∽  MIK Suy ra MI MK

MH  MI Vậy MI2 MH MK

3) Ta có PMQ PIQ  BMC PIM MIQ    BMC KBM   MCH

Vì KBM là góc tạo bởi tiếp tuyến  KB và dây cung MB và 

MCB là góc nội tiếp chắn cung

PMQ PIQ BMC PIM MIQ  BMC KBM MCH  BMC MCB MBC 180   

Do đó tứ giác PIQM nội tiếp

Vì tứ giác PIQM nội tiếp nên ta có MPQMIQMKI MBI Suy ra PQ song song với

BC hay PQ  MI

Ta có MI2 MH MK MI3 MI MH MK Suy ra MI MH MK lớn nhất khi và chỉ khi MI

lớn nhất Hay M là điểm chính giữa cung BC

Bài 18 Cho đường tròn O R ;  có dây BC cố định không đi qua O , điểm A thay đổi trên cung lớn

BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn Kẻ BD vuông góc AC tại D, CE vuông góc AB tại

G Chứng minh: Đường tròn A AG ;  tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi A thay đổi trên cung lớn BC

Lời giải

1) Xét tứ giác BDCE có  

BEC  BDC  90  (gt)

mà hai góc này cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90

Vậy tứ giác BDCE là tứ giác nột tiếp (dhnb)

2) Kẻ ONBC mà OBC cân tại O Nên ta có

Trang 36

BC R 3NC

Xét tứ giác AEHD có AEH ADH180 suy ra tứ giác AEHD nội tiếp

GAB  GDB cùng nhìn cạnh BG suy ra tứ giác BGDA nội tiếp

tứ giác BLDA là tứ giác nội tiếp  

BDA BLA 90

    ( cùng chắn cung BA)

BGA  BDA  180   BGA  90 

Có tam giác  BLA   BGA ch  gn

1) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được một đường tròn

2) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng qua E và vuông góc với EI cắt BC tại P Chứng minh PE2PB PC

3) Khi A di chuyển trên cung BC , chứng minh 

EF  BC cos BAC, từ đó suy ra vị trí của điểm A để diện tích  AEF là lớn nhất

Lời giải

Trang 37

1) Xét tứ giác AFHE có AFH AEH 9090 180

Suy ra AFHE là tứ giác nội tiếp, hay tứ giác AFHE nội tiếp được một đường tròn

2) Xét tam giác BEC vuông tại E có EI là đường trung tuyến, suy ra

IE  EC  IEC  ICE

Lại có IECBEP cuøng phuï BEI 

Suy ra BEP   ECI  IEC 

Trang 38

Suy ra  

AEF  ABC (tính chất) Xét  AEF và ABC có:



BAC : chung

AEF  ABC (chứng minh trên)

Suy ra AEFABC (g – g)

Vậy nên SABC lớn nhất khi AD  AI hay khi A nằm chính giữa cung BC

Vậy SAEF lớn nhất khi A nằm chính giữa cung BC D

Trang 39

Bài 20 Cho đường tròn O R ;  đường kính AB Gọi E và D lần lượt là hai điểm thuộc cung AB của đường tròn  O sao cho E thuộc cung AD; AE cắt BD tại C; AD cắt BE tại H; CH cắt AB tại F

1) Chứng minh tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh: AE.AC = AF.AB Trên tia đối của tia FD lấy điểm Q sao cho FQ = FE Tính góc AQB

3) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường thẳng DE

N

M

C

B O

A E

D

Trang 40



HECvà 

HDClà hai góc đối nhau

 tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận iết tứ giác nội tiếp)

2) Xét ABCcó:  H  AD  BE, AD và BE là hai đường cao  H là trực tâm của ABC.

Từ đó suy ra EFA DFB Mà QFADFB nên EFAQFA

Suy ra  FEA   FQA (c.g.c)

Suy ra AE  AQ, mà FE  FQ nên AF là đường trung trực của EQ hay AB là đường trung trực của EQ

Lại có E thuộc đường tròn đường kính AB nên Q cũng thuộc đường tròn đường kính AB Suy ra AQB90

3) Gọi K là giao điểm của BN và đường tròn Ta có tứ giác AMNK là hình chữ nhật nên

AK ED// Suy ra AEDK là hình thang, mà AEDK nội tiệp đường tròn nên nó là hình thang cân, suy ra AE  DK

Suy ra DQKEDA

Mà EDAADQ nên DQK QDA Suy ra AD QK//

ADKQ là hình thang nội tiếp đường tròn nên là hình thang cân

Suy ra QD  AK mà AKMN

Do tứ giác MNKA là hình chữ nhật Suy ra MN  QD,

Mà QD  FQ  FD  FE  FD nên ta có MNFE FD

Định dạng
Số trang	114
Dung lượng	12,73 MB