BÀI tạp HINH ON THI PHAN 2

Qua A kẻ cáctiếp tuyến AB,AC với O B,C là các tiếp điểm1 Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giácABOC 2 BI cắt O tại M.. a Chứng minh tứ giác

Bài21.Cho đường tròn ( )O;R

đường kính ABcố định Gọi H là điểm bất kỳ thuộc đoạn

OA (Hkhác Ovà A) Vẽ dây CD vuông góc với ABtại H Gọi M là điểm bất kỳthuộc CH Nối AM cắt ( )O

tại điểm thứ hai là E ,tia BE cắt DC tại F 1) Chứng minh bốn điểm H;M ;E;B cùng thuộc một đường tròn

2) Kẻ Ex là tia đối của tia ED.Chứng minh rằng FEx FEC· = · vàMC.FD FC.MD= .

3) Tìm vị trí của Htrên đoạn OA để chu vi OCH∆ lớn nhất

Lời giải

1)Ta có MHB· =90o;MEB· =90o

⇒tứ giác HMEBnội tiếp

⇒Bốn điểm H;M;E;Bcùng thuộc một đường tròn

2) Từ Alà điểm chính giữa của cung CD ta được AEC AED· =· .

90 −AEC=90 −AED⇒FEC BED= .

Mà BED FEx· = · ( đối đỉnh ) nên FEC FEx· = · .

Xét CDE∆ có EM và EF lần lượt là phân giác trong phân giác ngoài nên

Bài22.Cho đường tròn tâm O đường kính AB R= 2 Gọi C là trung điểm của OA , qua C

kẻ dây MN vuông góc với OA tạiC Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AK và MN

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

BK BD

NK NB

(3)

tại Pvà Q (Pkhác Bvà Qkhác C) Tiếp tuyến tại B và C cắt EFlần lượt tại N , M.

1) Chứng minh bốn điểm B, F , E , C thuộc một đường tròn

1) Vì BE, CF là đường cao ⇒BFC BEC· = · =900

Mà E , F là hai đỉnh kề nhau nên tứ giác BFEC nội tiếp

2) +) Chứng minh: MEC∆ cân và ME2 =MK.MP

Vì tứ giác BFEC nội tiếp ( cmt) nên ABC NEA· = · , mà NEA MEC· =· ( đối đỉnh)

Nên ABC MEC· = · (1)

Vì MC ME= (∆MEC can) nên ME2 =MK.MP

3) Chứng minh: FEK FAK· =· và N , K , Q thẳng hàng.

EPK FEK FEK FAK AKFE

⇒ = ⇒ = ⇒ nội tiếp ⇒NKB NEB· =·

Mà NEB FCB QKB· = · = · ⇒NKB QKB· = · ⇒ N , K , Q thẳng hàng

Bài24.Cho đường tròn ( )O;R

, lấy điểm A nằm ngoài ( )O

sao cho OA >2R Qua A kẻ cáctiếp tuyến AB,AC với ( )O

( B,C là các tiếp điểm)1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giácABOC

2) BI cắt ( )O

tại M Chứng minh MCB OAC· = ·3) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AB, đường thẳng NI cắt đường thẳng AC tại K,đường thẳng MCcắt đường thẳng AO ở D Chứng minh đường thẳng NK song song vớiđường thẳng MC và IM.DO MB.ID=

·MCBlà góc nội tiếp chắn cung ¼MB nên MCB· =12sdMB¼

·MBA là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung MBnênMBA· = 12sdMB¼

Ta có:

1212

Mà 2 góc MCB;OBC ở vị trí so le trong nên OB/ /MC· ·

Xét tam giác ABO ta có

N là trung điểm của AB và I là trung điểm của AO

IM ID

MB DO

( định lý thales)IM.DO MB.ID

a) Chứng minh tứ giác ADFC nội tiếp được đường tròn

b) Chứng minh BAD = CAK · ·

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC Chứng minh MN⊥DF và

M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Suy ra tứ giác ADFC nội tiếp đường tròn đường kính AC

b) Xét ∆BAD vuông tại D (vì AD BC⊥ )

BAD ABD

Ta có CBK CAK· = · (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CK ).

Mà ABD CBK ABK· +· =· = °90 (vì ·ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

· · 90ABD CAK

Bài26.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O;R

sao cho (AB AC< ) AH⊥BC(H BC∈ ), từ H kẻ HM ⊥AB(M AB∈ ) và HN⊥AC(N AC∈ ).

a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp

b) Chứng minh ANM ABC· = · và AM.AB AN.AC= .

c) Tia MN cắt ( )O;R tại D Chứng minh ∆AHD cân

Nên AMH ANH· +· =180°

Mà ·AMH và ·ANH là hai góc đối nhau

Suy ra AMHN là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có hai góc đối bù nhau)

b) Chứng minh ANM ABC· = · và AM.AB AN.AC= .

Mà AHM ANM· =· ( tứ giác AMHN nội tiếp)

Suy ra ANM ABC· =· .

Xét ABC∆ và ANM∆ có

c) Tia MN cắt ( )O;R

tại D Chứng minh AHD∆ cân.

Ta có

ABC ADC+ = ° ( tứ giác ABCD nội tiếp); AND ANM· +· =180°

Mà ANM ABC· = · (câu b))

Suy ra ADC AND· =· ( )1

Do đó

AD AN

AC = AD

( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)Suy ra AD2 =AC.AN( )2

.Mặt khác, HAC∆ vuông tại H có HN là đường cao nên AH2 =AN.AC( )3

Từ ( )2

và ( )3

suy ra AH AD= .Vậy AHD∆ cân tại A

=

sđ »AB); ·AMD ACB= · ( ABC∆ ∽ ANM∆ )

· ·xAB AMN

Bài27.Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn ( )O

Ba đường cao AD, BE, CF củatam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp

b) Kẻ đường kính AK của đường tròn ( )O

Chứng minh tam giácABD đồng dạngvới tam giác AKC và AB.AC=2AD.R

c) Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên AK Chứng minh: MD song songvới BK

d) Giả sử BC là dây cố định của đường tròn ( )O

còn A di động trên cung lớn BC Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác AEH lớn nhất

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp

Ta có BFC· = °90 , do đó 3 điểm B, F, C nằm trên đường tròn đường kính BC.

Ta có BEC· = °90 , do đó 3 điểm B, E , C nằm trên đường tròn đường kính BC

Do đó, 4 điểm B, E, F, C nằm trên đường tròn đường kính BC

Vậy BFEC là tứ giác nội tiếp

b) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC và AB.AC=2AD.R.

Đường tròn O có góc ABC AKC· = · (2 góc nội tiếp chắn cung AC )

Đường tròn O có AK là đường kính nên ACK ADB· = · = °90 .

Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC

Từ đó suy ra

AB AD

AK = AC

2AB.AC AD.AK AD R

c) Chứng minh: MD song song với BK

Tứ giác ADMC nội tiếp vì ADC AMC· = · = °90 .

Suy ra góc nội tiếp CDM CAM CAK· = · =· .

Đường tròn O có CAK CBK· =·

Suy ra CBK CDM· = · , do đó BK // DM

d) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác AEH lớn nhất

Gọi G là trung điểm của BC

Tam giác AHK có OG là đường trung bình nên AH=2OG, Ovà G không đổinên độ dài AH không đổi

Bài28.Cho đường tròn ( )O;R

, dâyAB≠2R M thuộc cung AB lớn, tia phân giác góc

·AMB cắt AB tại I, cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh AMD∆ ∽∆IAD;

b) Lấy N là điểm chính giữa cung MB; AN cắt MDtại K Chứng minh tam giácAKD cân

c) Lấy P thuộc tia đối của tia MA sao cho MP MB= Tìm quĩ tích của P khi M

di chuyển trên cung lớn AB

DAB DMB= (góc nội tiếp cùng chắn cung »DB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AMD DAB· = · hay AMD IAD· =·

Xét ∆AMD và ∆IAD có: ·ADM chung, ·AMD IAD= · (cmt).

AMD IAD

⇒ ∆ ∽∆ (g-g).

b) Chứng minh tam giác AKD cân

Ta có ·AMD và ·DMB là các góc nội tiếp lần lượt chắn các cung »AD và »DBcủađường tròn ( )O;R

sđ »AD + 12 sđ ¼MN (góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn) (4)

Vì sđ »AD = sđ »DB và sđ ¼MN = sđ »BN nên từ (3) và (4) ta suy ra ·DAK AKD=· . Vậy ∆ADK cân tại D.

c) Vì MP MB= nên tam giác MBP cân tại M Suy ra

12MPB AMB

Giả sử

2SdAMB= α ⇒SdAPB= α

Mà dây AB cố định nên điểm P thuộc cung chứa góc

1

2α dựng trên đoạn AB

Bài29 Cho đường tròn ( )O;R

và dây BC cố định không đi qua O Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho ABC∆ nhọn và AB AC< Các đường cao AD,BE,CF của ABC∆ cắt nhau tại H

1) Chứng minh tứ giác: BFEC nội tiếp

2) Kẻ đường kính AK của ( )O

Chứng minh: AB.AC AD.AK= .3) Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích hình quạt tròn BOC (ứng với cung nhỏBC) trong trường hợp R=3 cm và BAC· = °60 , lấy π ≈3 14, (Kết quả làm tròn

đến chữ số thập phân thứ hai)

4) Gọi S là điểm đối xứng với A qua EF Chứng minh ba điểm A ; O; S thẳnghàng

Lời giải

⇒ nội tiếp đường tròn đường kính BC

2) Chứng minh: AB.AC AD.AK= .

Diện tích hình quạt tròn BOC là:

Gọi I là giao điểm của AK và EF

sđ »AK = × ° = °12 180 90

Mà ABC FEA· = · (vì cùng bù với ·FEC)

Từ đó suy ra: FEA KAC· +· = °90

hay IEA IAE· +· = ° ⇒90 AIE· = °90

AK EF

⇒ ⊥ tại I hay ⇒AO EF⊥ (1)

Mặt khác S là điểm đối xứng với A qua EF

⇒EF là đường trung trực của đoạn thẳng AS

EF AS

Từ (1) và (2) AO , AScùng thuộc một đường thẳng hay A ; O; Sthẳng hàng

Bài30 ).Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d không đi qua O, cắt đường

tròn ( )O

tại hai điểm E, F Lấy M bất kỳ trên tia đối của tia FE Qua M kẻ hai tiếp tuyến

MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn

b) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng FE Chứng minh KM là phân giác của gócCKD

c) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC , MD theo thứ tựtại R, T Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác RMT nhỏnhất

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn.

Vì MC là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

nên OCM· =90o

, Suy ra C thuộc đường tròn đường kính OM

Vì MD là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

nên ODM· =90o

, Suy ra D thuộc đường tròn đường kính OM

Suy ra bốn điểm O, M, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OM , hay nóicách khác tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn

b) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng FE Chứng minh KM là phân giác của gócCKD

Ta có K là trung điểm của đoạn thẳng FE , suy ra OK ⊥FE⇒MKO· =90o

nên Kthuộc đường tròn đường kính OM , suy ra 5 điểm O, M , C, D, K cùng thuộcđường tròn đường kính OM

Xét đường tròn ngoại tiếp 5 điểm O, M, C, D, K có

⇒ là phân giác của góc CKD.

c) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC , MD theo thứ tựtại R , T Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác RMT nhỏnhất

Dấu " "= xảy ra khi CM CR R= = 2 Khi đó M là giao điểm của d với đườngtròn tâm O bán kính R 2.

Vậy M là giao điểm của d và đường tròn tâm O bán kính R 2 thì diện tích tamgiác MRT nhỏ nhất

Bài31.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn( )O;R

Kẻ các đường cao AE và BIcắtnhau tại H

a) Chứng minh rằng: Tứ giác HICE nội tiếp

b) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O), gọi F đối xứng với H qua BC Chứngminh: tứ giác ACDF nội tiếp, từ đó chứng minh tứ giác BCDF là hình thang.c) Biết tam giác ABC có diện tích là S, BC a,AC b,AB c= = = Chứng minh:4

abcR

BFA ACB= suy ra Tứ giác ABFC nội tiếp nên F∈( )O;R .

Suy ra tứ giác ACDF nội tiếp đường tròn ( )O;R

và

AFD AEC= = o ⇒BC FD€ hay BCDF là hình thang.

c) Ta có: ADB ACB¼ =¼ (2góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

2

AB csinACB sinADB

AD R

(*)

Bài32.Cho điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O

, qua M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyếnMDC với đường tròn (D nằm giữa M và C) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OMcắt đường tròn tại điểm thứ hai là B

a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

và MB2 =MD.MC.b) Gọi I là trung điểm của CD , tia BI cắt đường tròn ( )O

tại E (E khác B) Chứng minh: 5 điểm A,I,O,M,B cùng thuộc một đường tròn và AE// CD

c) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên tia đối của tia DC thì đường thẳng ABluôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

Giả sử AB vuông góc với OM tại F

Ta có: OA OB R= = ⇒ ∆OAB cân tại O.

OF là đường cao đồng thời là trung tuyến FA FB⇒ =

b Vì MA,MB là hai tiếp tuyến cắt nhau ở M

Xét tứ giác MAOB có hai góc đối MAO MBO· =· = °90

Suy ra tứ giác MAOB nội tiếp ( 2 góc đối có tổng bằng 180°)

suy ra M,A,O,B cùng thuộc 1 đường tròn ( )1

I là trung điểm của CD

OI CD

· 90OIM

⇒ = (góc nội tiếp cùng chắn MB của đường tròn ngoại tiếp tứ giác¼MAIB) ( )3

Mặt khác AEB MAB· =· (góc nội tiếp, và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ABcủa đường tròn ( )O

) ( )4

Từ ( ) ( )3 , 4 ⇒AEB MIB· = ·

mà hai góc này ở vị trí đồng vị của hai đoạn thẳng AE và CD bị cắt bởi EB nên

ta suy ra AE // CD ( đpcm)

Bài33.Cho điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O

Vẽ tiếp tuyến MC , MD với ( )O

( C, D là các tiếp điểm) MO cắt ( )O

lần lượt tại A và B( A nằm giữa O và M ) Chứng minh: a) Tứ giác MCOD nội tiếp

b) MO cắt CD tại H Chứng minh MO CD⊥ .

c) MC2 =MH.MO MA.MB= .

Lời giải

a) Tứ giác MCOD nội tiếp

Do MC, MD là các tiếp tuyến của ( )O

tại C, D nên ta có OC CM⊥ ;

OD DM⊥ .

· 90OCM

⇒ nằm trên đường trung trực của CD

Mà OC OD= ⇒O nằm trên đường trung trực của CD

OM

⇒ là đường trung trực của CD ⇒OM CD⊥ .

c) OMC∆ vuông tại C có đường cao CH nên CM2 =MH.MO( )1

MAC

∆ và MCB∆ có chung ·CMBvà · · »

12MCA MBC= = sđCA

b) Chứng minhKMlà tia phân giác góc ·AKB.

c) Chứng minhMN.MP MA= 2 Gọi Hlà giao điểm của OM với AB, chứng minhbốn điểm N,H,O,P cùng thuộc một đường tròn

d) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm G của tam giác NAPluôn chạy trên một đường tròn cố định

Lời giải

a)

- MA là tiếp tuyến của ( )O

tại M nên MAO∆ vuông tại A Gọi I là trung điểm của cạnh OM

Suy ra IA IM IO= = ( )1

Tương tự ta có IM IB IO= = ( )2

PN là dây của ( )O

; OK ⊥NPtại K K O( ≠ ) suy ra OKN· =900

- ∆MKOvuông tại K

Gọi Ilà trung điểm của cạnh OM-

b)Vì MA,MB là hai tiếp tuyến của đường tròn ( )O ⇒MA MB= (tính chất hai tiếptuyến cắt nhau)

Xét đường tròn (I) có dây MA MB= (cmt)

MA MB

Xét tứ giác MAKB có bốn đỉnh M,A,K,Bcùng thuộc một đường tròn ⇒tứ giácMAKBnội tiếp được trong một đường tròn

AKM sdMABKM sdMB AKM BKM

MAN MPA= (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn

»AN của đường tròn ( )O

(điều phải chứng minh)

Xét MAO∆ vuông tại Acó AHlà đường cao

· ·MNH MOP

⇒ = (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác NHOP có MNH MOP· = ·

Mà 2 góc ở vị trí góc ngoài tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện

⇒tứ giác NHOP nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

d Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm G của tam giác NAPluôn chạy trên một đường tròn cố định

Gọi G là trọng tâm ANP∆ ⇒

23

AG

AK =Gọi T là trọng tâm AMO∆

Ta có

23

a) Chứng minh: Bốn điểm A , M , O, N cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: Tứ giác BHOC nội tiếp

c) Vẽ dây MP//BC Chứng minh: N , I , P thẳng hàng

d) Khi A chuyển động trên tia đối của tia BC , chứng minh trọng tâm MBC∆chạy trên một đường tròn cố định

Lời giải

a) Chứng minh: Bốn điểm A, M, O, N cùng thuộc một đường tròn

Xét tứ giác AMON có: AMO· = °90 , ANO· = °90 (vì AM , AN là tiếp tuyến của

Vậy bốn điểm A , M , O, N cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: Tứ giác BHOC nội tiếp

+ Xét AMB∆ và ACM∆ có: µA chung, ·AMB ACM= · (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MB)

AIO ANO

⇒ + = ° mà đây là hai góc đối nhau nên tứ giác AOIN nội tiếp một đường tròn (DHNB tứ giác nội tiếp) hay bốn điểmA, I, O, N cùng thuộc một đường tròn

Mà bốn điểm A, M , O, N cùng thuộc một đường tròn

Nên năm điểm A , M , O, N , I cùng thuộc một đường tròn

+ Trên cạnh MI lấy điểm G sao cho

13

IF= IC

suy ra điểm F cố định

Lấy E IB∈ sao cho

13

IE= IB

suy ra điểm E cố định+ Ta có

13

Bài36.Cho đường tròn (O;R), dây MN(MN<2R). Trên tia đối của tia MN lấy điểm A Từ

A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm)

a) Chứng minh bốn điểmA,B, O, Ccùng thuộc một đường tròn Chỉ rõ tâm O′vàbán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC

b) Chứng minh AB2 =AC2 =AM.AN

c) GọiI là trung điểm của MN Kẻ BI cắt (O) tại E Chứng minh EC//AN

Lời giải

⇒tứ giác ABOC nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°)

Tâm O′ là trung điểm của AO và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giácABOC là 2

suy ra CEB AIB· = ·

Mà hai góc trên ở vị trí đồng vị ⇒EC//AN(dhnb hai đường thẳng song song).

Bài37.Cho ABC∆ nhọn nội tiếp đường tròn ( )O;R

đường kính AK Ba đường caoAD,BE,CF của ABC∆ cắt nhau tại H Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên AK

a) Chứng minh: tứ giác AEHF nội tiếp

b) Chứng minh: ABD∆ đồng dạng AKC∆ và AB.AC=2R.AD

c) Chứng minh MD song song với BK

d) Giả sử BC là dây cố định của đường tròn ( )O

còn A di động trên cung lớn BC Tìm vị trí của điểm A để diện tích ∆AEHlớn nhất.